2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（）A．1B．C．D．2．若＝，则的值为（）A．B．C．D．3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．04．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣1）D．（1，5）5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③b2﹣4ac＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小．（）A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④二、填空题（共6小题）.9．计算：＝．10．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是．11．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是．12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点B的坐标为（3，﹣2），则点B′的坐标是．13．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为cm2．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是．三.解答题（共10小题）.15．计算：．16．如图三张不透明的卡片，正面图案分别是我国著名的古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽出一张，记录图象后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请你用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率．17．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，2020年投资1690万元，求这两年投资的年平均增长率．18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC∥AD，对角线AC⊥CD．（1）求证：△CBA∽△ACD．（2）若AB＝2，CD＝3，求△ABC与△DCA的面积比．19．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积的．（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．20．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）21．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】（1）在图①中，若AB＝2，∠AOD＝120°，则四边形EFGH的面积为．（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，O是其内部任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，EO＝2AE，EF∥AB∥GH，且EF＝GH，若△EFO与△GHO的面积和为，则菱形ABCD 的周长为．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P 不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；（4）设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．点P是抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥y轴，交直线AB于点Q，连接BP，设点P的横坐标为m，△PQB的边PQ与PQ边上的高之差为d．（1）求此抛物线解析式．（2）求点Q的横坐标（用含m的代数式表示）；（3）∠BQP为锐角．①求d关于m的函数关系式；②当△AOB的顶点到PQ的最短距离等于d时，直接写出m的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（）A．1B．C．D．解：∵一枚硬币只有正反两面，∴随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是．故选：B．2．若＝，则的值为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴＝，∴＝1+＝1+＝．故选：A．3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．0解：把x＝1代入一元二次方程x2﹣3x+a＝0得1﹣3+a＝0，所以a＝2．故选：C．4．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣1）D．（1，5）解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）．故选：C．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．解：A、原式＝＝，所以A选项错误；B、原式＝＝7，所以B选项错误；C、原式＝＝＝9，所以C选项正确；D、与不能合并，所以D选项错误．故选：C．6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（）A．B．C．D．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵DE＝3，DF＝8，∴，即＝，故选：B．7．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，∴tanα＝，∴BC＝AC•tanα＝2tanα，故选：B．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③b2﹣4ac＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小．（）A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a＞0；又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴c＜0；∴ac＜0，即①正确；②由图象知，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＜0．故②正确；③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．计算：＝11．解：＝＝11．故答案为：11．10．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是13．解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∴△＝b2﹣4ac＝1+12＝13．所以一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．11．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是15cm．解：连接AD、BC，∵，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴，∵A，D两个端点之间的距离为10cm，∴BC＝15cm，故答案为：15cm．12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点B的坐标为（3，﹣2），则点B′的坐标是（﹣2，）．【分析】利用以原点为位似中心的位似图形上对应点的坐标变换规律，把B点的横纵坐标都乘以﹣得到点B′的坐标．解：∵△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，而点B的坐标为（3，﹣2），∴点B′的横坐标为3×（﹣），纵坐标为﹣2×（﹣），即B′点的坐标为（﹣2，）．故答案为（﹣2，）．13．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为12cm2．【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出平行四边形DGFE的高，进而得出答案．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴BC＝＝10（cm），∵＝BC•AM，∴AM＝，即AM＝＝4.8（cm），∵四边形DEFG是平行四边形，∴DE∥BC．又∵点D是边AB的中点，∴DE＝BC＝5cm．∴DE＝FG＝5cm，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AN＝MN＝2.4cm，∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．故答案是：12．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到抛物线的对称轴，从而可以得到AB的长，然后即可得到点A的坐标，再根据△ABE为等腰直角三角形，即可得到点E到AB的距离，从而可以得到点E的坐标，然后根据点A在抛物线上，即可求得a的值．解：∵抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴AB＝2×|﹣3|＝6，∴点A的坐标为（0，﹣6），∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝6，∴点E到AB的距离为3，∴点E的坐标为（﹣3，﹣9），∴抛物线为y＝a（x+3）2﹣9，∵点A（0，﹣6）在该抛物线上，∴﹣6＝a（0+3）2﹣9，解得a＝，故答案为：．三.解答题（本大题10小题，共78分）15．计算：．【分析】首先计算开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法、减法，求出算式的值是多少即可．解：＝2×﹣2×＝3﹣2＝1．16．如图三张不透明的卡片，正面图案分别是我国著名的古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽出一张，记录图象后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请你用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率．【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果数，再根据概率公式计算可得．解：把古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9个等可能的结果，抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果有1个，∴抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率为．17．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，2020年投资1690万元，求这两年投资的年平均增长率．【分析】设这两年投资的年平均增长率是x．根据2018年投资1000万元，得出2019年投资1000（1+x）万元，2020年投资1000（1+x）2万元，2020年投资1690万元．据此列方程求解．解：设平均每年投资增长的百分率是x．由题意得1000（1+x）2＝1690，解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意舍去）．答：这两年投资的年平均增长率为30%．18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC∥AD，对角线AC⊥CD．（1）求证：△CBA∽△ACD．（2）若AB＝2，CD＝3，求△ABC与△DCA的面积比．【分析】（1）利用平行线的性质得∠ACB＝∠CAD，加上∠B＝∠ACD，则可判断△CBA ∽△ACD；（2）根据相似三角形的性质求解．【解答】（1）证明：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠CAD，∵∠B＝∠ACD，∴△CBA∽△ACD；（2）解：∵△CBA∽△ACD，∴＝（）2＝（）2＝．19．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积的．（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．【分析】（1）根据网格即可在图①中边AB上找到格点D，使CD将△ABC面积两等分；（2）根据三角形的面积和网格即可在图②中△ABC的内部找到格点E，使△BCE是△ABC面积的；（3）根据网格和三角形的面积即可在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．解：（1）如图①，点D即为所求；（2）如图②，点E即为所求；∵△ABC面积为5×4＝10，△BCE的面积为×5×1＝，∴△BCE是△ABC面积的；（3）如图③，直线l即为所求．∵直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积为5×＝，而10×＝．∴直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．20．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）【分析】如图作AH⊥CN于H．想办法求出BH、CH即可解决问题；解：如图作AH⊥CN于H．在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，BH＝10.5﹣2.5＝8（m），∴AH＝BH＝8（m），在Rt△AHC中，tan65°＝，∴CH＝8×2.1≈17（m），∴BC＝CH﹣BH＝17﹣8＝9（m）．21．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？【分析】（1）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；（2）求出x＝2时y的值，与1.8比较大小即可得出答案．解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（1，3），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将点C（3，0）代入，得：4a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；（2）当x＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣×（2﹣1）2+3＝＞1.8，∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】（1）在图①中，若AB＝2，∠AOD＝120°，则四边形EFGH的面积为．（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，O是其内部任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，EO＝2AE，EF∥AB∥GH，且EF＝GH，若△EFO与△GHO的面积和为，则菱形ABCD 的周长为24．【分析】【教材呈现】由矩形的性质得出OA＝OB＝OC＝OD，再证出OE＝OF＝OG＝OH，即可得出结论．【结论应用】（1）证明△OEF为等边三角形，得出∠EFO＝60°，可求出EF＝1，EH＝，则答案可求出；（2）过点G作GN⊥EF于点N，由条件可知四边形EFGH为平行四边形，可得∠EFG ＝60°，设EF＝x，则NG＝x，由△EFO与△GHO的面积和列出方程求出x＝4，证明△OEF∽△OAB，可求出AB的长，即可解决问题．【解答】【教材呈现】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形，EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．【结论应用】解：（1）∵AB＝2，∴EF＝AB＝1，∵∠BAD＝90°，∴∠FEH＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠EOF＝60°，∴△OEF为等边三角形，∴∠EFO＝60°，∴EH＝，∴四边形EFGH的面积为1×＝，故答案为：．（2）过点G作GN⊥EF于点N，∵EF∥GH，且EF＝GH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝∠EFG＝60°，设EF＝x，则NG＝，∵△EFO与△GHO的面积和为4，∴•x•x＝4，解得：x＝4，∴EF＝4，∵EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴＝，∵EO＝2AE，∵EO＝2AE，∴＝，∴AB＝6，∴菱形ABCD的周长为24．故答案为：24．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P 不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；（4）设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．【分析】（1）利用勾股定理计算AB的长即可；（2）分两种情况：P在AC和BC上，根据三角函数定义和平行线分线段成比例列方程可得t的值；（3）分两种情况：P在AC和BC上，当P在AC上时，证明四边形APED是平行四边形，得DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，根据△ADP≌△PCF，得PC＝AD＝4t，根据AC＝AP+CP列方程可得结论；P在BC上，同理得：四边形DEPB是平行四边形，证明△PDB ∽△ACB，根据相似三角形周长的比等于相似比可得结论；（4）分两种情况：P在AC和BC上，分别根据面积比可得EQ与CP的比，列方程可得结论．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，∴AB＝＝＝25；（2）如图1，P在AC上时，点E在BC上，DE∥AC，∵DE∥AC，∴∠CPE＝∠DEP，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，由题意得：AP＝5t，sin A＝，即，∴PD＝3t，∴AD＝4t，BD＝25﹣4t，∵∠DPE＝90°，∴∠APD+∠CPE＝90°＝∠APD+∠A，∴∠CPE＝∠A＝∠DEP，∴sin∠DEP＝，∴DE＝5t，∵DE∥AC，∴，即，解得：t＝；如图2，P在BC上时，点E在AC上，DE∥BC，由题意得：CP＝5t﹣20，PB＝15﹣（5t﹣20）＝35﹣5t，∵∠EPD＝∠PDB＝90°，∴EP∥AB，∵DE∥BC，∴四边形EPBD是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∵∠CEP＝∠A＝∠PDE，∴sin∠CEP＝sin∠PDE，∴＝，即，∴EP＝，∴＝，解得：t＝；综上，t的值是或；（3）如图3，P在AC上，△PDE与△ABC重叠部分图形是△PDE，设直线PE与BC交于点F，∵AP∥DE，AD∥PE，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∵△ADP≌△PCF，∴PC＝AD＝4t，∵AC＝AP+CP，即20＝5t+4t，∴t＝，∴△PDE的周长＝PD+PE+DE＝3t+4t+5t＝12t＝12×＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；如图4，P在BC上，△PDE与△ABC重叠部分的图形是△PDE，设直线PE与AC交于点G，同理得：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB，∵△GCP≌△PDB，∴PC＝BD＝5t﹣20，Rt△PDB中，cos B＝＝，∴＝，解得：t＝，∴PB＝35﹣5×＝，∵∠C＝∠PDB＝90°，∠B＝∠B，∴△PDB∽△ACB，∴＝，∴△PDB的周长＝×（15+20+25）＝，∴△PDE的周长＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；综上，△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为或；（4）分两种情况：①如图5，P在AC上，设PE与CQ交于点O，连接PQ，∵Q是DE的中点，∴DQ＝EQ＝t，∴S△PDQ＝S△PQE，Rt△PDE中，PD＝3t，PE＝4t，DE＝5t，∵＝＝，∴＝，∴＝，∴＝1，∵DE∥CP，∴，即＝1，解得：t＝；②如图6，P在BC上，＝，同理得：＝1，∵CP＝5t﹣20，PB＝35﹣5t，由上题知：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∴EQ＝，∵ED∥PC，∴＝1，∴EQ＝CP，∴＝5t﹣20，解得：t＝5；综上，t的值是或5．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．点P是抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥y轴，交直线AB于点Q，连接BP，设点P的横坐标为m，△PQB的边PQ与PQ边上的高之差为d．（1）求此抛物线解析式．（2）求点Q的横坐标（用含m的代数式表示）；（3）∠BQP为锐角．①求d关于m的函数关系式；②当△AOB的顶点到PQ的最短距离等于d时，直接写出m的值．【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法求解即可．（2）根据P，Q两点的纵坐标相同，求解即可．（3）①分两种情形：m＜0或0＜m＜2，分别求解即可．②分2种情形，m＜0时，也有两种情形，分别构建方程求解，0＜m＜2时，构建方程求解即可．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，∴A（3，0），B（0，3），把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）由题意P（m，﹣m2+2m+3），∵PQ⊥y轴，∴P，Q纵坐标相同，即﹣m2+2m+3＝﹣x+3，∴x＝m2﹣2m，∴Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3）．（3）①如图1中，设抛物线与x小的另一个交点为C（﹣1，0），顶点为D（1，4）．当m＜0时，d＝（m2﹣2m﹣m）﹣[3﹣（﹣m2+2m+3）]＝﹣m．当0＜m＜2时，d＝[m﹣（m2﹣2m）]﹣[（﹣m2+2m+3）﹣3]＝m．②当m＜0时，由题意，﹣m＝3﹣（﹣m2+2m+3）或﹣m＝﹣m2+2m+3，解得，m＝0（舍弃）或1（舍弃）或或（舍弃），∴m＝．当0＜m＜2时，由题意，m＝﹣m2+2m+3﹣3，解得m＝1或0（舍弃），∴m＝1，综上所述，满足条件的m的值为1或．。
