综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧

综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧教学目标：1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；3、变速变道问题的关键是如何处理“变”；4、掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题.知识精讲：比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用V甲,v乙;t甲,t乙; s^.s乙来表示，大体可分为以下两种情况：1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

a "甲:，这里因为时间相同，即1甲t乙t ,s乙V乙t乙7所以由t甲^甲，t乙邑V甲V乙得到t竺乞，邑竺，甲乙在同一段时间tV甲V乙s乙V乙内的路程之比等于速度比2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

a "甲：甲，这里因为路程相同，即罚s乙s，s乙V乙t乙7由s甲V甲t甲, s乙V乙t乙得s V甲t甲V乙t乙,业t乙,甲乙在同一段路程V乙t甲s上的时间之比等于速度比的反比。

行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值.更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.例题精讲：模块一、时间相同速度比等于路程比【例1】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4: 3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4 : 3 .第一次相遇时甲走了全程的4/7;第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了 4 3 15个全程，与第一次相遇地点的距离为7（1 4）7个全程.所以A、B两地相距【例2】B地在A, C两地之间.甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。

【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：A V 10分钟《10分钟5_______________ C---------10分钟因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：(1)若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10* (3 —1) =5 (分钟)此时拿上乙拿错的信10分钟 5分钟 当丙再回到B 点用5分钟，此时甲已经 距 B 地有 10+ 10+ 5+ 5= 30 （分钟）, 同理丙追及时间为30- （3- 1） =15（分 钟）,此时给甲应该送的信，换回乙应 该送的信 在给乙送信，此时乙已经距B 地：10+ 5 + 5+ 15+ 15=50 （分钟）, 此时追及乙需要：50- （3- 1） =25（分 钟）,返回B 地需要25分钟 所以共需要时间为 5+ 5+ 15+ 15+ 25 + 25=90 （分钟） （2）同理先追及甲需要时间为120分钟 【例3】（“圆明杯”数学邀请赛）甲、乙两人同 时从A 、B 两点出发，甲每分钟行80米，乙 每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距 中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地 停留了 7分钟，两人将在距中点的D 处相遇， 且中点距C 、D 距离相等，问A 、B 两点相距10分钟 io 分钟B5分钟多少米？甲、乙两人速度比为80:60 4:3 ,相遇的时候时 间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走 了全程的号，乙走了全程的弓.第二次甲停 留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离 中点相等，所以第二次乙行了全程的4，甲 行了全程的3 •由于甲、乙速度比为4:3，根 据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲 行走期间乙走了 3 3，所以甲停留期间乙行 了 4 7 3 1，所以A 、B 两点的距离为 60 7 1=1680(米). 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发， 相向而行.出发时，甲、乙的速度之比是5 : 4,相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度 增加20% •这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有10千米.那么A 、B 两地相距 多少千米？ 两车相遇时甲走了全程的勺，乙走了全程的 94，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增 加 20%，此时甲、乙的速度比为 5 (1 20%):4 (1 20%) 5:6，所以甲到达 B 地时， 【分析】 【例4】【解析】乙又走了4 E仝，距离A地？空丄，所以A、B两地的距离为10右450 （千米）.【例5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地.下午1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地.下午2点时两人之间的距离是15千米.下午3点时，两人之间的距离还是15千米.下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地.小张是早晨几点出发？【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块.下午2点时两人之间的距离是15千米•下午3 点时，两人之间的距离还是15千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3 点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30千米•由下午3点开始计算，小王再有1小时就可走完全程，在这1小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时走了15 30 45 千米，故小张的速度是45七=15千米/时，小王的速度是15 + 30 =45千米/时.全程是45為=135千米，小张走完全程用了135 + 15= 9小时，所以他是上午10点出发的【例6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。

