勾股定理导学案
勾股定理导学案
17.1勾股定理 第１课时【学习目标】1．经历探索和验证勾股定理的过程，了解勾股定理的概念；２．利用勾股定理已知两边求第三边的长，体会数形结合和从特殊到一般的思想； ３.介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱数学的情感 【学习重点】勾股定理【学习难点】利用勾股定理已知两边求第三边的长 【学习过程】一、自主检测1. 勾股定理的内容是___________________，勾股定理只适用于_______三角形。
2. 在Ｒt ΔABC 中，∠C=90゜,BC=6,AC=8,则AB=_________________.二、合作探究探究一：观察，并填写下表：规律发现：在直角三角形中，两直角边的________等于斜边的_______. 方法归纳：以上验证勾股定理的方法为 。
知识应用：若直角△ABC 的两直角边为3cm 和4cm ，求斜边AB 的长。
探究三：1.猜想，如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么______________.2.你能利用拼图的方法、面积之间的关系说明上述关于直角三角形三边关系的猜想吗?图中以a 、b 、c 为边的直角三角形的面积S △=___________________；1. 图中大正方形的边长为_________，其面积S 大正=__________________；2. 图中小正方形的边长为_________，其面积S 小正=__________________；3. 小直角三角形、大正方形、小正方形的面积有什么样的关系：___________________；所以，可得结论：________________________。
A 的面积 (单位面积)B 的面积 (单位面积)C 的面积(单位面积)图1—3 图1—4ABCABC三、巩固提升1.求图中直角三角形中未知边的长度。
612C725AB2. 求斜边长17cm ，一条直角边长15cm 的直角三角形的面积．四、反思总结本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？五、达标测评1.△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+2.如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ） A ．222DC AC AD += B ．222DE AE AD =-C ．222AC DE AD += D ．24122BC DE BD =- 3.求下图中字母A,x 所代表的数值。
勾股定理导学案
cbaACB A BC第十七章 勾股定理 第1课时 勾股定理（1）学习目标1. 知道勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程及定理的简单应用(重点）2. 在定理的证明中培养学生的拼图能力，并通过解决问题，提高学生的运算能力学习过程一、情景引入相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家做 客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形 三边之间的某种数值关系.我们也来观察一下: (1)大正方形的面积与小正方形的面积有什么关系？ （2）直角三角形的三边之间有什么关系？二、探究新知等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点？ 类比上述方法在网格上探索两条直角边不相等的直角三角形三边的数量关系. 1.若网格中每一个小方格面积为1个单位面积，那么 正方形A 、B 、C 的面积为多少？你能从中发现什么结论呢？ 总结勾股定理：直角三角形两直角边的．．．．．．．．．． 等于斜边的．．．．． 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠A 、 ∠B 、 ∠C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 那么， 3.证明勾股定理（阅读课本P71页阅读与思考，选择一种方法证明）练习：Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则c 2 = a 2= ,b 2= 三、达标练习1. 求下图中字母所代表的数值.直角三角形的斜边x 长为 正方形A 面积为 2．在Rt △ABC ，∠C=90°，（1）若a=3,b=4,则c= (2)若a=6,c=10,则b= (3)若b=5,c=13,则四、拓展训练1. 如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm, 则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2.2.在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝ ．81144x225400A l321S 4S 3S 2S 1五、课堂小结：本节课你学到了那些知识？六、课外作业:教科书28页习题第1、2、3题.第2课时勾股定理（2）学习目标会直接运用勾股定理解决简单问题(重难点）学习过程一、前置铺垫如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）１.两锐角之间的关系：；２.若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；３.三边之间的关系： .二、例题讲解例1:在Rt△ABC，∠C=90°, （1）已知c=17,b=8, 求a.（2）已知a=1,c=2, 求b. （3）已知a=b=5,求c.（4）已知a：b=1：2,c=5, 求a. （5）已知b=15，∠A=30°，求a，c.对应练习1.求出下列直角三角形中未知的边a=610b=?B AC2.在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b=⑵如果∠A=30°，a=4，则b= . ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 3.⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c=⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 例2:已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①求BD 与AD 的长； ②ΔABC 的面积．三、达标练习1.下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．2．小雨用竹杆扎了一个长80cm 、宽60cm 的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆固定A 、C 两点将四边形定形，则斜拉杆最短需 cm ． 3．⑴在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为 ．⑵已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 .4．已知等腰三角形两腰AB=AC=10，底边BC=16，求这个等腰三角形的面积.四、拓展训练蚂蚁沿图中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）6080CD A B六、课外作业: 教科书29页习题第9题，第10题 .第3课时 勾股定理（3）学习目标１．会直接运用勾股定理解决简单实际生活问题.(重点）２．通过解决问题，提高学生的运算能力、转换能力及实际应用能力.