2020-2021长春市初三数学上期末模拟试卷(及答案)
2020-2021长春市初三数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜12．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知==，则球的半径长是（）EF CD4A．2B．2.5C．3D．44．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣15．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是( )A．x(x-20)=300B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300D．60(x-20)=300 6．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A．正三角形B．矩形C．正八边形D．正六边形7．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣3）2﹣5B．y=2（x+3）2+5C．y=2（x﹣3）2+5D．y=2（x+3）2﹣58．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为()A ．59B ．49C ．56D ．139．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°10．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根12．当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．14．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（2，0），将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，则点P 3的坐标是_____．15．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD 绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____．17．若点A （－3，y 1）、B （0，y 2）是二次函数y=－2（x －1）2+3图象上的两点，那么y 1与y 2的大小关系是________（填y 1＞y 2、y 1=y 2或y 1＜y 2）．18．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．19．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为34”，则这个袋中白球大约有_____个． 20．若二次函数y ＝x 2﹣3x +3﹣m 的图象经过原点，则m ＝_____．三、解答题21．小明在解方程2210x x --=时出现了错误，其解答过程如下：解：221x x -=-（第一步）22111x x -+=-+（第二步）2(1)0x -=（第三步）121x x ==（第四步）（1）小明解答过程是从第几步开始出错的，写出错误原因.（2）请写出此题正确的解答过程.22．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；23．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于点A，B （点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B的坐标；（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM．①求二次函数解析式；②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值；③若直线x=4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将图象P沿直线x=4翻折，得到图象Q，又过点（10，﹣4）的直线y=kx+b 与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．24．请你依据下面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：(1)用树状图（或表格）表示出所有可能的寻宝情况；(2)求在寻宝游戏中胜出的概率．25．在四张编号为A，B，C，D的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．(1)请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A ，B ，C ，D 表示)；(2)我们知道，满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数a ，b ，c 成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．A解析：A【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．详解：A 、是中心对称图形，故本选项正确；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A ．点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．3．B【解析】【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．B解析：B【解析】【详解】∵函数y=-2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．5．A解析：A【分析】设扩大后的正方形绿地边长为xm ，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m 2”建立方程即可．【详解】设扩大后的正方形绿地边长为xm ，根据题意得x （x-20）=300，故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．6．C解析：C【解析】因为正八边形的每个内角为135︒，不能整除360度，故选C.7．A解析：A【解析】把22y x =向右平移3个单位长度变为：223()y x =-，再向下平移5个单位长度变为：22(3)5y x =--．故选A ．8．B解析：B【解析】【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49． 【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC =34°，∴∠AOC =2∠ADC =68°．∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA 12=（180°﹣68°）=56°． 故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别11．C解析：C【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b a -=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误；∵对称轴x=2b a-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确；∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点． 12．D解析：D【解析】【分析】【详解】∵ab ＞0，∴a 、b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a ＜0，b ＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B 图象符合要求．故选B ．二、填空题13．【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过ABC 三点的外接圆从而得出答案如图分别作ABBC 的中垂线两直线的交点为O 以O 为圆心OA 为半径作圆则⊙O 即为过ABC 三点的外接圆由图可知⊙O 还经过点DEFGH 这5解析：【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A ，B ，C 三点的外接圆，从而得出答案．如图，分别作AB 、BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的外接圆，由图可知，⊙O 还经过点D 、E 、F 、G 、H 这5个格点，故答案为5．考点：圆的有关性质.14．（﹣22）【解析】【分析】利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4∠xOP2=∠P2OP3=60°作P3H ⊥x 轴于H 利用含30度的直角三角形求出OHP3H 从而得到P3点坐标【详解】解：如图∵点解析：（﹣2，3【解析】【分析】利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，利用含30度的直角三角形求出OH、P3H，从而得到P3点坐标．【详解】解：如图，∵点P0的坐标为（2，0），∴OP0=OP1=2，∵将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，∴OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，OH=12OP3=2，P333∴P3（-2，3故答案为（-2，3【点睛】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．15．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点EME与抛物线交于点P′由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值即可得出当点P 运动到点P′时△PMF周长取最小值【详解】解解析：5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P ′在抛物线上，∴P′F=P′E ．又∵点到直线之间垂线段最短，22(30)(32)-+-=2，∴当点P 运动到点P ′时，△PMF 周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5． 故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF 周长的取最小值时点P 的位置是解题的关键.16．【解析】【分析】根据题意用的面积减去扇形的面积即为所求【详解】由题意可得AB ＝2BC ∠ACB ＝90°弓形BD 与弓形AD 完全一样则∠A ＝30°∠B ＝∠BCD ＝60°∵CB ＝4∴AB ＝8AC ＝4∴阴影部 解析：8833π． 【解析】【分析】根据题意，用ABC 的面积减去扇形CBD 的面积，即为所求.【详解】由题意可得，AB ＝2BC ，∠ACB ＝90°，弓形BD 与弓形AD 完全一样，则∠A ＝30°，∠B ＝∠BCD ＝60°，∵CB ＝4，∴AB ＝8，AC ＝3， 2443604360π⨯⨯⨯-＝8833π， 故答案为：8833π． 【点睛】本题考查不规则图形面积的求法，属中档题. 17．y1＜y2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1由a=-2可知当x ＞1时y 随x 增大而减小当x ＜1时y 随x 增大而增大因此由-3＜0＜1可知y1＜y2故答案为y1＜y2点睛：此题主要考查解析：y 1＜y 2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x ＞1时，y 随 x 增大而减小，当x＜1时，y随x增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y1＜y2.故答案为y1＜y2.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a的值判断其增减性，然后可判断.18．-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可此题也可解出x的值直接计算【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1x2（x1＜x2）∴x1+x2=2x1x2=﹣3则x1﹣x2=﹣（x1+解析：-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．此题也可解出x的值，直接计算．【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，则x1﹣x2=﹣=﹣=﹣4．故答案为﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解答本题的关键．19．2【解析】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球∴袋中一共有球（6+n ）个∵从中任摸一个球恰好是黑球的概率为∴解得：n=2故答案为2解析：2【解析】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为34，∴63 64n=+，解得：n=2．故答案为2．20．【解析】【分析】此题可以将原点坐标（00）代入y=x2-3x+3-m求得m的值即可【详解】由于二次函数y=x2-3x+3-m的图象经过原点把（00）代入y=x2-3x+3-m得：3-m=0解得：m=解析：【解析】【分析】此题可以将原点坐标（0，0）代入y=x2-3x+3-m，求得m的值即可．【详解】由于二次函数y=x2-3x+3-m的图象经过原点，把（0，0）代入y=x2-3x+3-m，得：3-m=0，解得：m=3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解．三、解答题21．（1）一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错均给分）；（2）11x =21x =-【解析】【分析】（1）第一步即发生错误，移项未变号；（2）可将采用配方法解方程即可.【详解】（1）一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错）（2）解：221x x -=22111x x -+=+()212x -=即，11x =，21x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟悉各种解法的特点并灵活选择解法是解题关键.22．（1）12（2）当x=11时，y 最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y ，根据题意得到二次函数的解析式y=x （30-2x ）=-2x 2+30x ，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米．依题意可列方程 x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0．解得x 1＝3（舍去），x 2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x ≤18．解得6≤x ≤11．面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252； ②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.23．（1）A （﹣1，0）、B （3，0）；（2）①y =x 2﹣2x ﹣3；②t 值为0或4；③﹣1≤b ＜11或b =﹣4．【解析】【分析】（1）令y ＝0，即：ax 2﹣2ax ﹣3a ＝0，解得：x ＝﹣1或3，即可求解；（2）①DM ＝2AM ＝4，即点D 的坐标为（1，﹣4），将点D 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；②分x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；③如下图所示，直线m 、l 、n 都是直线y ＝kx +b 与图象P 、Q 都相交，且只有两个交点的临界点，即可求解．【详解】解：（1）令y =0，即：ax 2﹣2ax ﹣3a =0，解得：x =﹣1或3，即点A 、B 的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），函数的对称轴12b x a =-=； （2）①DM =2AM =4，即点D 的坐标为（1，﹣4），将点D 的坐标代入二次函数表达式得：﹣4=a ﹣2a ﹣3a ，解得：a =1，即函数的表达式为：y =x 2﹣2x ﹣3；②当x =t 和x =t ﹣2在对称轴右侧时，函数在x =t 处，取得最大值，即：t 2﹣2t ﹣3=5，解得：t =﹣2或4（舍去t =﹣2），即t =4；同理当x =t 和x =t ﹣2在对称轴左侧或两侧时，解得：t =0，故：t 值为0或4；③如下图所示，直线m 、l 、n 都是直线y =kx +b 与图象P 、Q 都相交，且只有两个交点的临界点，点E 、R 、C '坐标分别为（4，5）、（10，﹣4）、（8，﹣3），直线l 的表达式：把点E 、R 的坐标代入直线y =kx +b 得：54410,k b k b =+⎧⎨-=+⎩ 解得：3211,k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 同理可得直线m 的表达式为：112y x =--， 直线n 的表达式为：y =﹣4，故：b 的取值范围为：﹣1≤b ＜11或b =﹣4．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）③是本题的难点，主要通过作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题．24．（1）答案见解析；（2）1 6【解析】【分析】列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】（1）树状图如下：（2）由（1）中的树状图可知：P（胜出）【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．同时熟记用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法25．（1）图形见解析（2）1 2【解析】【分析】（1）本题属于不放回的情况，画出树状图时要注意；（2）B、C、D三个卡片的上的数字是勾股数，选出选中B、C、D其中两个的即可【详解】（1）画树状图如下：（2）∵共有12种等可能的结果数，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6种，∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率61 122 ==.。
