人教版 高一数学知识点总结

高一数学知识总结

必修一

一、集合

一、集合有关概念

集合的含义

集合的中元素的三个特性：

元素的确定性如：世界上最高的山

元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

列举法：{a,b,c……}

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R|

x-3>2} ,{x| x-3>2}

语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

V enn图:

4、集合的分类：

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

注意：B

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果A?B, B?C ,那么A?C

④如果A?B 同时B?A那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

二、函数

1、函数定义域、值域求法综合

2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、b 属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a 、b 属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 、b 属于Q) 指数函数对称规律：

1、函数y=a^x 与y=a^-x 关于y 轴对称

2、函数y=a^x 与y=-a^x 关于x 轴对称

3、函数y=a^x 与y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数y=loga^x

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1

M

a (log 2=)N M

a

log

＋

N

a

log

；

○2 =

N M

a

log

M

a

log

－

N

a

log

；

○3

n

a

M

log

n =M

a

log

)(R n ∈．

注意：换底公式 a

b b c

c a

log

log log

=

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

幂函数y=x^a(a 属于R) 1、幂函数定义：一般地，形如α

x

y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1

>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在

y

轴右方无限地逼近

y

轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无

限地逼近x 轴正半轴．

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数

))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点．

3、函数零点的求法：

○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根；

○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数

)

0(2

≠++=a c bx ax

y ．

（1）△＞０，方程02

=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程02

=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．

三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量． 相等向量：长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算

AB ＋BC ＝AC ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O 出发的两个向量OA 、OB ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就是向量OA 、OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a ，有：0＋a ＝a ＋0＝a 。

|a ＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，－(－a)＝a ，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a ＋(－a)＝(－a)＋a ＝0（2）a －b ＝a ＋(－b)。

数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa 的方向和a 的方向相同，当λ < 0时，λa 的方向和a 的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λ a μa （3）λ(a ± b) = λa ± λb （4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a 、b ，那么|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积或内积，记作a?b ，θ是a 与b 的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a?b 的几何意义：数量积a?b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数

1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法

4、三角函数向量综合题例析

5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =

cos y x

=

tan y x =

图

象

定义域 R

R

,2x x k k ππ??≠+∈Z ??

?? 值域

[]1,1- []1,1-

R

函

数 性 质

最值

当

2

2

x k

π

π

=+()

k∈Z

时，

m ax

1

y=

；当

2

2

x k

π

π

=-

()

k∈Z

时，m in

1

y=-

．

当

()

2

x k k

π

=∈Z

时，

m ax

1

y=；当2

x kππ

=+

()

k∈Z

时，m in

1

y=-

．

既无最大值也无最小值

周

期

性

2π2ππ

奇

偶

性

奇函数偶函数奇函数

单调性

在

2,2

22

k k

ππ

ππ

??

-+

??

??

()

k∈Z

上是增函数；在

3

2,2

22

k k

ππ

ππ

??

++

??

??

()

k∈Z

上是减函数．

在

[]()

2,2

k k k

πππ

-∈Z

上是增函数；在

[]

2,2

k k

πππ

+

()

k∈Z

上是减函数．

在

,

22

k k

ππ

ππ

??

-+

?

??

()

k∈Z

上是增函数．

对称性

对称中心

()()

,0

k k

π∈Z

对称轴

()

2

x k k

π

π

=+∈Z

对称中心

()

,0

2

k k

π

π

??

+∈Z

?

??

对称轴

()

x k k

π

=∈Z

对称中心

()

,0

2

k

k

π

??

∈Z

?

??

无对称轴

必修四

角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{} 36036090,

k k k

αα

?<

第二象限角的集合为{} 36090360180,

k k k

α?+

第三象限角的集合为{} 360180360270, k k k

αα

?+<

第四象限角的集合为{} 360270360360, k k k

αα

?+<

终边在x 轴上的角的集合为

{}180,k k αα=?∈Z

终边在y 轴上的角的集合为{

}

18090,k k αα=?+∈Z

终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为

{}360,k k ββα=?+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再

从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应

的标号即为n α

终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 口诀：奇变偶不变，符号看象限．

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α

公式二：

设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos α tan （－α）＝－tan α

cot （－α）＝－cot α

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα?cotα＝1

sinα?cscα＝1

cosα?secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα?tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα?tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—----?cos—---