学习过程一、情景引入一个门框的尺寸如图所示．①若有一块长3米，宽0.8②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？（注意解题格式）二、例题讲解例1：长3米的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米． ①求梯子的底端B 距墙角O 多少米？②如果梯的顶端A 沿墙下滑0.5米至C ，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？OBDCA对应练习1.某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3m ，消防队员取来6．5 m 长的云梯，如果梯子的底部离墙基的水平距离是2．5m ，请问消防队员能否进入三楼灭火?2.如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆AB 长100cm ，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为60cm ，当端点B 向右移动20cm 时，滑杆顶端A 下滑多长？三、达标练习1.如图，带阴影部分的半圆的面积是 （ 取3）2.课本68页练习 四、拓展训练1．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管长度的取值范围是 ㎝.AEBC2. 小东拿着一根长竹杆进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果杆比城门高1米，当他把杆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问杆长多少米？五、课堂小结：本节课你学到了那些知识？ 六、课外作业: 教科书28页习题第4 、5题.第4课时 勾股定理（4）学习目标会用勾股定理求实际生活中的最短距离问题.（重难点）学习过程一、情景引入如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到B 点，则最少要爬行多少路程？二、例题讲解例1：如图一个圆柱，底圆周长24cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行多少路程？ABAB对应练习：如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，D 为BC 的中点，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到D 点，则最少要爬行多少路程？例2：如图一个长，宽都为6，高为5且四面封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A 爬到顶点B ，这只昆虫爬行的最短距离是多少？三、达标练习1．如图的一个正方体中，它的棱长为1，若一只小虫从顶点A 爬到顶点C ，它爬行的最短距离是多少？四、拓展训练如图,一只蚂蚁从长,宽,高分别为3, 3, 8的长方体纸箱A 点沿纸箱壁外侧绕两圈爬到B 点,那么它所爬行的最短路程为 .ABCDA AB CAB五、课堂小结：本节课你学到了那些知识？六、课外作业:如图，已知长方体的长为2cm ，宽为4cm ，高为4cm,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点A 爬到点C ’,那么最短的路程是多少？第5课时 勾股定理（5）学习目标１．会用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.２．会利用直角三角形的面积进行等积式的推导和相关计算.(重、难点）学习过程一、前置铺垫1.在数轴上表示出下列各数-2、3.5、21、42.在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴a=b=1 ，则c= ；⑵ a=1，b=2，则c= ； ⑶ a=1，b=2，则c= . 二、探究新知知识点一：在数轴上表示无理数我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示 13 的点吗? 步骤如下：AC ’1．在数轴上找到点A ，使OA ＝ ；2．作直线l 垂直于OA ，在l 上取一点B ，使AB ＝ ； 3．以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ， 则点C 即为表示13 的点． 对应练习1．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个三角形，使三角形的三边长分别是10，5，17 .2．在数轴上作出表示2、3的点.知识点二：利用直角三角形的面积进行等积式的推导和相关计算 例：已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=6 ，BC=8， 求(1)求△ABC 的面积； (2) 求线段AB 的长； （3）求高CD 的长.三、达标练习1．△ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC= ，S △ABC = . 2．△ABC 中，若∠A=21∠B=31∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S △ABC = . 3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ， 则AC= ，CD= ，BD= ，ABDCABDAD= ,S △ABC = .4．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3， 求线段AB 的长.四、拓展训练已知等腰三角形的底边长为10,面积为60,则腰长为 ． 五、课堂小结：本节课你学到了那些知识？ 六、课外作业: 教科书28页习题第6 、8题.第6课时 勾股定理的逆定理（1）学习目标1．知道逆命题，逆定理的概念，知道原命题与逆命题的关系.(重点） 2．会写出一个命题（或定理）的逆命题，并判断其真假.（难点）学习过程一、前置铺垫1．举出一些你学过的命题？2．用“如果……那么……”的形式写出你举出的命题. 二、探究新知知识点一：互逆命题的概念你能把上面命题的题设，结论互换吗？归纳： 像上面那样题设，结论正好 的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做 .B对应练习写出下列命题的逆命题1．两直线平行，同位角相等.2．对顶角相等.3．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.4．等角的补角相等.（变式）等角的余角相等.5．在角平分线上的点到角两边的距离相等.6．如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2＋b2＝c2知识点二：互逆定理的概念一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为对应练习下列各定理中有逆定理的是（）A 两直线平行，同旁内角互补.B 若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等.C 对顶角相等.D 如果a=b,那么a2=b2归纳：任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有 .三、达标练习1．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行，内错角相等．(3)全等三角形的对应角相等．(4)在线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．四、拓展训练命题“全等三角形的对应边相等”.（1）它的逆命题是（2）这个逆命题正确吗？（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例.五、课堂小结：本节课你学到了那些知识？六、课外作业:教科书34页习题第2题.第7课时勾股定理的逆定理（2）学习目标１.记住勾股定理的逆定理.２.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.（重、难点）学习过程一、前置铺垫1．直角三角形的三边之间有什么关系？2．反之，一个三角形的三边满足什么关系是直角三角形？3．在你准备的小木棒中任选三根拼出一个三角形，判断是否为直角三角形？二、探究新知通过刚才的动手操作实验，归纳得到如下结论勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 a 2＋b 2＝c 2， 那么这个三角形是 三角形。
