2018年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用
专题1 导数1．（2018全国卷Ⅰ理5）设函数f （x ）=x 3+（a -1）x 2+ax ．若f （x ）为奇函数，则曲线y=f （x ）在点（0,0）处的切线方程为（ ） A ．y =-2xB ．y=-xC ．y =2xD ．y=x2．（2018全国卷Ⅲ理7）函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为（ ）3．（2018全国卷Ⅱ理10）若f （x ）=cos x -sin x 在[-a ,a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π4．（2018全国卷Ⅲ理14）曲线y =（ax +1）e x 在点（0,1）处的切线的斜率为-2，则a =________． 5．（2018全国卷Ⅱ理13）曲线y =2ln （x +1）在点（0,0）处的切线方程为__________．6.（2018江苏卷11）若函数f （x ）=2x 3-ax 2+1（a ∈R ）在（0,+∞）内有且只有一个零点，则f （x ）在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 ．7．（2018全国卷Ⅰ理16）已知函数f （x ）=2sin x +sin2x ，则f （x ）的最小值是_____________． 8．（2018北京文19）设函数f （x ）=[ax 2-（4a +1）x +4a +3]e x . ⑴若曲线y = f （x ）在点（1, f （1））处的切线与x 轴平行，求a ； ⑵若f （x ）在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．9．（2018全国卷Ⅰ理21）已知函数f （x ）=x1-x +alnx ．图 1图 2（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1,x 2，证明：()()12122f x f x a x x -<--．10．（2018全国卷Ⅱ理21）已知函数f （x ）=e x –ax 2． （1）若a =1，证明：当x ≥0时，f （x ）≥1； （2）若f （x ）在（0，+∞）只有一个零点，求a ．11．（2018江苏卷）某农场有一块农田，如图3所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为∆CDP ，要求A ,B 均在线段MN 上，C ,D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和∆CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．12．（2018浙江22）已知函数f （x ）=x −ln x ．⑴若f （x ）在x =x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，证明：f （x 1）+f （x 2）>8−8ln2； ⑵若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点．参考答案1.D2. D3.B4.A5. -36. y =2x7. -38. -233 提示：1. 由于函数f （x ）=x 3+（a -1）x 2+ax 为奇函数，所以a =1，故f （x ）=x 3+x ，所以f /（x ）=3x 2+1,所以k =1，故所求方程为y=x ，选D ．2. 易得函数y=-x 4+x 2+2为偶函数，y /=-4x 3+2x =-2x （2x +1）（2x -1）,令y /＞0，即-2x （2x +1）（2x -1）＜0，解得x ＜-22或0＜x ＜22.所以当y /＜0时，- 22＜x ＜0或x ＞22，所以函数y=-x 4+x 2+2在（-∞，-22），（0，22）上单调递增，在（- 22，0），（22，+∞）上单调递减，故选D ． 图 33.因为f （x ）=cos x -sin x ，所以 f /（x ）= -sin x -cos x ，由题意可知f /（x ）= -sin x -cos x ≤0在[-a ,a ]上恒成立，即sin x +cos x ≥0，即2sin （x +π4）≥0在[-a ,a ]上恒成立，结合函数y=2sin （x +π4）的图像可知有⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+,4,04-πππa a 解得 a ≤π4，所以0＜a ≤π4，故所求a 的最大值是π4.故选A ． 4．y /=（ax +a +1）e x ．k=a +1，故a +1=-2，所以a =-3．5．y /=12+x ，故k =2，所以所求方程为y =2x ． 6．f /（x ）=6x 2-2ax =2x （3x -a ）（a ∈R ）,当a ≤0时，f /（x ）＞0在（0，+∞）上恒成立，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增，又f （0）=1，所以此时f （x ）在（0，+∞）内无零点，不满足题意.当a ＞0时，由 f /（x ）＞0，得x ＞3a ，由f /（x ）＜0得0＜x ＜3a ，则f （x ）在（0，3a ）上单调递减，在（3a，+∞）上单调递增，又f （x ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，所以f （3a）=-273a +1=0，得a =3,所以f （x ）=2x 3-3x 2+1,则f /（x ）=6x （x -1），当x ∈（-1,0）时，f /（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（0,1）时，f /（x ）＜0，f （x ）单调递减，则f （x ）max =f （0）=1, f （-1）=-4, f （1）=0,则f （x ）min =-4，所以f （x ）在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.7. 因为f （x ）=2sin x +sin2x ，所以f /（x ）=2cos x +2cos2x =4cos 2x +2cos x -2=4（cos x -21）（cos x +1），由f /（x ）≥0得21≤cos x ≤1，即2k π-3π≤x ≤2k π+3π，k ∈Z , 由f /（x ）≤0得-1≤cos x ≤21，即2k π+π≥x ≥2k π+3π或2k π-π≤x ≤2k π-3π，k ∈Z ，所以当x =2k π-3π（k ∈Z ）时，f （x ）取得最小值，且f （x ）min = f （2k π-3π）=2sin （2k π-3π）+sin2 （2k π-3π）=-233.8. 解：⑴因为f （x ）=[ax 2-（4a +1）x+4a +3]e x ， 所以f / （x ）=[ax 2-（2a +1）x +2]e x ． f /（1）=（1- a ）e ，由题设知f /（1）=0，即（1- a ）e =0，解得a =1．⑵由⑴得f /（x ）= [ax 2-（2a +1）x +2]e x =（ax -1）（x -2）e x ． 若a >21，则当x ∈（a 1,2）时，f /（x ）＜0；当x ∈（2,+∞）时，f /（x ）＞0．所以f （x ）在x =2处取得极小值． 若a ≤21，则当x ∈（0,2）时，ax -1≤21x -1＜0， 所以f /（x ）＞0．所以2不是f （x ）的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（21,+∞）． 9. 解:（1）f （x ）的定义域为（0,+∞），22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-. （i ）若a ≤2，则f / （x ）≤0，当且仅当a=2，x =1时f / （x ）=0，所以f （x ）在（0,+∞）单调递减． （ii ）若a ＞2，令f /（x ）=0得，x =或x =.当24(0,()22a a a x -+-∈+∞时，f / （x ）＜0； 当x∈时，f/ （x ）＞0.所以f （x ）在)+∞单调递减，在(22a a -单调递增． （2）由（1）知，f （x ）存在两个极值点时，当且仅当a ＞2．由于 f （x ）的两个极值点x 1,x 2满足x 2-ax+1=0，所以x 1x 2=1，不妨设x 1＜x 2，则x 2＞1.由于1212121212()()ln ln 11f x f x x x a x x x x x x --=--+--1212ln ln 2x x a x x -=-+-2222ln 21x ax x -=-+-，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，g （x ）在（0，+∞）单调递减，又g （1）=0，从而当x ∈（1，+∞）时，g （x ）＜0．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--． 10. 解：（1）当a =1时，f （x ）≥1等价于（x 2+1）e -x -1≤0． 设函数g （x ）= （x 2+1）e -x -1，则22()(21)e(1)e xx g'x x x x --=--+=--．当x ≠1时，g /（x ）＜0，所以g （x ）在（0，+∞）单调递减． 而g （0）=0，故当x ≥0时，g （x ）≤0，即f （x ）≥1． （2）设函数h （x ）=1-ax 2e -x ．f （x ）在（0，+∞）只有一个零点当且仅当h （x ）在（0，+∞）只有一个零点． （i ）当a ≤0时，h （x ）＞0，h （x ）没有零点； （ii ）当a ＞0时，h /（x ）=ax （x -2）e -x ．当x ∈（0,2）时，h /（x ）＜0；当x ∈（2,+∞）时，h /（x ）＞0． 所以h （x ）在（0,2）单调递减，在（2,+∞）单调递增． 故h （2）=1-24e a是h （x ）在[0,+∞）的最小值． ①若h （2）＞0，即2e 4a <，h （x ）在（0，+∞）没有零点；②若h （2）=0，即2e 4a =，h （x ）在（0，+∞）只有一个零点；③若h （2）＜0，即2e 4a >，由于h （0）=1，所以h （x ）在（0,2）有一个零点，由（1）知，当x ＞0时，e x ＞x 2，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->． 故h （x ）在（2,4a ）有一个零点，因此h （x ）在（0，+∞）有两个零点．综上，f （x ）在（0，+∞）只有一个零点时，2e 4a =．11. 解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为21×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=41，θ0∈（0，6π）． 当θ∈[θ0，2π）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[41，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[41，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，2π）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，2π），则f / （θ）=cos 2θ-sin 2θ-sin θ=-（2sin 2θ+sin θ-1）=-（2sin θ-1）（sin θ+1）． 令f / （θ）=0，得θ=6π， 当θ∈（θ0，6π）时，f / （θ）＞0，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（6π，2π）时，f / （θ）＜0，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=6π时，f （θ）取到最大值．答：当θ= 6π时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．12.证明：⑴函数f （x ）的导函数f / （x ）=x 21-x1，由f /（x 1）= f /（x 2）得121x -11x =221x -21x ， 因为x 1 ≠x 2，所以11x +21x =21． 图 5由基本不等式得2121x x =1x +2x ≥2421x x ．因为x 1 ≠x 2，所以x 1x 2 ＞256．由题意得f （x 1）+ f （x 2）=1x -lnx 1+2x -lnx 2=2121x x -ln （x 1x 2）． 设g （x ）= 21x -lnx ， 则g /（x ）=x41（x -4），所以所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增， 故g （x 1x 2）＞g （256）=8-8ln 2， 即f （x 1）+ f （x 2）＞8-8ln 2． （2）令m =e -（|a|+k ），n =（ka 1||+）2+1，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a ＜)1(k n a n n --≤)1||(k na n -+＜0 所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a 得xax x k --=ln ．设h （x ）=xax x --ln ，则h ′（x ）=212ln xa xx +--=21)(x a x g +--， 其中g （x ）=x xln 2-． 由（1）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2， 故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln2+a ≤0，所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．。
2018全国高考试题分类汇编-导数部分(含解析)
2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析）1.(2018·全国卷I高考理科·T5)同(2018·全国卷I高考文科·T6)设函数f=x3+-x2+ax.若f为奇函数,则曲线y=f在点处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.(2018·全国卷II高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3.(2018·全国卷II高考文科·T13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=e x在点处的切线的斜率为-2,则a=.5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为.6.(2018·全国卷I高考理科·T16)已知函数f=2sin x+sin2x,则f的最小值是.7.(12分)(2018·全国卷I高考文科·T21)已知函数f=a e x-ln x-1.(1)设x=2是f的极值点.求a,并求f的单调区间.(2)证明:当a≥时,f≥0.8.(2018·全国Ⅲ高考理科·T21)(12分)已知函数f=ln-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f<0;当x>0时,f>0.(2)若x=0是f的极大值点,求a.9.(2018·全国Ⅲ高考文科·T21)(12分)已知函数f=-.(1)求曲线y=f在点-处的切线方程.(2)证明:当a≥1时,f+e≥0.10.(本小题13分)(2018·北京高考理科·T18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程与x轴平行,求a.(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.11.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a.(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.12.(12分)(2018·全国卷I高考理科·T21)已知函数f=-x+a ln x.(1)讨论f的单调性.(2)若f存在两个极值点x1,x2,证明:-<a-2.-13.(2018·全国卷II高考理科·T21)(12分)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.14.(2018·全国卷II高考文科·T21)(12分)已知函数f=x3-a.(1)若a=3,求f(x)的单调区间.(2)证明:f(x)只有一个零点.15.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T20)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间.(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-.(Ⅲ)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.(本小题满分14分)(2018·天津高考文科·T20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(Ⅰ)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若d=3,求f(x)的极值;(Ⅲ)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.17.(本小题满分14分)(2018·江苏高考·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围.(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T19)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值.(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=,对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.19.(2018·浙江高考T22)(本题满分15分)已知函数f(x)=-ln x.(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.1.【解析】选D.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(0)=1,所以切线方程为y=x.2.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x3.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-1)即y=2x-2.答案:y=2x-24.