2 2

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—----?sin—----

2 2

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—----- 2 2

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----?sin—----- 2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα?cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα?sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα?cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα?sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

5平面解析几何初步

两点距离公式：根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]

中点公式：X=(X1+X2)/2 Y=(Y1+Y2)/2

直线的斜率

倾斜角不是90°的直线`，它的倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率.通常用k来表示，记作：k=tga(0°≤a＜180°且a≠90°)

倾斜角是90°的直线斜率不存在，倾斜角不是90°的直线都有斜率并且是确定的．

点斜式:y-y1=k(x-x1)；

斜截式：y=kx+b；

截距式：x/a+y/b=1

直线的标准方程：Ax+Bx+C=0

圆的一般方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2 《2表示平方》

圆与圆的位置关系：

1 点在圆上(点到半径的距离等于半径)

点在圆外(点到半径的距离大于半径)

点在圆内(点到半径的距离小于半径)

2 (1)相切:圆心到直线的距离等于半径

(2)相交:圆心到直线的距离小于半径

(3)相离:圆心到直线的距离大于半径

3 圆的切线是指垂直于半径,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点

4 圆心距为Q 大圆半径为R 小圆半径为r

两圆外切Q=R+r

两圆内切Q=R-r (用大减小)

两圆相交Q

两圆外离Q>R+r

两圆内含Q

直线与圆的位置关系有三种:相离,相交,相切.

有如下关系

相离则d>r,反之d>r则相离,

相切则d=r,反之d=r则相切,

相交则d

空间直角坐标系的定义

ABCD –A′B′C′O是长方体，以O为原点，分别以射线OB、OA’、OB’为正方向，以线段OB、

OA’、OB’建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O –xyz，点O叫做坐标

原点，x、y、z轴叫做坐标轴，由两条坐标轴组成的平面叫做坐标平面，分别叫做xOy平

面、yOz平zOx平面，这种坐标系叫做右手直角坐标

空间直角坐标系内点的坐标表示方法

设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x、y、z轴的平面，依次交x、y、z轴于点P、Q、R设点P、Q、R在x、y、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么就得到与点M对应惟一确定的有序实数组（x，y，z），有序实数组（x，y，z）叫做点M的坐标，记作M(x，y，z)，其中x、y、z分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标。

空间内两点之间的距

空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝√[(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1

- z2)^2

空间中点公式

空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，中点P坐标[（x1+x2）/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2]

例题：

1直线L与直线3x+4y-7=0平行，且和两坐标轴围成的三角形面积为24，求直线L的方程。

解：

直线L与3x+4y-7平行，所以斜率相等，同为-3/4

设直线的方程是y=(-3/4)x+b

它与两坐标轴的交点坐标分别是(0,b),(4b/3,0)

和两坐标轴围成的三角形面积为24

(1/2)*|b|*|4b/3|=24

|b2|=36

b=±6

直线L有两条，方程分别是y=(-3/4)x+6或y=(-3/4)x-6

2求两点(-5,-1),(-3,4)连成线段的垂直平分线的方程.

解

设y=k1x+b1过两点(-5,-1)(-3,4) 得{-1=-5k1+b1

{4=-3k1+b1 解之得{k1=5/2；b1=23/2

y=5x/2+23/2 因为k1*k2=-1

所以k2=-2/5 (x1+x2)/2=(-5-3)/2=-4

(y1+y2)/2=(-1+4)/2=3/2 (-4,3/2)过所求方程y=k2x+b

3/2=-2/5*(-4)+b b=-1/10

所以y=-2x/5-1/10 化简4x+10y+1=0

6基本初等函数

从其中一个顶点向一个边引一条线，交另一边上某一点，则这个图形变成有一条公共边且另一组边在同一直线上的两个三角形。有六个内角，其中公共边与另一组在同一直线上的边相交形成的两个角中，每一个角都是一个三角形的一个内角，且是另一个三角形的一个外角……

另外还有大于平角小于周角的角。

正弦函数sinθ=y/r

余弦函数cosθ=x/r

正切函数tanθ=y/x

余切函数cotθ=x/y

正割函数secθ=r/x

余割函数cscθ=r/y

同角三角函数间的基本关系式：

2平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

2积的关系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

2倒数关系：

tanα2cotα=1

sinα2cscα=1

cosα2secα=1

一个园,弧长和半径相等时所对应的角度是1弧度.弧度和角度的换算关系:

弧度*180/(2*π)=角度

诱导公式★

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限

正弦+ + ——

余弦+ —— +

正切+ — + —

余切+ — + —

正弦函数的性质：

解析式：y=sinx

图像

波形图像（由单位圆投影到坐标系得出）

定义域

R(实数)

值域：

[-1，1] 最值：①最大值：当x=(π/2)+2kπ时，y(max)=1 ②最小值：当x=-(π/2)+2kπ时，y(min)=-1

值点：(kπ,0)

对称性：

1)对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ对称2)中心对称：关于点(kπ,0)对称周期：2π

奇偶性：

奇函数

单调性：

在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]上是增函数，在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]上是减函数

余弦函数的性质：

余弦函数

图像：

波形图像

定义域：R

值域：[-1，1]

最值：

1）当x=2kπ时,y(max)=1

2）当x=2kπ+π时,y(min)=-1

零值点：(π/2+kπ,0)

对称性：

1）对称轴：关于直线x=kπ对称

2）中心对称：关于点(π/2+kπ,0)对称

周期：2π

奇偶性：偶函数

单调性：

在[2kπ-π,2kπ]上是增函数

在[2kπ,2kπ+π]上是减函数

定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}

值域：R

最值：无最大值与最小值

零值点：(kπ,0)

对称性：

轴对称：无对称轴

中心对称：关于点(kπ,0)对称

周期：π

奇偶性：奇函数

单调性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上都是增函数7平面向量

坐标表示法

平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向

向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．

向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，记作a∥b∥c．0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行．

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．零向量与零向量相等．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．向量的运算

1、向量的加法：

AB+BC=AC

设a=（x,y）b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

则a=eb

则xy`-x`y=0

若a垂直b

则ab=0

则xx`+yy`=0

3、向量的乘法

设a=（x,y）b=(x',y')

a2b(点积）=x2x'+y2y'=|a|2|b|*cos夹角

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：‖，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是

例题：

1.已知点A(1,1),B(-1,5)及AC向量=1/2AB向量，AD向量=2AB向量，AE向量=-1/2AB向量，求点C，D，E的坐标。

设C点(x，y)，则AB＝(－2，4)，AC＝(x－1，y－1).

由AC＝1/2AB得：

x－1＝1/23(－2)＝－1，

y－1＝1/234＝2

所以，x＝0，y＝3，所以点C的坐标是(0,3)

设D点(x，y)，则AD＝(x－1，y－1).

由AD＝2AB得：

x－1＝23(－2)＝－4，

y－1＝234＝8

所以，x＝－3，y＝9，所以点C的坐标是(－3,9)

设E点(x，y)，则AE＝(x－1，y－1).

由AE＝－1/2AB得：

x－1＝－1/23(－2)＝1，

y－1＝－1/234＝－2

所以，x＝2，y＝－1，所以点C的坐标是(2,－1)

8三角恒等变换

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

（α＋β）＝——————

1－tanα2tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα2tanβ

倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—----2cos—---

2 2

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—----2sin—----

2 2

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----2cos—-----

2 2

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----2sin—-----

2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα2cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα2sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα2cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα2sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

9解三角形

步骤1.

在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点D CH=a2sinB

CH=b2sinA

∴a2sinB=b2sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=CD=2R

类似可证其余两个等式。

二. 正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

证明：

∵如图，有a+b=c

∴c2c=(a+b)2(a+b)

∴c^2=a2a+2a2b+b2b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

例题：

1已知（B+C）：（C+A）：（A+B）=4：5：6，求此三角形的最大内角

解：设b+c=4x，可得a=7x/2,b=5x/2,c=3x/2,

再用余弦定理

cosA=-1/2,即A=120

21.在三角形ABC中,已知(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6,则sinA;sinB;sinC=_________

解：、a/sinA=b/sinB=c/sinC

(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6

(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=4k:5k:6k

解得sinA=7k/2 sinB=5k/2 sinC=3k/2

所以sinA:sinB:sinC=7:5:3

10数列

一、等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：

an=a1+(n-1)d (1)

前n项和公式为：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。