章勾股定理全章导学案
C ABD1、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。
2、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的为 。
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．5、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。
(2)求AB 的长。
6、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
图18.2-3 学习目标：1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一、自学导航已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD 的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 二、互动冲浪 1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
三、当堂检测1、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．等腰三角形或直角三角形；D ．等腰直角三角形。
勾股定理教案范本 勾股定理教案教学方法优秀6篇
勾股定理教案范本勾股定理教案教学方法优秀6篇初中数学《勾股定理》教学设计篇一一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动。
学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础。
二、教学任务分析本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股定理》第3节。
具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力。
三、本节课的教学目标是：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念。
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性。
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的`重点也是难点。
四、教法学法1.教学方法引导—探究—归纳本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：(1)从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；(2)从学生活动出发，顺势教学过程；(3)利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程。
2.课前准备教具：教材、电脑、多媒体课件。
学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具五、教学过程分析本节课设计了七个环节。
第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业。
勾股定理导学案
《17.1 勾股定理》导学案学习目标：1．经历勾股定理的探索过程，能熟记定理的内容.2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边.3．能运用勾股定理解一些简单的实际问题.一、探究新知1、探究1.观察下图，并回答问题：(1)观察图 1 正方形A 中含有________个小方格，即A 的面积是________个单位面积；正方形B 中含有________个小方格，即B 的面积是________个单位面积；正方形C 中含有________个小方格，即C 的面积是________个单位面积．(2)在图2、图3中，正方形A 、B 、C 中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．(3)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A ，B ，C 的面积之间有何关系吗? 即：如果正方形A 、B 、C 的边长分别为a 、b 、c ，则正方形A 、B 、C 的面积分别是___，___，___。
结论1：等腰直角三角形的两直角边的平方和等于______________________. A 的面积 (单位面积) B 的面积 (单位面积)C 的面积(单位面积)图1图2图32、探究2.（1）等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A 、B 、C ，的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积)（2）观察右边两幅图，填表。
（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．3、猜想命题1：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
二、合作探究1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证： 222a b c +=证明：4S △+S 小正=________________ ,S 大正= _________________.根据的等量关系：_______________________ ,由此我们得出：_________________________ .2、归纳定理：直角三角形两条________的平方和等于________的平方.即：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么A 的面积B 的面积C 的面积左图右图_________________.3.归纳结论：经过证明被确认正确的命题叫做定理。
【名师精品】勾股定理导学案.doc
1勾股定理 1勾股定理（一）学习目标：1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。
学习重点：探索和验证勾股定理。
学习难点：证明勾股定理。
导学流程：一、 自主学习 前置学习：自学指导：阅读教材第64至66页，完成下列问题。
1.教材第64至65页思考及探究。
2.画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现23+24与25的关系，25+212和213的关系，即23+24_____25，25+212_____213，那么就有____2+____2=____2。
