陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2021届高三4月联考数学(理)试题
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学(文)试题 解析版
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={y|y=x-2}，P={y|y=}，那么M∩P=（）A. B. C. D.2.欧拉公式e ix=cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题4.函数y=的图象大致是（）A. B.C. D.5.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.6.设函数y=f（x）=a x（a＞0，a≠1），y=f-1（x）表示f（x）的反函数，定义如框图表示的运算，若输入x=-2，输出y=；当输出y=-3时，则输入x=（）A. 8B.C. 6D.7.已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A. B. C. D.8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.若实数x、y满足2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A. B. C. D.10.过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若=，则|AB|=（）A. 9B. 72C.D. 3611.已知△ABC外接圆O的半径为1，且•=-．∠C=，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为的形状为（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形12.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为______．14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为______．15.记S n为数列{a n}的前项和，若S n=2a n+1，则S10=______．16.设函数f（x）=，，＜，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，A=2B，sin B=，AB=23．（1）求sin A，sin C；（2）求•的值．18.近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．19.如图，三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的正三角形，且∠BAC=90°，O、D分别为BC、AB的中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求四棱锥S-ACOD的体积．20.已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=-，求点P的坐标；（2）若直线l与圆O：x2+y2=相切，交椭圆C于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得OA⊥OB？21.已知函数f（x）=e x-x2+2a+b（x R）的图象在x=0处的切线为y=bx．（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x R时，求证：f（x）≥-x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．22.已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．23.已知a，b均为实数，且|3a+4b|=10．（Ⅰ）求a2+b2的最小值；（Ⅱ）若|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b R恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵={y|y＞0}，={y|y≥0}，∴M∩P={y|y＞0}=（0，+∞），故选：C．先化简这两个集合，利用两个集合的交集的定义求出M∩P．本题考查函数的值域的求法，两个集合的交集的定义，化简这两个集合是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：e2i=cos2+isin2，∵2，∴cos2（-1，0），sin2（0，1），∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．e2i=cos2+isin2，根据2，即可判断出．本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：命题“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”，故A正确；已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，命题“若f（a）f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题，比如f（x）=x2在（-1，1）内有一个零点0，但f（-1）f（1）＞0，故B正确；命题“x R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“x R，均有x2+x+1≥0”，故C正确；“若x0为y=f（x）的极值点，则f'（x0）=0”的逆命题为假命题，比如f（x）=x3，有f′（0）=0，但x=0不为f（x）的极值点，故D错误．故选：D．由命题的逆否命题可判断A；由命题的逆命题和函数零点存在定理可判断B；由命题的否定形式可判断C；由命题的逆命题和函数极值点的定义可判断D．本题考查命题的真假判断，主要是四种命题，以及相互关系和命题的否定，以及函数零点定理和函数的极值点的定义，考查推理能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由图可知，该程序的作用是计算分段函y=的函数值．∵输入x=-2，输出y=，∴a-2=，a=2当输出y=-3时，只有：f-1（x）=-3⇔f（-3）=x⇒x=2-3=．故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.【答案】B【解析】解：∵=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3）∴=（cosα-3）•cosα+sinα（sinα-3）=-1得cos2α+sin2α-3（cosα+sinα）=-1∴，故sin（α+）=（sinα+cosα）=×=故选：B．由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（α+）的值．此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算，灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．8.【答案】B【解析】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P-ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.【答案】A【解析】解：由实数x、y满足2x+2y=1，根据基本不等式得，1=2x+2y≥2，故x+y≤-2．故选：A．由实数x、y满足2x+2y=1，根据基本不等式求得x+y的范围．本题考查基本不等式求范围，属于简单题．10.【答案】C【解析】解：如图，点B在第一象限．过B、A分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过B作EA的垂线，垂足为C，则四边形BDEC为矩形．由抛物线定义可知|BD|=|BF|，|AE|=|AF|，又∵=，∴|BD|=|CE|=2|AE|，即A为CE中点，∴|BA|=3|AC|，在Rt△BAC中，|BC|=2|AC|，k AB=2，F（1，0），AB的方程为：y=2（x-1），代入抛物线方程可得：2x2-5x+2=0，x1+x2=，则|AB|=x1+x2+2=+2=．故选：C．当点B在第一象限，通过抛物线定义及=，可知A为CE中点，通过勾股定理可知|BC|=2|AC|，利用直线与抛物线联立，通过弦长的性质计算可得结论．本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：∵•=-，圆的半径为1，∴cos∠AOB=-又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2-2abcosC=3，得a2+b2-ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．本题主要考查几何概型的应用，以及向量积的计算，利用余弦定理是解决本题的关键，本题综合性较强，有一定的难度．12.【答案】A【解析】解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13.【答案】16【解析】解：由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，所以三年级的学生数为；2000-373-377-380-370=500人，所占比例为所以应在三年级抽取的学生人数为64×=16故答案为：16由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数．本题考查分层抽样知识，抓住各层抽取的比例一致是解决分层抽样问题的关键．14.【答案】【解析】解：画出不等式组，表示的可行域，由图可知，当直线y=-过A（0，）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】-1023【解析】解：由于S n=2a n+1，①当n=1时，解得：a1=-1．当n≥2时，S n-1=2a n-1+1，②①-②得：a n=2a n-2a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以-1为首项，2为公比的等比数列．所以：．所以：．故答案为：-1023首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】（，6）【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：若存在互不相的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=k，则k（-3，4），不妨令x1＜x2＜x3，则x1（，0），x2+x3=6，故x1+x2+x3（，6），故答案为：（，6）画出函数f（x）=的图象，令x1＜x2＜x3，由图象可得x1（，0），x2+x3=6，进而得到x1+x2+x3的取值范围．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，画出函数的图象后，数形结合分析出x1（，0），x2+x3=6，是解答的关键．17.【答案】解：（1）∵sin B=，B为锐角，∴cos B==，∵A=2B，∴sin A=sin2B=2sin B cosB=2××=，cos A=cos2B=cos2B-sin2B=-=，则sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=×+×=；（2）由正弦定理==，AB=23，sin C=，sin B=，sin A=，∴AC==9，BC==12，又cos C=-cos（A+B）=-cos A cos B+sin A sin B=-×+×=-，∴•=CA×CB×cos C=9×12×（-）=-80．【解析】（1）由sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，再由A=2B，得到sinA=sin2B，利用二倍角的正弦函数公式化简，将sinB与cosB的值代入求出sinA的值，同理求出cosA的值，利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC，sinB，sinA，AB的值代入求出CA与CB的值，由cosC=-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式求出cosC的值，利用平面向量的数量积运算法则化简所求式子，即可求出值．此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18.【答案】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07•n，得到：n=100，故该组织有100人．…（3分）（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（6分）（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．…（12分）【解析】（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19.【答案】（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且，从而OA2+SO2=SA2．所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）∵BO=CO，BD=AD，∴AC∥DO，∴DO⊥AD，．，由（Ⅰ）知SO⊥平面ABC，∴．…（12分）【解析】（Ⅰ）连结OA，△ABC为等腰直角三角形，由已知得AO⊥BC，SO⊥BC，SO⊥AO．由此能证明SO⊥平面ABC．（Ⅱ）由已知得DO⊥AD，．SO⊥平面ABC，由此能求出四棱锥S-ACOD的体积．本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20.