2018年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用

专题1 导数

1．（2018全国卷Ⅰ理5）设函数f （x ）=x 3+（a -1）x 2+ax ．若f （x ）为奇函数，则曲线y=f （x ）在点（0,0）处的切线方程为（ ） A ．y =-2x

B ．y=-x

C ．y =2x

D ．y=x

2．（2018全国卷Ⅲ理7）函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为（ ）

3．（2018全国卷Ⅱ理10）若f （x ）=cos x -sin x 在[-a ,a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．

π

4

B ．

π2

C ．

3π4

D ．π

4．（2018全国卷Ⅲ理14）曲线y =（ax +1）e x 在点（0,1）处的切线的斜率为-2，则a =________． 5．（2018全国卷Ⅱ理13）曲线y =2ln （x +1）在点（0,0）处的切线方程为__________．

6.（2018江苏卷11）若函数f （x ）=2x 3-ax 2+1（a ∈R ）在（0,+∞）内有且只有一个零点，则f （x ）在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 ．

7．（2018全国卷Ⅰ理16）已知函数f （x ）=2sin x +sin2x ，则f （x ）的最小值是_____________． 8．（2018北京文19）设函数f （x ）=[ax 2-（4a +1）x +4a +3]e x . ⑴若曲线y = f （x ）在点（1, f （1））处的切线与x 轴平行，求a ； ⑵若f （x ）在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．

9．（2018全国卷Ⅰ理21）已知函数f （x ）=x

1

-x +alnx ．

图 1

图 2

（1）讨论f （x ）的单调性；

（2）若f （x ）存在两个极值点x 1,x 2，证明：

()()

1212

2f x f x a x x -<--．

10．（2018全国卷Ⅱ理21）已知函数f （x ）=e x –ax 2． （1）若a =1，证明：当x ≥0时，f （x ）≥1； （2）若f （x ）在（0，+∞）只有一个零点，求a ．

11．（2018江苏卷）某农场有一块农田，如图3所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为?CDP ，要求A ,B 均在线段MN 上，C ,D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD 和?CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬

菜的年总产值最大．

12．（2018浙江22）已知函数f （x ）=x ?ln x ．

⑴若f （x ）在x =x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，证明：f （x 1）+f （x 2）>8?8ln2； ⑵若a ≤3?4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点．

参考答案

1.D

2. D

3.B

4.A

5. -3

6. y =2x

7. -3

8. -2

3

3 提示：

1. 由于函数f （x ）=x 3+（a -1）x 2+ax 为奇函数，所以a =1，故f （x ）=x 3+x ，所以f /（x ）=3x 2+1,所以k =1，故所求方程为y=x ，选D ．

2. 易得函数y=-x 4+x 2+2为偶函数，y /=-4x 3+2x =-2x （2x +1）（

2x -1）,令y /＞0，即-2x （2x +1）（

2x -1）

＜0，解得x ＜-

22或0＜x ＜22.所以当y /＜0时，- 22＜x ＜0或x ＞2

2

，所以函数y=-x 4+x 2+2在（-∞，-

22），（0，22）上单调递增，在（- 22，0），（2

2

，+∞）上单调递减，故选D ． 图 3

3.因为f （x ）=cos x -sin x ，所以 f /（x ）= -sin x -cos x ，由题意可知f /（x ）= -sin x -cos x ≤0在[-a ,a ]上恒成立，

即sin x +cos x ≥0，即2sin （x +π4）≥0在[-a ,a ]上恒成立，结合函数y=2sin （x +π4）的图像可知有??

??

?≤+≥+,4,04-πππa a 解得 a ≤

π

4，所以0＜a ≤π4，故所求a 的最大值是π4

.故选A ． 4．y /=（ax +a +1）e x ．k=a +1，故a +1=-2，所以a =-3．

5．y /=

1

2

+x ，故k =2，所以所求方程为y =2x ． 6．f /（x ）=6x 2-2ax =2x （3x -a ）（a ∈R ）,当a ≤0时，f /（x ）＞0在（0，+∞）上恒成立，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增，又f （0）=1，所以此时f （x ）在（0，+∞）内无零点，不满足题意.当a ＞0时，由 f /（x ）＞0，得x ＞

3a ，由f /（x ）＜0得0＜x ＜3a ，则f （x ）在（0，3a ）上单调递减，在（3

a

，+∞）上单调递增，又f （x ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，所以f （3

a

）=-273a +1=0，得a =3,所以f （x ）=2x 3-3x 2+1,

则f /（x ）=6x （x -1），当x ∈（-1,0）时，f /（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（0,1）时，f /（x ）＜0，f （x ）

单调递减，则f （x ）max =f （0）=1, f （-1）=-4, f （1）=0,则f （x ）min =-4，所以f （x ）在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.

7. 因为f （x ）=2sin x +sin2x ，所以f /（x ）=2cos x +2cos2x =4cos 2x +2cos x -2=4（cos x -2

1）（cos x +1），由f /（x ）≥0得

21≤cos x ≤1，即2k π-3π≤x ≤2k π+3

π

，k ∈Z , 由f /（x ）≤0得-1≤cos x ≤21，即2k π+π≥x ≥2k π+3π或2k π-π≤x ≤2k π-3π，k ∈Z ，所以当x =2k π-3π（k ∈Z ）时，f （x ）取得最小值，且f （x ）min = f （2k π-3π）=2sin （2k π-3π）+sin2 （2k π-3π

）=-233.