(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a 、b ，斜边为c ，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 。
二、展示成果活动1已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：222a b c +=。
证明：如赵爽弦图，思考：吗？ 活2如活1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？知识点归纳：上述问题可视为命题1的证明命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
总结：经过证明被确认正确的命题叫 。
命题1在我国称为 ，而在西方称为 。
三、合作探究活动3已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则（1）a = 。
人教初中数学《勾股定理》导学案(打印版)
17.1勾股定理学习目标知识：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
能力：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
情感：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点:1. 勾股定理的内容及证明。
学习难点:1. 勾股定理的证明。
教学流程 【导课】目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 【阅读质疑 自主探究】例1已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。
14章 勾股定理导学案
§14.1 勾股定理第一课时【学习内容】直角三角形三边的关系(一)【学习目标】1、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理．2、能利用勾股定理解决实际问题．3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力．【学习重点和难点】1、学习重点：勾股定理的实际运用2、学习难点：探索和验证勾股定理的过程【学习过程】一、知识回顾1、直角三角形的性质：2、三角形三边关系：3、现有四条线段的长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三条线段，能组成三角形的个数为（）.A、1个；B、2个；C、3个；D、4个.二、预习导学1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？小明用一边长为cm①这个问题你是怎样想的？请说出你的想法.②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为1），你能知道斜边的长吗？cm③观察图形，并填空：cm，⑴正方形P的面积为2cm，正方形Q的面积为2正方形R的面积为2cm.⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动二：动手做一做其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示21cm）⑴正方形P的面积为2cm，正方形Q的面积为2cm，正方形R的面积为2cm.⑵正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流.由此我们得到结论是：①勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有____________________________________.②用语言怎样叙述？_________________________________________________________. 公式变形：a2=c2－b2a=cc2=a2 + b2二、预习检测认真填一填：三、典例剖析例1：在△ABC中，∠A=90°，BC=a，AC=b，AB=c.(1)若c=10,b=24,求a; （2）若c=9,a=15,求b；（3）若b=12,a=15,求c.例2:如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）Array例3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c. 若a=6，b=8，求c的长及斜边上的高.四、分层练习A 组1．在Rt △ABC 中，︒=∠90A ，c AB =，a BC =，b AC = ①若8=c ，10=a ，则=b . ②若5=b ，12=c ，则=a .③若4:3:=c b ，15=a ，则=b ，=c .2．若线段a ，b ，c 能构成直角三角形，则它们的比可为 ( ) A ．2：3：4 B ．3：4：6 C ．5：12：13 D ．4：6：73. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为n 2-1、2n(n>0)，那么它的斜边长为 ( )A ．2nB ．n+1C ．n 2-lD ．n 2+14．若直角三角形的三边长分别是3cm 与5cm ，那么这个三角形的周长是________cm. 5．在直角三角形ABC 中，斜边AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2=__________． 6．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=13，BC=10，则S △ABC =___________．7、如图，矩形纸片ABCD 中，AD=9cm ，AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，求折叠后BE 的长为多少？设BE=xcm ，则以下 所列方程正确的是（ ）. A ：(9–x)2+x 2=32 B ：(9–x)2+32=x 2 C ：32+x 2=(6–x)2 D ：(6–x)2+x 2=328、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形边长是cm 7， 则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是 2cm .9．如图所示，AC=3cm ，AB=4 cm ，BD=12 cm ，求CD 的长.B 组1、如果一个直角三角形的两条边长分别为3cm ，4cm ，则这个三角形的面积是__________. 2．如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是_________．3．如图，在△ABC 中，AB=AC=13 cm.AD 是高，且AD=5 cm ．(1)图中还有相等的线段吗?如果有，请把它们写出来________； (2)BC=_________cm ；(3)△ABC 的面积是________cm 2．4．如图，在△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC 边上的高AD 的长．5．已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为L ．(1)请你完成下面的表格：(2)仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a ，b ，c 为已知的正实数，且a+b-c=m ，那么猜想lS__________（用m 表示）； (3)请说明你的猜想的正确性．六、学习心得七、课堂作业八、家庭作业第二课时【学习内容】直角三角形三边的关系（二）【学习目标】1、用拼图的方法说明勾股定理的结论正确2、会应用勾股定理解决实际问题【学习重点和难点】1、学习重点：利用勾股定理解决实际问题2、学习难点：构造直角三角形求解【学习过程】一、知识回顾1. 