【答案】解：（1）由椭圆方程为+y2=1，可知：a=2，b=1，c=，∴F1（-，0），F2（，0），设P（x，y），（x，y＞0），则•=，•，=x2+y2-3=-，又+y2=1，联立解得：，∴P，．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程得：y2=，容易得出=x1x2+y1y2=-=-≠0，此时OA⊥OB不成立．②若l的斜率存在时，设l：y=kx+m，则由已知可得=，即k2+1=4m2．由，可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，则x1+x2=-，x1•x2=．要OA⊥OB，则=0，即x1•x2+（kx1+m）（kx2+m）=km（x1+x2）+（k2+1）x1•x2+m2=0，即5m2-4k2-4=0，又k2+1=4m2．∴k2+1=0，此方程无实解，此时OA⊥OB不成立．综上，不存在这样的直线l，使得OA⊥OB．【解析】（1）设P（x，y），（x，y＞0），则•=x2+y2-3=-，又+y2=1，联立解出即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程得：y2=，容易得出≠0，此时OA⊥OB不成立．②若l的斜率存在时，设l：y=kx+m，则由已知可得=．直线方程与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，要OA⊥OB，则=0，即x1•x2+（kx1+m）（kx2+m）=km（x1+x2）+（k2+1）x1•x2+m2=0，把根与系数的关系代入可得5m2-4k2-4=0，又k2+1=4m2．解出即可判断出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】（Ⅰ）解：f（x）=e x-x2+2a+b，f′（x）=e x-2x，由题意得，即a=-1，b=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，f（x）=e x-x2-1．令φ（x）=f（x）+x2-x=e x-x-1，φ′（x）=e x-1，由φ′（x）=0，得x=0．当x（-∞，0）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x（0，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）的最小值为φ（0）=0，从而f（x）≥-x2+x；（Ⅲ）解：f（x）＞kx对任意的x（0，+∞）恒成立，等价于＞k对任意的x（0，+∞）恒成立．令g（x）=，x＞0．∴=．由（Ⅱ）可知，当x（0，+∞）时，e x-x-1＞0恒成立，令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，∴g（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1），g（x）min=g（1）=e-2．∴k＜e-2．即实数k的取值范围为（-∞，e-2）．【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由题意可得，求解可得a，b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=e x-x2-1．令φ（x）=f（x）+x2-x=e x-x-1，利用导数求其最小值得答案；（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x（0，+∞）恒成立，等价于＞k对任意的x（0，+∞）恒成立．令g（x）=，x＞0．利用导数求其最小值可得实数k的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数的最值与函数单调性的判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）C1：（x+1）2+（y-3）2=1，C2：+y2=1C1为圆心是（-4，3），半径是1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆（Ⅱ）当t=时，P（-4，4），Q（cosθ，sinθ），故M（-2+cosθ，2+）C3为直线x-y-5=0，M到C3的距离d==|sin（θ-）+9|，从而当sin（θ-）=-1时，d取得最小值4．【解析】（Ⅰ）根据 sin2α+cos2α=1消参即可得到 C1，C2的普通方程，由普通方程可知C1为圆心是（-4，3），半径1的圆，C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆．（Ⅱ）根据题意求出P坐标，利用C2的参数方程设出Q的直角坐标，由题意可得PQ中点M坐标，结合点到直线的距离公式、辅助角公式求出最小距离（Ⅰ）椭圆的参数方程、圆的参数方程化为普通方程时，一般要利用同角三角函数的平方关系sin2α+cos2α=1消参得到普通方程（Ⅱ）曲线上的点，到直线上一点的距离的最小值的求法：在求点到直线最小距离时，先用参数形式写出点Q的直角坐标，代入点到直线的距离公式结合辅助角公式得到距离的最小值．23.【答案】解：（I）∵|3a+4b|=10，∴100=（3a+4b）2≤（32+42）（a2+b2）=25（a2+b2）∴a2+b2≥4，当且仅当即或时取等号即a2+b2的最小值4（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b R恒成立，∴|x+3|-|x-2|≤4，∴ 或或解可得，x＜-3或-3∴实数x的取值范围（-∞，]【解析】（I）利用柯西不等式即可求解（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b R恒成立⇔|x+3|-|x-2|≤（a2+b2）min，然后根据绝对值不等式的求解即可本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．。
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2018-2019学年高三下学期4月联考数学(文)试题(带答案解析)
绝密★启用前陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2018-2019学年高三下学期4月联考数学(文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}2M x y x -==，{P y y ==,那么M P ⋂等于（ ）A ．()0,+?B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞ 2．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题 4．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）○…………装…………○…○…………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※※○…………装…………○…○…………线…………○……A．B．C．D．5．已知在三棱锥P ABC-中，1PA PB BC===，AB=，AB BC⊥，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A B C．2πD．3π6．设函数()()0,1xf x a a a=>≠，()1y f x-=表示()y f x=的反函数，定义如框图表示的运算，若输入2x=-，输出14y=；当输出3y=-时，则输入x为（）A．18B．6C．16D．87．已知点()3,0A，()0,3B，()cos,sinCαα，若1AC BC⋅=-u u u v u u u v，则sin4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A．23B．2C．3D．128．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）线…………○……线…………○……A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 9．若实数x 、y 满足221x y +=，则x y +的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．[]0,2 C ．[)2,-+∞D ．[]2,0-10．过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，若12AF FB =u u u v u u u v，则AB =（ ） A ．9B ．72C ．92D ．3611．已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，3C π∠=，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形12．定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1f x f x +>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e >+ 的解集为（ ）A ．(0,+∞)B ．(－∞,0)∪(3,+ ∞)C ．(－∞,0)∪(0,+∞)D ．(3,+ ∞)第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为．14．设变量,x y满足约束条件34 34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为__________．15．记n S为数列{}n a的前项和，若21n nS a=+，则10S_______．16．已知函数()266,034,0x x xf xx x⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x，2x，3x满足()()()123f x f x f x==，则123x x x++的取值范围是______.三、解答题17．在ABC∆中，2A B=，1sin3B=，23AB=.（Ⅰ）求sin sinA C,的值；（Ⅱ）求CA CB⋅u u u v u u u v的值.18．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.……○…………线…………○……_______班级：__________……○…………线…………○……（1）求该组织的人数；（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.19．如图，三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为边长为2的正三角形，且90BAC ∠=︒，O 、D 分别为BC 、AB 的中点.（1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求四棱锥S ACOD -的体积.20．已知12,F F 分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点.（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=-u u u v u u u u v ,求点P 的坐标.（Ⅱ）若直线l 与圆221:4O x y +=相切，交椭圆C 于,A B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA OB ⊥？21．已知函数()()22xf x e x a b x R =-++∈的图象在0x =处的切线为y bx =.（e 为自然对数的底数）. （1）求a ，b 的值；（2）当x ∈R 时，求证：()2f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），2:sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数） （Ⅰ）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线33:2x tC y t=+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值. 23．已知,a b 均为实数，且3410a b += . （Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】对集合M P 、进行化简，再进行M P ⋂的运算。
2018-2019学年陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校高三下学期4月联考数学(文)试题(解析版)
【答案】D
【解析】求出 到平面 的距离为 ， 为截面圆的直径, ，由勾股定理可得：
求出 ，即可求出球的表面积．
【详解】
根据题意, 为截面圆的直径,
设球心到平面 的距离为 ,球的半径为 ．
平面 平面 ，
到平面 的距离为
由勾股定理可得
球的表面积为
故选D．
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的求法，考查数学转化思想方法，正确的找到外接球的半径是关键．
【解析】试题分析：（1）由题意第 组的人数为 ，即可求解该组织人数.
（2）根据频率分布直方图，求得第 组，第 组，，第 组的人数，再根据分层抽样的方法，即可求解再第 组所抽取的人数.
（3）记第 组的 名志愿者为 ，第 组的 名志愿者为 ，第 组的 名志愿者为 ，列出所有基本事件的总数，得出事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型，即可求解概率.
20．已知 分别是椭圆 的左右焦点.
（Ⅰ）若 是第一象限内该椭圆上的一点， ,求点 的坐标.
（Ⅱ）若直线 与圆 相切，交椭圆 于 两点，是否存在这样的直线 ，使得 ？
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）不存在.