【解析】由y=(ax+1)e x,所以y′=a e x+(ax+1)e x=(ax+1+a)e x,故曲线y=(ax+1)e x在(0,1)处的切线的斜率为k=a+1=-2,解得a=-3.答案:-35.【解析】因为f(x)=e x ln x,所以f′(x)=(e x ln x)′=(e x)′ln x+e x(ln x)′=e x·ln x+e x·,f′(1)=e1·ln1+e1·=e.答案:e6.【解析】方法一:f′(x)=2cos x+2cos2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)-, 所以当cos x<时函数单调减,当cos x>时函数单调增,从而得到函数的减区间为--(k∈Z),函数的增区间为-(k∈Z),所以当x=2kπ-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值,此时sin x=-,sin2x=-,所以f(x)min=2×--=-.方法二:因为f(x)=2sin x+sin2x,所以f(x)最小正周期为T=2π,所以f′(x)=2(cos x+cos2x)=2(2cos2x+cos x-1),令f′(x)=0,即2cos2x+cos x-1=0,所以cos x=或cos x=-1.所以当cos x=,为函数的极小值点,即x=或x=π,当cos x=-1,x=π,所以f=-,f=,f(0)=f(2π)=0,f(π)=0,所以f(x)的最小值为-.答案:-7.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a e x-.由题设知,f′(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f′(x)=e x-.当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-.当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当时a≥时,f(x)≥0.8.【解析】(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-.设函数g(x)=f′(x)=ln(1+x)-,则g′(x)=.当-1<x<0时,g′(x)<0;当x>0时,g′(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f′(x)≥0,当且仅当x=0时,f′(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)(i)若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-.由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点,当且仅当x=0是h(x)的极大值点. h′(x)=--=.如果6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h′(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h′(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点..如果6a+1=0,则h′(x)=---则当x∈(-1,0)时,h′(x)>0;当x∈(0,1)时,h′(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-.9.【解析】(1)f(x)的定义域为R,f′(x)=--,显然f(0)=-1,即点(0,-1)在曲线y=f(x)上,所求切线斜率为k=f′(0)=2,所以切线方程为y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0.(2)方法一(一边为0):令g(x)=-ax2+(2a-1)x+2,当a≥1时,方程g(x)的判别式Δ=(2a+1)2>0,由g(x)=0得,x=-,2,且-<0<2,x,f′(x),f(x)的关系如下①若x∈(-∞,2],f(x)≥f-=-又因为a≥1,所以0<≤1,1<≤e,-≥-e,f(x)+e≥0,②若x∈(2,+∞),ax2+x-1>4a+2-1>0,e x>0,所以f(x)=->0,f(x)+e≥0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法二(充要条件):①当a=1时,f(x)=-.显然e x>0,要证f(x)+e≥0只需证-≥-e, 即证h(x)=x2+x-1+e·e x≥0,h′(x)=2x+1+e·e x,观察发现h′(-1)=0,x,h′(x),h(x)的关系如下所以h(x)有最小值h(-1)=0,所以h(x)≥0即f(x)+e≥0.②当a>1时,由①知,-≥-e,又显然ax2≥x2,所以ax2+x-1≥x2+x-1,f(x)=-≥-≥-e,即f(x)+e≥0.综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法三(分离参数):当x=0时,f(x)+e=-1+e≥0成立.当x≠0时,f(x)+e≥0等价于-≥-e,等价于ax2+x-1≥-e·e x,即ax2≥-e·e x-x+1等价于a≥--=k(x),等价于k(x)max≤1.k′(x)=--,令k′(x)=0得x=-1,2.x,k′(x),k(x)的关系如下又因为k(-1)=1,k(2)=-<0,所以k(x)max=1,k(x)≤1,x≠0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.10.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x,所以f′(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x. f′(1)=(1-a)e.由题设知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>,则当x∈时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0, 所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(,+∞).11.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x, 所以f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x,f′(2)=(2a-1)e2, 由题设知f′(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)方法一:由(1)得f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x若a>1,则当x∈时,f′(x)<0.当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).方法二:f′(x)=(ax-1)(x-1)e x.①当a=0时,令f′(x)=0得x=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.②当a>0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.(ⅰ)当x1=x2,即a=1时,f′(x)=(x-1)2e x≥0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值,不合题意.(ⅱ)当x1>x2,即0<a<1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.(ⅲ)当x1<x2,即a>1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.③当a<0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).12.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1+=--.(i)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(ii)若a>2,令f′(x)=0得,x=--或x=-.当x∈--∪-时,f′(x)<0;当x∈---时,f′(x)>0.所以f(x)在--,-上单调递减,在---上单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.由于--=--1+a--=-2+a--=-2+a--,所以--<a-2等价于-x2+2ln x2<0.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0.所以-x2+2ln x2<0,即--<a-2.13.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)∪(1,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)上只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)上的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点;②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点;③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点,由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0.故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.14.【解析】(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0解得x=3-2或3+2.当x∈(-∞,3-2)或(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减.(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6--<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.15.【解析】(I)由已知,h(x)=a x-x ln a,有h′(x)=a x ln a-ln a.令h′(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如表:所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(II)由f′(x)=a x ln a,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为ln a.由g′(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为.因为这两条切线平行,故有ln a=,即x2(ln a)2=1.两边取以a为底的对数,得log a x2+x1+2log a(ln a)=0,所以x1+g(x2)=-. (III)曲线y=f(x)在点(x1,)处的切线l1:y-=ln a·(x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,log a x2)处的切线l2:y-log a x2=(x-x2).要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得l1和l2重合.即只需证明当a≥时,方程组有解,--由①得x2=,代入②,得-x1ln a+x1++=0③,因此,只需证明当a≥时,关于x1的方程③有实数解.设函数u(x)=a x-xa x ln a+x++,即要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点. u′(x)=1-(ln a)2xa x,可知x∈(-∞,0)时,u′(x)>0;x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减,又u′(0)=1>0,u′[]=1-<0,故存在唯一的x0,且x0>0,使得u′(x0)=0,即1-(ln a)2x0=0.由此可得u(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为a≥,故ln(ln a)≥-1,所以u(x0)=-x0ln a+x0++=+x0+≥≥0.下面证明存在实数t,使得u(t)<0.由(I)可得a x≥1+x ln a,当x>时,有u(x)≤(1+x ln a)(1-x ln a)+x++=-(ln a)2x2+x+1++,所以存在实数t,使得u(t)<0,因此,当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),使得u(x1)=0.所以,当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.【解析】(Ⅰ)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f′(x)=3x2-1,因此f(0)=0,f′(0)=-1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f′(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(Ⅱ)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f′(x)=3x2-6t2x+3-9.令f′(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×(-)=6;函数极小值为f(t2+)=()3-9×=-6.(III)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6=0有三个互异的实数解,令u=x-t2,可得u3+(1-d2)u+6=0.设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.g′(x)=3x2+(1-d2).当d2≤1时,g′(x)≥0,这时g′(x)在R上单调递增,不合题意.当d2>1时,g′(x)=0,解得x1=--,x2=-.易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,g(x)的极大值g(x1)=g-=-+6>0,g(x)的极小值g(x2)=g-=--+6.若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x2)<0,即(d2-1>27,也就是|d|>,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6<-62+6<0,从而由g(x)的单调性,可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意.所以d的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞)17.【解析】(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面积为×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ).过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈.当θ∈[θ0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ),sinθ的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈,则f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).令f′(θ)=0,得θ=,当θ∈时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.【解析】(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得-此方程组无解,因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f′(x)=2ax,g′(x)=.设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得-即-(*)得ln x0=-,即x0=-,则a=-=.当a=时,x0=-满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S”点.因此,a的值为.(3)f′(x)=-2x,g′(x)=-,(x≠0),由f′(x0)=g′(x0),得b=-->0,得0<x0<1,由f(x0)=g(x0),得-+a==--,得a=--,令h(x)=x2---a=---,(a>0,0<x<1),设m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<1),则m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,则m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点,则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点.19.【解析】(Ⅰ)函数f(x)的导函数f′(x,由f′(x1)=f′(x2)得-=-,因为x1≠x2,所以+=.由基本不等式得=+≥2.因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2).设g(x)=-ln x,则g′(x)=(-4),所以所以g(x)在(256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)令m=e-(|a|+k),n=+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n-≤n<0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得k=--.设h(x)=--,则h′(x)=--=--,其中g(x)=-ln x.由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0,所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.综上,当a≤3-4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.。
2018年高考数学试题分类汇编-----导数精品
4.（ 2018 安徽卷文）设
，函数
的图像可能是
【解析】可得 x a, x b为 y ( x a) 2( x b) 0 的两个零解 .