2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（）A．1B．C．D．2．若＝，则的值为（）A．B．C．D．3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．04．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣1）D．（1，5）5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③b2﹣4ac＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小．（）A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④二、填空题（共6小题）.9．计算：＝．10．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是．11．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是．12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点B的坐标为（3，﹣2），则点B′的坐标是．13．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为cm2．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是．三.解答题（共10小题）.15．计算：．16．如图三张不透明的卡片，正面图案分别是我国著名的古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽出一张，记录图象后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请你用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率．17．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，2020年投资1690万元，求这两年投资的年平均增长率．18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC∥AD，对角线AC⊥CD．（1）求证：△CBA∽△ACD．（2）若AB＝2，CD＝3，求△ABC与△DCA的面积比．19．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积的．（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．20．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）21．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】（1）在图①中，若AB＝2，∠AOD＝120°，则四边形EFGH的面积为．（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，O是其内部任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，EO＝2AE，EF∥AB∥GH，且EF＝GH，若△EFO与△GHO的面积和为，则菱形ABCD 的周长为．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P 不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；（4）设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．点P是抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥y轴，交直线AB于点Q，连接BP，设点P的横坐标为m，△PQB的边PQ与PQ边上的高之差为d．（1）求此抛物线解析式．（2）求点Q的横坐标（用含m的代数式表示）；（3）∠BQP为锐角．①求d关于m的函数关系式；②当△AOB的顶点到PQ的最短距离等于d时，直接写出m的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（）A．1B．C．D．解：∵一枚硬币只有正反两面，∴随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是．故选：B．2．若＝，则的值为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴＝，∴＝1+＝1+＝．故选：A．3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．0解：把x＝1代入一元二次方程x2﹣3x+a＝0得1﹣3+a＝0，所以a＝2．故选：C．4．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣1）D．（1，5）解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）．故选：C．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．解：A、原式＝＝，所以A选项错误；B、原式＝＝7，所以B选项错误；C、原式＝＝＝9，所以C选项正确；D、与不能合并，所以D选项错误．故选：C．6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（）A．B．C．D．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵DE＝3，DF＝8，∴，即＝，故选：B．7．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，∴tanα＝，∴BC＝AC•tanα＝2tanα，故选：B．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③b2﹣4ac＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小．（）A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a＞0；又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴c＜0；∴ac＜0，即①正确；②由图象知，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＜0．故②正确；③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．计算：＝11．解：＝＝11．故答案为：11．10．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是13．解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∴△＝b2﹣4ac＝1+12＝13．所以一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．11．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是15cm．解：连接AD、BC，∵，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴，∵A，D两个端点之间的距离为10cm，∴BC＝15cm，故答案为：15cm．12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点B的坐标为（3，﹣2），则点B′的坐标是（﹣2，）．【分析】利用以原点为位似中心的位似图形上对应点的坐标变换规律，把B点的横纵坐标都乘以﹣得到点B′的坐标．解：∵△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，而点B的坐标为（3，﹣2），∴点B′的横坐标为3×（﹣），纵坐标为﹣2×（﹣），即B′点的坐标为（﹣2，）．故答案为（﹣2，）．13．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为12cm2．【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出平行四边形DGFE的高，进而得出答案．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴BC＝＝10（cm），∵＝BC•AM，∴AM＝，即AM＝＝4.8（cm），∵四边形DEFG是平行四边形，∴DE∥BC．又∵点D是边AB的中点，∴DE＝BC＝5cm．∴DE＝FG＝5cm，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AN＝MN＝2.4cm，∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．故答案是：12．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到抛物线的对称轴，从而可以得到AB的长，然后即可得到点A的坐标，再根据△ABE为等腰直角三角形，即可得到点E到AB的距离，从而可以得到点E的坐标，然后根据点A在抛物线上，即可求得a的值．解：∵抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴AB＝2×|﹣3|＝6，∴点A的坐标为（0，﹣6），∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝6，∴点E到AB的距离为3，∴点E的坐标为（﹣3，﹣9），∴抛物线为y＝a（x+3）2﹣9，∵点A（0，﹣6）在该抛物线上，∴﹣6＝a（0+3）2﹣9，解得a＝，故答案为：．三.解答题（本大题10小题，共78分）15．计算：．【分析】首先计算开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法、减法，求出算式的值是多少即可．解：＝2×﹣2×＝3﹣2＝1．16．如图三张不透明的卡片，正面图案分别是我国著名的古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽出一张，记录图象后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请你用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率．【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果数，再根据概率公式计算可得．解：把古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9个等可能的结果，抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果有1个，∴抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率为．17．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，2020年投资1690万元，求这两年投资的年平均增长率．【分析】设这两年投资的年平均增长率是x．根据2018年投资1000万元，得出2019年投资1000（1+x）万元，2020年投资1000（1+x）2万元，2020年投资1690万元．据此列方程求解．解：设平均每年投资增长的百分率是x．由题意得1000（1+x）2＝1690，解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意舍去）．答：这两年投资的年平均增长率为30%．18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC∥AD，对角线AC⊥CD．（1）求证：△CBA∽△ACD．（2）若AB＝2，CD＝3，求△ABC与△DCA的面积比．【分析】（1）利用平行线的性质得∠ACB＝∠CAD，加上∠B＝∠ACD，则可判断△CBA ∽△ACD；（2）根据相似三角形的性质求解．【解答】（1）证明：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠CAD，∵∠B＝∠ACD，∴△CBA∽△ACD；（2）解：∵△CBA∽△ACD，∴＝（）2＝（）2＝．19．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积的．（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．【分析】（1）根据网格即可在图①中边AB上找到格点D，使CD将△ABC面积两等分；（2）根据三角形的面积和网格即可在图②中△ABC的内部找到格点E，使△BCE是△ABC面积的；（3）根据网格和三角形的面积即可在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．解：（1）如图①，点D即为所求；（2）如图②，点E即为所求；∵△ABC面积为5×4＝10，△BCE的面积为×5×1＝，∴△BCE是△ABC面积的；（3）如图③，直线l即为所求．∵直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积为5×＝，而10×＝．∴直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．20．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）【分析】如图作AH⊥CN于H．想办法求出BH、CH即可解决问题；解：如图作AH⊥CN于H．在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，BH＝10.5﹣2.5＝8（m），∴AH＝BH＝8（m），在Rt△AHC中，tan65°＝，∴CH＝8×2.1≈17（m），∴BC＝CH﹣BH＝17﹣8＝9（m）．21．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？【分析】（1）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；（2）求出x＝2时y的值，与1.8比较大小即可得出答案．解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（1，3），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将点C（3，0）代入，得：4a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；（2）当x＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣×（2﹣1）2+3＝＞1.8，∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】（1）在图①中，若AB＝2，∠AOD＝120°，则四边形EFGH的面积为．（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，O是其内部任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，EO＝2AE，EF∥AB∥GH，且EF＝GH，若△EFO与△GHO的面积和为，则菱形ABCD 的周长为24．【分析】【教材呈现】由矩形的性质得出OA＝OB＝OC＝OD，再证出OE＝OF＝OG＝OH，即可得出结论．【结论应用】（1）证明△OEF为等边三角形，得出∠EFO＝60°，可求出EF＝1，EH＝，则答案可求出；（2）过点G作GN⊥EF于点N，由条件可知四边形EFGH为平行四边形，可得∠EFG ＝60°，设EF＝x，则NG＝x，由△EFO与△GHO的面积和列出方程求出x＝4，证明△OEF∽△OAB，可求出AB的长，即可解决问题．【解答】【教材呈现】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形，EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．【结论应用】解：（1）∵AB＝2，∴EF＝AB＝1，∵∠BAD＝90°，∴∠FEH＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠EOF＝60°，∴△OEF为等边三角形，∴∠EFO＝60°，∴EH＝，∴四边形EFGH的面积为1×＝，故答案为：．（2）过点G作GN⊥EF于点N，∵EF∥GH，且EF＝GH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝∠EFG＝60°，设EF＝x，则NG＝，∵△EFO与△GHO的面积和为4，∴•x•x＝4，解得：x＝4，∴EF＝4，∵EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴＝，∵EO＝2AE，∵EO＝2AE，∴＝，∴AB＝6，∴菱形ABCD的周长为24．故答案为：24．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P 不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；（4）设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．【分析】（1）利用勾股定理计算AB的长即可；（2）分两种情况：P在AC和BC上，根据三角函数定义和平行线分线段成比例列方程可得t的值；（3）分两种情况：P在AC和BC上，当P在AC上时，证明四边形APED是平行四边形，得DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，根据△ADP≌△PCF，得PC＝AD＝4t，根据AC＝AP+CP列方程可得结论；P在BC上，同理得：四边形DEPB是平行四边形，证明△PDB ∽△ACB，根据相似三角形周长的比等于相似比可得结论；（4）分两种情况：P在AC和BC上，分别根据面积比可得EQ与CP的比，列方程可得结论．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，∴AB＝＝＝25；（2）如图1，P在AC上时，点E在BC上，DE∥AC，∵DE∥AC，∴∠CPE＝∠DEP，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，由题意得：AP＝5t，sin A＝，即，∴PD＝3t，∴AD＝4t，BD＝25﹣4t，∵∠DPE＝90°，∴∠APD+∠CPE＝90°＝∠APD+∠A，∴∠CPE＝∠A＝∠DEP，∴sin∠DEP＝，∴DE＝5t，∵DE∥AC，∴，即，解得：t＝；如图2，P在BC上时，点E在AC上，DE∥BC，由题意得：CP＝5t﹣20，PB＝15﹣（5t﹣20）＝35﹣5t，∵∠EPD＝∠PDB＝90°，∴EP∥AB，∵DE∥BC，∴四边形EPBD是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∵∠CEP＝∠A＝∠PDE，∴sin∠CEP＝sin∠PDE，∴＝，即，∴EP＝，∴＝，解得：t＝；综上，t的值是或；（3）如图3，P在AC上，△PDE与△ABC重叠部分图形是△PDE，设直线PE与BC交于点F，∵AP∥DE，AD∥PE，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∵△ADP≌△PCF，∴PC＝AD＝4t，∵AC＝AP+CP，即20＝5t+4t，∴t＝，∴△PDE的周长＝PD+PE+DE＝3t+4t+5t＝12t＝12×＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；如图4，P在BC上，△PDE与△ABC重叠部分的图形是△PDE，设直线PE与AC交于点G，同理得：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB，∵△GCP≌△PDB，∴PC＝BD＝5t﹣20，Rt△PDB中，cos B＝＝，∴＝，解得：t＝，∴PB＝35﹣5×＝，∵∠C＝∠PDB＝90°，∠B＝∠B，∴△PDB∽△ACB，∴＝，∴△PDB的周长＝×（15+20+25）＝，∴△PDE的周长＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；综上，△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为或；（4）分两种情况：①如图5，P在AC上，设PE与CQ交于点O，连接PQ，∵Q是DE的中点，∴DQ＝EQ＝t，∴S△PDQ＝S△PQE，Rt△PDE中，PD＝3t，PE＝4t，DE＝5t，∵＝＝，∴＝，∴＝，∴＝1，∵DE∥CP，∴，即＝1，解得：t＝；②如图6，P在BC上，＝，同理得：＝1，∵CP＝5t﹣20，PB＝35﹣5t，由上题知：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∴EQ＝，∵ED∥PC，∴＝1，∴EQ＝CP，∴＝5t﹣20，解得：t＝5；综上，t的值是或5．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．点P是抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥y轴，交直线AB于点Q，连接BP，设点P的横坐标为m，△PQB的边PQ与PQ边上的高之差为d．（1）求此抛物线解析式．（2）求点Q的横坐标（用含m的代数式表示）；（3）∠BQP为锐角．①求d关于m的函数关系式；②当△AOB的顶点到PQ的最短距离等于d时，直接写出m的值．【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法求解即可．（2）根据P，Q两点的纵坐标相同，求解即可．（3）①分两种情形：m＜0或0＜m＜2，分别求解即可．②分2种情形，m＜0时，也有两种情形，分别构建方程求解，0＜m＜2时，构建方程求解即可．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，∴A（3，0），B（0，3），把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）由题意P（m，﹣m2+2m+3），∵PQ⊥y轴，∴P，Q纵坐标相同，即﹣m2+2m+3＝﹣x+3，∴x＝m2﹣2m，∴Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3）．（3）①如图1中，设抛物线与x小的另一个交点为C（﹣1，0），顶点为D（1，4）．当m＜0时，d＝（m2﹣2m﹣m）﹣[3﹣（﹣m2+2m+3）]＝﹣m．当0＜m＜2时，d＝[m﹣（m2﹣2m）]﹣[（﹣m2+2m+3）﹣3]＝m．②当m＜0时，由题意，﹣m＝3﹣（﹣m2+2m+3）或﹣m＝﹣m2+2m+3，解得，m＝0（舍弃）或1（舍弃）或或（舍弃），∴m＝．当0＜m＜2时，由题意，m＝﹣m2+2m+3﹣3，解得m＝1或0（舍弃），∴m＝1，综上所述，满足条件的m的值为1或．。
