微分方程数值分析
常微分方程数值解法的误差分析汇总
淮北师范大学2013届学士学位论文常微分方程数值解法的误差分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名李娜学号 20091101070指导教师姓名陈昊指导教师职称讲师年月日常微分方程数值解法的误差分析李娜（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。
许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。
因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。
数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。
随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。
关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差Error Analysis of Numerical Method for Solving theOrdinary Differential EquationLi Na(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractIn nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential.Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error目录引言 (1)一、常微分方程 (1)1、定义 (1)2、常微分方程初值问题描述 (2)3、数值解法的基本思想与途径 (2)4、数值解的分类 (3)5、问题(1)解的存在惟一性定理 (4)二、几种常用的数值解法及其误差分析 (4)1、单步法 (4)(一)、欧拉法 (5)(二)、向后EuIer方法 (6)(三)、- 法 (7)(四)、改进欧拉法 (7)(五)Runge—Kutta方法 (9)2、线性多步法 (14)总结 (16)参考文献: (17)引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。
微分方程和偏微分方程的数值解法
描述金融衍生品的定价过程，如布莱克-舒尔斯模型就是一个偏微分方程。通过求解该 方程，可以得到期权的理论价格以及相应的风险参数。
投资组合优化
在投资组合理论中，常使用微分方程来描述资产价格的动态变化和投资者的风险偏好。 通过求解这些方程，可以得到最优的投资组合配置策略以实现风险与收益的平衡。
数值解法需要保证稳定性和收敛 性，即当离散间隔趋近于零时， 数值解应趋近于真实解。
02
常微分方程的数值解法
欧拉方法
基本思想
通过逐步逼近的方式，利用已知点的信 息来推测下一个点的信息。
公式推导
基于泰勒级数展开，忽略高阶项得到近 似公式。
优缺点
简单易懂，但精度较低，仅适用于简单 问题。
改进方法
采用改进的欧拉方法或预估-校正法提 高精度。
物理问题中的微分方程和偏微分方程
牛顿第二定律
描述物体运动的基本定律，可以 表示为二阶常微分方程。通过求 解该方程，可以得到物体的位移 、速度和加速度等运动学量。
热传导方程
描述热量在物体内部传递的过程 ，是一个偏微分方程。通过求解 该方程，可以得到物体内部的温 度分布以及热量的传递速率。
波动方程
描述波动现象（如声波、光波等 ）的传播过程，是一个二阶偏微 分方程。通过求解该方程，可以 得到波的传播速度、振幅、频率 等波动特性。
工程问题中的微分方程和偏微分方程
结构力学中的弹性力学方程
描述结构在受力作用下的变形和应力分布，是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到结构的位移、应 力和应变等力学量，为工程设计提供重要依据。
流体力学中的纳维-斯托克斯方程
描述流体运动的基本方程，是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到流体的速度、压力和温度等流场 特性，为流体机械设计和优化提供指导。
高等数学中的偏微分方程数值解法
偏微分方程是数学中的一大重要分支，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
其求解方法可以分为解析解法和数值解法。
