第七章应力状态
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材料力学第7章应力状态
y
2
2 xy
m m
ax in
m
ax
2
m
in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
1
tan 21
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax
in
x
2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.2 主应力 主方向 一、主应力
正应力是求极值
d d
x
y
2
(2sin 2 ) xy(2cos2 ) 0
得极值条件为
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
0
(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的
平面，即主平面。
(2) 极值正应力就是主应力。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
工程力学第七章应力状态
σy τ
τ x 0.2
σ y 0.4
τy σy
τ y 0.2
25
解: (1) 画应力圆 OB1 = x= - 1MPa , B1 D1 = x= - 0.2MPa,定出 D1点;
OB2 =y= - 0.4MPa 和 B2D2 = y = 0.2MPa , 定出 D2 点 .
35
250KN 解: 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图 A C 1.6m 2m QC左 = 200 kN
200KN
B
+ MC = 80 kN•m
50KN
+
36
6 4 120300 111270 8810 mm IZ 12 12 3 3
ya 135mm
S
* za
120 15 (150 7.5) 256000mm3
2
x y
o
C
σ x σ y
2
图 13-2
19
2
应力圆作法
(b)
在 - 坐标系内 , 选定比例尺 o 量取 OB1 = x , B1D1 = x , 得 D1点 x B1
D1
τy
σy
σx τx
τy
σx
图 13-3
τx
σy
20
量取 OB2=y , B2D2= y , 得D2 点 o y B2 D2 x B1
23
3
利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力
从应力圆的半径 CD 1 按方位角 的转向转动 2 , 得到半径 CE , 圆周上 E 点的 ¸ 坐标 就依次为 ¸ 。
24
例题7-1
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第七章应力状态及应变状态分析
第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。
应力又分正应力σ和剪应力τ两种。
前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。
同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。
同一点不同方向的应力也是不同的。
过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。
研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。
如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。
单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。
杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。
当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。
该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。
各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。
三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。
单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
w_第七章_应力状态分析01详解
复习 叠加法
载荷叠加 单独载荷作用下的变形相加等于多载 荷作用的变形
变形叠加 分段刚化的变形之和为整体结构变形
提高梁刚度的措施 载荷 截面 跨度
简单的超静定梁
解除多余约束 用未知力代替
变形条件
计算变形 求解未知力
第七章 应力状态分析
7-1 概述
应力的定义 p dF , dN , dQ
dA
y
y y
x x
x
B
D Dx ( x , x ) 2
C 20 A
Dx x
二向 应力圆
主应力A，B
点1面,2 对O应C ，R
Dy ( y , x )
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
转向一致， x y 2
x
2
y
2
2 x
转角加倍
D x Cx R cos(2 20 )
Cx Rcos 2 cos 20
max (35)2 502 61MPa
7-3 平面应力状态分析——图解解析法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
消去 2
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
2 x
R2
圆心
C
(
x
y
,
0)
2
y
应力圆
y y
x
作法
x
x
半径：
R
(
x
载荷叠加 单独载荷作用下的变形相加等于多载 荷作用的变形
变形叠加 分段刚化的变形之和为整体结构变形
提高梁刚度的措施 载荷 截面 跨度
简单的超静定梁
解除多余约束 用未知力代替
变形条件
计算变形 求解未知力
第七章 应力状态分析
7-1 概述
应力的定义 p dF , dN , dQ
dA
y
y y
x x
x
B
D Dx ( x , x ) 2
C 20 A
Dx x
二向 应力圆
主应力A，B
点1面,2 对O应C ，R
Dy ( y , x )
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
转向一致， x y 2
x
2
y
2
2 x
转角加倍
D x Cx R cos(2 20 )
Cx Rcos 2 cos 20
max (35)2 502 61MPa
7-3 平面应力状态分析——图解解析法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
消去 2
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
2 x
R2
圆心
C
(
x
y
,
0)
2
y
应力圆
y y
x
作法
x
x
半径：
R
(
x
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
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材料力学
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1
二、一点应力状态的描述
单元体：围绕构件内一点所截取的微小正六面体。 （1）各边长为无穷小直六面体；dx，dy，dz→0 （2）各面应力均匀分布； （3）平行两面对应应力数值相等。 （4）单元体各个面上的应力已知或可求；
dx
dy dz
一 点 应 力 状 态
z
材料力学
y
sy
材料力学
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13