【解析】（Ⅰ）由椭圆标准方程得到焦点坐标，设 ，利用 以及点P在椭圆上，联立方程组，求出P点坐标．
【详解】
又
又 为等腰三角形，
故
从圆 内随机取一个点 ，若点 取自 内的概率恰为
设
，
可得 ①
由 ，
得
②
由①②解得：
为等边三角形．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了判断三角形的形状，解题关键是掌握余弦定理和几何型概率的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三3月联考数学(文)试题(解析版)
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，6，，，，则A.2， B. 6， C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.下图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，表示的复数所对应的点在复平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由利用平面向量几何运算的三角形法则，可得，化简即可得结果.【详解】因为，所以，可得，化为，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算，属于基础题．向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.5.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为，则A. k与r的符号相同B. b与r的符号相同C. k与r的符号相反D. b与r的符号相反【答案】A【解析】【分析】根据相关系数知相关系数的性质：，且越接近1，相关程度越大；且越接近0，相关程度越小为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果．【详解】相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，与r的符号相同．故选：A．【点睛】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于时，表示两个变量有很强的线性相关关系．7.如果对定义在R上的奇函数，对任意两个不相邻的实数，，所有，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．8.已知正三棱柱的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点，则该蚂蚁走过的最短路径为A. B. 25 C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．9.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到的图象若，且，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到的图象，故的最大值为2，最小值为0，若，则，或舍去．故有，即，又，，则，则取得最大值为．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．10.已知圆C：，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则｜PC｜的最大值为（）A. B. C. 2 D. 2【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．11.抛物线在第一象限内图像上一点处的切线与x轴交点的横坐标即为，其中，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．12.已知双曲线的右焦点为，若C的左支上存在点M，使得直线是线段的垂直平分线，则C的离心率为A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径等边的一边AB为圆C的一条弦，可得的最大值为直径，即可得出结论．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，即有，OP为的中位线，可得，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定的最大值为直径是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且，则______．【答案】【解析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】10【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线：，再作一组平行于的直线l：，当直线l经过点A时，取得最大值，由，得点A的坐标为，所以．的最大值为：10．故答案为：10．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.设函数，则函数______．【答案】【分析】推导出函数，由此能求出结果．【详解】函数，函数．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．【答案】4【解析】【分析】设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理，得出，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．【详解】设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的体积为，其中，构造函数，其中，则，令，得．当时，；当时，．所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．【点睛】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为，且．求角A的大小；求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．当且仅当时，的面积有最小值.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，，，，．求证：平面平面PBD；求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】过点B作于H，证明，通过直线与平面垂直的判定定理证明平面PBD；求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥的体积．【详解】证明：在直角梯形ABCD中，过点B作于H，在中，有，．又在中，有，．，．，平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，平面ABCD，，又，平面PBD，平面PBD，平面PBD，又平面PBC，平面平面PBD；解：，且平面PAB，平面PAB，则平面PAB，在中，由，可得D到PA的距离为，即D到平面PAB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为．在中，由，，且F为PA的中点，可得．．【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值由测量表得到如下频率分布直方图补全上面的频率分布直方图用阴影表示；统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值及方差；当质量指标值位于时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．【答案】（1）见解析；（2），；（3）0.95.【解析】【分析】由频率分布直方图求出内的频率为，由此能补全频率分布直方图．由频率分布直方图求出质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差．求出质量指标值位于的频率，由此能求出该产品为合格品的概率．【详解】由频率分布直方图得：内的频率为：，由此能补全频率分布直方图如下：质量指标值的样本平均数为：．质量指标值的样本方差为．当质量指标值位于时，认为该产品为合格品，质量指标值位于的频率为：．该产品为合格品的概率为．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．求椭圆C的标准方程；设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由题意可设椭圆方程为：，半焦距可得，，联立解出即可得出．直线l与x轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得x，可得面积直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，原点到直线AB的距离，化为：直线方程与椭圆方程联立化为：，利用根与系数的关系可得，令，可得面积．【详解】由题意可设椭圆方程为：，半焦距c．则，，．联立解得：，，．椭圆C的标准方程为：．直线l与x轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得，可得面积．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，原点到直线AB的距离，化为：联立，化为：，，，．则，令，则面积，当且仅当，时，面积取得最大值．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数有两个零点．求实数a的取值范围；若函数的两个零点分别为，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围；由，得，；得到所以；构造函数，求证即可．【详解】由，得，当时，在R上为增函数，函数最多有一个零点，不符合题意，所以．当时，，；所以在上为减函数，在上为增函数；所以；若函数有两个零点，则；当时，，；；由零点存在定理，函数在和上各有一个零点．结合函数的单调性，当时，函数有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为．证明：由得，；由，得，；所以；设，则，解得，；所以，当时，；设，则，当时，，于是在上为增函数；所以，当时，，即；所以．【点睛】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.（Ⅰ）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）对曲线的极坐标方程两边乘以，可化得其直角坐标方程为，这是顶点在原点，焦点为的抛物线；（2）根据直线参数方程的定义可知，直线过点，依题意直线又过点，由此求得直线方程为，倾斜角为，故直线的参数方程为，代入抛物线的直角坐标方程，写出韦达定理，利用求得弦长为.试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，故曲线是顶点为，焦点为的抛物线. （2）直线的参数方程为（为参数，），故经过点，若直线经过点，则.∴直线的参数方程为（为参数）代入，得，设对应的参数分别为，则，，∴.23.已知函数的定义域为R．Ⅰ求实数m的取值范围．Ⅱ若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(理科)(一)(含答案解析)
陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(理科)(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x <−1或x ≥3}，则∁R A 等于( )A. {x|x <3}B. {x|x >−1}C. {x|−1≤x <3}D. ⌀2.下列函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数的是( )A. y =xB. y =x 2C. y =2xD. y =−x 23.下列各式中，值为的是( )A. sin15cos15B.C.D.4.将正整数排列如下：则在表中数字2013出现在( )A. 第44行第78列B. 第45行第78列C. 第44行第77列D. 第45行第77列5.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线x =a 2c与两条渐近线分别交于P ，Q 两点，若△PFQ 是直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. √2B. 2C. 2√33D. 536.把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量．设e⃗ =(A,B)是直线l 的一个方向向量，那么n ⃗ =(−B,A)就是直线l 的一个法向量．借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离．已知P 是直线l 外一点，n ⃗ 是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点Q ，那么PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在法向量n ⃗ 上的投影向量为(|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ)·n⃗⃗ |n ⃗⃗ |(θ为向量n ⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角)，其模就是点P 到直线l 的距离d ，即d =|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |.据此，请解决下面的问题：已知点A(−4,0)，B(2,−1)，C(−1,3)，则点A 到直线BC 的距离是 ( )A. 8B. 7C. 275D. 2157.已知直线l 经过点P(1,1)，倾斜角α=π6，设直线l 与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则点P 与A ，B 两点的距离之积为( )A. 1B. 2C. √3+1D. 48.有如下命题：命题p ：设集合M ={x|0<x ≤3}，N ={x|0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件；命题q ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. p ∧(￢q)C. p ∨qD. p ∨(￢q)9.函数y =2sinx +cosx ，当x =φ时函数取得最大值，则cosφ=( )A. √55B. 2√55C. 2√23D. 1310. 若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )A. 4π2B. 3π2C. 2π2D. π211. (x +1)4的展开式中x 2的系数为( )A. 4B. 6C. 10D. 2012. 