吉林省长春市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)
试卷第1页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………吉林省长春市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．2110x x +-= B ．23154+=+x x C ．20ax bx c ++= D ．2210m m -+=2．下列说法正确的是（ ） A ．“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件 B ．“汽车累积行驶10000km ，出现一次故障”是随机事件C ．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D ．若两组数据的平均数相同，则方差大的更稳定 3．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．89B ．27C ．23D ．184．如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ''的位置，已知AO 的长为5米．若栏杆的旋转角AOA α'∠=，则栏杆A 端升高的高度为（ ）A ．5sin α米 B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5cos α米试卷第2页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A ．∠C ＝∠AEDB ．∠B ＝∠DC ．AB BCAD DE= D ．AB ACAD AE= 6．已知二次函数()22=++-y ax x a a 的图象经过原点，则a 的值为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定7．由二次函数23(4)2=-+-y x 可知（ ） A ．其图象的开口向上B ．其顶点坐标为(4,2)C ．其图象的对称轴为直线4x =-D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大8．如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，2,24BD AD BC ==，则DE 的长为（ ）A ．6B ．16C ．8D ．12第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题91x -x 的取值范围是__． 10．若32x y x +=，则2=yx_________． 11．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且54OE EA =，则FGBC=________．试卷第3页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………12．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为______________．13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加______m.14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在y 轴的负半轴上，点C 在x 轴的负半轴上，抛物线()()230y a x c a =++>的顶点为E ，且经过点A 、B ，若△ABE 为等腰直角三角形，则a 的值是________．评卷人 得分三、解答题15．计算：（121262(13) （2()22452cos301tan 60--︒︒︒试卷第4页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16．如图，小明为了测量学校旗杆CD 的高度，在地面离旗杆底部C 处22米的A 处放置高度为1.8米的测角仪AB ，测得旗杆顶端D 的仰角为32︒．求旗杆的高度CD ．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin320.53,cos320.85,tan320.62︒=︒=︒=）17．现有A 、B 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A 袋装有2个白球，1个红球；B 袋装有2个红球，1个白球．小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A ，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小华获胜；若颜色不同，则小林获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平，如果不公平，谁获胜的机会大．18．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店购进了一批口罩，二月份销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）如果继续按照相同的增长率增长，那么五月份的销售量会达到多少袋口罩？ 19．图①、图②、图③均是54⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 、D 均在格点上在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）如图①，BECE=________． （2）如图②，在BC 上找一点F ，使2BF =．（3）如图③，在AC 上找一点M ，连结BM 、DM ，使ABM CDM ∽． 20．如图，Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥于点D ．试卷第5页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求证：2AC AB AD =⋅；（2）如果5,6==BD AC ，求CD 的长．21．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．22．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图：在ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点， AD 、CE 相交于点G ．求证：13GE GD CE AD ==． 证明：连接ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．（结论应用）如图②，在ABC 中，D 、F 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CF 相交于点G ，GE ∥AC 交BC 于点E ，GH ∥AB 交BC 于点H ，则EGH 与ABC 的面积的比值为_________．试卷第6页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动．当点P 不与点A 重合时，过点P 作PD AC ⊥于点D 、以AP ，AD 为边作APED ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）线段AD 的长为______．（用含t 的代数式表示）． （2）当点E 落在BC 边上时，求t 的值． （3）连结BE ，当1tan 4CBE ∠=时，求t 的值． （4）若线段PE 的中点为Q ，当点Q 落在ABC 一边垂直平分线上时，直接写出t 的值． 24．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(,23)-+m m ，过点A 作y 轴的平行线交二次函数2yx 的图象于点B ．（1）点B 的纵坐标为________（用含m 的代数式表示）； （2）当点A 落在二次函数2yx 的图象上时，求m 的值；（3）当0m <时，若2AB =．求m 的值；（4）当线段AB 的长度随m 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．答案第1页，共18页参考答案1．D 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A 、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 2．B 【分析】根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A 、“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误； B 、汽车累积行驶10000km ，出现一次故障”是随机事件，故本选项正确；C 、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D 、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项错误； 故选：B ． 【点睛】此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键． 3．B 【分析】将选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同可得出答案． 【详解】 解：A答案第2页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………B 、2733=，与3的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合；C 、2633=，与3的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； D 、1832=，与3的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； 故选B ． 【点睛】此题考查同类二次根式的概念，属于基础题，注意掌握同类二次根式是指：二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 4．C 【分析】过点A ′作A ′C ⊥AB 于点C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点A ′作A ′C ⊥AB 于点C ，由题意可知：A ′O =AO =5， ∴sinα=A CA O''， ∴A ′C =5sinα， 故选：C ． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 5．C 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：∵∠1＝∠2 ∴∠DAE ＝∠BAC答案第3页，共18页∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 6．C 【分析】把原点的坐标代入函数解析式可得：()20,a a -=解方程可得a 值，再由二次函数的定义可得2a ≠，从而可得答案． 【详解】解： ()22=++-y ax x a a 的图象经过原点，把0,0x y ==代入函数解析式可得：()20,a a ∴-=0a ∴=或20,a -= 0a ∴=或2,a =又由二次函数()22=++-y ax x a a 可得：0,a ≠2.a ∴=故选：.C 【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 7．C 【分析】根据函数解析式可以确定函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标和函数的增减性． 【详解】答案第4页，共18页解：∵二次函数y =-3（x +4）2-2，∴图象开口向下，对称轴为直线x =-4，顶点是（-4，-2）， 当x ＞3时，y 随x 的增大而减小， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是对函数性质的应用． 8．C 【分析】由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ，从而AD DEAB BC=，代入计算即可． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD DEAB BC=， ∵BD =2AD ，BC =24， ∴24AD DEAD BD =+，∴12324AD DEAD AD ==+，∴DE =8， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，似三角形的性质解决问题． 9．1x ． 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再列不等式，从而可得答案. 【详解】则10x -， 解得：1x ．答案第5页，共18页故答案为：1x ． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件列不等式. 10．14【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x ，y 之间的关系进而得出答案． 【详解】 解：∵32x y x +=， ∴2x +2y =3x ， 故2y =x ， 则12224y y x y ==⨯， 故答案为：14．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键． 11．59【分析】利用位似的性质得到FG OF OEBC OB OA==，然后根据比例的性质求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ， ∴FG OF OEBC OB OA==， ∵54OE EA =， ∴55549FG BC ==+， 故答案为：59．【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．答案第6页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………12．（35-2x ）（20-x ）=660 【分析】若设小道的宽为x 米，则阴影部分可合成长为（35-2x ）米，宽为（20-x ）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解 【详解】解：依题意，得：（35-2x ）（20-x ）=660． 故答案为：（35-2x ）（20-x ）=660． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．42-4 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把2y =-代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为()0,2.通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标()2,0.- 代入到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+，答案第7页，共18页当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当2y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线2y =-与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把2y =-代入抛物线解析式得出： 220.52x -=-+，解得：x =± 所以水面宽度增加到 4. 故答案是： 4. 【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 14．13【分析】过E 作EF ⊥x 轴于F ，交AB 于D ，求出E 、A 的坐标，代入函数解析式，即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线()()230y a x c a =++>的顶点为E ，且经过点A 、B ， ∴抛物线的对称轴是直线3x =-，且A 、B 关于直线3x =-对称， 过E 作EF ⊥x 轴于F ，交AB 于D ， ∵△ABE 为等腰直角三角形， ∴AD=BD=3，∴AB=6，DE=12AB=3， ∵四边形OABC 是正方形， ∴OA=AB=BC=OC=6，EF=6+3=9， ∴A(0，-6)，E(-3，-9)，把A 、E 的坐标代入()23y a x c =++得：969a c c +=-⎧⎨=-⎩，解得：139a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故答案为：13．答案第8页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，等腰直角三角形以及正方形的性质，准确求出A 、E 的坐标是解题关键． 15．（1）43（2）0 【分析】（1）先化简二次根式，计算除法，将括号展开，再合并即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法并化简，最后合并． 【详解】解：（121262(13) =2331323+-=43；（2()22452cos301tan 60--︒︒︒()2232213--=1313=1331 =0 【点睛】本题考查的是实数的运算，掌握二次根式的混合运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键． 16．15.4米 【分析】根据BE ⊥CD 于E ，利用正切的概念求出ED 的长，结合图形计算即可．答案第9页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】解：由题意得，BE ⊥CD 于E ， BE =AC =22米，∠DBE =32°，在Rt △DBE 中，DE =BE •tan ∠DBE =22×0.62≈13.64（米）， CD =CE +DE =1.8+13.64≈15.4（米）， 答：旗杆的高CD 约为15.4米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 17．不公平，小林获胜的机会大 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的结果数和颜色相同和不同的结果数，然后根据概率公式求出各自的概率，再进行比较即可得出这个游戏是否公平． 【详解】 解：列表如下：由上表或可知，一共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种．∴P （颜色相同）=49，P （颜色不同）=59，∵49＜59，∴这个游戏规则对双方不公平，小林获胜的机会大． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．答案第10页，共18页18．（1）25%；（2）500袋 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x ，根据二月份及四月份的月销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）五月份数量=四月份数量×（1+增长率），据此列式计算． 