中考几何辅助线专题---遇到中点时的辅助线
初中几何辅助线大全-最全
三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE （AAS ）∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。
）二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CEAE FABCDE17-图O与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。
∵BE ⊥CF （已知）∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中，∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知）∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。
2中点辅助线.中位线(2014-2015)要点
2015年中考解决方案构造中位线学生姓名：×××上课时间：2014.××.××知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
秘籍二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
秘籍三：构造三线合一自检自查必考点构造中位线解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
他位置的也要能看出一、构造三角形中位线☞考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．C ED B A【练1】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．E D CB A中考满分必做题【练2】在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =︒∠，求证：12DE AC =． CE DB A【练3】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A【练1】已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N A【练2】已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．MN AB EF DC(N )M F EDCBA【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【练1】 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使D E D F =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌； （2）PAE PBF ∠=∠．NMPFEDCBA【练2】 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA【练3】 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE的中点．（1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EM DCBA【练4】 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．EDMBCAEDMBCAMBCA2014年门头沟二模图24-1图24-2图24-3【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NM EDCB A图②NM EDCBA【练1】（1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥ （2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变； （3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变 则在图2、图3两种情况下，DE BC 、还平行吗？它与ABC △三边又有怎样的数量关系？ 请你写出猜测，并给与证明．图1EDC BA图2BC E DAF ABCDE图3【点播】（模型）双垂直+角平分线=等腰三角形AEF ，可以让学生记住该模型FE DCBA【练2】已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB 边上的高线CH 与ABC ∆的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：EF AB ∥．QPEF M N HC BA【例5】 等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，60AOB ∠=︒，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形．Q P R O D CB A【练1】AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =．FA DE CB【例6】 如左下图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，E 、F 分别是AC 、BD 中点．求证：EF AB ∥，且()12EF AB CD =-．FECDBA【练习2】在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知ABC ∆，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，分别以AB BC ，为边向外作ABD ∆和BCE ∆，且D A D B =，EB EC =，90ADB BEC ∠=∠=︒，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数量关系。
中点几何专题 ---三角形中的中点辅助线的做法ppt
∴∠EAF=∠EFA ∵∠AFE=∠EFA ∴∠EAF=∠BFH
∴BF=AC.H来自4.梳理回放，加深认识
你知道在几何问题的中点问题中，怎么样做可以 降低解题难度呢？
5.布置作业，延伸拓展
必做题．已知如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边 A 中点，P为BC上一点，于F，于E. 求证：DF=DE. F
behc中点中点中点倍长中线垂直平分线等腰三角形三线合一平八全等三角形中点中点有关辅助线的添加练习1
三角形中与中点有关的辅助线的添加(1)
陈定秧（平塘县第三中学）
例1、如图所示，AB//CD，E是BC的中点，