函数f(x)在定义域R 内可导，f(x)=f(2−x)，当x ∈(1,+∞)时，(x −1)f′(x)<0，设a =f(log 32)，b =f(log 52)，c =f(log 25)，则( )A. c <a <bB. c <b <aC. a <b <cD. b <a <c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若抛物线上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到轴的距离为______________ ．14. 若复数z =a 2−1+(a +1)i(a ∈R)是纯虚数，则a =_____ ；|z|=_____ ．15. 安排5个党员(含小吴)去3个不同小区(含M 小区)做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M 小区，但是小吴不去M 小区，则不同的安排方法数为______ ．16. 若实数x ，y 满足{x +y ≥02x −y ≥0x ≤1，则z =3x +2y 的最大值是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设复数z n =x n +i ⋅y n ，其中x n y n ∈R ，n ∈N ∗，i 为虚数单位，z n+1=(1+i)⋅z n ，z 1=3+4i ，复数z n 在复平面上对应的点为Z n ． (1)求复数z 2，z 3，z 4的值；(2)是否存在正整数n 使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；(3)求数列{x n ⋅y n }的前102项之和．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB =2，E 为PE 中点． (Ⅰ)证明：PB//平面AEC ； (Ⅱ)证明：平面PCD ⊥平面PAD ； (Ⅲ)求EA 和平面ABCD 所成的角； (Ⅳ)求二面角E −AC −D 的正切值．19. 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：(1)PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；(2)tan∠PF 1F 2=√312；(3)PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3．(Ⅰ)求椭圆的离心率及椭圆方程；(Ⅱ)过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．20. 栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒．叶，四季常绿；花，芳香素雅．绿叶白花，格外清丽．某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图(单位：m)，其中不大于1.50(单位：m)的植株高度茎叶图如图所示．(1)求植株高度频率分布直方图中a ，b ，c 的值；(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值．21. (本题满分15分) 已知函数．(Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值；(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于．22. 在平面直角坐标系中，以圆点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ=2acosθ+2asinθ(a >0)，直线l 的参数方程为：{x =−1+√22ty =−2+√22t(l 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(Ⅱ)设点P(−1,−2)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 已知函数f(x)=|3x +2|． (1)解不等式f(x)<4−|x −1|；(2)已知2m +n =1(m,n >0)，若|3x −a|−f(x)≤1m +2n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|x<−1或x≥3}，∴∁R A={x|−1≤x<3}．故选：C．根据全集R及A，求出A的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：函数y=x的一次项系数1>0，故函数y=x在[0,+∞)上为增函数，但函数为奇函数；y=x2的图象是开口朝上且以y轴为对称轴的抛物线，故函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数；y=2x在[0,+∞)上为增函数，但函数为非奇非偶函数；函数y=−x2的图象是开口朝下且以y轴为对称轴的抛物线，故函数为偶函数，但在[0,+∞)上为减函数；故选B根据一次函数，二次函数，指数函数的图象和性质，逐一分析四个答案中四个函数的奇偶性及在[0,+∞)上的单调性，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，熟练掌握基本初等函数的奇偶性和单调性是解答的关键．3.答案：C解析：解：A选项，sin15°×cos15°=12sin30°=14，不正确；B选项，cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32，不正确；C选项，tan22.5∘1−tan222.5∘=12×tan45∘=12，正确；D选项，√1+cosπ62=√1+√322≠12，不正确．综上知C选项正确故选C4.答案：D解析：解：依题意可知第n行有2n−1个数字，前n行的数字个数为1+3+5+⋯+(2n−1)=n2个，∵442=1836，452=2025，且1836<2013，2025>2013，∴2013在第45行，又2025−2013=12，且第45行有2×45−1=89个数字，∴2013在第89−12=77列．故选：D．根据题意确定出第n行有2n−1个数字，根据前n行数字个数确定出数字2013所在的行，进而确定出所在的列即可．此题考查了归纳推理，弄清题中的规律是解本题的关键．5.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于较易题．利用直线x=a2c与两条渐近线分别交于P，Q两点，若△PFQ是直角三角形，推出渐近线的夹角，然后求解离心率即可．解：因为△PFQ是直角三角形，所以，又因为直线x=a2c与两条渐近线分别交于P，Q两点，设PQ与x轴的交点为A，根据双曲线的渐近线的对称性可得FP=FQ，所以，所以△PAF是等腰直角三角形，所以PA=AF，因为双曲线的渐近线方程为y=±bax，所以P点坐标为(a 2c ,abc)，所以PA=abc ，所以abc=c−a2c，即c2−a2=ab，所以b2=ab，a=b，所以e2=c2a2=a2+b2a2=2a2a2=2，所以e=√2．故选A．6.答案：D解析：本题考查了向量的数量积、直线上向量的坐标及其运算．先求得直线BC的一个法向量，再求得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，由题意中的公式可得点A到直线BC的距离．解：因为BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，故可得直线BC的一个法向量n⃗=(−4,−3)，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−1)，故可得点A 到直线BC 的距离d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=215，故选D ．7.答案：B解析：解：由已知得直线l 的参数方程为{x =1+tcosπ6y =1+tsin π6(t 为参数)，即{x =1+√32t y =1+12t(t 为参数)， 把直线的参数方程代入圆x 2+y 2=4，得(1+√32t)2+(1+12t)2=4，整理得：t 2+(√3+1)t −2=0， ∴t 1t 2=−2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2． 故选B先根据题意表示出直线l 的参数方程，再将直线的参数方程代入圆方程，得到一个关于t 的二次方程，最后结合参数t 的几何意义利用根与系数之间的关系即可求得距离之积．本小题主要考查圆的参数方程、参数方程的概念、一元二次方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：C解析：解：命题p ：设集合M ={x|0<x ≤3}，N ={x|0<x ≤2}， 则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件． p 是假命题．命题q ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”， 则：q 是真命题． 所以：p ∨q 是真命题． 故选：C ．首先判断出命题p 的真假，进一步判断出命题q 的真假，最后利用真值表求出结论 本题考查的知识要点：命题真假的判断，及真值表的应用．属于基础题型．9.答案：A解析：解：当x =φ时，函数f(x)=2sinx +cosx =√5(2√55sinx +√55cosx)=√5sin(x +α)取得最大值，(其中，cosα=2√55，sinα=√55)，∴φ+α=2kπ+π2，k∈z，即θ=2kπ+π2−α，k∈z，∴cosφ=cos(2kπ+π2−α)=cos(π2−α)=sinα=√55，故选：A．利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式，再利用诱导公式求得cosθφ的值．本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．10.答案：A解析：解：由题意可得侧面展开图的边长为2π×1=2π，所以侧面展开图的面积为(2π)2=4π2，故这个圆柱的侧面积是4π2．故选：A．根据侧面展开图的面积就是圆柱的侧面积求解即可．本题考查了圆柱的侧面积的求法，关键是对圆柱侧面展开图的理解，属于基础题．11.答案：B解析：(x+1)4的展开式中x 2的系数为=6．12.答案：B解析：判断f(x)的单调性，比较三个对数的大小关系，根据f(x)的对称性得出答案．本题考查了函数单调性与对称性的应用，对数的大小比较，属于中档题．∵x∈(1,+∞)时，(x−1)f′(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在(1,+∞)单调递减．∵f(x)=f(2−x)，∴f(x)的图象关于x=1对称，∵0<log52<log32<1<2<log25，∴f(log25)<f(log52)<f(log32)．故选：B．13.答案：2解析：解：∵抛物线方程为y 2=4x∴焦点为F(1,0)，准线为l ：x =−1 设所求点坐标为M(x,y) 作MQ ⊥l 于Q根据抛物线定义可知M 到准线的距离等于M 、Q 的距离 即x +1=3，解之得x =2， 代入抛物线方程求得y =±4 故点M 坐标为：(2,y) 即点M 到y 轴的距离为2 故答案为：214.答案：1;2解析：解：由于z 是纯虚数，所以{a 2−1=0a +1≠0，解得a =1，所以z =2i ， 所以|z|=2， 故答案为1；2．利用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0列出式子，求出a ；利用复数模的公式求出复数的模． 本题考查纯虚数的定义、考查复数的模的公式．15.答案：44解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①M 小区安排2人，需要在其他4人中选出2人安排到M 小区，将剩下3人分为2组，安排到其他2个小区，有C 42C 32A 22=36种安排方法，②M 小区安排3人，需要在其他4人中选出3人安排到M 小区，将剩下2人安排到其他2个小区，有C 43A 22=8种安排方法，则有36+8=44种不同的安排方法， 故答案为：44．根据题意，按分到M 小区的人数分2种情况讨论，求出每种情况安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.答案：7解析：解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =12x −y =0，解得A(1,2)，化目标函数z =3x +2y 为y =−32x +z2，由图可知， 当直线y =−32x +z2过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 取最大值为3×1+2×2=7． 故答案为：7．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．17.答案：本题(18分)，第1小题(4分)，第2小题(6分)，第3小题(8分)．解：(1)z 2=(1+i)(3+4i)=−1+7i ，z 3=−8+6i ，z 4=−14−2i.…(4分) (算错一个扣(1分)，即算对一个得(2分)，算对两个得3分) (2)若OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则存在实数λ，使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故z n =λ⋅z 1， 即(x n ,y n )=λ(x 1,y 1)，…(3分)又z n+1=(1+i)z n ，故z n =(1+i)n−1z 1，即(1+i)n−1=λ为实数，…(5分)故n−1为4的倍数，即n−1=4k，n=4k+1，k∈N.…(6分)(3)因为z n+4=(1+i)4z n=−4z n，故x n+4=−4x n，y n+4=−4y n，…(2分)所以x n+4y n+4=16x n y n，…(3分)又x1y1=12，x2y2=−7，x3y3=−48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+⋯+x100y100=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+⋯+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)=(12−7−48+28)⋅1−16251−16=1−2100，…(6分)而x101y101=1625x1y1=12×2100，x102y102=1625x2y2=−7×2100，…(7分)所以数列{x n y n}的前102项之和为1−2100+12×2100−7×2100=1+2102.…(8分)解析：(1)利用已知条件之间求解z2，z3，z4．(2)求出z n=(1+i)n−1z1，利用复数的幂运算，求解即可．(3)通过z n+4=(1+i)4z n=−4z n，推出x n+4=−4x n，y n+4=−4y n，得到x n+4y n+4=16x n y n，然后求解数列的和即可．本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)证明：设BD∩AC=O，则由四边形ABCD为正方形，可得O为BD的中点，再根据E为PE中点，可得OE为△PBD的中位线，故有OE//PB．而OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB//平面AEC．