【详解】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x ， 依题意，得：256（1+x ）2=400，解得：x 1=0.25=25%，x 2=-2.25（不合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%． （2）400（1+25%）=500（袋）， 答：五月份的销售量会达到500袋口罩． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题的等量关系． 19．（1）12；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）证明△AEB ∽△DEC ，根据相似三角形的性质解答； （2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点F ； （3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ， ∴△AEB ∽△DEC ， ∴BE ABCE CD=， ∵AB =1，CD =2， ∴12BE CE =， 故答案为：12；（2）如图②，点F 即为所求；答案第11页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）如图③，点M 即为所求．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）5【分析】（1）证明Rt △ACD ∽Rt △ABC ，然后利用相似比可得到结论；（2）由AC 2=AB •AD 得到62=（AD +5）•AD ，则可求出AD =4，同理证明△ACD ∽△CBD ，得到AD CDCD BD=，即可求出CD 的长． 【详解】解：（1）证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠ADC =90°， ∵∠DAC =∠CAB ， ∴Rt △ACD ∽Rt △ABC ， ∴AC AD CDAB AC BC==， ∴AC 2=AB •AD ； （2）∵AC 2=AB •AD ， ∴62=（AD +5）•AD ，答案第12页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………整理得AD 2+5AD -36=0， 解得AD =-9（舍去）或AD =4， 同理可证：△ACD ∽△CBD ， ∴AD CDCD BD=， 即CD 2=AD •BD ， ∴CD =45⨯=25． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；再运用相似三角形的性质时主要利用相似比进行几何计算．21．（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【详解】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根 22．（1）见解析；（2）19【分析】（1）连接DE ，如图①，先利用三角形中位线的性质得到DE ∥AC ，DE =12AC ，则证明答案第13页，共18页△DEG ∽△ACG ，利用相似三角形的性质得12EG DG DE CG AG AC ===，然后利用比例的性质得到结论；（2）由（1）得13DG DA =，再证明△DEG ∽△DCA ，利用相似比得到13DE DG DC DA ==，利用相似三角形的性质得到19DEGACDS S =△△，同理得到19DGH ABD S S =△△，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接DE ，如图①， ∵D 、E 分别为BC 、BA 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥AC ，DE =12AC ， ∴△DEG ∽△ACG ， ∴12EG DG DE CG AG AC ===， ∴121EG DG CG EG AG DG ==+++，即13EG DG CE AD ==； （2）∵D 、F 分别是边BC 、AB 的中点， ∴13DG DA =，BD =CD ， ∵GE ∥AC ， ∴△DEG ∽△DCA ， ∴13DE DG DC DA ==， ∴19DEGACDS S=△△， 同理：19DGHABDSS=△△， ∴111999EGH ABCS S+==+△△． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形中位线定理，综合性较强，难度适中．熟练掌握各定理是解题的关键． 23．（1）4t ；（2）（2）12t =；（3）1329t =或1935；（3）13t =或2566或12答案第14页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】（1）根据勾股定理求出AB=5，证明PD ∥BC ，再根据平行线分线段成比例进行解答即可； （2）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例可证得PE BPAC AB=，进而可求解t 值； （3）依题意，分两种情况①当点E 在△ABC 的内部时；②当点E 在△ABC 的外部时，分别求解即可；（4） 依题意，分三种情况①当点Q 落在线段AC 的垂直平分线MN 上时；②当点Q 落在线段AB 的垂直平分线MN 上时；③当点Q 落在线段BC 的垂直平分线MN 上时；分别求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，AP =5t ， ∵∠C =90°，AC =4，BC =3， ∴AB =2222435AC BC +=+=， ∵PD ⊥AC ，∠C =90°， ∴PD ∥BC ， ∴AD APAC AB =即545AD t =， ∴AD =4t ， 故答案为：4t ；（2）如图，∵四边形APED 是平行四边形， ∴PE =AD =4t ，PE ∥AC ， ∴PE BP AC AB =即45545t t-=， 解得：12t =；（3）依题意，可分两种情况：①如图，当点E 在△ABC 的内部时，延长PE 交BC 于F ，则PF ⊥BC ，答案第15页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴四边形PFCD 是矩形， ∴PF=CD=4﹣4t ，又PE=AD=4t ， ∴EF=PF ﹣PE=4﹣8t ， ∵PE ∥AC ，即PF ∥AC ， ∴BF PF BC AC =即4434BF t-=， 解得：33BF t =-， ∵∠C =90°，1tan 4CBE ∠=， ∴481334EF t BF t -==-， 解得：1329t =； ②如图，当点E 在△ABC 的外部时，∵PE =AD =4t ，PF =AD =4﹣4t ， ∴EF =PE ﹣PF =8t ﹣4，由33BF t =-，∠C =90°，1tan 4CBE ∠=， 得841334EF t BF t -==-，解得：1935t =， 综上，1329t =或1935； （4）依题意，分三种情况：①当点Q 落在线段AC 的垂直平分线MN 上时，如图，答案第16页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………则AN =52，PN = 52﹣5t ，PQ =2t ，AM =2，PE ⊥PE ， 由PQ AM PN AN =得：245552t t =-，解得：13t =；②当点Q 落在线段AB 的垂直平分线MN 上时，如图，依题意，∠QPN =∠A ，PQ =2t ，PN =52﹣5t ， ∴cos ∠A =cos ∠QPN ，即45PN AC PQ AB ==， ∴554225tt -=，解得：2566t = ③当点Q 落在线段BC 的垂直平分线上时，如图，则AP =PB ，PE 为线段BC 的垂直平分线，点E 在BC 上， 由（2）知， 12t =， 综上，13t =或2566或12．答案第17页，共18页【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例、解直角三角形，解答的关键是熟练掌握相关知识的性质及其应用，学会利用参数建立方程，学会用分类讨论和数形结合思想解决问题，属于中考压轴题，难度较难． 24．（1）m 2；（2）m 1=-3，m 2=1；（3）1-或1；（4）-3＜m ≤-1或m ＞1 【分析】（1）根据平行线的性质知，点B 与点A 的横坐标相同，所以把x =m 代入抛物线解析式，即可求得点B 的纵坐标；（2）把点A 代入二次函数解析式，列出方程，然后解方程即可；（3）根据等量关系AB =2和两点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m 的值； （4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答． 【详解】解：（1）根据题意知，点B 的横坐标是m ， ∴将x =m 代入y =x 2，得y =m 2． 即点B 的纵坐标为m 2． 故答案为：m 2；（2）把A （m ，-2m +3）代入y =x 2，得-2m +3=m 2． 解得m 1=-3，m 2=1；（3）根据题意知：|-2m +3-m 2|=2． ①-2m +3-m 2=2，解得m 1=1-，m 21， ∵m ＜0，∴m =1-，符合题意； ②-2m +3-m 2=-2，解得m 1=1，m 21， ∵m ＜0，∴m =1，符合题意．综上所述，m 的值为1-或1；答案第18页，共18页（4）由（2）知，当点A 、B 重合时，点A 的坐标是（-3，9）或（1，1）． 设AB =d ，当-3＜m ＜0时，d =-2m +3-m 2=-（m +1）2+4时，对称轴是直线m =-1且抛物线开口向下， ∴线段AB 的长度随m 的增大而增大时，-3＜m ≤-1．当m ＞1时，根据题意知，线段AB 的长度随m 的增大而增大时，m ＞1． 综上所述，m 的取值范围是-3＜m ≤-1或m ＞1． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2020-2021学年长春市新区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年长春市新区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A. √12B. √27C. √15D. √18 2. 二元一次方程组{x −y =32x +y =0的解为( ) A. {x =−1y =2B. {x =1y =−2C. {x =−2y =1D. {x =2y =−1 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，a +b =28，sinA +sinB =75，则斜边c 的长为( )A. 10B. 14C. 20D. 24 4. 如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为( )A. 2：3B. √2：√3C. 4：9D. 9：4 5. 把抛物线y =−2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( ) A. y =−2 B. y =−2C. y =−2D. y =−2 6. 已知抛物线y =a(x −ℎ)2−7，点A(1,−5)、B(7,−5)、C(m,y 1)、D(n,y 2)均在此抛物线上，且|m −ℎ|>|n −ℎ|，则y 1与y 2的大小关系是( )A. y 1<y 2B. y 1>y 2C. y 1=y 2D. 不能确定 7. 下列检查一个四边形门框是否为矩形的方法中正确的是 ( )A. 测量两条对角线是否相等B. 测量两条对角线是否互相平分C. 测量门框的三个角是否都是直角D. 测量两条对角线的夹角是否为直角8. 在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共20个，除颜色外，其它都相同．小明通过多次摸球实验后发现，其中摸到红球的频率稳定在25%左右．则口袋中红球大约有( )个．A. 5个B. 10个C. 12个D. 15个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.当x满足______的条件时，√−2在数范围内有意义．x10.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2−4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为______ ．11.成语：水中捞月，瓮中捉鳖，守株待兔所描述的事件为必然事件的是______．12.如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为m.13.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=______．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于点D，则BD=___________.三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.某个体商贩在一次买卖中同时买进两件上衣，每件都以a元出售，若按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么该商贩在这次买卖过程中是赚了还是赔本了？赚或赔多少？四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状．17.某体育老师统计了七年级A，B两个班女生的身高，并绘制了如图不完整的统计图表.根据图表中提供的信息，解答下列问题．身高(cm)人数A：145≤x<1502B：150≤x<1556C：155≤x<160mD：160≤x<16513E：165≤x<170nF：170≤x<1755(1)两个班共有女生______ 人，表中m=______ ，扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角是______ 度.(2)身高在170≤x<175(cm)的5人中，A班有3人，B有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队，求这两人来自同一班级的概率．18. 已知△ABC三个顶点的坐标分别A(0,2)，B(3,3)，C(2,1)．(1)画出△ABC；(2)以原点为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1；(3)在(2)中，△ABC内一点P(a,b)的对应点为P1，直接写出P1的坐标．19. 今年第18号台风“米娜”于10月1号上午出现在温州附近海域．如图，台风“米娜”的中心位于点A处，周围200km都会受到台风影响．现在台风正往南偏东60°的方向移动，在A的正南方300km出有一座小镇B.在台风移动过程中，小镇B是否会受到影响，判断并说明理由．20. 已知：抛物线y=x2+4x+4+m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y=kx+b的与二次函数交于A、B两点，且A点坐标为(−1,0)．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)若抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小，求P点坐标及△PAC周长的最小值．21. 某化妆品店在销售某品牌化妆品时，每套以高出进价的50%标价，已知按标价九折销售该品牌化妆品10套与按标价直降100元销售9套获利相同(1)求该品牌化妆品每套的进价和标价分别是多少元？(2)若该品牌化妆品每套的进价不变，按(1)中的每套的标价出售一批该品牌化妆品，该店平均每月可售出49套；若每套品牌化妆品每降价50元，每月可多售出7套，这批该品牌化妆品总利润w元，求该品牌化妆品降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，E是AC延长线上一点，作BE⊥AD交AD的延长线于点F．(1)若BF=EF，求证：△ABF≌△AEF；(2)求证：CD=CE．23. 已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB、AC于E、F．(1)直接写出图1中所有的等腰三角形，并指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？(2)在(1)的条件下，若AB=10，AC=15，求△AEF的周长．(3)如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE//BC交AB于E，交AC于F，请问(1)中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．24. 已知二次函数y=ax2的图象与直线y=2x−1交于点P(1,m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x在和范围内时，y随x的增大而增大．参考答案及解析1.答案：C解析：解：A 、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；B 、27=3×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C 、√15是最简二次根式，符合题意；D 、18=2×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C ．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．2.答案：B解析：解：{x −y =3①2x +y =0②②+①得：3x =3，解得：x =1，把x =1代入①得：1−y =3，解得：y =−2，所以原方程组的解是{x =1y =−2， 故选：B ．②+①得出3x =3，求出x ，把x =1代入①求出y 即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 3.答案：C解析：解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∴sinA =a c ，sinB =b c． 又a +b =28，sinA +sinB =75，∴a+b c =75， ∴c =20．故选C ．根据锐角三角函数的概念，结合已知条件得到a，b，c的方程，从而求得c的值．能够熟练运用锐角三角函数的概念进行求解．4.答案：C解析：解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：9，故选：C．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．5.答案：C解析：由“左加右减、上加下减”的原则解答即可．把抛物线y=−2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=−2(x+1)2+2．故选：C．6.答案：B解析：解：∵点A(1,−5)、B(7,−5)均在此抛物线上，∴ℎ=1+7=4，2∴抛物线的顶点坐标为(4,−7)，∴a>0，开口向上，∵C(m,y1)、D(n,y2)均在此抛物线上，且|m−ℎ|>|n−ℎ|，∴y1>y2，故选：B．先求得抛物线的对称轴为x=4，再抛物线开口向上，最后根据|m−ℎ|>|n−ℎ|判断C离对称轴比较远，从而判断出y1与y2的大小关系．此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．7.答案：C解析：解：A、B、D均不符合矩形的判定方法，C符合“有三个角是直角的四边形是矩形”这个判定定理．故选C．8.答案：A解析：解：设有红球x个，根据题意得：x÷20=25%解得：x=5，故选A．设有红球x个，利用频率约等于概率进行计算即可．本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．9.答案：x<0≥0，且x≠0，解析：解：由题意得，−2x解得x<0．故答案为：x<0．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．本题考查的是二次根式有意义和分式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10.答案：4解析：解：∵直线和圆相切，∴d=r，∴△=16−4m=0，∴m=4．若直线和圆相切，则d=r.即方程有两个相等的实数根，得16−4m=0，m=4．考查了直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系，熟练运用根的判别式判断方程的根的情况．11.答案：翁中捉鳖解析：解：水中捞月是不可能事件，翁中捉鳖是必然事件，守株待兔是随机事件，故答案为：翁中捉鳖根据事件的分类进行逐一分析即可．本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12.答案：4解析：试题分析：根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，∴∠CED=∠FCD，又∵∠EDC=∠CDF=90°，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，∴EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，∴代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．