勾股定理的内容是什么？2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边.二、预习导学剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．大正方形的面积可以表示为，又可以表示为．对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．图14.1.5 图14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．由下面几种拼图方法，试一试，能否得出222cba=+的结论.（1）（2）（3）（4））探究点拔：1.将这四个完全相同的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出222cba=+.2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到222cba=+.3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得222cba=+.四、典例剖析例1.如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为Rt△，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A点穿过湖到点B有多远？例2 .在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘.如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？cbac bacba例3．有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A 向顶点B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？五、分层练习1．小雨用竹杆扎了一个长80cm 、宽60cm 的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．2．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是 米．3．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（ 取3）4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长； ②ΔABC 的面积．B ABA5．在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．6．已知：如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高． 求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．7．已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．8． 如图∠B=90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm 求四边形ABCD 的面积．9．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB 间的尺寸．D CA六、学习心得七、课堂作业八、家庭作业第三课时【学习内容】直角三角形的判定【学习目标】1、掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用2、熟记一些勾股数.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用【学习重点和难点】1、学习重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形2、学习难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.【学习过程】一、知识回顾问题1：直角三角形有什么性质？(1)有一个角是； (2)两个锐角；(3) 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么问题2：反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?（有一个角是直角；两个锐角互余）问题3：猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？二、预习导学1、古代埃及人作直角：古埃及人曾经用下面的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 他们真的能够得到直角三角形吗？你知道这是什么道理吗？2、画图：试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是一些什么形状的三角形: (1)a=3,b=4,c=5； (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10. （4）a=2,b=3,c=4以上各组数据为三边所画的三角形是直角三角形的是；以上各组数据为三边所画的三角形不是直角三角形 .3、结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状有怎样的关系吗？在以上的各组数据中,满足a2+ b2= c2的是；不满足a2+ b2= c2的是 .3、归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2= c2，那么这个三角形是直角三角形.几何语言：∵a2 + b2= c2∴ΔABC为RtΔ强调：满足较短的两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形三、典例剖析例1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形： （1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9．注意：①先找最大边②再判断三角形是否满足较短的两边的平方和等于最长边的平方（勾股定理的逆定理）例2、一个零件的形状如下图所示，按照规定这个零件中∠A 和∠DBC 都是直角.量得各边尺寸如图所示，这零件符合要求吗？并说明理由.五、分层练习1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6，8，10； （2）5，12，13； （3）8， 15，17； （4）4，5，6其中能构成直角三角形的有（ ）． A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组 2．△ABC 中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________．3．若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形 是______________________．4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形 5．下列命题中是假命题的是( )． A ．△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形. B ．