解析解法要求方程具有可积性，适用于一些简单的方程，但是对于复杂的方程往往无法得到解析解。
而数值解法通过将方程离散化，利用数值计算方法得到数值解，是一种弥补解析解法不足的重要手段。
在高等数学中，偏微分方程数值解法主要包括差分法、有限元法和有限差分法。
其中，差分法是最早应用于求解偏微分方程的数值方法之一。
差分法通过将偏微分方程中的导数用差商的形式来近似表示，将连续的问题转化为离散的问题，再通过计算机程序来进行求解。
差分法的优点是简单易懂、计算速度快，适用于一些较为简单的偏微分方程。
但是差分法的精度受到离散化步长的影响，不适用于一些对精度要求较高的问题。
有限元法是一种更为广泛应用的偏微分方程数值解法。
有限元法通过将求解区域分割成有限多个小区域，用简单形状的基函数来逼近真实解，再通过求解线性方程组得到数值解。
有限元法的优点在于适用于复杂的几何形状、能够处理不规则的边界条件，并且精度较高。
有限元法还具有较好的可扩展性，可以处理大规模的求解问题。
因此，有限元法在工程领域的应用非常广泛。
有限差分法是一种通过计算导数来逼近微分方程的数值解法。
有限差分法基于泰勒展开公式，将微分算子在某点处的展开为有限多个导数的差商的线性组合。
通过将微分算子离散化，可以将偏微分方程转化为代数方程组，再通过求解方程组来得到数值解。
有限差分法的优点在于简单易懂，计算速度较快。
但是由于差商的导数逼近误差，有限差分法的精度受到离散化步长的影响，需要选择合适的步长来保证精度。
总的来说，高等数学中的偏微分方程数值解法是研究偏微分方程数值计算的一大热点和难点。
不同的数值方法适用于不同的问题，需要根据具体情况来选择适合的数值方法。
在求解偏微分方程时，还需要注意数值误差对结果的影响，并通过适当选择离散化步长和网格数量等参数来提高数值解的精度。
随着计算机技术的发展，偏微分方程数值解法将会越来越广泛地应用于实际问题的求解中。
微分方程的数值解法与程序实现
微分方程的数值解法与程序实现微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
解微分方程有多种方法，其中一种常用的方法是数值解法。
本文将介绍微分方程的数值解法以及如何用程序实现。
我们来了解一下微分方程的概念。
微分方程描述了变量之间的关系，其中包含了未知函数及其导数。
一般形式的微分方程可以写作：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
解微分方程的目标是找到函数y(x)的表达式，使得方程左边的导数等于右边的已知函数。
对于一些简单的微分方程，可以通过代数方法求解得到解析解。
但是，对于复杂的微分方程，往往很难找到解析解。
这时候就需要使用数值解法来近似求解。
数值解法的基本思路是将微分方程转化为差分方程，然后通过逐步逼近的方法求解。
差分方程是离散的，可以使用计算机程序来实现。
常用的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
以欧拉法为例，我们来看一下具体的实现过程。
欧拉法的基本思想是通过一阶导数来表示微分方程的变化率。
具体步骤如下：1. 将微分方程转化为差分方程：dy/dx ≈ (y(i+1) - y(i)) / Δx，其中Δx是步长。
2. 根据初始条件，设置初始值y(0)。
3. 通过迭代计算，求解差分方程：y(i+1) = y(i) + f(x(i), y(i)) * Δx，其中f(x(i), y(i))是在(x(i), y(i))处的导数值。
4. 重复步骤3，直到达到所需的精度或计算次数。
通过上述步骤，我们可以得到微分方程的数值解。
下面，我们来具体实现一个用于求解微分方程的程序。
假设我们要求解的微分方程为dy/dx = x^2，初始条件为y(0) = 1，步长Δx = 0.1。
程序的实现如下：```pythondef euler_method(x0, y0, dx, n):x = [x0]y = [y0]for i in range(n):x.append(x[i] + dx)y.append(y[i] + dx * x[i]**2)return x, yx0 = 0y0 = 1dx = 0.1n = 10x, y = euler_method(x0, y0, dx, n)for i in range(n+1):print("x = {:.1f}, y = {:.4f}".format(x[i], y[i]))```运行以上程序，将得到微分方程的数值解。
高阶微分方程的数值解法
高阶微分方程的数值解法