(Ⅱ)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又正方形ABCD中，AD⊥CD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．再根据CD⊂平面PCD，可得平面PCD⊥平面PAD．(Ⅲ)取AD得中点H，则EH是△PAD的中位线，故有EH//PA．由PA⊥平面ABCD可得EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为EA和平面ABCD所成的角．由PA=AB=2，可得EH=1，AH=1，∴tan∠EAH=EHAH =1，∴∠EAH=π4，即EA和平面ABCD所成的角为π4．(Ⅳ)作HM⊥AC，M为垂足，由三垂线定理可得EM⊥AC，∠EMH为二面角E−AC−D的平面角．由于HM=12DO=√22，∴tan∠EMH=EHHM=√22=√2．解析：(Ⅰ)设BD ∩AC =O ，则由题意可得OE 为△PBD 的中位线，故有OE//PB ，根据直线和平面平行的判定定理证得PB//平面AEC ．(Ⅱ)证明PA ⊥CD ，且AD ⊥CD ，证得CD ⊥平面PAD.再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面PCD ⊥平面PAD ．(Ⅲ)取AD 得中点H ，证得∠EAH 为EA 和平面ABCD 所成的角．由条件求得tan∠EAH =EHAH =1，可得∠EAH 的值．(Ⅳ)作HM ⊥AC ，M 为垂足，可得∠EMH 为二面角E −AC −D 的平面角．再根据tan∠EMH =EH HM ，计算求的结果．本题主要考查直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理，直线和平面所成的角、二面角的定义和求法，属于中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)∵PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P(c,b 2a )，∴tan∠PF 1F 2=b 2a2c=b 22ac=√312， ∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3， ∴2c =2√3，即c =√3， ∵a 2=b 2+c 2， ∴a =2，b =1，∴椭圆的离心率为e =ca =√32，椭圆方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设满足条件的直线为l ，其方程为x =my −√3，两交点坐标为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)， 设线段AB 为直径的圆与y 相切于点D ，由{x =my −√3x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2−2√3my −1=0， ∴y 1+y 2=2√3m 4+m ，y 1y 2=−14+m 2，x 1+x 2=m(y 1+y 2)−2√3=−8√34+m ，所以AB 的中点到y 轴的距离d =|x 1+x 2|2=4√34+m 2，所以弦长|AB|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√12m 2(4+m 2)2−4⋅−14+m 2=4⋅1+m 24+m 2=2d =8√34+m 2， 解得m 2=2√3−1，所以m =±√2√3−1直线方程为x =√2√3−1y −√3，或x =−√2√3−1y −√3， 即x −√2√3−1y +√3=0或x +√2√3−1y +√3=0．解析：(Ⅰ)根据题目的三个条件可得c =√3，b 22ac =√312，a 2=b 2+c 2，解得即可； (Ⅱ)由(Ⅰ)可得焦点F 1的坐标，设直线l 的方程与由、椭圆联立求出两根之和及两根之积，设A ，B 的坐标，及切点D 的坐标，由题意可得DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出参数及D 的坐标，可得直线l 的方程． 本题主要考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．20.答案：解：(1)由茎叶图知，a =51000.1=0.5,b =101000.1=1．由频率分布直方图知0.5×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+c ×0.1+3×0.1+4×0.1=1， 所以c =1.5．(2)这批栀子植株高度的平均值的估计值为：(1.35×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+1.75×1.5)×0.1=1.60． 解析：(1)由茎叶图的性质能求出a ，b ，由频率分布直方图的性质能求出c ． (2)由频率分布直方图的性质能求出这批栀子植株高度的平均值的估计值．本题考查频率、平均数的求法，考查茎叶图、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解(Ⅰ)首先，--------1分---------------3分有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得----------6分(Ⅱ)由题意，有两不同的正根，故．解得：----------------8分 设的两根为，不妨设，因为在区间上，，而在区间上，，故是的极小值点.-------10分因在区间上是减函数，如能证明则更有---------------13分由韦达定理，，令其中设，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值-------15分 (Ⅱ)另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于．由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，(用表示的关系式与此相同)，这样即，再证明该式小于是容易的(注意，下略)．解析：解析：略22.答案：解：(Ⅰ)∵ρ=2acosθ+2asinθ(a >0)，∴ρ2=2aρcosθ+2aρsinθ；化为普通方程是x 2+y 2=2ax +2ay ， 即C ：(x −a)2+(y −a)2=2a 2；直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =−2+√22t(l 为参数)， 化为普通方程是y =−2+(x +1)， 即y =x −1；(Ⅱ)把直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =−2+√22t (l 为参数)代入C ：x 2+y 2=2ax +2ay 中， 化简得t 2−3√2t +5=−6a +2√2at ， 即t 2−√2(3+2a)t +5+6a =0；∵△=[√2(3+2a)]2−4(5+6a)>0，且a >0， 解得a >12；由根与系数的关系，得t 1+t 2=√2(3+2a)，t 1t 2=5+6a ；又∵|MN|2=|PM|⋅|PN|， ∴|t 1−t 2|2=t 1⋅t 2， 即(t 1+t 2)2=5t 1⋅t 2； ∴[√2(3+2a)]2=5(5+6a)， 整理，得8a 2−6a −7=0， 解得a =3+√658．解析：(Ⅰ)利用极坐标公式把曲线C 的极坐标方程化为普通方程， 消去参数t ，把直线l 的参数方程化为普通方程；(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得到关于t 的一元二次方程， 由△>0，且|MN|2=|PM|⋅|PN|，结合根与系数的关系，求出a 的值．本题考查了直线与圆的参数方程和极坐标的应用问题，解题时应熟练地进行参数方程、极坐标与普通方程的互化，理解直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．23.答案：解：(1)不等式：f(x)<4−|x −1|可写成，|3x +2|+|x −1|<4，用“零点分段法”解答如下： ①当x ≥1时，3x +2+x −1<4，x ∈⌀；②当−23≤x <1时，3x +2−x +1<4，解得，−23≤x <12； ③当x <−23时，−3x −2−1+x <4，解得，−54<x <−23， 综合以上讨论得，不等式的解集为：{x|−54<x <12}； (2)因为2m +1=1，且m >0，n >0， 所以，1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=2+2+nm +4m n≥8，即1m +2n 的最小值为8，根据题意问题等价为：|3x −a|−f(x)≤8恒成立， 即|3x −a|−|3x +2|≤8对任意实数x 恒成立， 再由绝对值三角不等式得， |3x −a|−|3x +2|≤|a +2|≤8， 解得，a ∈(0,6]，所以，实数a 的取值范围为：(0,6]．解析：(1)直接运用零点分段法求解含绝对值不等式；(2)先求出1m +2n的最小值为8，再用绝对值三角不等式将问题等价为：|a+2|≤8，解出即可．本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用和不等式恒成立问题的解法，考查了分类讨论与等价转化思想，属于中档题．。
2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(二)(含解析)
2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(二)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x−1)(x−5)<0}，B={x|0<x≤4}，则集合A∩B=()A. {x|0<x<4}B. {x|0<x<5}C. {x|1<x≤4}D. {x|4≤x<5}2.已知复数z1=m+i(m∈R)，z2=1−2i，若z1z2为实数，则|z1|=()A. √52B. √32C. 12D. √53.设f(x)=lg(21−x+a)是奇函数，则使f(x)>0的x的取值范围是()A. (−1,0)B. (0,1)C. (−∞,0)D. (0,+∞)4.已知a n=2n(n+1)，则数列{a n}的前100项和S100=()A. 100101B. 200101C. 99100D. 1981005.已知F1、F2分别是双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，且F2是抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点，双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P，若线段PF2的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是()A. 2+√3B. 1+√2C. 2+√2D. 1+√36.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦(九韶)、李(冶)、杨(辉)、朱(世杰)四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为3，1，则输出的n=()A. 2B. 3C. 4D. 57. 平行四边形ABCD 中，点E 为AD 中点，连接BE 、AC 且交于点F.若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AE ⃗⃗⃗⃗⃗ (x 、y ∈R)，则x ：y =( )A. 1：3B. 2：3C. 1：2D. 3：48. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3=√2−1,a 5=√2+1，则a 32+2a 2a 6+a 3a 7=( )A. 4B. 6C. 8D. 8−4√29. 直线y =x 与函数f(x)=的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )．A. [−1,2)B. [−1,2]C. [2,+∞)D. (−∞,−1]10. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)=0，当x >0时，有恒成立，则不等式的解集是A. (−2,0) ∪(2,+∞)B. (−2,0) ∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)11. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.B.C.D.12. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 中点，F 是AD 上一点，且AF =14AD ，EG ⊥CF 于G ，则下列式子中不成立的是( )A. EF ⋅EC =EG ⋅FCB. EC 2=CG ⋅GFC. AE 2+AF 2=FG ⋅FCD. EG2=GF⋅GC二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x)的定义域是R，且f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(1)=lg3−lg2，f(2)=lg3+lg5，则f(2009)=______ ．14.若角α的终边经过P(−3,b)，且tanα=−53，则sinα=______ ．15.已知点A是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是______ ．16.对于函数f(x)=13|x|3−ax2+(2−a)|x|+b，若f(x)有六个不同的单调区间，则a的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图在△AC中，D是AB的中点，BC=3，B=π3，△BCD的面积为3√32．(Ⅰ)求AB，AC的长；(Ⅱ)求sin A的值；(Ⅲ)判断△ABC是否为锐角三角形，并说明理由．18.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．(1)“抛物线三角形”一定是______ 三角形；(2)若抛物线y=−x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；(3)如图，△OAB是抛物线y=−x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．19.如图，在四棱锥E−ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD，连结AC交BD于点O．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面ABCD；(Ⅱ)判断在线段AE上是否存在点M，使得DM//平面BEC，并说明理由．20.某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示．(1)请根据图中所给数据，求出a的值；(2)从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60,70)内的概率．