△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形.413 DCBA 53 12D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形. 6．在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 7．三角形的三边分别为a 2+b 2，2ab ，a 2-b 2（a ，b 都是正整数）则这个三角形是（ ）． A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定8．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面_______ (填”合格”或”不合格”).9．如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE 41=．你能说明∠AFE 是直角吗？六、学习心得七、课堂作业八、家庭作业§14.2 勾股定理的应用第一课时【学习目标】1．能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；2．能从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，同时渗透方程、转化等数学思想.3．进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值【学习重点和难点】重点：勾股定理的应用难点：将实际问题转化为数学问题【学习过程】一、知识回顾（1）在Rt △ABC 中，a=8㎝，b=10㎝，90B ∠=，则第三边长c= ．（2）已知△ABC 中，三边长a 、b 、c 为整数，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三边c 的长．（3）已知在Rt △ABC 中，两直角边的长为20和15，90BAC ∠=，且BC 边上的高为12，求BD 的长．（4）如图，一块长方形水泥操场，一学生要从A 角走到C 角，至少走 米．二、新知探究问题1. 如图，起重机吊运物体，已知BC=6m,AC=10m,求AB 的长.问题2. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？三．例题剖析例1.如图：一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．ABC例2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？四、反馈提高A 组1．(1)在Rt △ABC 中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,则AB=______;若AB=4,BC=2,则AC=_____; (2)一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm ，3cm ，则第三边的长是______; (3)甲乙两人同时从同一地出发，甲往东走4km ，乙往南走6km ，这时甲乙两人相距____km. 2．如图，圆柱高为8cm ，地面半径为2cm ,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食， 要爬行的最短程（ 取3）是( )A ．20cmB ．10cmC ．14cmD ．无法确定3. 一条河的宽度处处相等,小强想从河的南岸横游到北岸去,由于水流影响,小强上岸地点偏离目标地点200m,他在水中实际游了520m,那么该河的宽度为 ( ) A.440 m B.460 m C.480 m D. 500 m ４．P58 练习1、2题Ｂ组1、如图，王大伯家屋后有一块长12m ，宽8m 的矩形空地，他在 以长边BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A 处的 一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）. A 、 3 m B 、 5 m C 、6 m D 、7 m2、如图，笔直的公路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处？3．有一圆柱形食品盒,它的高等于16cm,底面直径为20cm, 蚂蚁爬行的速度为2cm/s.⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π)⑵如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π六．学习收获：七．课堂作业：八．课后反思A D EB C第二课时【学习目标】1、会用勾股定理解决较综合的问题.2、树立数形结合的思想.【学习重点和难点】重点：勾股定理的综合应用. 难点：勾股定理的综合应用.【学习过程】一．预习练习1. 一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点， PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米.2. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.二．例题剖析1. 如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1） 从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．P QB C2.如图，已知CD ＝６m ， AD ＝８m ， ∠ADC ＝９０°， BC ＝２４m ， ＡＢ＝２６m ．求图中阴影部分的面积．三．反馈提高Ａ组1. P60练习1.2题2. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方 向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方 向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）海里. A 、25 B 、 30 C 、35 D 、403. 求知中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？DCBAＢ组1、 如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两 个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行， 黑甲壳虫爬行的路线是：AA 1⇒A 1D 1⇒D 1C 1⇒C 1C ⇒CB ⇒BA ⇒AA 1⇒A 1D 1…，白甲壳虫爬行的路线是：AB ⇒BB 1⇒B 1C 1⇒ C 1D 1⇒D 1A 1⇒A 1A ⇒AB ⇒BB 1…，那么当黑、白两个甲壳虫各 爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们 之间的距离是 .2. 如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.3. 如图，A 、B 两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB ）．经测量，森林保护区中心P 点在A 城市的北偏东30°方向，B 城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P 为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？四．学习收获： 五．课堂作业： 六．课后反思。
勾股定理复习导学案
勾股定理复习导学案一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和 ；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 。