求证：CD=BF.
证明： ∵AB//CD
∴∠B=∠ECD
∵E是BC的中点
AF
B
∴CE=BE
E
B
选做题：如图所示，已知在△ABC中，∠BAC=90，BD=DC，
D
P
C
DE⊥DF。
A
求证：（1）求△DEF是形状；
F
（2）BE+CF>EF
E
C
B
D
﹛在△BEF和△CED中 ∠B=∠ECD CE=BE ∠BEF=∠CED
∴△BEF=△CE(A SA)
∴CD =F E
E
C
D
例1：如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD=DC，
DE⊥DF。 求证：（1）△DEF是等腰直角三角形； （2）BE+CF>EF
证明：延连长接EAD，使得ED=DH ，连接HC,HF
∴△∴BD∠EB≌=∠△DCADCH（ASA)
在∴△BEB=DHEC和△ADF中
﹛ 又∵ED=DH ∴=
与中点有关的引辅助线方法
与中点有关的引辅助线方法中点是平面几何中一个重要的概念，它与图形的对称性、平行性、垂直性等性质有着密切的关系。
为了帮助解决与中点有关的问题，我们可以使用引辅助线的方法。
下面我将介绍一些与中点有关的引辅助线方法。
1.引中点辅助线法这是最基本的与中点有关的引辅助线方法。
当我们需要求线段的中点时，可以通过引一条过该线段两端点的直线，然后取该直线上的中点即可。
这样，我们就引出了一个与中点有关的辅助线。
2.引垂直平分线法当我们需要将一个线段平分时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线与线段的中点相交。
这样，该垂直直线就成为了该线段的垂直平分线。
3.引中垂线法当我们需要求一个线段的中垂线时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线的中点与该线段的中点相连。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是该线段的中垂线。
4.引平行线法当我们需要构造一个与条直线平行的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的平行线，并让该平行线上的距离与该点到该直线的距离相等。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线平行的直线。
5.引垂直线法当我们需要构造一个与条直线垂直的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的垂直线，并让该垂直线与原直线相交。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线垂直的直线。
以上就是与中点有关的几种常用引辅助线方法。
利用这些方法，我们可以更方便地解决与中点有关的问题。
当我们遇到与中点有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的引辅助线方法，并运用相关的定理和性质进行推导和证明。
通过加深对中点的理解和运用，我们能够更好地掌握几何知识，提高解题的能力。
中考几何辅助线专题---遇到中点时的辅助线.
第一节解题方法技巧等腰底中垂分1. 等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题2. 有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题如图，在 ABC中，AB=AC,取BC中点D，连接AD,则AD是∠BAC的平分线，又是BC边上的高和BC边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。
例1 已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点。
求证：BF⊥FD.例2 如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点（1）求证：AF⊥CD（2）在你连接BE后，还能得出什么新结论？请写出三个（不要求证明）。
练习 1.如图，在 ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（） 691216 B C D 55552.已知：如图，在等腰 ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A的直线MN//BC,在直线MNA 上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF.求证：DE=DF.3. 已知:如图，在等腰 ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A作AE⊥DE,AF⊥DF,且AE=AF.求证：∠EDB=FDC第二节斜边中是一半解题方法技巧直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在Rt ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD,从而构造出等腰三角形。
如图，在Rt ABC中，AB=2BC,作斜边AB的中线CD，则得相等的线段AD=BD=CD=BC,从而得到 BCD为等边三角形，为研究等边三角形，求角的大小提供了条件。
例如图，在Rt ABC中，AB=AC,∠BAC=90︒,O为BC的中点。
（1）写出点O到 ABC的三个顶点A,B,C的距离的关系：（不需证明）（2）如果点M,N分别在线段AB,AC上移动，在移动中保证AN=BM,请判断OMN的形状，并证明你的结论。
2025年中考数学二轮复习几何模型突破课件：模型1中点辅助线作法
A．6
B．5.5
C．6.5
D．5
【解析】连接BE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AD＝12，E为
1
AD 的 中 点 ， ∴ AE ＝ AD ＝ 6. ∵ AB ＝ 8 ， ∴ 在 Rt△ABE 中 ， BE ＝
2
2 ＋ 2 ＝10.∵G，H分别为EF，BF的中点，∴GH是△BEF的中位
1
1
BD.∵BD⊥AC，AE＝BD，∴EF⊥AC，EF＝ AE，∴∠CFE＝∠AFE
2
2
＝90°，∠EAF＝30°，∴∠AEF＝60°.又∵∠C＝55°，∴∠CEF＝
35°，∴∠AEB＝180°－∠AEF－∠CEF＝85°.故选D.
2.如图，菱形ABCD的对角线BD的长为8，E，F分别是AD，CD边的中
点，连接EF.若EF＝3，则菱形ABCD的面积是( A )
A．24
B．20
C．12
D．6
【解析】连接AC.∵E，F分别是AD，CD边上的中点，即EF是△ACD的中
1
1
位线，∴AC＝2EF＝6，∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6×8＝24.故选A.