高阶微分方程是用于描述非线性系统动力学行为的常用方法，其解决方案由微分方程决定。
求解高阶微分方程的数值解法有以下几种：
一、传统数值方法
1. 欧拉法：欧拉法是将高阶微分方程转化为一组低阶初值问题来求解，是一种常用的数值解法，能够很好地模拟复杂不可逆多次微分方程。
2. 高斯消元法：高斯消元法是指将高阶微分方程转换为可以使用高斯消元法求解的逐步线性方程组，从而获得解。
3. 差分格式：差分格式是将高阶微分方程转化为具有划定范围和步长的一组离散差分方程。
然后再使用数值技术，比如迭代法和插值法来求解离散差分方程，从而找到解。
二、基于精确解的方法
1. 拉格朗日 - 马夸特方法：拉格朗日 - 马夸特方法在一定允许误差范围内给出较准确的结果，对于常微分方程第二阶，能构造出唯一的精确解。
2. 高斯 - 勒兹方法：高斯 - 勒兹方法是一种求解高阶微分方程的标准方法，可以在定义域上构造出若干的步数节点，从而建立一个高斯 - 勒兹矩阵，由此给出一组精确解。
3. 拉普拉斯变换：拉普拉斯是一种快速数值方法，可以将高阶微分方程转换为简单的拉普拉斯方程，利用精确的伽玛函数解法获取精确解。
三、其他方法
1. 有限元法：有限元法是一种分析 `复杂结构` 动力学等多物理场耦合问题的有效方法，可以以有限元素作为基础进行数值模拟，从而解决高阶微分方程问题。
2. 加速多项式算法：加速多项式算法，也称利舒尔算法，可以连续上溯，从而求解高阶微分方程问题，也可用于处理阶梯函数和回旋函数的解。
第9章微分方程初值问题的数值解法-1
(x k x k 1 )
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( ) y ( x k ) h f ( , y ( ) )
记 K*f(,y()) 称为[xk , xk+1]上的平均斜率. 故
y(xk1)y(xk)hK*
当
y(i) k
y(i)(xk)
时,
有
y(xk1)yk1O (hp1). 此时①为
p 阶Taylor方法. p=1时即为Euler公式.
例2: 取步长 h = 0.1, 用一阶、二阶和四阶Taylor方法求解下列初 值问题
y y2
,
y(0) 1
0x1. 2
解: (1) 一阶Taylor法
yk1yk 0.1yk2
Taylor公式推导:
y(xk1)y(xk)hy(xk)h 2 2y(k), xkkxk1
yk1ykhf(xk,yk) k0,1,L,n1
Euler公式几何意义:
y
P2 P1 P0
Pk
也称折线法
x
2. 梯形法
若采用梯形公式计算(★)中的积分项,则有
y(xk1)y(xk)h 2[f(xk,y(xk))f(xk1,y(xk1))]
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( x k ) h 2 2 !y ( x k ) L h p p !y (p )( x k ) O ( h p 1 )
令
yk 1ykhyk h 22 !yk Lh p p !yk (p)
①
称之为Taylor级数法. 其中 y k (i)y(i)(x k),i 0 ,1 ,2 ,L,p
y(2y3)6y2y6y4
y(4) 24y3y24y5
第4章常微分方程数值解ppt课件
其中L为李普希兹条件。
总目录
本章目录
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.2.3 中心欧拉公式
y(x)的在x=x1处的中心差商式：y' ( x1 )
y(x2 ) y(x0 ) 2h
又y'(x1) f (x1, y(x1)) ，可得到y(x2)的近似值y2计算公式：
y2 y0 2hf ( x1 , y1 )
2k3
k4
k1 f xn , yn
(1)
k2
f
xn
1 2
h,
y
n
1 2
hk1
(2)
k3
f
xn
1 2 h, yn
1 2
hk
2
k4 f xn h, yn hk3
(4-16)
yn1
yn
h 8
k1
3k 2
3k3
k4
k1 f xn , yn
k 2
f
xn
1 3 h, yn
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.1 微分方程在化工中的应用
微分方程在化工中应用的简单而又典型的例子是 套管式换热器的稳态温度分布。首先作以下假设：
1、套管内侧为液体，其温度只随套管的长度改变 而改变，忽略温度的径向变化；套管环隙为蒸汽， 其温度在任何位置均为恒定值，可认为是饱和蒸 汽的温度。
2、忽略套管内侧流体的纵向热传导。
f
(xn1, yn1 )]
(4-10)