13.答案：43解析：解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF//BD，且EF=12BD，∵EF=4，∴BD=8，∵BD=8，BC=10，CD=6，∴82+62=102，即BD2+CD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴tanC=BDDC =86=43，故答案是：43．连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=12BD，进而利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，求解即可．此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键．14.答案：5解析：过点D作DE⊥AB，∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，∴CD=ED，在Rt△ACD与Rt△AED中，CD=ED，AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC=6，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴，∴BE=10−6=4，设BD=x，则CD=BC−BD=8−x，∴ED=8−x，在Rt△DEB中，，解得：x=5，即BD=5．故答案为：5．15.答案：解：设第一件上衣的成本为x元，第二件的成本为y元．则a=x(1+25%)；a=y(1−25%)．∴x=45a，y=43a．∴x+y=45a+43a=3215a，32 15a−2a=215a>0故该商贩在这次买卖中赔了．赔了215a元．解析：此题首先要设出原来各自的成本，再根据题意表示售价，最后比较总售价和总进价，进行判断．注意无论是赔，还是赚，其基数都是原来的进价．16.答案：解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ac=0，∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，∴a−b=0，b−c=0，c−a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．解析：本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系．将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a−b=0，b−c=0，c−a=0，即可判断出△ABC的形状．17.答案：501472解析：解：(1)两个班共有女生：13÷26%=50(人)，C部分对应的人数为：50×28%=14(，人)，即m=14，E部分所对应的人数为：50−2−6−13−14−5=10(人)；扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为360°×1050=72°，故答案为：50，14，72；(2)画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，∴这两人来自同一班级的概率是820=25．(1)根据D部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，用总人数乘以C、E所占的百分比求得C、E 部分人数，用360°乘以E部分所占百分比可求E部分所对应的扇形圆心角度数；(2)利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和统计图表．18.答案：解：(1)如图所示：△ABC即为所求；(2)如图所示：△A1B1C1即为所求；(3)P1坐标为：(2a,2b)．解析：(1)直接利用已知点坐标进而画出图形即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确得出对应点坐标是解题关键．19.答案：解：作BD⊥AC与点D，∵∠BAD=60°，AB=150√3，∴BD=√32∵150√3>200，∴小镇B不会受到台风影响．解析：作BD⊥AC与点D，构造直角三角形，解直角三角形求得BD的长后与200km比较后即可得到是否收到影响．考查了勾股定理及方向角的知识，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．20.答案：解：(1)∵点A(−1,0)在抛物线y=x2+4x+4+m上，∴m=−1，∴二次函数的解析式为y=x2+4x+3，∴C点的坐标为(0,3)，则B点的坐标为(−4,3)，设直线AB的解析式为y=kx+b，{−k+b=0−4k+b=3，解得，k=−1b=−1，∴直线AB的解析式为：y=−x−1，即二次函数的解析式为y=x2+4x+3，一次函数的解析式是y=−x−1；=−2，(2)∵二次函数y=x2+4x+3的对称轴为直线x=−42×1由题意可知A和B关于对称轴x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，∴把x=−2代入y=−x−1得y=1，∴P(−2,1)，∵A(−1,0)，B(−4,3)，C(0,3)，由勾股定理可得AB=√(−4+1)2+32=3√2，AC=√12+32=√10，∴△PAC周长的最小值为AB+AC=3√2+√10．解析：(1)根据题意，可以求得m的值，从而可以求得二次函数的解析式和一次函数的解析式；(2)在抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC周长最小，根据解析式求得对称轴为直线x=−2，把x=−2代入直线AB的解析式求得P的坐标，由题意可知A和B关于直线x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，利用勾股定理求出AC和BC的长即可求出最小值．本题是考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称−最短路线问题，勾股定理的运用，运用数形结合是解题的关键．21.答案：解：(1)设该化妆品的进价为x元，根据题意得：[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，∴x=900，∴(1+50%)x=1350元，∴该化妆品进价900元，标价1350元．(2)设该化妆品降价y元，根据题意得：W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，当y=50时，W有最大值22400，∴降价50元，每月获利最大，最大利润为22400元．解析：(1)根据题意列出一元一次方程[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，即可求解；(2)利润等于销售量×每件的利润，故有W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，借助二次函数即可求最大值；本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用；熟练掌握利润的求法，能够结合二次函数求函数的最大值是解题的关键．22.答案：解：(1)证明：∵BE⊥AD交AD的延长线于点F，∴∠AFB=∠AFE=90°，又∵BF=EF，AF=AF，∵△ABF≌△AEF(SAS)；(2)∵∠AFB=∠ACB=90°，∴∠CBE=180°−∠AFB−∠BDF=90°−∠BDF，∠CAD=180°−∠ACB−∠ADC=90°−∠ADC，又∵∠ADC=∠BDF，∴∠CBE=∠CAD，又∵∠BCE=∠ACD=90°，BC=AC，∴△BCE≌△ACD(ASA)，∴CE=CD．解析：(1)根据SAS即可证明三角形全等；(2)根据三角形内角和及对顶角的性质得∠CBE=∠CAD，结合已知条件利用ASA即可证明△BCE≌△ACD，进而得出结论．本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和，垂线等知识，重点是掌握证明三角形全等的方法．23.答案：解：如(1)图1中，等腰三角形有；△EOB、△FOC仍为等腰三角形结论：EF=BE+CF．理由：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，即EO=EB，FO=FC，∴EF=EO+OF=BE+CF；(2)△AEF的周长为AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=25．(3)结论：EF=BE−FC．理由如下：同(1)可证得△EOB是等腰三角形；∵EO//BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO−FO=BE−FC．解析：(1)△OEB、△OFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可证EF=BE+FC；(2)利用(1)中结论即可解决问题；(3)思路与(1)相同，只不过结果变成了EF=BE−FC．此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．24.答案：解：(1)点P(1,m)在y=2x−1的图象上∴m=2×1−1，解得m=1，把(1,1)代入y=ax2∴a=1(2)二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大．解析：(1)把点P(1,m)分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x−1即可求出未知数的值；(2)把a代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性，解题的关键是熟记二次函数的性质．。
2020-2021学年长春市东北师大附中新城学校九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年长春市东北师大附中新城学校九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.分别写有数字0，−1，−2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 452.若yx =23，则x+yx的值为()A. 53B. 52C. 35D. 233.已知x=−1是关于x的一元二次方程x2−2x+a=0的一个解，则此方程的另一个解是()A. x=3B. x=−2C. x=2D. x=−34.对于二次函数y=x2+bx+c(b,c是常数)中自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…−101234…y…1052125…下列结论正确的是()A. 函数图象开口向下B. 当x=5时，y=10C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. 方程x2+bx+c=0有两个不相等的实数根5. 估计√32×√38−1的计算结果应在()A. 2和2.5之间B. 2.5和3之间C. 3和3.5之间D. 3.5和4之间6. 如图，a//b//c，BC=1，DE=4.5，EF=1.5，则AB=()A. 1.5B. 2C. 3D. 4.57. 修筑一坡度为3：4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为α，那么∠α的正切值是()A. 35B. 45C. 34D. 438. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1．下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③9a+3b+c<0；④若(−32,y1)，(−103,y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 已知x=−b+√b2−4c2(b2−4c>0)，则x2+bx+c+3的值为______．10. 如果方程x2−2x+k2=0没有实数根，那么k的最小整数是______．11. 如图，有一路灯杆AB，在灯光下，小明在D点处测得自己的影长DE=3米，且距离B点的水平距离为6米，如果小明的身高CD为1.8米，则路灯杆AB的高度是．12. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，作向上或向右运动，速度为1cm/s.当整点P从原点出发1秒时，可到达整点(1,0)或(0,1)；当整点P从原点出发2秒时，可到达整点(2,0)、(0,2)或______；当整点P从原点出发4秒时，可以得到的整点的个数为______个．当整点P从原点出发n秒时，可到达整点(x,y)，则x、y和n的关系为______．13. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AB=4，BD=15，sin∠BDC=35，则▱ABCD的面积是______．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，在线段AC上有一动点P(P不与C重合)，以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，则AQ的最小值为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15. 计算：2sin60°+|√3−2|+√12．16. 在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．(1)从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字2的概率；(2)将三张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成个两位数，求这个两位数大于30的概率．17. 美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加(如图所示)．(1)根据图中所提供的信息回答下列问题：2015年底的绿地面积为______ 公顷，比2014年底增加了______ 公顷；在2013年，2014年，2015年这三年中，绿地面积增加最多的是______ 年；(2)为满足城市发展的需要，计划到2017年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．18. 阅读下列材料：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边的值是多少．构造▱APBQ，求对角线PQ的最小值及此时APAC在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3.参考小明的做法，解决以下问题：=______；(1)继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，APAC(2)如图3，延长PA到点E，使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE，PB为边作▱PBQE，那么对角线PQ=______；的最小值为______，此时APAC(3)如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA(n为大于0的常数)，以PE，PC为=______．边作▱PCQE，那么对角线PQ的最小值为______，此时APAC19. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠ABC 和点D 、E ，求作：在∠ABC 内部确定一点P ，使点P 到∠ABC 的两边距离相等，并且PD =PE ．20. 大鸿寨风景区位于禹州市鹏山镇境内，集自然山、水、洞、林为一体，是河南省少有的自然生态旅游区之一，某校数学兴趣小组在研学旅行活动中对大鸿寨主峰卧佛山的高度进行了测量．如图，他们先在山脚A 处测得山顶B 的仰角∠BAD 为45°，然后沿着倾斜角为25°的斜坡向上走了350米达到点C ，在点C 处测得山顶B 的仰角∠BCE 为50°，求大鸿寨主峰卧佛山的高度BD ． (结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)21. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为160m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2．(1)设AE 为a ，则BE = ______ a ；(2)是否存在x 的值，使得矩形ABCD 的面积是1500m 2； (3)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？22. 在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“邻点”.在平面直角坐标系中，已知点M(0,12)，A(a,1)，B(b,2a)，C(a −1,−12)，过点M 作直线l 平行于x 轴，并将△ABC 进行平移，平移后点A 、B 、C 分别对应点D 、E 、F ．(1)点A______(填写是或不是)直线l的“邻点”，请说明理由；(2)若点F刚好落在直线l上，点F的横坐标为a−b，点E落在x轴上，且△MFD的面积为3，求点B的坐标，判断点B是否是直线l的“邻点”，并说明理由．23. 如图①、图②所示，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，O为斜边AC的中点，P为线段BC上的一个动点(不与点B重合)，作∠BPE=22.5°，PE交BO于点E，过点B作PE的垂线，垂足为F，延长BF交AC于点G．(1)当点P与C重合时(如图①)，求证：△BOG≌△POE；=______，并结合图②证明你的猜想；(2)通过观察分析，猜想BFPE(3)把等腰直角△ABC改为等腰△ABC，AB=BC，∠ACB=2∠BPE，其他条件不变(如图③)，若记=______(可用含α的式子表示)∠ACB=α，则BFPE与x轴交于点A、B(点A在点B 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax+32的左侧)，抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为线段AC的中点．(1)如图1，求抛物线的顶点坐标和解析式；(2)如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；(3)在(2)的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵五张卡片分别标有0，−1，−2，1，3五个数，数字为负数的卡片有2张，∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为25．故选：B．让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．2.答案：A解析：解：∵yx =23，∴设x=3k，y=2k(k≠0)，∴x+yx =3k+2k3k=53．故选：A．根据比例设x=3k，y=2k(k≠0)，然后代入比例式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．3.答案：A解析：解：∵x=−1是关于x的一元二次方程x2−2x+a=0的一个解，∴−1+x1=2，∴x1=3，∴该方程的另一个解是x=3．故选：A．根据根与系数的关系：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca，此题选择两根和即可求得．此题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根与系数的关系．4.答案：B解析：解：由表格可得，当x<2时，y随x的值增大而减小；当x>2时，y随x的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A、C不符合题意；由表格可得，当x=1和点x=3时，y=2，故该抛物线的对称轴是直线x=2．∴点(−1,10)的对称点是(5,10)，∴点(5,10)在该函数的图象上，故选项B符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x轴没有交点，∴方程x2+bx+c=0无实数根，故选项D不符合题意．故选：B．根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5.答案：A解析：解：√32×√38−1=√12−1，∵3<√12<3.5，∴2<√12−1<2.5，故选：A．直接利用二次根式的混合运算法则计算进而估算√12的取值范围，进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，能够正确得出√12的取值范围是解题的关键．6.答案：C解析：解：∵a//b//c，∴ABBC =DEEF，∴AB1=4.51.5，∴AB=3，故选：C．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7.答案：C解析：解：由题意得：tanα=34．故选C．根据坡度为坡角的正切值，即可判断出正确的选项．此题考查的是坡度、坡角的关系，坡度=坡角的正切值．8.答案：C解析：解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，即−b2a=1，∴b=−2a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；∵b=−2a，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线对称轴是x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，即当x=3时，y=0，∴9a+3b+c=0，所以③错误；∵点(−32,y1)到直线x=1的距离比点(−103,y2)到直线x=1的距离小，∴y1>y2，所以④正确．故选：C．抛物线开口向下得到a<0，利用对称轴方程得到b=−2a得到b>0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，则可对②进行判断；利用(−32,y1)，(−103,y2)两点都直线x=1的距离和二次函数的性质对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．9.答案：3解析：解：∵x=−b+√b2−4c(b2−4c>0)是方程x2+bx+c=0的解，2∴x2+bx+c+3=3，故答案为：3．由x=−b+√b2−4c(b2−4c>0)是方程x2+bx+c=0的解可得答案．2本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程．10.答案：3=4−2k<0，解析：解：根据题意，得：△=(−2)2−4×1×k2解得：k>2，则k的最小整数是3，故答案为：3．=4−2k<0，解之可得答案．根据方程无实数根得出△=(−2)2−4×1×k2本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．11.答案：5.4米解析：利用三角形的相似，可直接得出。