当 x a 时 ,则 x b f ( x) 0
当 a x b 时 ,则 f ( x) 0, 当 x b 时,则 f ( x) 0. 选 C。
【答案】 C
5.（ 2018 江西卷文）若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x3和 y ax2
（ D） y 2x 3
[解析 ]：由 f (x) 2 f (2 x) x2 8x 8得 f (2 x) 2 f (x) (2 x)2 8(2 x) 8 ， 即 2 f ( x) f (2 x) x2 4x 4，∴ f ( x) x2 ∴ f / ( x) 2x ，∴切线方程为
y 1 2( x 1) ，即 2x y 1 0 选 A
1 1
x0 a
x0 a 1 y0 0, x 0 1 a 2 .故答案选 B
2.（2018 安徽卷理） 设 a ＜ b, 函数 y ( x a)2 ( x b ) 的图像可能是
[ 解析 ]： y/
( x a)(3 x 2a b) ，由 y /
0 得 x a, x
2a
b
，∴当
x
3
大值 0，当 x 2a b 时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。 3
内恒成立的是
A
f ( x) 0 B f ( x) 0
C f (x) x
D f ( x) x
【答案】 A
【解析】由已知，首先令 x 0 ，排除 B， D。然后结合已知条件排除 C,得到 A
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考 查了分析问题和解决问题的能力。
2018高考理科数学试卷分类汇编14：导数与积分(修改)
2018年全国高考理科数学试卷分类汇编14：导数与积分一、选择题1 ．<2018年高考湖北卷<理））已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <,则< ）b5E2RGbCAP A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<- C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-【答案】D2 ．<2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学<理）<纯WORD 版含答案））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是< ）p1EanqFDPw A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x = 【答案】C3 ．<2018年高考江西卷<理））若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为< ）DXDiTa9E3d A ．123S S S <<B ．213S S S << C ．231S S S <<D ．321S S S << 【答案】B4 ．<2018年普通高等学校招生统一考试辽宁数学<理）试卷<WORD 版））设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，< ）RTCrpUDGiT A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值 【答案】D5 ．<2018年普通高等学校招生统一考试福建数学<理）试卷<纯WORD 版））设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是< ）5PCzVD7HxA A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D6 ．<2018年高考北京卷<理））直线l 过抛物线C: x2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于< ）jLBHrnAILgA ．43B ．2C ．83D 【答案】C7 ．<2018年普通高等学校招生统一考试浙江数学<理）试卷<纯WORD 版））已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则< ）xHAQX74J0X A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值 【答案】C 二、填空题8 ．<2018年高考江西卷<理））设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则(1)x f =______________LDAYtRyKfE 【答案】2 9 ．<2018年高考湖南卷<理））若209,Tx dx T =⎰则常数的值为_________.Zzz6ZB2Ltk 【答案】310．<2018年普通高等学校招生统一考试广东省数学<理）卷<纯WORD 版））若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.dvzfvkwMI1【答案】1- 三、解答题11．<2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学<理）<纯WORD 版含答案））已知函数)ln()(m x e x f x +-=.rqyn14ZNXI (Ⅰ>设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ>当2m ≤时,证明()0f x >. 【答案】12．<2018年普通高等学校招生统一考试辽宁数学<理）试卷<WORD 版））已知函数()()()[]321,12cos .0,12e xx f x x g x ax x x x -=+=+++∈当时，EmxvxOtOco (I>求证:()11-;1x f x x≤≤+ (II>若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.SixE2yXPq5【答案】13．<2018年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷<数学）<已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.6ewMyirQFL 设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x -=)(,其中a 为实数.(1>若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围;(2>若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.卷Ⅱ 附加题部分答案word 版[选做题]第21题,本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.kavU42VRUs【答案】解:(1>由01)('≤-=a xx f 即a x≤1对),1(+∞∈x 恒成立,∴max 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥x a而由),1(+∞∈x 知x1<1 ∴1≥a 由a e x g x -=)('令0)('=x g 则a x ln = 当x <a ln 时)('x g <0,当x >a ln 时)('x g >0, ∵)(x g 在),1(+∞上有最小值 ∴a ln >1 ∴a >e综上所述:a 的取值范围为),(+∞e(2>证明:∵)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数 ∴0)('≥-=a e x g x 即x e a ≤对),1(+∞-∈x 恒成立, ∴[]min x e a ≤而当),1(+∞-∈x 时,x e >e1 ∴ea 1≤ 分三种情况:(Ⅰ>当0=a 时, x x f 1)('=>0 ∴f(x>在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵0)1(=f ∴f(x>存在唯一零点(Ⅱ>当a <0时,a x x f -=1)('>0 ∴f(x>在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵)1()(a a a e a ae a e f -=-=<0且a f -=)1(>0 ∴f(x>存在唯一零点(Ⅲ>当0<ea 1≤时,a xx f -=1)(',令0)('=x f 得ax 1=∵当0<x <a 1时,x a x a x f )1()('--=>0;x >a1时,x a x a x f )1()('--=<0 ∴a x 1=为最大值点,最大值为1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f①当01ln =--a 时,01ln =--a ,e a 1=,)(x f 有唯一零点e ax ==1②当1ln --a >0时,0<ea 1≤,)(x f 有两个零点 实际上,对于0<ea 1≤,由于e a e a e ef --=-=111ln )1(<0,1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f >0 且函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛a e 1,1上的图像不间断 ∴函数)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a e 1,1上有存在零点另外,当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0,a xx f -=1)('>0,故)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调增,∴)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0只有一个零点下面考虑)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a的情况,先证)(ln ln )(1111121------=-=-=--a a a a a eaa aee a ae eef <0为此我们要证明:当x >e 时,x e >2x ,设2)(x e x h x -= ,则x e x h x 2)('-=,再设x e x l x 2)(-=∴2)('-=x e x l当x >1时,2)('-=x e x l >e -2>0,x e x l x 2)(-=在()+∞,1上是单调增函数 故当x >2时,x e x h x 2)('-=>4)2(2'-=e h >0从而2)(x e x h x -=在()+∞,2上是单调增函数,进而当x >e 时,2)(x e x h x -=>2)(e e e h e -=>0 即当x >e 时,x e >2x ,当0<a <e1时,即1-a >e 时,)(ln ln )(1111121------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f <0 又1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f >0 且函数)(x f 在[]1,1--a e a 上的图像不间断, ∴函数)(x f 在()1,1--ae a上有存在零点,又当x >a1时,x a x a x f )1()('--=<0故)(x f 在()+∞-,1a 上是单调减函数∴函数)(x f 在()+∞-,1a 只有一个零点综合(Ⅰ>(Ⅱ>(Ⅲ>知:当0≤a 时,)(x f 的零点个数为1;当0<a <e1时,)(x f 的零点个数为214．<2018年普通高等学校招生统一考试广东省数学<理）卷<纯WORD 版））设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R >.y6v3ALoS89(Ⅰ> 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ> 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【答案】(Ⅰ> 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:x (),0-∞0 ()0,ln 2ln 2()ln 2,+∞()f x ' +-+()f x极大值极小值右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞. (Ⅱ> ()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k kk -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=--< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.15．<2018年高考江西卷<理））已知函数1()=(1-2-)2f x a x ,a 为常数且>0a .M2ub6vSTnP (1> 证明:函数()f x 的图像关于直线1=2x 对称;(2>若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围; (3>对于(2>中的12,x x 和a , 设x3为函数f(f(x>>的最大值点,A(x1,f(f(x1>>>,B(x2,f(f(x2>>>,C(x3,0>,记△ABC 的面积为S(a>,讨论S(a>的单调性.0YujCfmUCw 【答案】(1>证明:因为11()(12),()(12)22f x a x f x a x +=--=-,有11()()22f x f x +=-, 所以函数()f x 的图像关于直线12x =对称.(2>解:当102a <<时,有224,(())4(1),a x f f x a x ⎧⎪=⎨-⎪⎩1,21.2x x ≤> 所以(())f f x x =只有一个解0x =,又(0)0f =,故0不是二阶周期点.当12a =时,有,(())1,x f f x x ⎧=⎨-⎩1,21.2x x ≤> 所以(())f f x x =有解集1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭,又当12x ≤时,()f x x =,故1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期点.当12a >时,有222221,44,11,24,42(())1412(12)4,,2444,41.4x aa x x a a x a f f x a a a a x x a a a x a x a≤⎧⎪<≤-⎪=⎨--+⎪<≤⎪-⎩-> 所以(())f f x x =有四个解2222240,,,141214a a a a a a +++,又22(0)0,()1212a af f a a ==++, 22222244(),()14141414a a a af f a a a a ≠≠++++,故只有22224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点.综上所述,所求a 的取值范围为12a >.(3>由(2>得2122224,1414a a x x a a==++, 因为3x 为函数(())f f x 的最大值点,所以314x a =或3414a x a-=. 当314x a =时,221()4(14)a S a a -=+.求导得:'()S a =所以当1(2a ∈时,()S a 单调递增,当)a ∈+∞时()S a 单调递减;当3414a x a -=时,22861()4(14)a a S a a -+=+,求导得:2221243'()2(14)a a S a a +-=+,因12a >,从而有2221243'()02(14)a a S a a +-=>+, 所以当1(,)2a ∈+∞时()S a 单调递增.16．<2018年普通高等学校招生统一考试重庆数学<理）试卷<含答案））设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.eUts8ZQVRd (1>确定a 的值; (2>求函数()f x 的单调区间与极值. 【答案】(3)26ln 3f =+17．<2018年高考四川卷<理））已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.sQsAEJkW5T (Ⅰ>指出函数()f x 的单调区间;(Ⅱ>若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值;(Ⅲ>若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围. 