2
2
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD的中点，F为CD边上
AD，∠B＝∠DCB，∠A＝∠ACD
模型
总结
当遇等腰三角形底边上的中点
当遇直角三角形斜边上的
时，考虑作底边上的中线，利用 中点时，考虑作斜边上的
“三线合一”解题
中线
例2
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中
点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF.若AE＝4，
中点常见的辅助线
（五）条件中无中点时，完善图形得中位线：
如图，△ABC边长分别为AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD 上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是_______．
练习：
在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D，E为AB的中点,求证：DE=
1 BC 2
（三）添加三角形的第三边，构建中位线：
如图，已知E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H为AC 边上的两个三等分点，连EG、FH，且延长后交于点D， 求证：四边形ABCD是平行四边形
（四）添加三角形的另一边并取中点，构建中位线： 在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC． 求证：∠EFM=∠FEM．
A
B
E
D
C
3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。
3、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点， N为AC中点，求证：MN⊥AC．
C D A N M B
四、两个或多个中点常见的辅助线： 当图中有多个中点时，同时还要考虑中位线，
中点常见的辅助线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与中点有关的辅助线
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形 2、直角三角形：斜边上的中线等于斜边的一半 3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。 4、三角形的中位线：平行于第三边，并且等于第 三边的一半。
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形
1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2， AC=4，则AD的取值范围是________．
A
B
21.第四章 专项3 遇到中点如何添加辅助线
GF
第11题图
专项3 遇到中点如何添加辅助线
∵CE＝CE，CF＝CD，∴△FCE≌△DCE(SAS)，
第8题图
专项3 遇到中点如何添加辅助线 9. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BM＝CM＝3，MN⊥AC于点N，
12
则MN的长为____5____．
第9题图
专项3 遇到中点如何添加辅助线 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，点E在AC上，点F 在BC上，且DE⊥DF，连接EF，若AE＝2，BF＝3，则EF的长为 ____1_3___．
专项3 遇到中点如何添加辅助线
情形2：倍长类中线 在△ABC中，D是边BC的中点，E是AB上一点，连接DE.
辅助线作法一：延长ED至点F，使 DF＝ED，连接CF. 辅助线作法二：过点C作CF∥AB交 ED的延长线于点F. 【结论】△BDE≌△CDF.
专项3 遇到中点如何添加辅助线
对接中考
8. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，E，F 分别为AB，BC边上的点，且DE⊥DF，连接EF，若AE＝4，FC＝3，则 EF的长为____5____．
第3题图
专项3 遇到中点如何添加辅助线
方法归纳 当题中出现中点，考虑构造中位线，辅助线作法：①过中点作已知长度 的边的平行线；②直接连接两个中点． 情形1：已知D为AB的中点．
专项3 遇到中点如何添加辅助线 情形2：已知D，E分别为AB，AC的中点．
【结论】DE＝
1 2
BC；△ADE∽△ABC.
第10题图
专项3 遇到中点如何添加辅助线
11. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，BD交于点E， CA平分∠BCD，若E是AC的中点，且∠CDB＝120°，求证：BC－2CD ＝AB. 证明：如图，在BC上截取CF＝CD， 过点E作EG∥AB交BC于点G，连接EF，
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第一节等腰底中垂分解题方法技巧1.等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题2.有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题如图，在ABC中，AB=AC,取BC中点D，连接AD,则AD是BAC∠的平分线，又是BC边上的高和BC边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。
例1 已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点。