21.已知f(x)=be x−alnx在(1,f(1))处的切线方程为y=(e−1)x+1．(1)求y=f(x)的解析式；(2)求y=f(x)的导函数y=f′(x)的零点个数；(3)求证：f(x)>2．22.在直角坐标系xOy中，直线1的方程为x−y+4=0，曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(α为参数，且α∈[0,2π))．(1)求曲线C的普通方程；(2)求曲线C上的一点P到直线l的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．23.用数学归纳法证明不等式：1n +1n+1+1n+2+⋯+1n2>1(n∈N∗且n>1)．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由A 中的不等式解得：1<x <5，即A ={x|1<x <5}， ∵B ={x|0<x ≤4}， ∴A ∩B ={x|1<x ≤4}． 故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：复数z 1=m +i(m ∈R)，z 2=1−2i ，则z 1z 2=1−2i m+i=(1−2i)(m−i)m 2+1=m−2m 2+1−1+2m m 2+1i ，∴−1+2mm 2+1=0，解得m =−12， ∴|z 1|=√(−12)2+1=√52． 故选：A ．根据复数的代数形式的运算法则，结合题意求出m 的值，再计算|z 1|的值． 本题考查了复数的定义与代数形式的运算问题，是基础题．3.答案：B解析：解：根据奇函数的性质可得，f(0)=lg(2+a)=0 ∴a =−1，f(x)=lg(21−x −1)=lg 1+x1−x 由f(x)>0可得，lg 1+x1−x >0 即1+x1−x >1解不等式可得0<x <1 故选：B ．根据奇函数的性质f(0)=0可得，可求a ，进而可求函数f(x)，由f(x)>0可得，解不等式可得本题主要考查了对数不等式与分式不等式的基本的解法，但解题的关键是要根据奇函数的性质f(0)=0，先要求出函数中的参数a ，的值，此方法比直接利用奇函数的定义简单．4.答案：B解析：解：a n =2n(n+1)=2(1n −1n+1)，{a n }的前100项和，S 100=a 1+a 2+a 3+⋯+a 100， =2[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1100−1101)]， =2(1−1101)，=200101．故答案选：B ．将a n =2n(n+1)，转换成，a n =2(1n −1n+1)，采用裂项法求得S 100． 本题考查采用裂项法求数列的前n 项和，属于基础题．5.答案：A解析：解：设点P(x 0,y 0)，F 2(c,0)，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，连接PF 2，由双曲线定义可得|PF 2|=|PF 1|−2a由抛物线的定义可得|PA|=x 0+c =2c −2a ，∴x 0=c −2a 在直角△F 1AP 中，|F 1A|2=8ac −4a 2，∴y 02=8ac −4a 2，∴8ac −4a 2=4c(c −2a) ∴c 2−4ac +a 2=0 ∴e 2−4e +1=0 ∵e >1 ∴e =2+√3 故选：A ．P 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，连接PF 2，在直角△F 1AP 中．利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得 a =3，b =1，n =1， a =92，b =2，不满足条件a <b ，执行循环体，n =2，a =274，b =4， 不满足条件a <b ，执行循环体，n =3，a =818，b =8， 不满足条件a <b ，执行循环体，n =4，a =24316，b =16，满足条件a <b ，退出循环，输出n 的值为4． 故选：C ．7.答案：C解析：本题考查三角形相似，向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理．想着用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样需求出λ，根据条件及图形，可以看出△AEF∽△CBF ，所以EF BF =AE CB =12，所以EF EB =13，所以λ=13，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 这样便能求出x ，y ，从而求出x ：y ．解：根据条件知：△AEF ∼△CBF ； ∴EF BF=12,EFEB =13；∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴x =13,y =23； ∴x ：y =1：2． 故选C ．解析：试题分析：由等比数列的性质可得a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2，把已知条件代入即可求解a3=√2−1,a5=√2+1由等比数列的性质可得a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=(√2−1+√2+1)2=8故选C9.答案：A解析：直线y=x与函数f(x)=的图象恰有三个公共点，即方程x2+4x+2= x(x≤m)与x=2(x>m)共有三个根．∵x2+4x+2=x的解为x1=−2，x2=−1，∴−1≤m<2时满足条件，故选A．10.答案：D解析：试题分析：解：因为当x>0时，有恒成立，即[]′<0恒成立，所以在(0,+∞)内单调递减．因为f(2)=0，所以在(0,2)内恒有f(x)>0；在(2,+∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以在(−∞,−2)内恒有f(x)>0；在(−2,0)内恒有f(x)<0.又不等式x2f(x)>0的解集，即不等式f(x)>0的解集．所以答案为(−∞,−2)∪(0,2).故选D．考点：函数单调性与导数点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征11.答案：D解析：试题分析：试题分析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如下图：则该几何体的表面积为，故选D．考点：三视图及空间几何体的表面积的求解．12.答案：BAD，解析：解：由题意，正方形ABCD中，E是AB中点，F是AD上一点，且AF=14∴△AEF∽△BCE，∴∠AEF=∠BCE，∴∠FEC=90°∵EG⊥CF，∴EF⋅EC=EG⋅FC，AE2+AF2=EF2=FG⋅FC，EG2=GF⋅GC即A，C，D正确，故选：B．AD，可得△AEF∽△BCE，进由题意，正方形ABCD中，E是AB中点，F是AD上一点，且AF=14而可得∠FEC=90°，从而可得A，C，D正确，即可得出结论．本题考查相似三角形的判定，考查射影定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.答案：−lg15解析：解：∵f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(1)=lg3−lg2，f(2)=lg3+lg5，∴f(3)=f(2)−f(1)=lg5+lg2=1，∴f(4)=f(3)−f(2)=lg2−lg3，f(5)=f(4)−f(3)=−lg15．f(6)=f(5)−f(4)=−1，f(7)=f(6)−f(5)=lg3−lg2=f(1)，f(8)=f(7)−f(6)=lg3+lg5=f(2)，∴f(n+6)=f(n)，∴f(2009)=f(5+334×6)═f(5)=−lg15．故答案为：−lg15．由f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(1)=lg3−lg2，f(2)=lg3+lg5，可得f(3)=f(2)−f(1)= lg5+lg2=1，f(4)=f(3)−f(2)=lg2−lg3，f(5)=f(4)−f(3)=−lg15.f(6)=f(5)−f(4)=−1，f(7)=f(6)−f(5)=lg3−lg2=f(1)，…，f(n+6)=f(n)，即可得出．本题考查了利用抽象函数的周期性求函数值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14.答案：5√3434解析：解：由题意可得tanα=b−3=−53，∴b=5，∴r=|OP|=√9+25=√34，∴sinα=√34=5√3434，故答案为：5√3434．由条件利用任意角的三角函数的定义，求出b的值，可得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15.答案：√2−1解析：解：设F为椭圆的右焦点，且AF⊥x轴，所以F(c,0)，则c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a，因为，|AF|=焦距，所以b2a=2c，即b2=2ac，a2−c2=2ac，所以e2+2e−1=0，解得e=√2−1或e=−√2−1(舍去)故答案为：√2−1．通过焦点F的横坐标，代入椭圆方程，求出A的纵坐标，利用|AF|=焦距，结合椭圆中a，b，c的关系，求出椭圆的离心率．本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆离心率的求法，属基础题．16.答案：(1,2)解析：解：∵f(−x)=13|−x|3−a(−x)2+(2−a)|−x|+b=13|x|3−ax2+(2−a)|x|=f(x)，∴f(x)为偶函数，又f(x)有六个不同的单调区间，∴当x>0时，f(x)=13x3−ax2+(2−a)x+b有三个不同的单调区间，∴f′(x)=x2−2ax+2−a与x正半轴有两交点，即x2−2ax+2−a=0有两异正根，∴{△=4a2−4(2−a)>02a>02−a>0，解得1<a<2．故答案为：1<a<2．由题意可知，f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)有三个不同的单调区间，利用其导函数与x正半轴有两交点即可求得a的取值范围．本题考查带绝对值的函数，考查利用导数研究函数的单调性，明确当x>0时，f(x)有三个不同的单调区间，是解决问题的关键，突出转化思想与函数与方程思想的考查运用，属于难题．17.答案：解：(Ⅰ)∵BC=3，B=π3，△BCD的面积为3√32，∴12BD⋅BCsinB=3√32，∴BD=2，∵D是AB的中点，∴AB=2BD=4，由余弦定理，有AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcosB=16+9−2×4×3×12=13∴AC=√13；(Ⅱ)由正弦定理，有sinA=BCsinBAC =3√3926；(Ⅲ)∵AB>AC>BC，∴C>A>B，由余弦定理，有cosC=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =√1313>0，∴C为锐角，∴三角形ABC为锐角三角形．解析：(Ⅰ)根据△BCD的面积为3√32，可由面积公式求出BD，然后由D为AB的中点可得AB=2BD，在三角形ABC中根据余弦定理可得AC；(Ⅱ)直接在三角形ABC中利用正弦定理可得sin A；(Ⅲ)根据大角对大边可得C>A>B，然后由余弦定理求出cos C，根据cos C可判断三角形是否为锐角三角形．本题考查了正余弦定理，面积公式和三角形形状的判断，考查了计算能力，属中档题．18.答案：等腰解析：解：(1)等腰根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A 必在O 、B 的垂直平分线上，所以OA =AB ，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形． 故填：等腰．(2)∵抛物线y =−x 2+bx(b >0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴该抛物线的顶点(b 2,b 24)满足b2=b 24(b >0)．∴b =2． (3)存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称， 则四边形ABCD 为平行四边形．当OA =OB 时，平行四边形ABCD 为矩形． 又∵AO =AB ， ∴△OAB 为等边三角形． 作AE ⊥OB ，垂足为E ． ∴AE =√3OE ． ∴b′24=√3⋅b′2(b′>0)，∴b′=2√3，∴A(√3,3)，B(2√3,0)， C(−√3,−3)，D(−2√3,0)，设过点O ，C ，D 三点的抛物线y =mx 2+nx ， 则{12m −2√3n =03m −√3n =−3，解得：{m =1n =2√3，∴所求抛物线的表达式为y =x 2+2√3x.1)抛物线的顶点必在抛物线与x 轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．(2)观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b >0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b 的值．(3)由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合(1)的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE 的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况19.答案：证明：(Ⅰ)设BD的中点为O′，则AO′⊥BD，CO′⊥BD.∴A，O′，C三点共线，∴BD⊥AC，∵EC⊥BD，AC∩EC=C，∴BD⊥平面AEC，∵BD⊂平面ABCD，∴平面AEC⊥平面ABCD；(Ⅱ)M为线段AE的中点时，DM//平面EBC，理由如下：取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN//BE，又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN//平面BEC，∵△ABD是等边三角形，∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∴ND//BC，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，∴DN//平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN//平面BEC，又DM⊂平面DMN，∴DM//平面BEC．解析：(Ⅰ)证明：BD⊥AC，利用EC⊥BD，AC∩EC=C，可得BD⊥平面AEC，即可证明平面AEC⊥平面ABCD；(Ⅱ)取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN//平面BEC，DN//平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN//平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM//平面BEC．