【答案】解:()I 函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-,单调递增区间为[)1,0-,()0,+∞()II 由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的切线斜率为()2f x ',故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时,有()()121f x f x ''=-.GMsIasNXkA 当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+. 因为120x x <<,所以()()1222221x x ++=-, 所以()()12220,220x x +<+>.因此()()21121222212x x x x -=-+++≥=⎡⎤⎣⎦ 当且仅当()122x -+=()222x +=1,即123122x x =-=且时等号成立.所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时,21x x -的最小值为1()III 当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<.当10x <时,函数()f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+当20x >时,函数()f x 的图象在点()()22,x f x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-,即221ln 1y x x x =∙+-.两切线重合的充要条件是1222112 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② 由①及120x x <<知,110x -<<. 由①②得,()2211111ln1ln 22122a x x x x =+-=-+-+. 设()()21111ln 221(10)h x x x x =-+--<<, 则()1111201h x x x '=-<+. 所以()()1110h x x -<<是减函数. 则()()10ln 21h x h >=--, 所以ln 21a >--.又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大,所以a 的取值范围是()ln 21,--+∞.故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是()ln 21,--+∞ 18．<2018年高考湖南卷<理））已知0a >,函数()2x af x x a-=+.TIrRGchYzg (I>记[]()0,4f x a 在区间上的最大值为g(),求a g()的表达式;(II>是否存在a ,使函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.7EqZcWLZNX 【答案】解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-++=++-≥-<+=+-=>时，是单调递减的。
2018年高考理科数学导数及应用100题(含答案解析)
2018年高考理科数学导数及应用模拟题100题（含答案解析）1.设函数f （x ）在R 上存在导函数f′（x ），对任意的实数x 都有f （x ）=2x 2﹣f （﹣x ），当x ∈（﹣∞，0）时，f′（x ）+1＜2x ．若f （m+2）≤f （﹣m ）+4m+4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣，+∞）B ．[﹣，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[﹣2，+∞）2.已知函数f （x ）=ln （e x+e ﹣x）+x 2，则使得f （2x ）＞f （x+3）成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C ．（﹣3，3）D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 3.若2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y nx =与曲线2y x =围成的封闭区域的面积为（ ）． A ．223B ．12C ．323D ．364.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）． A ．3y x =B ．ln()y x =-C ．yD ．2y x x=+5.已知函数f （x ）满足：f （x ）+2f′（x ）＞0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．f （0）＞e 2f（4） 6.已知函数f （x ）=x 2+2ax ，g （x ）=3a 2lnx+b ，设两曲线y=f （x ），y=g （x ）有公共点，且在该点处的切线相同，则a ∈（0，+∞）时，实数b 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．7.由曲线y=x 2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为（ ）A ．B ．4C ．2D ． 8.已知f （x ）为定义域为R 的函数，f'（x ）是f （x ）的导函数，且f （1）=e ，∀x ∈R 都有f'（x ）＞f （x ），则不等式f （x ）＜e x的解集为（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，0）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）9.若函数f （x ）=lnx+x 2﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (﹣∞，22]B ．（﹣∞，2]C ．[1，+∞）D ．[2，+∞）10.直线x=1，x=e 与曲线y=x1，y=x 围成的面积是（ ） A ．31(2e 23﹣5) B ． 31(2e 23﹣1)C ．31(2e 23﹣2)D ．2e 23﹣5 11.若f （x ）=x 3﹣ax 2+1在（1，3）内单调递减，则实数a 的范围是（ ）A ．[，+∞）B ．（﹣∞，3]C ．（3，）D ．（0，3） 12.由曲线y=2，直线y=x ﹣3及x 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 13.已知函数f （x ）=e x﹣ln （x+a ）（a ∈R ）有唯一的零点x 0，则（ ）A ．﹣1＜x 0＜﹣B ．﹣＜x 0＜﹣C ．﹣＜x 0＜0D ．0＜x 0＜14.已知函数f （x ）=x ﹣1﹣lnx ，对定义域内任意x 都有f （x ）≥kx ﹣2，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1﹣]B ．（﹣∞，﹣]C ．[﹣，+∞）D ．[1﹣，+∞）15.已知函数f （x ）的导函数图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是（ ）A ．f （cosA ）＜f （cosB ） B ．f （sinA ）＜f （cosB ）C ．f （sinA ）＞f （sinB ）D ．f （sinA ）＞f （cosB ）16.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=，则a 5+a 6=（ ）A ．B ．12C ．6D ．17.已知f （x ）=cosx ，则f （π）+f′（）=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣18.若函数f （x ）=x 3﹣3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2） B ．[﹣2，2] C ．（﹣∞，﹣1） D ．（1，+∞）19. 设函数，则（ ）A ．为 f （x ）的极大值点B ．为f （x ）的极小值点C ．x=2 为 f （x ）的极大值点D ．x=2为f （x ）的极小值点 20.已知曲线 f （x ）=ax 2﹣2在横坐标为1的点 p 处切线的倾斜角为，则a=（ ）A ．B ．1C ．2D ．﹣1 21. ．若，则的展开式中常数项为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．60 22.函数y=x 2在P （1，1）处的切线与双曲线22a x ﹣22by =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（ ）A ．5B ．5C ．25 D ．323.已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f′（x ），满足f′（x ）＜f （x ），且f （x+2）为偶函数，f （4）=1，则不等式f （x ）＜e x的解集为（ ） A ．（﹣2，+∞） B ．（0，+∞） C ．（1，+∞） D ．（4，+∞）24.如图所示，正弦曲线y=sinx ，余弦曲线y=cosx 与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．1B ．C ．2D ．225.函数的最小值为 ．26.．如图中的曲线为2()2f x x x =-，则阴影部分面积为__________．27.如图中阴影部分的面积等于____________．28.若函数()sin f x x a x =+在R 上递增，则实数a 的取值范围为__________． 29.定积分3112d x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰__________．30.函数2y x x =-的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积等于__________． 31.定义在R 上的函数f （x ）满足2f （4﹣x ）=f （x ）+x 2﹣2，则曲线y=f （x ）在点（2，f（2））处的切线方程是 ． 32. 已知n=⎰6e 1dx x 1，那么n )x5x (-的展开式中含x 23的项的系数为 ． 33.已知函数f （x ）满足xf′（x ）=（x ﹣1）f （x ），且f （1）=1，若A 为△ABC 的最大内角，则f[tan（A﹣）]的取值范围为．34.点P（x0，y0）是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点，过点P的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为．35.D做人处事应从善如流，体现了我们必须坚持正确的价值观，正确处理个人与社会的关系，通过劳动和奉献实现人生价值，②④正确；价值判断和价值选择具有社会历史性，在不同的社会历史条件下，价值判断和选择会不同，因此一个时代的正确的价值判断和价值选择有时并不适用于另一个时代，①普遍适应的说法是错误的，排除①；自觉站在人民的立场上才是最高价值标准，③排除。
最新-【数学】2018年高考数学试题精编：132导数的应用 精品
第十三章 导数 二 导数的应用【考点阐述】利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 【考试要求】（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考题分类】（一）选择题（共2题）1.（江西卷理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ((0)0S =)，则导函数()y S t '=的图像大致为A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。
最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C ；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B ；考察A 、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A 。
2.（山东卷文8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件【答案】C【解析】令导数'2810y x =-+>，解得09x <<；令导数'2810y x =-+<，解得9x >，所以函数31812343y x x =-+-在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)+∞上是减函数，所以在9x =处取极大值，也是最大值，故选C 。
【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。
（二）解答题（共35题）t y o t y o ︒t y o ︒t y o ︒︒1.（安徽卷理17）设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R。
2018高考试题分类汇编-7.导数及应用
2018高考分类汇编—7.导数及应用1. 【新课标1卷】5. 设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为A. 2y x =-B. y x =-C. 2y x =D. y x =2. 【新课标1卷】9.已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x a =++.若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A.[)1,0-B.[)0,+∞C.[)1,-+∞D.[)1,+∞3. 【新课标1卷】（21）（本小题满分12分）已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.4. 【新课标2卷】13、曲线()2ln 1y x =+在点（1,1）处的切线方程为 。