吉林省长春市2021版九年级上学期数学期末考试试卷(I)卷
吉林省长春市2021版九年级上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共12分)1. （1分）(2019·山西模拟) 我们在探究二次函数的图象与性质时，首先从y=ax2(a≠0)的形式开始研究，最后到y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，这种探究问题的思路体现的数学思想是（）A . 转化B . 由特殊到一般C . 分类讨论D . 数形结合2. （1分）下列说法，正确的是（）A . 半径相等的两个圆大小相等B . 长度相等的两条弧是等弧C . 直径不一定是圆中最长的弦D . 圆上两点之间的部分叫做弦3. （1分）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A . 与x轴相离，与y轴相切B . 与x轴，y轴都相离C . 与x轴相切，与y轴相离D . 与x轴，y轴都相切4. （1分） (2016九上·婺城期末) 将抛物线y=3x2向上平移1个单位，得到抛物线（）A . y=3（x﹣1）2B . y=3（x+1）2C . y=3x2﹣1D . y=3x2+15. （1分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。
将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（）A .B .C .D .6. （1分）如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A . 4B . 2πC . 4πD .7. （1分） (2015九上·黄陂期中) 对于抛物线y=ax2﹣4ax+3a下列说法：①对称轴为x=2；②抛物线与x 轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0）；③顶点坐标为（2，﹣a）；④若a＜0，当x＞2时，函数y随x的增大而增大，其中正确的结论有（）个．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （1分）如图，在平面直角坐标系中，P是∠1的边OA上一点，点P的坐标为（3，4），则sin∠1的值为（）A .B .C .D .9. （1分）如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A . 6B . 8C . 12D . 1810. （1分）(2019·大渡口模拟) 如图，己知等腰，以为直径的圆交于点，过点的⊙ 的切线交于点，若，则⊙ 的半径是（）A .B . 5C . 6D .11. （1分）根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（）A . 只有一个交点B . 有两个交点，且它们分别在y轴两侧C . 有两个交点，且它们均在y轴同侧D . 无交点12. （1分） (2018九上·梁子湖期末) 如图，在中，，，以点为中心，把逆时针旋转45°，得到，则图中阴影部分的面积为（）A . 2B .C . 4D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）(2017·微山模拟) 如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD，AE，则∠DAE=________．14. （1分）某市内出租车起步价为10元2千米，超过2千米，每千米2.4元，除计程费外，乘客还需支付燃油费2元．若小明乘车行驶路程为m(m＞2)千米，则小明打车应付费用________元(用含m的代数式表示)，当m ＝5时，小明打车应付费用________元．15. （1分）若a为锐角，比较大小：sinα________tanα．16. （1分） (2018九上·梁子湖期末) 当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为________.17. （1分）(2015·宁波模拟) 如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 ________m．18. （1分） (2017八下·府谷期末) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，M为AB中点，D是射线BC 上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为________．三、解答题 (共8题；共18分)19. （1分）计算：（）2+（π﹣2016）0﹣4cos60°+（）﹣3 ．20. （1分）(2017·永新模拟) 为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？21. （2分）(2017·临海模拟) 如图，AB、CD是两个过江电缆的铁塔，塔AB高40米，AB的中点为P，塔底B距江面的垂直高度为6米．跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上；再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上．（1）求两铁塔轴线间的距离（即直线AB、CD间的距离）；（2）若以点A为坐标原点，向东的水平方向为x轴，取单位长度为1米，BA的延长方向为y轴建立坐标系．求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式．22. （2分）(2016·泸州) 如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG= ，DF=2BF，求AH的值．23. （3分）(2017·昌平模拟) 有这样一个问题：探究函数y= 的图象与性质，小静根据学习函数的经验，对函数y= 的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整：（1）函数y= 的自变量x的取值范围是________；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣10134…y…14m1…表中的m=________；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；（4）结合函数图象，写出一条该函数图象的性质：________．24. （3分）(2016·荆门) 如图，直线y=﹣ x+2 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．25. （3分） (2018九上·罗湖期末) 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上的一动点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD．（2）当菱形ABCD变为正方形，且PC=2，tan∠PFA= 时，求正方形ABCD的边长．26. （3分）(2019·五华模拟) 如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1.（1）如图1，当∠BEF＝45°时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；（2）如图2，当FH的延长线经过点D时，求tan∠FEH的值；（3）如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共8题；共18分)19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、23-3、23-4、24-1、24-2、24-3、24-4、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、。
2020-2021学年北师大版第一学期九年级数学期末测试题(含答案)
2020-2021学年第一学期九年级数学期末测试题说明:1，答题前请在密封线内接要求把各项填写清楚;2.本试卷共三个大题，满分120分，考试时间120分钟一.选择题(下列各题给出的四个选项中，只有一个是合题目要求的，每小题3分，共30分）1.解方程3（2x-1）2=4（2x-1）最适当的方法是（）A.直接开平方法B.配方法C.因式分解法D.公式法2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O.AE垂直平分OB于点E,则AD的长为( )A.4B.3√3C.5D.5√23.如图是一个长方体的左视图和俯视图，则其主视图的面积为（）A.6B.8C.12D.244.下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比是2：3，则周长比为4：9；④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形一定相似．A.1个B.2个C.3个D.4个5.有三个质地、大小一样的纸条上面分别写着三个数,其中两个正数,一个负数,任意抽取一张,记下数的符号后,放回摇匀,再重复同样的操作一次,试问两次抽到的数字之积是正数的概率为( )A.13B.49C.59D.236.已知反比例函数y=kx的图象经过点(3,2),小良说了四句话,其中正确的是()A.当x<0时，y>0B.函数的图象只在第一象限C.y随x的增大而增大D.点(−3,2)不在此函数的图象上7.如图,已知在△ABC中,点D. E. F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD:DB=3:5,那么CF:CB等于( )A.5:8B.3:8C.3:5D.2:58.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在CD的边上,且DE=1,△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称,将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90∘得到△ABG,连接FG,则线段FG的长为()A.4B.4√2C.5D.69.公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长。
2020-2021吉林省东北师大附中明珠校区九(上)期末数学试卷-解析版
2020-2021学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠校区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. −8的绝对值是( )A. −8B. 8C. −18D. 18 2. 化简2(a −2)+4a 结果为( )A. 6a +4B. 6a −4C. −6a +4D. −6a −43. 下列运算，结果正确的是( )A. √5−√3=√2B. 3+√2=3√2C. √6÷√2=3D. √6×√2=2√34. 将二次函数y =(x −1)2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )A. y =(x +3)2+5B. y =(x −5)2−1C. y =(x −5)2+5D. y =(x +5)2−55. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC⏜=CD ⏜=DE ⏜，∠COD =34°，则∠AEO 的度数是( )A. 51°B. 56°C. 68°D. 78°6. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x 辆车，y 人，则可列方程组为( )A. {3(x −2)=y 2x +9=yB. {3(x +2)=y 2x +9=yC. {3x =y 2x +9=yD. {3(x +2)=y2x −9=y 7. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盆中(底盆固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位，图2是其示意图，经测量，钢条AB =AC =50cm ，∠ABC =47°.则车位锁的底盒BC 长约为( )(参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)A. 34B. 73C. 68D. 1078.三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为()A. 54π B. 98π C. π D. 32π二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若分式√3x−4有意义，则x的取值范围是______．10.多项式5mx2−20my2分解因式的结果是______ ．11.不等式组{3x−2≤412(x+1)>1解集是______ ．12.化简|√2−3|+√18的结果是______ ．13.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则sinA=______ ．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4ax+3a(a<0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为(2,−4)；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.先化简，再求值：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)，其中x=−12.y=1．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片(除字母和内容外，其余完全相同)，四张会徽分别用编号A、B、C、D来表示.现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．(1)从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印⋅舞动的北京”的概率为______ ．(2)小思从中随机抽取一张卡片(不放回)，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率.(这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示)17.疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料.已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．18.如图，在等腰三角形ABD中，AB=AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．(1)若AC=CD，求证：AD是⊙O的切线．(2)在(1)的条件下，若⊙O的直径BC=6，直接写出AC⏜的长．19.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题：(1)在图1中，画出点D，使得四边形ABDC是平行四边形．(2)在图2中，在AB上找点E，使得△ACE的面积是△BCE面积的1．2(3)在图3中，在AB边上找一点F，使得tan∠ACF=1．220.为了了解我校学生在家做家务劳动的情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．(1)求本次调查学生的人数；(2)将条形统计图补充完整；(3)抽查的学生中做家务劳动时间的众数是______ 小时，中位数是______ 小时；(4)如果全校共有学生3000人，请你估计全校大约有多少同学做家务劳动时间是2小时．21.受新型冠状病毒影响，学生在进入学校大门时都要配合监测体温.某学校上学高峰期学生到达学校的人数(包括校门口等待检测的学生和已经检测体温入校的学生)y(人)随时间x(分钟)的变化情况如图所示，已知前12分钟，y可看作是x的二次函数，并在12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人，回答下列问题：(1)当0≤x≤12时，求y与x之间的函数解析式；(2)已知学校门口有体温检测岗位3个，每个岗位的工作人员每分钟能检测10人，求学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有多少人；(3)在(2)的条件下，从测温开始到所有学生测温结束，当学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少时，直接写出对应的x的取值范围．22.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学数材第96页的部分内容(1)定理感知：如果教材中的已知条件不变，如图①，当PD=2，OE=4时，则直接写出△OPE的面积为______ ．(2)定理应用：如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：BDDC =ABAC．(3)拓展应用：如图③，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=12，将△ABC先沿∠BAC的平分线AB1折叠，再剪掉重叠部分(即四边形ABB1A1)，再将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，再剪掉重叠部分，直接写出剩余的△A2B2C的面积为______ ．23. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，点D 为BC 中点，点P 从点B 出发沿折线B −A −C 运动，速度为每秒5个单位，到点C 停止.在点P 的运动过程中，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，以PQ 为边作矩形PQMN ，且MN 与AD 始终在PQ 同侧，且PN =2PQ.设运动时间为t 秒．(1)当点N 在AC 上时，直接写出t 值．(2)当点N 在AB 上时，求PQ 的长．(3)当矩形PQMN 与△ABC 重叠部分为五边形时，求t 的取值范围．(4)当点P 在线段AB 上运动时，点N 落在△ABC 一边的垂直平分线上时，直接写出t 的值．24. 已知函数y ={x 2−6mx +6m(x >m)−x 2+2mx +2m(x ≤m)(m 为常数)，此函数图象记为G ． (1)当m =13时，①当y =−1时，求图象G 上对应点的坐标；②当−1≤x ≤2时，求y 的取值范围．(2)当m =1时，直线y =2k +1(k 为常数)与图象G 的交点中横坐标最小的交点在直线x =−1和x =1之间(不包括边界)时，求k 的取值范围．(3)当x >m 时，图象G 与坐标轴有两个交点，直接写出m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−8的绝对值是8．故选：B．依据绝对值的性质解答即可．本题主要考查的是绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：原式=2a−4+4a=6a−4．故选：B．原式去括号合并即可得到结果．此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.【答案】D【解析】解：A．