上式也称为改进的欧拉公式，它可合并成：
yn1
yn
h(f 2
(xn , yn )
数值分析(25) 常微分方程初值问题的
忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式
yn1 yn h f ( xn , yn ) (n 0,1, 2, ... )
数值分析
数值分析
3. 数值积分法区间 将方程y' f ( x, y)在区间 [ xn , xn1 ]上积分
xn1 y'dx xn1 f ( x, y)dx (n 0,1,L )
dy f ( x, y) x [a, b] dx y(a) y0
(9-1)
只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条
件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 | f (x, y1) f (x, y2) | L | y1 y2 |
x1
记为
y1
过点 (x0 , y0 ) ，以 f (x0 , y0 ) 为切线斜率的 x0 x1
切线方程为 y y0 f (x0 , y0 )(x x0 )
用 y1 y0 f (x0 , y0 )(x1 x0 ) y0 hf (x0 , y0 ) 近似代替 y(x1)
数值分析
数值分析
h f (xn , yn )
y n 1
(n 0, 1, 2L )
数值分析
数值分析
例9-2 用改进的Euler方法解初值问题
y' y x 1
y(0)
1
取 h 0.1 ，计算到 x 0.5 。
解：利用
h yn1 yn 2 ( f (xn , yn ) f (xn1, yn hf (xn , yn ))
解：该问题的精确解为 y( x) y0e x
欧拉公式为 yn1 yn h yn (1 h) yn yn (1 h)n y0
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学和物理学中的重要概念，广泛应用于工程、科学和其他领域。
在很多情况下，准确解析解并不容易获得，因此需要利用数值方法求解偏微分方程。
本文将介绍几种常用的数值解法。
1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最常见和经典的数值解法之一。
基本思想是将偏微分方程在求解域上进行离散化，然后用差分近似代替微分运算。
通过求解差分方程组得到数值解。
有限差分法适用于边界条件简单且求解域规则的问题。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是适用于不规则边界条件和求解域的数值解法。
将求解域划分为多个小区域，并在每个小区域内选择适当的形状函数。
通过将整个域看作这些小区域的组合来逼近原始方程，从而得到一个线性代数方程组。
有限元法具有较高的灵活性和适用性。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法是一种较新的数值解法，特别适用于物理量守恒问题。
它通过将求解域划分为多个控制体积，并在每个体积内计算守恒量的通量，来建立离散的方程。
通过求解这个方程组得到数值解。
有限体积法在处理守恒律方程和非结构化网格上有很大优势。
4. 局部网格法（Local Grid Method）局部网格法是一种多尺度分析方法，适用于具有高频振荡解的偏微分方程。
它将计算域划分为全局细网格和局部粗网格。
在全局细网格上进行计算，并在局部粗网格上进行局部评估。
通过对不同尺度的解进行耦合，得到更精确的数值解。
5. 谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于傅里叶级数展开的高精度数值解法。
通过选择适当的基函数来近似求解函数，将偏微分方程转化为代数方程。
谱方法在处理平滑解和周期性边界条件的问题上表现出色，但对于非平滑解和不连续解的情况可能会遇到困难。
6. 迭代法（Iterative Method）迭代法是一种通过多次迭代来逐步逼近精确解的求解方法。
随机微分方程数值解法
方程（9）即为Stratonovich型随机微分方程。 注：1)Itó型随机微分方程(6)和Stratonovich型随机微分方程（9） 是可以相互转换的。在标量情形下，对方程（6）令
plot([0:dt:T],[0,W],’r-’) %绘图 xlabel(’t’,’FontSize’,16) ylabel(’W(t)’,’FontSize’,16,’Rotation’,0)
1.2 随机积分