5.【新课标2卷】21、（12分）已知函数()2.x f x e ax =-（1）1,0a a =≥≥若证明：当时，f(x)1 （2）若()f x 在()0,+∞只有一个零点，求a.6. 【新课标3卷】14．曲线()1xy ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．7. 21．（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．1）当时，，． 设函数，则． 当时，；当时，．故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，．所以在单调递增．又，故当时，；当时，．（2）（i ）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾．（ii ）若，设函数．由于当时，，故与符号相同． 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点．． 如果，则当，且时，，故不是的极大值点．如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点． 如果，则．则当时，；当时，．所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，． 0a =()(2)ln(1)2f x x x x =++-()ln(1)1x f x x x'=+-+()()ln(1)1xg x f x x x '==+-+2()(1)x g x x '=+10x -<<()0g x '<0x >()0g x '>1x >-()(0)0g x g ≥=0x =()0g x =()0f x '≥0x =()0f x '=()f x (1,)-+∞(0)0f =10x -<<()0f x <0x >()0f x >0a ≥0x >()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=0x =()f x 0a <22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++||min{x <220x ax ++>()h x ()f x (0)(0)0h f ==0x =()f x 0x =()h x 2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++610a +>6104a x a +<<-||min{x <()0h x '>0x =()h x 610a +<224610a x ax a +++=10x <1(,0)x x∈||min{x <()0h x '<0x =()h x 610a +=322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--(1,0)x ∈-()0h x '>(0,1)x ∈()0h x '<0x =()h x 0x =()f x 16a =-8. 【北京】（18）（本小题13分）设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ．（Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．解析：（Ⅰ）因为()f x =[2(41)43axa x a -+++]e x ，所以f ′（x ）=［2ax –（4a +1）］e x +［ax 2–（4a +1）x +4a +3］e x（x ∈R ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x ．f ′(1)=(1–a )e ． 由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1． 此时f (1)=3e ≠0．所以a 的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x =（ax –1）(x –2)e x．若a >12，则当x ∈(1a，2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )>0．所以f (x )<0在x =2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤12x –1<0， 所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（，+∞）．9.【江苏】11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．10. 【江苏】 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．解析：本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()x bf x x ag x x =-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xxb x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x x x x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．12.【上海】19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。
2018-2016三年高考真题理科数学分类汇编：导数的应用(解析版附后)
三年真题专题07：导数的应用（解析版附后）考纲解读明方向分析解读1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.2.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17分,属于高档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018a>1.（I（II处的切线与曲线在点处的切线平行，证明（III l，使l.2．【2018（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1a；x=2处取得极小值，求a的取值范围．3．【2018的导函数．若存在S 点”．（1S 点”；（2S 点”，求实数a 的值；（3S 点”，并说明理由．4．【2018年理新课标I（1（22017年高考全景展示1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.12.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<。
4.【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =-- . （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n 2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.5.【2017浙江，20】（本题满分15分）已知函数f (x )=（x e x -（12x ≥）． （Ⅰ）求f (x )的导函数；（Ⅱ）求f (x )在区间1[+)2∞，上的取值范围． 6.【2017江苏，20】 已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.2016年高考全景展示1.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x xf x a b a b a b =+>>≠≠.设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
【K12高考数学】2018高考数学理(13-17高考题)分类汇编：3-2 导数的应用
第二节导数的应用题型33利用导数研究函数的单调性1.（2013江苏20）设函数ax x x f -=ln )(，()e xg x ax =-，其中a 为实数.（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论. 2.（2015湖南理5）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（）. A.奇函数，且在()0,1上是增函数B.奇函数，且在()0,1上是减函数 C.偶函数，且在()0,1上是增函数D.偶函数，且在()0,1上是减函数 2.解析由已知()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称.又因为()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，所以()f x 为奇函数. 求导()2112'111f x x x x=+=+--，当()0,1x ∈时，()'0f x >，即()f x 在()0,1上为增函数.故选A.评注单调性也可以利用复合函数“同增异减”处理.3.（2015全国2理12）设函数()'f x 是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）． A.()(),10,1-∞-U B.()()1,01,-+∞U C.()(),11,0-∞--U D.()()0,11,+∞U 3.解析题意，设函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时， ()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数， 所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >； 当1x <-时，()0g x <，则()0f x >.综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U .故选A ．评注本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明.4.（2015福建理10）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（）.A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭ 4.解析由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->， 故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以11f k ⎛⎫-⎪-⎝⎭11k k >--，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断．故选C ．5.（2015广东理19（1））设1a >，函数2()(1)e xf x x a =+-.求()f x 的单调区间.5.解析函数()f x 的定义域为R ，()()()()()2221e 1e 1e 0x xx f x x x x '''=+++=+…，所以()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数.6.（2015湖北理22（1））已知数列{}n a 的各项均为正数，*1(1)()n n n b n a n n=+∈N ，e为自然对数的底数．求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小.6.解析()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<.令1x n =，得111e n n +<，即1(1)e n n+<.7.（2015江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性.7.解析由题意，()232f x x ax '=+233x x a ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 1︒当203a -=，即0a =时，()230f x x '=…对x ∈R 恒成立， 故()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；2︒当203a ->，即0a <时， 令()2303f x x x a ⎛⎫'=+>⎪⎝⎭，则0x <或23x a >-， 所以()f x 的单调递增区间为(),0-∞和,23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；3︒当203a -<，即0a <时， 令()2303f x x x a ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，则23x a <-或0x >， 所以()f x 的单调递增区间为23,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞，单调递减区间为023,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．8.（2015全国2理21（1））设函数()2e mx f x x mx =+-. 证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增.8.分析（1）先对函数进行求导，然后再应用单调性和函数的导数的关系进行求解； 解析（1）证明：因为()2e ,mx f x x mx =+-，则求导得，()e 2,mx f x m x m '=+-()()e 12mx f x m x '=-+.若0m …，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx-„，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，e10mx-…，()'0f x >.若0m <，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx ->>，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，e 10mx -<<，()'0f x >. 所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.9.（2015四川理21（1））已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >. 设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；9.分析首先对函数()f x 求导，得()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+⎪⎝⎭， 然后再求导得()222112222242x a a g x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=. 利用导数的符号即得其单调性.此题分1204a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和1204a ⎛⎫- ⎪⎝⎭…两种情况讨论.解析由已知可得函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+ ⎪⎝⎭，所以()222112222242x a a g x x x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=. 当104a <<时，()g x在区间⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；在区间⎝⎭上单调递减.当14a …时，()g x 在区间()0,+∞上单调递增.10.（2015天津理20（1））已知函数(),nf x nx x x =-∈R ，其中*n ∈N ，2n ….讨论()f x 的单调性.10.分析求导，分n 为奇数与偶数讨论其导数的符号及函数单调性即可. 解析由()n f x nx x =-，可得()1n f x n nx -'=-，其中*n ∈N 且2n …， 下面分两种情况讨论：(i)当n 为奇数时，令()0f x '=，解得1x =或1x =-， 当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如表所示.所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. (ii)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.11.（2015重庆理20（2））设函数()()23e xx axf x a +=∈R .若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围.11.解析由（1）知()()236exx a x af x -+-+'= 令()()236g x x a x a =-+-+，则()g x 为()f x '的同号函数.因为()f x 在[)3,+∞上为减函数，所以()0f x '„在[)3,+∞上恒成立， 即()0g x „在[)3,+∞上恒成立.首先()30g „， 即()2763920a a a -+-⨯+=--„，解得92a -…. 反之当92a -…时，()g x 在[)3,+∞上单调递减，且()30g „， 所以[)3,x ∀∈+∞，()0f x '„，()f x 在[)3,+∞上单调递减； 当92a <-时，()30g >，故()03,x ∃∈+∞，使得()00g x =， 故()f x 在()03,x 上单调递增，与题意不符.综上，a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29．12.（2016北京理18）设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()e 14y x =-+. （1）求,a b 的值； （2）求()f x 的单调区间.12.解析（1）由题可得()e (1)a x f x x b -'=-+.再由题设，可得22(2)e e 1(2)2e 22(e 1)4a a f b f b --'⎧=-+=-⎪⎨=+=-+⎪⎩，解得2a =，e b =. （2）由（1）的解答及题设，可得()2e (1)e x f x x -'=-+，()f x '的导函数2(())e (2)x f x x -''=-.所以函数()f x '在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，所以min ()(2)e 10f x f ''==->，即()0f x '>对x ∈R 恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间.13.