其中下坡路与上坡路的距离相等。

陈明开车从甲地到乙地共用了3小时，其中第一小时比第二小时多走15千米，第二小时比第三小时多走25千米。

如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30千米，走下坡路比走平路每小时快15千米。

那么甲乙两地相距多少千米？【解析】⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定.从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路.这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程（即第二小时走的路程）多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路.如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路.所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路.⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米.所以第二小时内用在走平路上的时间为25 30 |小时，其余的6小时在走上坡路；因为第一小时比第二小时多走了15千米，而1小时的下坡路比上坡路要多走30 15 6 7.5千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为15 7.5 15 1小时，所以在第一小时中，有1 13小时是在下坡路上走的，剩余的丄小时是在平路上走3的.因此，陈明走下坡路用了I小时，走平路用了162小时，走上坡路用了12 2 小时.⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是|：「：7 .那么下坡路的速度为3 630 15 — 105千米/时，平路的速度是每小7 4时105 15 90千米，上坡路的速度是每小时90 30 60 千米.那么甲、乙两地相距105 - 90 - 60 - 245 （千3 6 6 ' 米）・模块二、路程相同速度比等于时间的反比甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，经过3 小时，甲先到B 地，乙还需要1小时到达B 地，此时甲、乙共行了 35千米•求A , B 两 地间的距离. 甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说 明两人的速度之比为4:3，那么在3小时内的 路程之比也是4:3 ；又两人路程之和为35千 米，所以甲所走的路程为35匕20千米，即A ， B 两地间的距离为20千米. 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从B 点 同时出发反向而行，6分后两人相遇，再 过4分甲到达B 点，又过8分两人再次 相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？由题意知，甲行4分相当于乙行6分•（抓 住走同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周， 各行12分，而乙行12分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需12+ 8= 20 （分），乙需20詔怡=30 （分）. 【例7】 【分析】【例8】【解析】【例9】上午8点整，甲从A地出发匀速去 B 地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地•那么，乙从B地出发时是8点几分.【解析】甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，又走了10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10X3= 30分钟，所以前后两段路程的比为20 : 30 =2 : 3，由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟，所以乙从B地出发时是8点5分.【例10］小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样么上坡的速度是平路速度的多少倍? 上学路上所用・由于下【例1U 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750 米，预计50分钟到达•但汽车行驶到路程 的5时，出了故障，用5分钟修理完毕，女口 5 果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶 余下的路程时，每分钟必须比原来快多少 米？【分析】当以原速行驶到全程的3时，总时间也用了 53，所以还剩下50 (1 3) 20分钟的路程；修理完 5 5毕时还剩下20 5 15分钟，在剩下的这段路程 上，预计时间与实际时间之比为20:15 4:3，根 据路程一定，速度比等于时间的反比，实际 的速度与预定的速度之比也为4:3，因此每分 钟应比原来快750 - 750 250米.3小结：本题也可先求出相应的路程和时间， 再采用公式求出相应的速度，最后计算比原 来快多少，但不如采用比例法简便.坡路UBS 1-6以;上坡 【解析】 走11 ?81：—【例⑵（2008 “我爱数学夏令营”数学竞赛）一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的-前进，最终到达目的地晚1.5小时•若4出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时，然后同样以原速的4前进，则到达目的4地仅晚1小时，那么整个路程为_________ 公里.【解析】如果火车出发1小时后不停车，然后以原速的3前进，最终到达目的地晚1.5 0.5 1小时， 4在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花1 4 3 3 3小时，现在要花1 4 3 4 4小时,若出发1小时后又前进90公里不停车，然后同样以原速的？前进，则到达目的地仅晚41 0.5 0.5小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3：4，所以原计划要花0.5 4 3 3 1.5小时，现在要花0.5 4 3 4 2小时.所以按照原计划90公里的路程火车要用31.5 1.5小时，所以火车的原速度为90 1.5 60千米/小时，整个路程为60 3 1 240 千米.【例13】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6, 于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的1^10/9=9/10,即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10,原计划时间为：1.5 -4/10=15（小时）;按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6,即此后车速为原来的7/6,则此后所用时间为原计划的1476=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：5/3 4/7=35/3（小时），所以，原计划的速度为：84（千米/时），北京、上海两市间的路程为：84 X5= 1260（千米）.【例⑷一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提咼20%可以提前1小时到达.