√5与√3不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B.3与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C.√6÷√2=√6÷2=√3，此选项错误；D.√6×√2=√3×√2×√2=2√3，此选项计算正确；故选：D．本题主要考查二次根式的运算，分别根据同类二次根式的概念、二次根式的乘除运算法则计算可得．4.【答案】C【解析】解：将二次函数y=(x−1)2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：y=(x−1−4)2+2+3，即y=(x−5)2+5，故选：C．根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】由BC⏜=CD ⏜=DE ⏜，可求得∠BOC =∠EOD =∠COD =34°，继而可求得∠AOE 的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO 的度数．此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【解答】解：如图，∵BC⏜=CD ⏜=DE ⏜，∠COD =34°， ∴∠BOC =∠EOD =∠COD =34°，∴∠AOE =180°−∠EOD −∠COD −∠BOC =78°．又∵OA =OE ，∴∠AEO =∠OAE ，∴∠AEO =12×(180°−78°)=51°．故选：A ． 6.【答案】A【解析】解：根据题意可得：{3(x −2)=y 2x +9=y， 故选：A ．根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，如图2所示：∵AB =AC ，AH ⊥BC ，∴BH =CH ，在Rt △ABH 中，∠B =47°，AB =50cm ，cosB =BHAB ，∴BH =ABcosB =50cos47°≈50×0.68=34(cm)，∴BC=2BH=68(cm)，故选：C．过点A作AH⊥BC于点H，先由等腰三角形的性质得BH=CH，再由锐角三角函数的定义求出BH，即可求出答案．本题考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．8.【答案】A【解析】解：连接OC，由勾股定理得：OC=√12+32=√10，由正方形的性质得：∠EOB=45°，所以扇形EOF的面积为：45π×(√10)2360=54π，故选：A．连接OC，先求出OC长和∠EOB的度数，再根据扇形的面积公式求出即可．本题考查了扇形的面积，勾股定理和正方形的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．9.【答案】x≠4【解析】解：依题意得：x−4≠0．解得x≠4．故答案是：x≠4．分式有意义，分母不等于零．考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．10.【答案】5m(x+2y)(x−2y)【解析】解：5mx2−20my2=5m(x2−4y2)=5m(x+2y)(x−2y)．故答案为：5m(x+2y)(x−2y)．直接提取公因式5m，再利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．11.【答案】1<x≤2【解析】解：{3x−2≤4①12(x+1)>1②，由①得：x≤2，由②得：x>1，则不等式组的解集为1<x≤2．故答案为：1<x≤2．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．12.【答案】3+2√2【解析】解：原式=3−√2+3√2=3+2√2．故答案为：3+2√2．直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了实数的性质，正确化简各数是解题关键．13.【答案】3√1313【解析】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=√22+32=√13，∴sinA=BCAB =√13=3√1313，故答案为：3√1313．根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．14.【答案】43【解析】解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．∵点C的坐标为(2,−4)，∴点D的坐标为(0,−4)．将其代入y=ax2−4ax+3a，得3a=−4，解得a=−43．∴该抛物线解析式是：y=−43x2+163x−4．∵y=−43x2+163x−4=−43(x−2)2+43．∴该抛物线的顶点坐标是(2,43).∴抛物线顶点纵坐标为43．故答案是：43．当CD⊥y轴时，线段CD最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式来求a的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点纵坐标．本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求抛物线顶点坐标时，也可以直接利用顶点坐标公式求解．15.【答案】解：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)=4x2+12xy+9y2−4x2+y2=12xy+10y2，当x=−12，y=1时，原式=12×(−12)×1+10×12=−6+10=4．【解析】先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．本题主要考查整式的混合运算−化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算顺序和运算法则．16.【答案】14【解析】解：(1)从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印⋅舞动的北京”的概率为14， 故答案为：14；(2)画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，∴抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率=212=16．(1)根据概率公式直接得出答案；(2)先由题意先画树状图列出所有等可能的结果数，抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，再由概率公式求解可得．此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设B 型机器人每小时搬运xkg 原料，则A 型机器人每小时搬运(12x +50)kg 原料，依题意，得：2400x =200012x+50，解得：x =150，经检验，x =150是原方程的解，且符合题意，∴12x +50=125．答：A 型机器人每小时搬运125kg 原料，B 型机器人每小时搬运150kg 原料．【解析】设B 型机器人每小时搬运xkg 原料，则A 型机器人每小时搬运(12x +50)kg 原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合B 型机器人搬运2400千克所用时间与A 型机器人搬运2000千克所用时间相等，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18.【答案】(1)证明：连接OA ，如图，∵BC 为直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠D=∠CAD，∴∠OCA=∠CAD+∠D=2∠D=2∠B，而∠B+∠ACB=90°，∴∠B+2∠B=90°，解得∠B=30°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∴∠AOC=∠B+∠OAB=60°，而∠D=∠B=30°，∴∠OAD=180°−60°−30°=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；=π．(2)AC⏜的长=60×π×3180【解析】(1)连接OA，如图，根据圆周角定理得到∠BAC=90°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠D，∠D=∠CAD，则∠OCA=2∠D=2∠B，接着利用三角形内角和可计算出∠B=30°，则∠AOC=60°，然后计算出∠OAD=90°，从而根据切线的判定定理得到结论；(2)直接利用弧长公式计算．本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．19.【答案】解：(1)如图1中，平行四边形ABDC即为所求作．(2)如图2中，点E即为所求作．(3)如图3中，点F即为所求作．【解析】(1)根据平行四边形的判定画出图形即可．(2)取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接CE，点E即为所求作．(3)取格点E，G，H，连接EG，AH交于点J，连接CJ交AB于点F，点F即为所求作．本题考查作图−应用与设计，平行四边形的判定，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】1.5 1.5【解析】解：(1)30÷30%=100(人)，答：本次抽样调查学的人数是100人；(2)做家务的时间是1.5小时的学生有：100−12−30−18=40(人)，补全条形统计图如图所示：(3)家务劳动时间在1.5小时的人数最多，由40人，因此众数1.5小时，将家务劳动时间从小到大排列处在第50、51位的数都是1.5小时，因此中位数1.5小时，故答案为：1.5，1.5；(4)根据题意得：=540(人)，3000×18100答：全校大约有540名同学做家务劳动时间是2小时．(1)从两个统计图中得到家务劳动1小时的学生有30人，占调查人数的30%，可求出调查人数；(2)求出家务劳动1.5小时的学生人数即可补全条形统计图，(3)根据中位数、众数的意义和求法，分别找出出现次数最多的数，处在中间位置的两个数的平均数，(4)用样本中家务劳动在2个小时的占比，估计总体的占比，根据总人数求出全校家务劳动在2小时的学生人数．此题考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点、平均数、中位数、众数的意义及求法，样本估计总体是统计常用的方法．21.【答案】解：(1)设y=a(x−12)2+720，将(0,0)代入，得：144a+720=0，解得a=−5，∴y=−5(x−12)2+720；(2)设等待接受体温测量的学生人数为y1，则y1=y−30x=−5(x−12)2+720−30x=−5x2+90x=−5(x−9)2+405，∴当x=9时，y1取得最大值，最大值为405，答：学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有405人；(3)由(2)知，y1=−5(x−9)2+405，∴x≥9时，y1随x的增大而减小，∴当9≤x≤24时，学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少．【解析】(1)设y=a(x−12)2+720，将原点坐标代入求出a的值即可；(2)设等待接受体温测量的学生人数为y1，知y1=y−30x，据此得出y1=−5(x−9)2+ 405，根据二次函数的性质可得答案；(3)由(2)中顶点式可得x的取值范围，结合12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人可得答案．本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．22.【答案】4 28051【解析】解：(1)∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC =∠BOC ，又∵∠PEO =∠PDO =90°，OP =OP ，∴△OPE≌△OPD(AAS)，∴PD =PE =2，∴△OPE 的面积=12×OE ×PE =12×4×2=4，故答案为4；(2)如图②，过点B 作BH//AC ，交AD 的延长线于H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵BH//AC ，∴∠H =∠DAC ，∴∠H =∠BAD ，∴AB =BH ，∵BH//AC ，∴△BDH∽△CDA ，∴BD CD =BH AC ， ∴BD CD =AB AC ；(3)∵∠ABC =90°，AB =5，BC =12，∴AC =√AB 2+BC 2=√25+144=13，∵将△ABC 先沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，∴AB =AA 1=5，∠BAB 1=∠B 1AA 1，∠B =∠AA 1B 1=90°，BB 1=A 1B 1， ∴A 1C =8，由(2)可得AB AC =BB 1B 1C =513，∴BB 1=103=A 1B 1，B 1C =263， ∴S △A 1B 1C =12×8×103=403， 同理可求：A 1B 1A1C =B 1B 2B 2C =512， ∴S △A 1B 1B 2=40317×5=20051， ∴△A 2B 2C 的面积=403−2×20051=28051．故答案为：28051． (1)由“AAS ”可证△OPE≌△OPD ，可得PD =PE =2，即可求解；(2)过点B 作BH//AC ，交AD 的延长线于H ，通过证明△BDH∽△CDA ，可得BD CD =BH AC ，可得结论；(3)利用(2)的结论可求S △A 1B 1C =403，S △A 1B 1B 2=20051，即可求解．本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．23.【答案】解：(1)当N 在AC 上时，如图1所示，∵D 为BC 中点，∴BD =CD =4，∵AB =AC =5，由勾股定理可得：AD =√AB 2−BD 2=√52−42=3，由题意知，PB =5t ，PQ =3t ，BQ =4t ，PN =6t ，∵PQ =NM ，∠PQB =∠NMC ，∠B =∠C ，∴△PQB≌△NMC(AAS)，∴BQ =MC ，∴BC =BQ +QM +MC =4t +6t +4t =8，解得：t =47；(2)当N 在AB 上时，如图2所示，由题意知，CP=10−5t，CQ=8−4t，PQ=6−3t，∴AP=5t−5，PE=4t−4，PN=8t−8，∵PN=2PQ，∴8t−8=2(6−3t)，解得：t=107，∴PQ=6−3×107=127．(3)当点P在线段AB上时，点M与C重合时，此时CQ=8−4t，PN=6t，可得：8−4t=6t，解得：t=45，观察图象可知，当47<t<45时，矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形，当点P在AC上时，点M与B重合时，BQ=8−CQ=8−(8−4t)=4t，PQ=6−3t，∵BQ=2PQ，∴4t=2(6−3t)，解得：t=65，观察图象可知，当65<t<127时，矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形．综上所述，满足条件的t的取值范围为47<t<45或65<t<127．(4)如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时(AB的中垂线交AB于G，交BC于K)，由题意，PB+PG=BG，∴5t+6t⋅45=52，解得t =2598．如图4中，当N 落在BC 的垂直平分线AD 上时，由题意BQ +QD =4，∴4t +6t =4，∴t =25． 如图5中，当点N 落在AC 的垂直平分线上时(AC 的垂直平分线交AC 于T ，交BC 于H)，连接AH ，设DH =m ，则AH =CH =4−m ，根据勾股定理得，(4−m)2−m 2=9，∴m =78， ∴HM =10t −4−78， 由题意：MN HM =43，∴3t10t−4−78=43， ∴t =3962，综上所述，满足条件的t 的值为2598或25或3962．【解析】(1)证明△PQB≌△NMC(AAS)，可得BQ =MC ，再根据BC =BQ +QM +CM ，构建方程求解即可．(2)根据PN =2PQ ，构建方程求解即可．(3)求出当点P 在线段AB 上时，点M 与C 重合时，t 的值，求出当点P 在AC 上时，点M 与B 重合时，t 的值，结合(1)(2)即可判断．(4)分三种情形：如图3中，当点N 落在AB 的中垂线GK 上时，如图4中，当N 落在BC 的垂直平分线AD 上时，如图5中，当点N 落在AC 的垂直平分线上时，分别求解即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)当m =13时，函数可化为y ={x 2−2x +2(x >13)−x 2+23x +23(x ≤13)， ①针对于函数y =x 2−2x +2，当y =−1时，x 2−2x +2=−1，此方程无解；针对于函数y =−x 2+23x +23，当y =−1时，−x 2+23x +23=−1，∴x =53(舍)或x =−1， ∴当y =−1时，图象G 上对应点的坐标为(−1,−1)；②画出函数图象如图1所示，针对于函数y =−x 2+23x +23，当x =−1时，y =−1−23+23=−1，当x =13时，y =−19+23×13+23=97，针对于函数y =x 2−2x +2，当x =1时，y =1−2+2=1，当x =2是，y =22−2×2+2=2，∴当−1≤x ≤2时，y 的取值范围−1≤y ≤79或1≤y ≤2；(2)当m =1时，y ={x 2−6x +6(x >1)−x 2+2x +2(x ≤1)， 画出函数图象如图2所示，针对于y=−x2+2x+2，当x=−1时，y=−1，当x=1时，y=3，∵直线y=2k+1(k为常数)与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x=−1和x=1之间(不包括边界)时，∴−1<2k+1<3，∴−1<k<1；(3)∵x>m，∴只考虑函数y=x2−6mx+6m(x>m)，此函数的图象如图3所示，∵函数的解析式为y=x2−6mx+6m(x>m)，∴此函数的对称轴为x =3m ，当m <0时，3m <m ，图象如图3粉色线条，∵图象与坐标轴有两个交点，∴当x =m 时，y =−5m 2+6m =−m(5m −6)<0，∴m <65，即m <0，函数图象与坐标轴有两个交点， 当m =0时，y =x 2(x >0)，图象如图3蓝色线条，此时，图象与坐标轴只有一个交点， 当m >0时，函数y =x 2−6mx +6m(x >m)的图象如图3所示的黑色线条， ∴3m >m ，∵图象与坐标轴有两个交点，∴当x =m 时，y =−5m 2+6m =−m(5m −6)>0，∴m <65，当x =3m 时，y =−9m 2+6m =−3m(3m −2)<0，∴m >23， 即23<m <65，函数图象与坐标轴有两个交点，综上，m <0或23<m <65，函数图象与坐标轴有两个交点．【解析】(1)先得出函数关系式，①分别求出y =−1时的x 值，即可得出结论；②画出函数图象，两段函数图象分别求出x =−1，x =13和x =13，x =1，x =2时的函数值，即可得出结论；(2)先确定出函数关系式，进而画出图象，再求出x =−1和x =1时的函数值，借助图象，即可得出结论；(3)分m <0，m =0，m >0，三种情况，利用函数的最小值和x =m 时的函数值，再借助图象，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了函数的性质，函数关系式的确定，利用图象分析和解答是解本题的关键．。
吉林省长春市南关区东北师大附中2021-2021学年九年级(上)期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2
2．下列各点在函数y＝﹣x2+1的图象上是（ ）
A．（0，0）B．（1，1）C．（0，﹣1）D．（1，0）
3．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（ ）
（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直按写出m的值．
13．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则cosD＝．
14．已知抛德物线y＝ +1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（ ，3），P是抛物线y＝ +1上一个动点，则△PMF周长的最小值是．
三、解答题（共10小题，满分71分）
17．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长春市某家快递公司今年三月份完成投递的快递总件数为10万件，预计五月份完成投递的快递总件数将增加到12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同，求该快递公司完成投递的快递总件数三月份到五月份的月平均增长率．
18．某校在开展读书交流活动中，全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，对部分书据进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图回答下面问题：
（1）小丽骑车的速度为km/h，H点坐标为；