随机积分分为Itó型随机积分和Stratonovich型随机积分。以
下假设Wiener过程 W(t),t0定义在概率空间 (,F,P)上，
0 t 0 t 1 t 2 t n t ,
令 t k t k t k 1 ( 1 k n ) , m 1 k a x n t k ,
若随机变量序列
n
X (tk 1 )(W (tk) W (tk 1 )),n 1 ,2 ,3
(4)
k 1
均方收敛于唯一极限，则称
f ( t , x ) f ( t , y ) g ( t , x ) g ( t , y ) L 2 x y , x R , 且有E y0 2 ， 则方程 (6)存在唯一解且E y(t)2 。
定义 2.1 (强收敛性) 若存在常数 C 0(与 h 独立)， 0 ，使得
E (y ( tn ) y n ) C h p ,h ( 0 ,) ,
设 是正整数，
利用随机
Taylor展开式和Itó公式，可以得到：
y ( t n 1 ) y ( t n ) I 0 f ( y ( t n ) ) I 1 g ( y ( t n ) ) I 1 1 L 1 g ( y ( t n ) ) I 0 0 L 0 f ( y ( t n ) ) R ,( 1 1 ) 其中R 是余项，算子 L 0 和 L 1 分别为
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微分方程数值分析
1. 引言
微分方程是研究自然界规律的数学工具之一。
在实际应用中，我们经常会遇到无法求得解析解的微分方程，这时就需要借助数值分析的方法来求解微分方程的近似解。
微分方程数值分析是数值计算的重要分支之一，对于工程、物理、经济等领域都具有重要的意义。
2. 常见的微分方程数值分析方法
2.1 欧拉方法
欧拉方法是最简单且最常见的微分方程数值分析方法之一。
它是一种一阶显式方法，通过将微分方程中的导数用差商近似代替，从而得到微分方程的数值解。
欧拉方法的基本思想是根据微分方程的初始条件，从初始点开始沿切线方向向前逐步迭代，得到微分方程的近似解。
然后再次应用差商近似，得到更接近精确解的近似解。
欧拉方法具有简单易于实现的特点，但由于其线性化近似，对于具有较大误差的问题并不适用。
2.2 中点法
中点法是一种二阶方法，通过对微分方程中的导数进行线性化近似，从而得到微分方程的数值解。
与欧拉方法相比，中点法通过使用中间点的导数信息，可以得到更准确的近似解。
中点法的基本思想是将微分方程的解曲线划分为若干小线段，然后通过求解每个小线段上的斜率来逼近曲线的形状，从而得到微分方程的数值解。
2.3 二阶龙格-库塔法
二阶龙格-库塔法是一种二阶方法，通过多次对导数进行线性化近似，从而得到更准确的微分方程数值解。
相比于欧拉方法和中点法，龙格-库塔法具有更高的精度和稳定性。
二阶龙格-库塔法的基本思想是使用两个不同的斜率来逼近微分方程的解曲线，然后通过加权平均来得到更准确的数值解。
该方法需要计算更多的导数信息，但相比于其他方法，其准确性更高。
3. 数值解的稳定性和收敛性
在微分方程数值分析中，稳定性和收敛性是两个重要的性质。
稳定性指的是当
参数变化时，数值解是否保持不变。
收敛性指的是当步长趋近于零时，数值解是否趋近于精确解。
稳定性和收敛性是微分方程数值解的基本要求，只有在满足这两个性质的情况下，才能保证数值解的可靠性和准确性。
4. 常见微分方程数值分析软件
在实际应用中，微分方程数值分析通常需要借助计算机软件来实现。
以下是几
种常见的微分方程数值分析软件：
•MATLAB：MATLAB是一种强大的数值计算软件，内置了丰富的求解微分方程的函数和工具箱。
它提供了多种数值分析方法并支持用户自定义算法。
•Python：Python是一种开放源代码的编程语言，借助于NumPy和SciPy等科学计算库，可以方便地实现微分方程数值分析。
•Mathematica：Mathematica是一种符号计算和数值计算软件，具有强大的微分方程求解功能。
它提供了多种数值分析算法和辅助工具。
5. 总结
微分方程数值分析是求解微分方程近似解的重要方法，具有广泛的应用领域。
本文介绍了常见的微分方程数值分析方法，包括欧拉方法、中点法和二阶龙格-库
塔法。
同时，还介绍了微分方程数值解的稳定性和收敛性的概念。
最后，介绍了几种常见的微分方程数值分析软件，包括MATLAB、Python和Mathematica。
通过
对这些软件的应用，可以方便地实现微分方程的数值分析和求解。
希望本文能够对读者理解微分方程数值分析的基本概念和方法有所帮助，并为
实际应用提供参考。