如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【解析】车速提高20%，即为原速度的6/5,那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为i（1 6）6小时；如果按原速行驶一段距离后6再提速30%，此时速度为原速度的13/10, 所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为1 （1弓）4^小时.所13 3以前面按原速度行使的时间为6 41 5小时，3 3根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的？6玄3 18【例15】一辆车从甲地开往乙地.如果车速提咼20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达•那么甲、乙两地相距多少千米？【分析】车速提高20%，速度比为5: 6，路程一定的情况下，时间比应为6:5，所以以原速度行完全程的时间为1罟6小时.以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高25%，速度比为4:5 , 所用时间比应为5:4，提前40分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要60誉罟小时，所以以原速行驶120千米所用的时间为6 £ |小时，甲、乙两3 3地的距离为120 8 6 270千米.3【例16】甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程.乙火车上午8:00从B站开往A 站，开出若干分钟后，甲火车从A站出发开往B站.上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A、B两站的距离的比是15:16 .甲火车从A站发车的时间是几点几分？［分析］甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知.由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比.根据题意可知，甲、乙两车的速度比为5: 4从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5:4 15:12，而相遇点距A、B两站的距离的比是15:16 .说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小 时所走路程的16 12 16 1 .也就是说乙比 甲先走了一个小时的四分之一，也就是 15分钟.所以甲火车从A 站发车的时间是8点15分. 比例综合题 小狗和小猴参加的100米预赛.结果，当 小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决 赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天 生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平， 我提议把小狗的起跑线往后挪10米.小狗 同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗 就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说 小猴会如愿以偿吗？小猴不会如愿以偿•第一次，小狗跑了 100米，小猴跑了 90米，所以它们的速度比为 100:90 10:9 ；那么把小狗的起跑线往后挪 10米 后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时， 小猴跑了 110 190 99米，离终点还差1米，所以 它还是比小狗晚到达终点. 【例⑻甲、乙两人同时从 A 地出发到B 地，经 模块三、【例17】 【解析】过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米.求A , B两地间的距离.【解析】甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时(3+1)两个人速度比为：甲：乙=4: 3当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，所以甲走：35-(4+ 3) M=20 (千米)，所以，A、B两地间距离为20千米、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往【例19】A乙市.开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进.A车停了半小时后以原速度的3继续前进.B、C两车行至距离甲市200千 5米时B车出了事故，C车照常前进.B车停了半小时后也以原速度的5继续前进.结果到5达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，甲、乙两市的距离为千米.【分析】如果A车没有停半小时，它将比C车晚到1.5小时，因为A车后来的速度是C车的4 ,即两车行5小时的路A车比C车慢1小时，所以慢1.5小时说明A车后来行了5 1.5 7.5小时.从甲市到乙市车要行 1 7.5 1.5 7小时.同理，如果B车没有停半小时，它将比C 车晚到0.5小时，说明B车后来行了 5 0.5 2.5 小时，这段路C车需行2.5 0.5 2小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的I.故甲、乙两市距离为200 1 | 280 （千米）.【例20】甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方.此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲.甲每小时行多少米？［分析］根据题意，乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，所以甲、乙的速度之比为2: 2.25 8:9，乙的速度是甲的速度的1.125倍；乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为3:3.75 4:5 .加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍；由于乙加速后每小时多走500米,所以甲的速度为500 1.25 1.125 4000米/小时.【例21】甲、乙两人分别骑车从A地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车.12分钟后丙也骑车从A地出发去追甲.丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙.已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍•那么甲的速度是多少？丙—— A甲 AB 3 A D E 3 C乙一> ---- K「分析］丙的速度为7.5 2 15千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了15^讦米后与甲、乙同时出发.如图所示，相当于甲、乙从A，丙从B同时出发，丙在C处追上甲，此时乙走到D 处，然后丙掉头走了3千米在E处和乙相遇.从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了 3 2 1.5千米，故CD为4.5千米.那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了 3 4.5 7.5千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了7.5千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了7.5 4.5 12千米，因此速度为12 1 12（千米/ 小时）•【例22】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。