（2016全国甲理21）（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈时，函数()2e =(0)x ax ag x x x-->有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.13.解析（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得，2x ≠-.因为()2e 2x x f x x -=+，所以()()()22224e e 222x x x x f x x x x ⎛⎫-'=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭. 因为当x ∈()()22-∞--+∞U ，，时，()0f x '>，所以()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，所以当0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，所以()2e 20x x x -++>. （2）由已知得，()()()24e 2e xxa x x ax a g x x----'=()4e 2e 2=xxx x ax a x-++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭，[)01a ∈，. 解法一：记()2e 2xx h x a x -=++，因为()()01020h a h a =-<=，…，所以由（1）知()h x 在[)02，上存在唯一零点.记零点为0x ，即()00h x =，则()g x 在()00x ，上单调递减，在()02x ，上单调递增.故0x 为()g x 的极小值，此时极小值为()0g x . 因为0002e 02x x a x -+=+，所以[)(]0002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+，1，. 所以()()()000000000220002e e 12e 1e =2x x x x x x x a x x x x x ⎛⎫---+ ⎪+-+⎝⎭==+g .记()000e 2x P x x =+，，则()()()()0002200e +2e 1=e 0+2+2x x xx x P x x x -+'=>， 所以()0P x 在(]002x ∈，上单调递增，所以()201e 24P x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.解法二：由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解，使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈，.当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.()()()222e 1e e 1e 22t tttt t a t t h a t t t -++⋅-++===+. 记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，所以()k t 单调递增，所以()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，.14.（2016天津理20）设函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中,a b ∈R . （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于．．．14. 14.解析（1）由()()31f x x ax b =---，可得()()231f x x a '=--. 下面分两种情况讨论： （i ）当0a „时，有()23(1)0f x x a '=--…恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.（ii ）当0a >时，令()0f x '=，解得13x =+或13x =-. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示.所以()f x的单调递减区间为1⎛ ⎝⎭，单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭，13⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >，且01x ≠. 由题意，得()()200310f x x a '=--=，即()2013ax -=， 进而()()300002133a af x x ax b x b =---=---. 又()032f x -=0233a ax b ---=()()3002232x a x b ----=()0081233ax ax a b -+--=()0f x ， 且0032x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，即1023x x +=.（3）证明：设()g x 在区间[]0,2上的最大值为M ，max{,}x y 表示,x y 两数的最大值. 下面分三种情况讨论： （i ）当3a …时，102133-<+剟， 由（1）知，()f x 在区间[0,2]上单调递减，所以()f x 在区间[0,2]上的取值范围为[(2),(0)]f f ，因此max{|(2)|,|(0)|}max{|12|,|1|}M f f a b b ==----=max{|1()|,|1()|}a a b a a b -++--+=1(),01(),0a a b a b a a b a b -+++⎧⎨--++<⎩…，所以1||2M a a b =-++….（ii）当334a<„时，1011213333-<-<+<+剟.由（1）和（2）知，(0)1133f f f⎛⎛-=+⎝⎭⎝⎭…，(2)1133f f f⎛⎫⎛+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭„，所以()f x在区间[0,2]上的取值范围为1,1f f⎡⎤⎛⎛⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此max1,133M f f⎧⎫⎛⎫⎛⎪⎪=+-=⎪⎨⎬⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b a b⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭()()max a b a b⎧⎫++=⎨⎬⎩⎭231944a b+⨯=….（iii）当34a<<时，0111123333<-<-<+<+<，由（1）和（2）知，()01133f f f⎛⎛<-=+⎝⎭⎝⎭，()21133f f f⎛⎫⎛⎫>+=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x在区间[]0,2上的取值范围为()()0,2f f⎡⎤⎣⎦，因此()(){}{}max0,2max1,12M f f b a b==----=()(){}1max1,114a ab a a b a a b-++--+=-++>.综上所述，当0a>时，()g x在区间[]0,2上的最大值不小于14.题型34利用导函数研究函数的极值与最值1.(2013重庆理17）设()()256lnf x a x x=-+，其中a R∈，曲线()y f x=在点()()11f，处的切线与y轴相交于点()06，.（1）确定a的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值.2.（2013湖北理10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（）.A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-3.(2013浙江理8）已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x kf x x k =--=，则A.当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B.当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C.当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D.当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值4.(2013福建理17）已知函数()()ln f x x a x a =-∈R（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点()1,(1)A f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的极值5.（2013湖北理22）设n 是正整数，r 为正有理数．（1）求函数()x f =)1(1)1()1(1->-+-++x x r x r 的最小值；（2）证明：11(1)1r r n n r ++--+<rn <11(1)1r r n n r +++--；（3）设∈x R ，记[]x 为不小于．．．的最小整数，例如[]22=，[π]4=，312⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦． 令S =+++333838281L3125，求[]S 的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈） 6.（2013山东理21）设函数2()e xxf x c =+（e 2.71828=L 是自然对数的底数，c ∈R ）.（1）求()f x 的单调区间、最大值；（2）讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数.7．（2013广东理21）设函数()()21e x f x x kx =--(其中k ∈R ).(1)当1k =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .8.（2013浙江理22）已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值.9．（2013四川理21）已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设()11,()A x f x ，()22,()B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（1）指出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；（3）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．10.（2014新课标2理12）设函数()xf x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（）. A.()(),66,-∞-+∞U B.()(),44,-∞-+∞UC.()(),22,-∞-+∞UD.()(),11,-∞-+∞U11.（2014安徽理18）（本小题满分12分）设函数()()2311f x a x x x =++--，其中0a >.（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2）当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.12.（2014北京理18）（本小题13分）已知函数()πcos sin ,0,2f x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，（1）求证：()0f x „； （2）若sin x ab x <<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 13.（2014大纲理22）（本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()111,ln 1n n a a a +==+，求证：23+22n a n n <+„.14.（2014江西理18）（本小题满分12分）已知函数()(2f x x bx b =++()b ∈R .（1）当4b =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围.15.（2014重庆理20）本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分） 已知函数()()22e e ,,x x f x a b cx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为4c -.（1）确定,a b 的值；（2）若3c =，判断()f x 的单调性； （3）若()f x 有极值，求c 的取值范围16（2015安徽理21）设函数2()f x x ax b =-+.（1）讨论函数()sin f x 在22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭,内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记()2000f x x a x b =-+，求函数()()0sin sin f x f x -在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值D ；（3）在（2）中，取000a b ==，求24a zb =-满足条件1D „时的最大值.16.解析（1）()()2sin sin sin sin sin f x x a x b x x a b=-+=-+，22x ππ-<<．()()sin 2sin cos f x x a x '=-，22x ππ-<<． 因为22x ππ-<<，所以cos 0x >，22sin 2x -<<． ① 2a -„，b ∈R 时，函数()sin f x 单调递增，无极值； ② 2a …，b ∈R 时，函数()sin f x 单调递减，无极值； ③ 对于22a -<<，在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内存在唯一的0x ，使得02sin x a =． 02x x π-<„时，函数()sin f x 单调递减；02x x π<„时，函数()sin f x 单调递增， 因此，22a -<<，b ∈R 时，函数()sin f x 在0x 处有极小值()20sin 24a a f x f b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．（2）22x ππ-剟时，()()()000sin sin sin f x f x a a x b b -=-+-„00a a b b -+-， 当()()000a a b b --…时，取2x π=，等号成立． 当()()000a a b b --<时，取2x π=-，等号成立． 由此可知，()()0sin sin f x f x -在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为00D a a b b =-+-．（3）1D „即为1a b +„，此时201a剟，11b-剟，从而214a zb =-„．取0a =，1b =，则1a b +„，并且214a z b =-=． 由此可知，24a zb =-满足条件1D „的最大值为1．17.（2015湖南理21（1））已知0a >，函数()[)()e sin 0,axf x x x =∈+∞.记n x 为()f x 的从小到大的第n ()*n ∈N 个极值点，证明：数列(){}n f x 是等比数列. 17.解析()e sin e cos e (sin cos )ax ax ax f x a x x a x x '=+=+e sin()ax x ϕ=+，其中a 1tan =ϕ，π02ϕ<<. 令()0f x '=，由0x …得πx m ϕ+=，即*π,x m m ϕ=-∈N .对k ∈N ，若2π(21)πk x k ϕ<+<+，即2π(21)πk x k ϕϕ-<<+-，则()0f x '>； 若(21)π(22)πk x k ϕ+<+<+，即(21)π(22)πk x k ϕϕ+-<<+-，则()0f x '<. 