式（7-5）可求出相差900的两个角a 1，对应两个互相
垂直的截面上，作用着大小相等，同时指向或背离交线的 切应力所在截面。
t max sx -s y 2 t xy t min 2
2
（7-6）
式（7-3）和式（7-5）有： tan 2a 0 tan 2a1 -1
Me
K 450
Me
45
0
1 s 3 -s 1 E 1 - 1 t - t -t E E
s
s a OD1 OC CD1 OC CD cos(2a 0 2a ) OC CA cos 2a0 cos 2a - CAsin 2a0 sin 2a
sx s y
2
s x -s y
2
cos 2a - t xy sin 2a
t a CD sin(2a 0 2a ) CA sin 2a 0 cos 2a CA cos 2a 0 sin 2a
根据切应力互等定理tyx= txy，及三角函数关系
dA
1 cos 2a 1 - cos 2a 2 cos a ， sin a 2 2 sin 2a 2sin a cos a
2
sx
dAcosa
a
sa
n
x
a
txy
ta
tyx
t
dAsina sy 整理后得到 s x s y s x -s y sa cos 2a - t xy sin 2a （7-1） 2 2 sx -s y （7-2） ta sin 2a t xy cos 2a 2
t zx
G
（1）线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与 切应力有关，与正应力无关。 （2）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力有关，而且 与两个垂直方向的正应力有关。因此，考察一个方向 的线应变时，需要考虑三个互相垂直方向的正应力。
材料力学 中南大学土木工程学院
24
已知轴扭转时的d，E，v，45o，求 Me。 解：1、应力状态分析画单元体 2、 求 t
1 x s x - s y s z E 1 y s y - s z s x E 1 z s z - s x s y E
y
sy
O
t yz
G
sz
tyx tyz txy tzy tzx txz
sx
x
z
xy
t xy
G
yz
zx
材料力学
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4、面内最大切应力值及其作用面方位 应力圆上的最高点的切应力最大，即为面内 最大切应力，其作用面与主平面的夹角为450。
C1(sm ,tmax) A O E B1 C
2a0 A1
t
t max sx -s y 2 t xy t min 2
sy smin tyx t t sm B max E A xy s x F a0
2
（7-4）
四、面内最大切应力及位置
式（7-2）对a 求导，得
面内是指截面法线 是位于xy平面内的。
dt a 由 |a a1 0 可确定面内切应力取极值的截面。 da
sx -s y tan 2a1 2t xy
（7-5）
dt a (s x - s y )cos 2a - 2t xy sin 2a da
sadA-sx(dAcosa)cosa txy (dAcosa)sina tyx (dAsina)cosa -sy(dAsina)sina 0
这里要特别指出，式中tyx要按其大小计算，不考虑负号。
sa s x cos2 a s y sin2 a - (t xy t yx )sina cosa
第七章 应力状态和强度理论
§7.1
一、应力状态的概念
一点的应力状态是指某点处各截面上的应力情况。
概
述
前面各章研究的正应力和切应力都是横截面上的应力，
通过应力状态分析，可以了解各点任意斜截面上的应力情 况。研究应力状态的目的是找出某点处的最大正应力和最 大切应力数值及所在截面的方位，以便进行失效分析并研 究构件破坏的原因。
2
t
smax
sx sy
s min OE OC - CE
sx -s y 2 - t xy 2 2 AA1 主平面方位 tan 2a 0 CA1 2t xy s x -s y
19
O
E B1
C
2a0
A1
F s
sx sy
2
smin
sm
B
sx sy
2
smax
O
sz
tyx tyz txy tzy tzx txz
sy sx txy tyx txy sx
sx
x
正视图
tyx sy
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2
三、主平面
主应力
1、主平面——切应力等于零的平面。 一点处一般有三个主平面，互相垂直。 2、主应力——主平面上的正应力。 一点处一般有三个主应力，按代数值大小排 列分别记为 s1 ， s2 ， s3，且
y sy
s1 s 2 s 3
tyx txy sx
z'
s2 s3 s1
y'
tyz tzy sz
z
材料力学
tzx
txz
x 旋转 x'
3
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四、一点应力状态的分类
1、单向应力状态——只有一个主应力不为零。
单元体
s
简化表示
s
2、二向（平面）应力状态——有两个主应力不为零。
s2 s1 t t s2 s1
a 为参数
s x -s y 2 t xy 2
2
sa ， ta 为变量
2
sx s y 2 s t a a 2
2
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15
二、应力圆的作法
t
sx -s y 2 R t xy 2
s x -s y
2
sin 2a t xy cos 2a
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18
材料力学
3、主应力值及主平面方位
sy smin tyx txy BE sx A F a0
平均应力值 s m OC 主应力值
A
sx sy
s max
2
2 OF OC CF
sx -s y 2 t xy 2
21
§7.4
应力与应变的关系
一、广义胡克定律
各向同性材料，应力不超过材料的比例极限。 胡克定律成立
x
sx
E
s E
y
y - x -
sx
E
sx
x
sx
--泊松比
材料力学
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22
三向应力状态的广义胡克定律——叠加法
s2
s1 1 E
s1
s3 s2 1 - 1 - E E 叠加 1 1 1 1
tyx
D
y
B sa
ta A t xy
a sx
n
2a
A(sx,txy)
x
O B(sy,tyx)
C
s
点面对应
材料力学
转向对应
二倍角对应
17
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2、单元体斜截面上的应力
tyx
D
sy
t
D(sa ,ta) 2a 2a0 C D1
A(sx,txy)
B sa
ta A t xy
a sx
n x O B(sy,tyx)
材料力学 中南大学土木工程学院
txy
ta
tyx
8
3、任意斜截面上的应力 平衡对象——用a 斜截面截取的局部单元。 参加平衡的量——应力乘以其作用的面积。 平衡方程——
dA
Fn 0
Ft 0
sx
a
sa
n
x
a
图示单元各截面面积如图所示。
dAcosa
txy
dAsina sy
ta
tyx
t
Fn 0
sa
sx 局部平衡
sx
ta
任意斜截面是指法线 位于xy面内的斜截面
材料力学 中南大学土木工程学院
7
sx
txy ta sy
sa a
n
x
简化表示
sx txy
a
sa a ta
x
tyx
sy
tyx
a面——斜截面
自x轴正向逆时针转到a 面外法线时a 角定义为正。 2、应力的正负号规定 正应力以拉应力为正，压应力为负。 切应力以绕单元体或其局部顺时针方向转 动为正；反之为负。 应力的正负号规定是为画出应力的指向及画 应力圆用，不表示应力的指向与图示相反。
材料力学
中南大学土木工程学院
9
Ft 0
tadA-sx(dAcosa)sina-txy (dAcosa)cosa tyx (dAsina)sina sy(dAsina)cosa 0