求证：BF FD⊥.例2 如图，AB=AE,ABC AED∠=∠,BC=ED,点F是CD的中点（1）求证：AF CD⊥（2）在你连接BE后，还能得出什么新结论？请写出三个（不要求证明）。
练习 1.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN AC⊥于点N，则MN等于（）A 65B95C125D1652.已知：如图，在等腰ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A的直线MN//BC,在直线MN 上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF.求证：DE=DF.3. 已知:如图，在等腰ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，过A 作,,AE DE AF DF ⊥⊥且AE=AF.求证：EDB FDC ∠=第二节 斜边中 是一半解题方法技巧直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AB 的中点，连接CD ，则得CD=AD=BD,从而构造出等腰三角形。
如图，在Rt ABC 中，AB=2BC,作斜边AB 的中线CD ，则得相等的线段AD=BD=CD=BC,从而得到BCD 为等边三角形，为研究等边三角形，求角的大小提供了条件。
例 如图，在Rt ABC 中，AB=AC,90BAC ∠=︒,O 为BC 的中点。
（1） 写出点O 到ABC 的三个顶点A,B,C 的距离的关系：（不需证明）（2） 如果点M,N 分别在线段AB,AC 上移动，在移动中保证AN=BM,请判断OMN 的形状，并证明你的结论。
练习 1.如图，在ABC 中，BE,CF 分别为边AC,AB 的高，D 为BC 的中点，M 为EF 的中点。
求证： DM EF ⊥2.已知：ABCD 中，DE AB ⊥于E 交AC 于F,且AD=12FC.求证：3DAB ACD ∠=∠3.已知：ABC 中，2,B C AD BC ∠=∠⊥于D,M 为BC 的中点。
求证：DM=12AB第三节遇中线 可倍长解题方法技巧 1. 将三角形的中线延长一倍构造全等三角形或平行四边形，即为倍长中线法如图，AD 为ABC 的中线，如延长AD 至E ，使DE=AD.连接BE,则ADC EDB ≅，再连接CE ，则四边形ABEC 是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。
2. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形如图，E 为ABC 中线AD 上一点，如延长AD 至F 使DF=DE.连接BF,CF,则四边形BFCE 是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。
3. 可以在中线上截取线段与中线上的某一部分线段相等4. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形如图，O 为AB 中点，若延长CO 至D 使OD=CO,则ACO BDO ≅(COB DOA ≅),四边形ADBC 为平行四边形。
例1 已知：如图，AD 为ABC 的中线，AE=EF.求证：BF=AC例2 已知：如图，在ABC 中，90C ∠=︒，M 为AB 的中点，P,Q 分别在AC,BC 上，且PM QM ⊥于M,求证：PQ 2=AP 2+BQ 2例3 已知：如图，ABC 的边BC 的中点为N,过A 的任一直线AD BD ⊥于D,CE AD⊥于E.求证：NE=ND.练习 1.已知：AD 为ABC 的中线，F 为AC 上一点，连接BF 交AD 于E.求证：2AE AF ED FC=2.已知：在ABC 中，AD 为中线，并且90BAD ∠=︒,45DAC ∠=︒.求证：AB=2AD3.已知：如图，ABC 中，过AB 的中点F 作DE BC ⊥,垂足为E,交CA 的延长线于点D.若EF=3，BE=4,45C ∠=︒,求证：DF:FE 的值。
第四节 同中垂 构全等解题方法技巧有三角形中线时，可过中线所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形如图，AN 为的中线，若作BD AN ⊥的延长线于D ，作CE AN ⊥于E,则有BDN CEN ≅.例 已知：如图，在ABC 中，90,,BAC AB AC AD CD AF BD ∠=︒==⊥，于E 交BC 于F.求证：BF=2FC.练习 1.已知：如图，在ABC 中，BD=DC,BF 交AD,AC 于E,F,若AF=EF,求证：BE=AC.2.已知：如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，直线EG AD ⊥于点F,且交AB 于E,交AC 于G.求证：2+AB AC AD AE AG AF=第五节 两中点 中位线解题方法技巧在进行证明时，有中点可以构造中位线，利用三角形，梯形中位线定理来证题。
通常有以下几种情况时作中位线。
1. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线如图，D,E,F 分别是ABC 的三边中点，连接DE,EF,FD ，利用三角形中位线性质得线段之间大小关系与平行关系，从而为解决问题提供帮助。
2. 有一边中点，并且已知或求证中涉及线段的倍分关系时，常过中点作另一边的平行线，构造三角形的中位线。
如图，在ABC 中，若2,B C AD BC ∠=∠⊥,E 为BC 边的中点，则取AC 边中点F,连接EF,DF,利用三角形中位线得到平行关系。
3. 连接圆心与弦的中点，构造三角形的中位线如图，C 为O 中弦AB 的中点，作直径AD ，连接OC,DB,则OC//BD 且OC=12BD ，从而为证题创造平行条件与线段的倍，半关系。