因此，在区间((1)π,π)m m ϕ--与(π,π)m m ϕ-上，)('x f 的符号总相反， 于是，当*π,x m m ϕ=-∈N 时，)(x f 取得极值，所以*π,n x n n ϕ=-∈N . 此时，()1()()e sin(π)(1)e a n n a n n f x n πϕπϕϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ，且2[(1)π]π11(π)()(1)e e ()(1)en a n a n n a n n f x f x ϕϕ++-++--==--是常数， 故数列)}({n x f 是首项为(π)1()e sin a f x ϕϕ-=，公比为πe a -的等比数列.18.（2015全国1理12）设函数()()e 21xf x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（）. A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭18.解析设()()e 21x g x x =-，()h x ax a =-，可转化成存在唯一的整数0x ， 使得()()g x h x <．因为()()e 21x g x x '=+，所以当12x <-时，()0g x '<，()g x 在 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；当12x >-时，()0g x '>，()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．因为当0x =时，()01g =-，()00h =，所以()()00g h <．又因为存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <，所以()()()()1111g h g h ⎧⎪⎨--⎪⎩……，即e 32eaa -⎧⎪⎨--⎪⎩……，解得32e a …，又因为1a <，所以312e a <„．故选D ．19.(2015山东理21（1）)设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R . 讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由.19.解析由题意知，函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+'=+-=++．令()221g x ax ax a =+-+，()1,x ∈-+∞．当0a =时，()1g x =，此时()0f x '>，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点； 当0a >时，()()28198a a a a a ∆=--=-．① 当809a <„时，0∆„，()0g x …，()0f x '…， ② 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点； ③ 当89a >时，0∆>，设方程2210ax ax a +-+=的两根为1x ，2x ()12x x <． 因为1212x x +=-，所以114x <-，214x >-．由()110g -=>，可得1114x -<<-．所以当()11,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增．因此函数有两个极值点．当0a <时，0∆>．由()110g -=>，可得11x <-．当()21,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点．综上所述，当0a <时，函数有()f x 一个极值点； 当809a剟时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点． 20.（2015重庆理20（1））设函数()()23exx axf x a +=∈R .若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 20.解析对()f x 求导得()()()()()2226e 3e36e e x xxx x a x ax x a x a f x +-+-+-+'==，因为()f x 在0=x 处取得极值，所以()00f '=，即0=a ． 经检验，0x =为()f x 的极小值点.当0=a 时，()23ex x f x =，()236e xx x f x -+'=，故()31e f =，()31e f '=． 从而()f x 在点()()1,1f 处的切线方程()331e ey x -=-，化简得3e 0x y -=． 21.（2016全国丙理21）设函数()cos2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的最大值为A . （1）求()f x '； （2）求A ；（3）证明2.f x A '（）„21.解析(1)()()2sin 21sin f x a x a x '=---.（2）当1a …时，()()()()()cos21cos 121320f x a x a x a a a f =+-++-=-=≤. 因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--.令()()2211g t at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，()1g a -=， ()132g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值，极小值为()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 令1114a a --<<，解得13a >-且15a >，所以15a >. （i ）当105a <„时，()g t 在()1,1-内无极值点，()1g a -=，()123g a =-，()()11g g -<，所以23A a =-.（ii ）当115a <<时，在同一坐标中画出函数y x =，32y x =-，2618x x y x ++=在1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图像. 由上图，我们得到如下结论当115a <<时，2618a a A a ++=.综上，2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩„. （3）由（1）得()()2sin21sin 21f x a x x a a α'=---+-„.当105a <„时，()()1242232f x a a a A '+-<-=??； 当115α<<时，131884a A a =++…，所以()12f x a A '+<?； 当1a ≥时，()31642f x a a A '--=??.所以()2f x A '„； 综上所述有()2f x A '„.22.（2016全国甲理21）（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈时，函数()2e =(0)x ax ag x x x-->有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.22.解析（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得，2x ≠-.因为2()e 2x x f x x -=+，所以()()()22224e e 222x x x x f x x x x ⎛⎫-'=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭. 因为当x ∈()()22-∞--+∞U ，，时，()0f x '>，所以()f x 在()2-∞-，和()2,-+∞上单调递增，所以当0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，所以()2e 20x x x -++>. （2）由已知得，()()()24e 2e xxa x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2=xxx x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭，[)01a ∈，.解法一：记()2e 2xx h x a x -=++，因为()()01020h a h a =-<=，…，所以由（1）知()h x 在[)02，上存在唯一零点.记零点为0x ，即()00h x =，则()g x 在()00x ，上单调递减，在()02x ，上单调递增. 故0x 为()g x 的极小值，此时极小值为()0g x .因为0002e 02x x a x -+=+，所以[)(]00002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+，1，. 所以()()()000000000220002e e 12e 1e =2x x x x x x x a x x x x x ⎛⎫---+ ⎪+-+⎝⎭==+g . 记()000e 2x P x x =+，，则()()()()0002200e +2e 1=e 0+2+2x x xx x P x x x -+'=>， 所以()0P x 在(]002x ∈，上单调递增，所以()201e 24P x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.解法二：由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解，使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈，.当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.()()()222e 1e e 1e 22t tttt t a t t h a tt t -++⋅-++===+. 记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，所以()k t 单调递增，所以()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，.23.（2016天津理20）设函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中,a b ∈R . （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于．．．14. 23.解析（1）由()()31f x x ax b =---，可得()()231f x x a '=--. 下面分两种情况讨论： （i ）当0a „时，有()23(1)0f x x a '=--…恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.（ii ）当0a >时，令()0f x '=，解得13x =+或13x =-. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示.所以()f x 的单调递减区间为1⎛ ⎝⎭，单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭，13⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >，且01x ≠. 由题意，得()()200310f x x a '=--=，即()2013ax -=， 进而()()300002133a af x x ax b x b =---=---. 又()()()()30000083222321233a f x x a x b x ax a b -=----=-+--=0233a ax b ---=()0f x ，且0032x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，即1023x x +=.（3）证明：设()g x 在区间[]0,2上的最大值为M ，max{,}x y 表示,x y 两数的最大值.下面分三种情况讨论： （i ）当3a …时，102133-<+剟，由（1）知，()f x 在区间[0,2]上单调递减， 所以()f x 在区间[0,2]上的取值范围为[(2),(0)]f f ，因此max{|(2)|,|(0)|}max{|12||1|}M f f a b b ==----=，max{|1()|,|1()|}a a b a a b -++--+=1(),01(),0a ab a b a a b a b -+++⎧⎨--++<⎩…，所以1||2M a a b =-++…. （ii ）当334a <„时，1011213333-<-<+<+剟. 由（1）和（2）知，(0)1133f f f ⎛⎛-=+ ⎝⎭⎝⎭…，(2)1133f f f ⎛⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭„， 所以()f x 在区间[0,2]上的取值范围为1,133ff ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此max 1,1M f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎪⎪== ⎪ ⎨⎬ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b a b ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭()()max a b a b ⎧⎫++=⎨⎬⎩⎭231944a b +⨯=…. （iii ）当304a <<时，011112<<<+<+<， 由（1）和（2）知，()011f f f ⎛⎛<=+ ⎝⎭⎝⎭，()21133f f f ⎛⎛>+=- ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为()()0,2f f ⎡⎤⎣⎦， 因此()(){}{}max 0,2max 1,12M f f b a b ==----=()(){}1max 1,114a ab a a b a a b -++--+=-++>. 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14. 24.（2017江苏20）已知函数()321f x x ax bx =+++()0,a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围． 24.解析（1）由()321f x x ax bx =+++，得()232f x x ax b =++'，当3a x =-时，()f x '有极小值为23a b -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点，所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故2239a b a =+． 当()22120a b ∆=-„时，()2320f x x ax b =++'…恒成立，即()f x 单调递增， 所以此时()f x 不存在极值，不合题意．因此24120a b ∆=->，即232223192730933a a a a a a a ⎛⎫--+=-=> ⎪⎝⎭，所以3a >．()=0f x '有两个相异的实根1=x 2x 列表如下故()f x 的极值点是12,x x ，从而3a >.所以b 关于a 的函数关系式为2239a b a=+，定义域为()3,+∞． （2）解法一：由（1）知，即证明222339a a a ⎛⎫+>⎪⎝⎭，即424439138a a a a ++>， 因为0a >，所以问题等价于6341357290a a -+>，不妨设3t a =，则()27,t ∈+∞，不妨设()24135729g t t t =-+，易知()g t 在135,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，且135278<， 从而()()227427135277290g t g >=⨯-⨯+=，即6341357290a a -+>得证． 因此23b a >．解法二（考试院提供）：由（1+． 设()23=9t g t t+，则()22223227=99t g t t t --='．当t ⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '>，从而()g t在⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增． 