本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加心理社，所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社的概率为660=110．(2)设A ，B ，C ，D 表示参加心理社的男同学，a ，b 表示参加心理社的女同学， 则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ， 其中至少有1名女同学的结果有9种： Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为P =915=35．解析：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加心理社，由此能求出在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社的概率．(2)设A ，B ，C ，D 表示参加心理社的男同学，a ，b 表示参加心理社的女同学，利用列举法能求出从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解：(1)∵f(x)=be x −alnx ，∴f′(x)=be x −ax，∴f′(1)=be −a =e −1， ∵f(1)=be =e ， ∴b =1，a =1， ∴f(x)=e x −lnx ， (2)f(x)=e x −lnx ， ∴f′(x)=e x −1x ，易知f′(x)在(0,+∞)在(0,+∞)上递增，∵f′(1)=e −1>0，f′(12)=√e −2<0，存在12<x 0<1，使得f′(x 0)=0，即e x 0−1x 0=0，∴y =f(x)的导函数的零点个数为1个．(3)由(2)可知，y =f(x)在(0,x 0)上递减，在(x 0,+∞)上递增，∴f(x)min=f(x0)=e x0−lnx0=1x0+x0>2(x0≠1)，∴f(x)>2．解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，属于中档题．(1)求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1，b=1：(2)根据导数的定义和函数零点存在定理即可求出，(3)根据函数的单调性可得f(x)min=f(x0)=e x0−lnx0=1x0+x0>2，即可证明22.答案：解：(1)曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(α为参数，且α∈[0,2π)).转换为直角坐标方程为x23+y2=1．(2)设P(√3cosα,sinα)，所以d=√3cosα−sinα+4|√2=|2cos(α+π6)+4|√2≤√2=3√2，当α=11π6时，即P(32,−12)，点P到直线l的距离取最大值．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换和点到直线的距离公式的应用及三角函数的关系式的变换及余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到走直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：(1)当n=2时，左边=12+13+14=1312>1，∴n=2时成立；(2)假设当n=k(k≥2)时成立，即1 k +1k+1+1k+2+⋯+1k2>1，那么当n=k+1时，左边=1k+1+1k+2+1k+3+⋯+1(k+1)2=1k+1k+1+1k+2+1k+3+⋯+1k2+2k+1(k+1)2−1k>1+1k2+1+1k2+2+⋯+1(k+1)2−1k>1+(2k+1)⋅1(k+1)2−1k=1+k2−k−1k(k+1)2∵k≥2，令f(k)=k2−k−1，对称轴k=12∴f(k)的增区间为[2,+∞),∴f(k)≥f(2)，即k2−k−1≥22−2−1，∴k2−k−1k(k+1)2>0，∴n=k+1时也成立，根据(1)(2)可得不等式对所有的n>1，n∈N∗都成立解析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，(1)验证n=2时不等式成立；(2)假设当n= k(k≥2)时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．。
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三3月联考数学(理)试题(解析版)
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵∴−−=3(−−)；∴=−−.故选：C.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）＝sinxB. f（x）＝e xC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的值域，属于中档题．9.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．10.抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 21【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．11.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【详解】解：∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．当且仅当时，的面积有最小值.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2x，OE，∴B（2，2x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），（﹣2，2x，﹣x），（2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴8＝0，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z （μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．【解析】【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，2a12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|，由|AB|6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（，），B（，），则，．由|AB|6，整理得：，原点O到AB的距离d．∴．当时，△AOB面积有最大值为9．综上，△AOB面积的最大值为．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．g（1）=e,得到函数草图如图所示.a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x＜2）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，2）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v （x）≥v（1）＝0．∴h′（x）（x﹣1）,h（x）在（0，1）内单调递减．∴h（x）＞h（1）＝0,∴．因此+＞2成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝8．【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学(理)试题(解析版)
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A．{1，2，3}B．{1，6，9}C．{1，6}D．{3}2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A．B．C．D．3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（）A．＝﹣+B．＝﹣C．＝+D．＝+5．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A．18B．20C．21D．256．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e x C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝x|x|7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A．B．25C．D．318．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g （x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A．B．C．2D．210．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．2111．（5分）已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx ﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A．B．2C．D．512．（5分）已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为．15．（5分）在的展开式中，常数项为．16．（5分）如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18．（12分）如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB 于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．20．（12分）已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A．{1，2，3}B．{1，6，9}C．{1，6}D．{3}【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出B∩C．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}＝{3，6，9，18，27}，C＝{x∈N|3x∈A}＝{1，2，3}，∴B∩C＝{3}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A．B．C．D．【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．【解答】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则＞，σ甲＜σ乙．故选：A ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix ＝cos x +i sin x ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由已知可得e 2i ＝cos2+i sin2，再由三角函数的象限符号得答案． 【解答】解：由题意可得，e 2i ＝cos2+i sin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 故选：B ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则（ ）A ．＝﹣+B ．＝﹣C ．＝+ D ．＝+【分析】根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．【解答】解：；∴；∴．故选：A．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A．18B．20C．21D．25【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．【解答】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30＝390＝30×5+d，解得d＝．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d＝5+29×＝21．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e x C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝x|x|【分析】根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝x3﹣3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）＝x|x|＝，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A．B．25C．D．31【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为＝4，所以矩形的长等于4×6＝24，宽等于7，由勾股定理求得d＝＝25．故选：B．【点评】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．8．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g （x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1﹣2x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）＝4，则g（x1）＝g（x2）＝2，或g（x1）＝g（x2）＝﹣2（舍去）．故有g（x1）＝g（x2）＝2，即cos2x1＝cos2x2＝﹣1，又x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x1，2x2∈[﹣4π，4π]，要使x1﹣2x2取得最大值，则应有2x1＝3π，2x2＝﹣3π，故x1﹣2x2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A．B．C．2D．2【分析】化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，得：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，∴圆心坐标C（1，2），半径r＝．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为等边三角形的高，．故选：B．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．10．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．