4. 有一腰中点，可另取另一腰中点，利用梯形中位线有关性质证明如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,F 为CD 的中点，取AB 的中点E,连接EF ，则EF//AD//BC,EF=12(AD+BC) 例1 已知：如图，E,F 分别为四边形ABCD 对角线的中点，AB>CD.求证：EF>12(AB-CD)例2 如图，在四边形ABCD 中，E,F 并分别是AD,BC 的中点，G,H 分别是对角线BD,AC 的中点。
求证：EF 与GH 互相平分。
例3 如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD,另一组对边AD ≠BC.分别取AD,BC 的中点M,N,连接MN ，则AB 与MN 的关系是（ ）A.AB=MNB.AB>MNC.AB<MND.上述三种情况都有可能练习 1.如图，四边形ABCD 为平行四边形，AD=a ，BE//AC,DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点。
（1） 求证：DF=FE(2)若AC=2CF ，60,ADC AC DC ∠=︒⊥，求BE 的长。
2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD,E,F 分别为BC,AD 的中点，BA,CD 的延长线分别交EF 的延长线于M,N.求证：BME CNE ∠=.3.已知：如图，五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠，F 为CD 的中点。
求证：BF=EF 。
第六节 腰中平 造全等解题方法技巧过梯形一腰的中点作另一腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形的问题来解决 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E 为CD 的中点，如过E 作GF//AB 交BC 于F ，交AD 的延长线于G 。
////,AD BC ABFG AD BC GDC DCBDE EC DEG CEF DEG CEF DG CF∴∴∠=∠=∠=∠∴≅∴=四边形为平行四边形。
这样就把梯形ABCD 割补成平行四边形了，可利用平行四边形的性质证题。
例 已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,EF 为中位线。
求证：14S AEF S=梯形ABCD练习 1.已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,E 为DC 的中点求证：S ABE =12S 梯形ABCD2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,9045,14B C AD BC ∠=︒∠=︒==，，，E 为AB 的中点，EF//DC 交BC 于点F.求EF 的长。
第七节延顶中 有全等解题方法技巧 在梯形中，有一腰中点时，连接一顶点与此中点并延长与一底的延长线相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E 为CD 的中点，如连接AE ，并延长与BC 的延长线交于点N.//,,,AD BC N DANDE CE AED NECADE NCE AE EN AD CN∴∠=∠=∠=∠∴≅∴==这样相当于把梯形ABCD 割补成ABN ，可利用三角形的有关定理证题。
例 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,AB>DC,M 为AD 的中点，且BM CM ⊥。
求证：BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠且AB+CD=BC练习 已知：梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD+BC,M 为CD 的中点求证：BM 平分CBA ∠第八节 底中现 平腰见解题方法技巧有底的中点时，常过此点引两腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形和三角形问题来解决如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC,E 为AD 的中点，如过E 作EF//AB,EN//CD,分别交BC 于F,N,则得到,ABFE ENCD EFN 和,这样可以利用平行四边形和三角形的有关性质证题。
例 已知：在梯形ABCD 中，AB//CD,AB>CD,90A B ∠+∠=︒,E,F 分别是AB,CD 的中点 求证：1()2EF AB CD =-练习 1.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E,F 分别是AD,BC 的中点，且()12EF BC AD =-.求.B C ∠+∠2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,AB=DC,P,Q 分别为AD,BC 的中点。
求证：PQ BC ⊥第九节 对角线 顶中线解题方法技巧在梯形中，有对角线中点时，常把一顶点和对角线中点连接，并延长与一底相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC,E 为AC 的中点，如连接DE,并延长交BC 于N.//,,AD BC DAC BCAAED NEC AE EC AED CEN DE NE AD CN∴∠=∠∠=∠=∴≅∴==例 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,E,F 分别是AC,BD 的中点。