因为3a >，所以>，故((g g >=因此23b a >．（3）由（1）设()2320f x x ax b =++='的两个实根为12,x x ，且设12x x <，且有12123123x x a x x b⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此22212469a b x x -+=．而()f x 的情况如下表所示：所以()f x 的极值点是12,x x ，从而()()32321211122211=f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++3423227a ab-+324223202739a a a a ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭． 记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以()2139h a a a=-+，3a >． 处理方法一：因为()223=09h a a a'--<，于是()h a 在()3,+∞上单调递减．因为()76=2h -，由()()6h a h …，故6a „． 处理方法二：所以()213792h a a a =-+-…，整理得3263540a a --„（必然可以猜测零点），()()2621290a a a -++„，因此6a „．因此a 的取值范围为(]3,6． 评注①此题第（2）问考查的是数值大小的比较，常见的有作差法、作商法、两边平方比较法，此题采用作商（考试院解法二）化简函数达到简化效果，可见对于压轴问题，方法的选择是非常关键的．②第（3）问实际考查的是函数零点的应用，下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考．案例1：已知函数()2ln f x ax x x =--，若函数()f x 存在极值，且所有极值之和小于5ln 2+，则实数a 的取值范围是．解析因为()12f x a x x=--'221x ax x -+-=()0x >，设()221g x x ax =-+-，当280a ∆=-„时，()0g x „恒成立，所以()f x 单调递减，故不存在极值；所以280a ∆=->，设()2210g x x ax =-+-=的两根为12,x x （不妨设12x x <），从而12102x x =>，因此12,x x 同号， 所以问题等价于()2210g x x ax =-+-=在()0,+∞上有两个不相等的实数根12,x x ，因此212128002102a x x x x a ∆=⎧⎪⎪⎪+=>⎨>->⎪⎪=⎪⎩，从而a >所以()f x 的所有极值之和为()()12f x f x +22111222ln l =n ax x x ax x x =--+--()()2121212122ln a x x x x x x x x +-++-2211ln 5ln 2242a a =-+-<+， 因此216a <，解得44a -<<，又a >a的取值范围是()．④另外，如果熟悉三次函数对称中心，此题还可以作如下考虑：即()321f x x ax bx =+++，()232f x x ax b =++'，()62f x x a '+'=， 令()620f x x a '=+='，则3a x =-，所以该三次函数的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此有()()1223a f x f x f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3233321=a a a a b ⎡⎤=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎢⎣⎭⎥⎥⎦⎝3221273a a b ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦232232102739a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 这里可以采用假算的思想，即写出简单过程，省去中间过于复杂的运算过程，直接写出结果即可，这需要平时积累一些有价值的素材． 案例2：（徐州15-16高二下学期期末文20）已知函数()24ln f x x x a x =-+(),0a a ∈≠R ，()f x '为函数()f x 的导函数．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若存在实数12,x x ，且12x x <，使得()()120f x f x ''==，求证：()24f x >-．解析（1）若1a =，则()24ln f x x x x =-+，()124f x x x'=-+， 所以切线斜率为()11f '=-，又(1)3f =-，所以()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20x y ++=．（2）()22424a x x af x x x x='-+=-+，0x >．①当2a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 的单调增区间为()0,+∞；②当02a <<时，令()0f x '>，得0x <<或x >，所以()f x 的单调增区间为20,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和22⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，同理()f x 的单调减区间为2222⎛-+ ⎝⎭；③当0a <时，令()0f x '>，得x >所以()f x 的单调增区间为⎫+∞⎪⎝⎭，同理()f x 的单调减区间为20,2⎛+ ⎝⎭．（3）由题意可知，12,x x 是方程2240x x a -+=()02a <<的两根，则()21,2x =，22242a x x =-，所以()222224ln f x x x a x =-+()2222222442ln x x x x x =-+-． 令()()22442ln g x x x x x x =-+-，()1,2x ∈．则()()41ln 0g x x x '=-<恒成立，所以()g x 在()1,2上单调递减， 所以()()24g x g >=-，即()24f x >-．25.（2017山东理20）已知函数()22cos f x x x =+，()()e cos sin 22x g x x x x =-+-，其中e 2.71828=L 是自然对数的底数.（1）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（2）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.25.解析（1）由题意()22f π=π-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f 'π=π，因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x -π-=π-π，即222y x =π-π-.（2）由题意得2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+， 因为()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---()()2e sin x a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-…，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0m =，所以当0x >时，()0m x >；当0x <时，()0m x <. （i ）当0a „时，e x a -0>.当0x <时，()0h x '<，()h x 在区间(),0-∞上单调递减； 当0x >时，()0h x '>，()h x 在区间()0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x 取得极小值，极小值为()021h a =--；（ii ）当0a >时，()()()ln 2e e sin x ah x x x '=--，由()0h x '=，得1ln x a =，2=0x .① 当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增. 所以当ln x a =时，()h x 取得极大值，极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时，()h x 取得极小值，极小值是()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '…，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值点； ② 当1a >时，ln 0a >，所以当(),0x ∈-∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增； 当()0,ln x a ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增； 所以当0x =时，()h x 取得极大值，极大值为()021h a =--； 当ln x a =时，()h x 取得极小值，极小值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a …时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值为()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--，极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.26.(2017北京理19)19.已知函数()e cos x f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.解析（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x f x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()(0)0h x h =„，即()0f x '„.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.27.（2017全国2理11）若2x =-是函数()()21`1e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）.A.1-B.32e --C.35e -D.127.解析()()2121e x f x x a x a -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦.由()()324221e 0f a a -'-=-++-⋅=⎡⎤⎣⎦，解得1a =-，所以()()211e x f x x x -=--⋅，()()212e x f x x x -'=+-⋅.令()0f x '=，得2x =-或1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '>；当21x -<<时，()0f x '<，则()f x 的极小值为()11f =-.故选A.28.(2017浙江理20)已知函数()(1e 2x f x x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭…. （1）求()f x 的导函数；（2）求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围.28.解析（1）因为(1x '=，()e e x x --'=-， 所以()(()12e 11e e 2x x xx f x x x ----⎛⎫'=-->⎪ ⎭⎝=.（2）由()()12e 0x x f x --'==，解得1x =或52x =.。
2018年高考真题汇编(函数与导数)
函数与导数1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果。
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数
导数一．基础题组1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B.【解析】由.3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋x 2． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x .所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x－x ＋x 2. 2x +x(1)y f x =-ln1y =y x =()f x =21x e-2xe21x e+22x e+()()()()212121,1,y x x y x ef x ef x e --=⇒=-==121212由于f ′(x )＝e x－1＋x ，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x－(a ＋1)x ≥b .①(ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x－(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立．(ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0.所以f (x )≥x 2＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．②因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))．所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11b x a -<+1212e 1-12e 1-12=e 1a -e ()2h a ≤e 212=e 1a -12e2b =故f (x )≥x 2＋ax ＋b . 综合得，(a ＋1)b 的最大值为. 4. 【2009全国卷Ⅰ，理22】设函数=x 3+3bx 2+3cx 有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈－1，0］，x 2∈1,2］.（Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ， c ）的区域；(Ⅱ)证明：－10≤f(x 2)≤.12e 2)(xf 21满足这些条件的点（b,c)的区域为图中阴影部分.（Ⅱ）由题设知f′(x 2)=3x 22+6bx 2+3c=0,故. 于是f(x 2)=x 22+3bx 22+3cx 2=. 由于x 2∈1,2］,而由（Ⅰ）知c≤0,故 -4+3c≤f(x 2)≤. 又由（Ⅰ）知-2≤c≤0, 所以-10≤f(x 2)≤. 5. 【2008全国1，理19】（本小题满分12分） 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．c x bx 2121222--=2322321x cx +-c 2321+-21-32()1f x x ax x =+++a ∈R ()f x ()f x 2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（2），且解得： 二．能力题组1. 【2011全国新课标，理9】由曲线，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．B ． 4C ．D ． 6【答案】C 【解析】2. 【2011全国，理8】曲线y ＝e －2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( ) A.B ．C ．D ．1 【答案】：A【解析】：，故曲线在点（0,2）处的切线方程为233133a a ⎧---⎪⎪⎨-+⎪-⎪⎩23a>74a≥y =103163131223200|(2)|2x x x y e -=='=-=-21x y e -=+，易得切线与直线和围成的三角形的面积为。