8. 解：⑴因为f （x ）=[ax 2-（4a +1）x+4a +3]e x ， 所以f / （x ）=[ax 2-（2a +1）x +2]e x ． f /（1）=（1- a ）e ，

由题设知f /（1）=0，即（1- a ）e =0，解得a =1．

⑵由⑴得f /（x ）= [ax 2-（2a +1）x +2]e x =（ax -1）（x -2）e x ． 若a >

2

1，则当x ∈（a 1

,2）时，f /（x ）＜0；

当x ∈（2,+∞）时，f /（x ）＞0．

所以f （x ）在x =2处取得极小值． 若a ≤

21，则当x ∈（0,2）时，ax -1≤2

1

x -1＜0， 所以f /（x ）＞0．

所以2不是f （x ）的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（

2

1

,+∞）． 9. 解:（1）f （x ）的定义域为（0,+∞），222

11

()1a x ax f x x x x

-+'=--+=-. （i ）若a ≤2，则f / （x ）≤0，当且仅当a=2，x =1时f / （x ）=0，所以f （x ）在（0,+∞）单调递减． （ii ）若a ＞2，令

f /

（x ）=0

得，x =

或x =.

当24

(0,

()22

a a a x -+-

∈+∞

时，f / （x ）＜0； 当x

∈时，f

/ （x ）＞0.所以f （x ）在

)

+∞单调递减，在(

22

a a -单调递增． （2）由（1）知，f （x ）存在两个极值点时，当且仅当a ＞2．

由于 f （x ）的两个极值点x 1,x 2满足x 2-ax+1=0，所以x 1x 2=1，不妨设x 1＜x 2，则x 2＞1.由于

1212121212()()ln ln 11f x f x x x a x x x x x x --=--+--1212

ln ln 2x x a x x -=-+-

2

22

2ln 21x a

x x -=-+-，

所以

1212()()2f x f x a x x -<--等价于222

1

2ln 0x x x -+<．

设函数1

()2ln g x x x x

=

-+，由（1）知，g （x ）在（0，+∞）单调递减，又g （1）=0，从而当x ∈（1，+∞）时，g （x ）＜0．

所以

2221

2ln 0x x x -+<，即1212

()()2f x f x a x x -<--． 10. 解：（1）当a =1时，f （x ）≥1等价于（x 2+1）e -x -1≤0． 设函数g （x ）= （x 2+1）e -x -1，则2

2()(21)e

(1)e x

x g'x x x x --=--+=--．

当x ≠1时，g /（x ）＜0，所以g （x ）在（0，+∞）单调递减． 而g （0）=0，故当x ≥0时，g （x ）≤0，即f （x ）≥1． （2）设函数h （x ）=1-ax 2e -x ．

f （x ）在（0，+∞）只有一个零点当且仅当h （x ）在（0，+∞）只有一个零点． （i ）当a ≤0时，h （x ）＞0，h （x ）没有零点； （ii ）当a ＞0时，h /（x ）=ax （x -2）e -x ．

当x ∈（0,2）时，h /（x ）＜0；当x ∈（2,+∞）时，h /（x ）＞0． 所以h （x ）在（0,2）单调递减，在（2,+∞）单调递增． 故h （2）=1-

2

4e a

是h （x ）在[0,+∞）的最小值． ①若h （2）＞0，即2

e 4a <，h （x ）在（0，+∞）没有零点；

②若h （2）=0，即2

e 4

a =，h （x ）在（0，+∞）只有一个零点；

③若h （2）＜0，即2

e 4

a >，由于h （0）=1，所以h （x ）在（0,2）有一个零点，

由（1）知，当x ＞0时，e x ＞x 2，

所以3334224

1616161

(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a

=-=->-=->． 故h （x ）在（2,4a ）有一个零点，因此h （x ）在（0，+∞）有两个零点．

综上，f （x ）在（0，+∞）只有一个零点时，2

e 4

a =．

11. 解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，

则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为

21

×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=41，θ0∈（0，6

π

）． 当θ∈[θ0，

2

π

）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[

4

1

，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[

4

1

，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）

=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，

2π

）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，2

π

），

则f / （θ）=cos 2θ-sin 2θ-sin θ=-（2sin 2θ+sin θ-1）=-（2sin θ-1）（sin θ+1）． 令f / （θ）=0，得θ=6

π

， 当θ∈（θ0，

6π

）时，f / （θ）＞0，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（6π，2π

）时，f / （θ）＜0，所以f （θ）为减函数，

因此，当θ=6π

时，f （θ）取到最大值．

答：当θ= 6

π

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

12.证明：⑴函数f （x ）的导函数f / （x ）=

x 21

-

x

1，

由f /

（x 1）= f /

（x 2）得

121

x -11x =221x -2

1

x ， 因为x 1 ≠x 2，所以11x +21x =2

1． 图 5

由基本不等式得

2

121x x =1x +2x ≥2421x x ．

因为x 1 ≠x 2，所以x 1x 2 ＞256．

由题意得f （x 1）+ f （x 2）=1x -lnx 1+2x -lnx 2=

2

121x x -ln （x 1x 2）

． 设g （x ）= 21

x -lnx ， 则g /（x ）=x

41

（x -4），

所以

所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增， 故g （x 1x 2）＞g （256）=8-8ln 2， 即f （x 1）+ f （x 2）＞8-8ln 2． （2）令m =e -（|a|+k ）

，n =（

k

a 1||+）2

+1，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a ＜)1(

k n a n n --≤)1||(k n

a n -+＜0 所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ，

所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a 得x

a

x x k --=

ln ．

设h （x ）=

x

a

x x --ln ，

则h ′（x ）=

212ln x

a x

x +--=21)(x a x g +--， 其中g （x ）=

x x

ln 2

-． 由（1）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2， 故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln2+a ≤0，

所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．