21【分析】由y＝2x2（x＞0），求出x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2＝4a i（x﹣a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1＝a i，所以{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．【解答】解：∵y＝2x2（x＞0），∴y′＝4x，∴x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2＝4a i（x﹣a i），整理，得4a i x﹣y﹣2a i2＝0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1＝a i，∴{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，∴a2+a4+a6＝32+8+2＝42．故选：B．【点评】本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx ﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A．B．2C．D．5【分析】求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【解答】解：F2（c，0），直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|＝＝b，即有|OP|＝＝a，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|＝2|OP|＝2a，|MF2|＝2b，可得|MF2|﹣|MF1|＝2a，即为2b﹣2a＝2a，即b＝2a，可得e＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x）＝，根据条件作出函数f（x）与h（x）＝的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【解答】解：由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有4个交点，即函数g（x）的零点个数为4个，故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝．【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【解答】解：由y＝2x2，得x2＝，则p＝；由x＝1得y＝2，由抛物线的性质可得|PF|＝2+＝2+＝，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为[0，11]．【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15．（5分）在的展开式中，常数项为﹣40．【分析】根据＝，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【解答】解：∵＝（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•+6•+）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16．（5分）如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为2π．【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【解答】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【解答】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，利用正弦定理得：a2﹣b2＝c2﹣bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A＝．（2）由于，所以：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，整理得：12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，所以：＝3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB 于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处．（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【解答】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2﹣x，OE＝，∴B（2，2﹣x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2﹣x，0），＝（﹣2，2﹣x，﹣x），＝（﹣2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴＝+8＝0，解得x＝（舍）或x＝＝，∴＝，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量＝（0，1，0），＝（，0，﹣x），＝（﹣2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点评】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（3）①由（2）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k 的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【解答】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝，2a＝＝12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|＝，由|AB|＝＝6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．由|AB|＝＝6，整理得：，原点O到AB的距离d＝．∴＝＝＝．当时，△AOB面积有最大值为＜9．综上，△AOB面积的最大值为9．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x﹣有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a＝，令g（x）＝，（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．x1+x2＞2⇔x2＞2﹣x1＞1⇔＞，由＝，因此即证明：＞．构造函数h（x）＝﹣，0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a＝，令g（x）＝，（x≠0）．g′（x）＝，可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：x1+x2＞2⇔x2＞2﹣x1＞1⇔＞，由＝，因此即证明：＞．构造函数h（x）＝﹣，0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）＝﹣＝（x﹣1），令函数u（x）＝，（0＜x）．u′（x）＝．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）＝﹣在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．∴h（x）＞h（1）＝0．∴＞．因此x1+x2＞2成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|＝即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【分析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n＝4，变形7a+4b＝，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b＝＝＝，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a＝时取等号．∴7a+4b的最小值为．【点评】本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
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18．西安市自2021年5月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”.
但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低，交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到 列联表如下：
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
3．D
【分析】
利用原命题写出逆否命题、逆命题、否定，再判断其真假或命题写法的正确性．
【详解】
根据逆否命题的定义可知，A正确；
B项逆命题为：已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，若 在区间 内至少有一个零点，则 ，为假命题，如 在区间 上有一个零点，但 ，即B正确；
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列关于命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
B．已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，则命题“若 ，则 在区间 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
C．命题“ ,使得 ”的否定是：“ ，均有 ”
D．“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题
2．B
【分析】
由题意得 ，得到复数在复平面内对应的点 ，即可作出解答.
【详解】
由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈ ，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
14．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为__________．
15．记 为数列 的前项和，若 ，则 _______．
16．已知函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足 ，则 的取值范围是__________．
三、解答题
17．在 中， ， ， .
（Ⅰ）求 的值；
A．2019B． C．2D．
12．若关于 的方程 恰有3个不相等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为．
【校级联考】陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ,那么 等于（ ）
A． B． C． D．
2．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
（Ⅱ）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 （ 为参数）距离的最小值.
23．已知 均为实数，且 .
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
对集合 进行化简，再进行 的运算。
【详解】
故选A。
【点睛】
在化简集合时要注意集合的研究对象，如 的研究对象是 而不是 。
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
பைடு நூலகம்1.132
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， ， 平面 ， ， ， ， ， ，且 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值的大小.
20．已知 分别是椭圆 的左右焦点.
30岁以下
30岁以上
合计
闯红灯
60
未闯红灯
80
合计
200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚，并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：
处罚金额 （单位：元）
5
10
15
20
闯红灯的人数
50
40
20
0
将统计数据所得频率代替概率，完成下列问题.
根据否定的定义可知，C正确；
D项逆命题为:若 ，则 为 的极值点是假命题，如函数 ，虽然 ，但 不是函数 的极值点．
【点睛】
判断一个命题为假命题，可举一个反例，即可证明其为假命题．
（Ⅰ）若 是第一象限内该椭圆上的一点， ,求点 的坐标.
（Ⅱ）若直线 与圆 相切，交椭圆 于 两点，是否存在这样的直线 ，使得 ？
21．已知函数 的图象在 处的切线 过点 .
（1）若函数 ，求 的最大值（用 表示）；
（2）若 ，证明： .
22．已知曲线 （ 为参数）， （ 为参数）
（Ⅰ）将 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
4．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知在三棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数 ， 表示 的反函数，定义如框图表示的运算，若输入 ，输出 ；当输出 时，则输入 为（ ）
A． B．6C． D．8
7．已知点 ， ， ，若 ，则 的值为（ ）
（Ⅰ）将 列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关；
（Ⅱ）当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少；
（Ⅲ）结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象.
参考公式： ，其中
参考数据：
0.25
0.15
A． B． C． D．
8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 的展开式中， 系数为56，则实数 的值为（ ）
A．6或-1B．-1或4C．6或5D．4或5
10．过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 两点，若 ，则 （ ）
A．9B．72C． D．36
11．已知函数 ，若等比数列 满足 ，则 （ ）