２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，无重叠、空隙，面积不改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列等式，推导出定理 常见方法如下：方法一：4E F G H S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可得： 。
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和=大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+大正方形面积为S= ，所以222a b c +=。
方法三：S梯形= ，2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证。
３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是 三角形。
４.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，主要求第三边在A B C ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-5、利用勾股定理作长为的线段 例如：作长为、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：如图所示6.勾股定理的逆定理①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 7.勾股数:①记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ②用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n为正整数） ，2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）题型一：直接考查勾股定理例１.在A B C ∆中，90C ∠=︒．⑴ 已知6AC =，8B C =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15A C =，求BC 的长 解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在A B C ∆中，90AC B ∠=︒，5A B =cm ，3B C =cm ，C D AB ⊥于D ，C D ＝⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 例３.如图A B C ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5C D =， 2.5BD =，求A C 的长例4.如图R t A B C ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BACcba HG F EDCB Abacba ccabcab a bcc baE D CBA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8A B =m ，2C D =m ，8B C =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6A E =m ，8D E =m 在R t A D E ∆中，由勾股定理得2210AD AE DE=+=题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定A B C ∆是否为R t ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-= ，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知A B C ∆中，13AB =cm ，10B C =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：A B A C = 证明：填空：1．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是8cm 2，10cm 2，14cm 2，则正方形D 的面积是 cm 2．2．如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝60c m ，CA ＝80c m ，一只蜗牛从C 点出发，以每分钟20c m 的速度沿CA →AB →BC 的路径再回到C 点，需要 分钟的时间．3．已知x 、y 为正数，且｜x 2-4｜+(y 2-16)2＝0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 ．4．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙 米处．5．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为 和 ．（注：两直角边长均为整数） 6、如果正方形ABCD 的面积为29，则对角线AC 的长度为（ ） 选择：1．下列各组数为勾股数的是（ ） A ．6，12，13B ．3，4，7C ．4，7.5，8.5D ．8，15，162．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5，顶端离地面12，则梯子的长度为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 3．直角三角形两直角边边长分别为6cm 和8cm ，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ） A ．10cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍5．下列说法中， 不正确的是（ ）A ．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B ．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C ．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D ．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6．三角形的三边长满足关系：(a +b )2=c 2+2ab ，则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，则另一直角边为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．13解答：四边形ABCD 中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4， ∠BAD=900，求这个四边形的面积．D CBA勾股定理练习 姓名一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
第18章《勾股定理》导学案
18.1勾股定理（1）第一课时学习目标1．了解毕达哥拉斯及《勾股定理》的内容，学会用多种拼图方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。
2．通过实例进一步了解勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算，感受勾股定理的应用价值经历勾股定理的探索过程，能熟记定理的内容学习重点：勾股定理的探索和应用.学习难点：勾股定理的探索学习过程：一、课前学习：①含有一个的三角形叫做直角三角形.②已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a、b ,则S△ABC＝ .③已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a＋b），则该梯形的面积为 .④完全平方公式：（a±b）2＝ .⑤在Rt△ABC中，已知∠A＝30°，∠C＝90°，直角边BC＝1，则斜边AB＝ .二、流程一：1．准备四个全等的直角三角形纸片（标出两直角边a、b和斜边c），并专心阅读课本P63—P66 2．利用所准备的三角形纸片进行拼图，从面积相等的角度列出等式，对该等式进行变形得出一个最简结果，尝试对该结果用语言进行表述.3.在我国古代，人们将直角三角形中_____________叫做勾，______________叫做股，_______叫做弦.4.（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论1：（2）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．3.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么________________三、课堂学习：1.已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：222 a b c+=证明：根据的等量关系：4S△+S小正=S大正= 由此我们得出：2.归纳定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方.如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________________四、发现总结：1、右边这个人是（公元前572—前492年），他是古希腊著名的.2、我国古代所讲的“勾、股、弦”分别指的是Rt△的 .3、2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽形如以下三个图中的，它是由四个的所围成的正方形图案﹝赵爽弦图．．．．﹞.显然4个的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.即4×21×＋﹝﹞2＝c2,化简后得到 .这一结果用文字表达为 .利用图2，图3或其它拼图仿上述推导，能否得到相同的结果？和同学一起动手试试看！五、巩固提高：1、如图，求出斜边AB的长度＝；如图，已知等腰直角三角形斜边AC的长度＝4；求出直角边BC的长度＝ .2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝3k，BC＝4 k，求出AB＝ .3、已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
C
B
c
a
b
第18章 勾股定理知识点、训练
18.1勾股定理
教学目标：
1、经历探索勾股定理的过程，掌握勾股定理，并能运用它解简单的计算题和实际问题。
发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。
进一步提高分析问题和解决问题的能力。
2、经历多种拼图方法验证勾股定理的过程，增强用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。
知识点1：勾股定理 一、自主学习
1、阅读课本第64页----66页，并完成下列填空：
（1）等腰直角三角形的三边之间的特殊关系： 。
（2）一般的直角三角形三边有什么关系： 。
（3）命题1：题设 ；结论 。
（4）了解命题1的古代证法：
（5）勾股定理： 。
（6） 被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
2、勾股定理的运用--------求边
（1）在Rt △ABC 中，
90=∠C ，已知a ，b ，求c= 。
（2）在Rt △ABC 中， 90=∠C ，已知a ，c ，求b= 。
（3）在Rt △ABC 中， 90=∠C ，已知b ，c ，求a= 。
3、在Rt △ABC 中，
90=∠C （1）已知a=b=5，求c ； （2）已知a=1，c=2，求b ； （3）已知c=17，b=8，求a ； （4）已知a ：b=1：2，c=5，求a ； （5）已知b=15，
30=∠A ，求a ，c 。
A B
D
C
C
O
A
B D
B
C
A
二、教材解读
探究1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过，为什么？
探究2：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5m ，如果梯子的顶端A 沿墙下海0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？ 分析：OB OD BD -=，求BD ，可以先求OB ，OD 。
在Rt △ABC 中， =2
OB
，
=OB 。
Rt △COD 中，
=2
OD
，
=OD ， =BD ， 梯子的顶端沿墙下滑0.5m ，梯子底端外移 。
三、典例解析
1、某人欲横渡一条江，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲倒达地点B 有200m ，结果他在水中实际游了520m ，求这条江的宽度。
2、在△ABC 中，
90=∠ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，若
30=∠B ，AC=6，求高CD
和△ABC 的面积。
3、有一个圆柱：它的高12cm ，底面半径3cm 。
在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取
12
x
D
B
A
C E
D
A
E
C
B
D 13
12 13
7
25
3）
4、如图，在△ABC 中，
30,90=∠=∠B C ，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为
E ，BD=4。
求AC 的长。
四、过关训练
1、在△ABC 中， 90=∠ACB （1）当a=3，b=4时，c= ； （2）当a=3，c=4时，b= ；
（3）若a ：b=3：4，c=10，则a= ，b= 。
2、在Rt △ABC 中，斜边AB=3，则222CA BD AB ++= 。
3、求下列x 的值： 4、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为5和11，则b 的面积为 。
五、巩固提高
如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，AB DA ⊥于A ，AB CB ⊥于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
六、作业布置 1、课本68页练习；
a
b
c
64 100
2、习题18.1第1、2、
3、
4、
5、7、8、9、10。
知识点2：用勾股定理表示无理数 一、自主学习
（1）探究3：我们知道数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？ （2）在数轴上作.5,3,2
注：a 、根据勾股定理 b 、单位长度自定 二、教材解析 1、作13。
解析：（1）2213b a += =a ，=b 。
（b a ,为整数） （2）以b a ,为直角边作直角三角形。
（3）斜边长13即为所求的线段。
2、作17-。
（注意作法）
3、作“数学”海螺。
三、作业布置 1、课本69页练习；
2、习题18.1第6、11、12题。