2017届高考数学二轮复习第1部分专题三三角函数与解三角形1三角恒等变换与求值课件文
2．已知 sin α＋2cos α＝0，则 2sin αcos α－cos2α 的值是________．
解析：基本法：由 sin α＋2cos α＝0 得 tan α＝－2.
2 2sin α cos α － cos α 2tan α－1 2 ∴ 2sin αcos α － cos α ＝ ＝ ＝ 2 2 2 sin α＋cos α tan α＋1
π π αcos5＋cos αsin5 π π αcos5－cos αsin5
π tan α＋tan 5 ＝ ， π tan α－tan5
∵tan
3π ，∴ π ＝ π ＝3.故选 tan sinα－5 5
∴tan
π β α＝tan4＋2
π π π β 又∵α∈0，2，β∈0，2，∴2∈0，4，
π β π π π β ∴4＋2∈4，2，∴α＝4＋2， π π ∴2α＝2＋β，∴2α－β＝2.故选 C. 答案：C
方略点评：1基本法是切化弦，利用正弦等式寻找角的关系.速解 α 法都是利用 tan 的公式及特征，代入验证或者转化正切等式. 2 2已知值求角时，注意角的范围，要尽量使范围“小”一点.
根据 k 的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”．
2．公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． (2)升幂公式 1＋cos α＝2cos ；1－cos α＝2sin . 2 2 (3)降幂公式 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 sin α＝ ；cos α＝ . 2 2
1． (2016· 河北唐山模拟)已知 2sin 2α＝1＋cos 2α， 则 tan 2α＝( D ) 4 A．－3 4 C．－ 或 0 3 4 B.3 4 D. 或 0 3
2sin 2α＝1＋cos 2α 解析：基本法：∵ 2 2 sin 2α＋cos 2α＝1
，
4 sin 2α＝5， sin 2α＝0 ∴ 或 cos 2α＝－1 cos 2α＝3. 5 4 ∴tan 2α＝0 或 tan 2α＝ . 3 答案：D
4 答案：－3
方略点评：基本法是利用角的转化及弦切转化，速解法采用构造 直角三角形，寻找等量转化.
(2)若 tan α＞0，则( C ) A．sin α＞0 C．sin 2α＞0 B．cos α＞0 D．cos 2α＞0
解析：基本法：由 tan α＞0 得 α 是第一或第三象限角，若 α 是第 三象限角，则 A，B 错；由 sin 2α＝2sin αcos α 知 sin 2α＞0，C 正
π sinθ＋4
(1)(2016· 高考全国乙卷)已知 θ 是第四象限角， 且
π 3 ＝ ，则 tanθ－4＝________. 5
π π π 解析：基本法：将 θ－ 转化为θ＋4－ . 4 2
由题意知
π 3 sinθ＋4＝ ，θ 5
1．若 tan A．1 C．3
3π cosα－10 π α＝2tan ，则 ＝( 5 π sinα－5
C )
B．2 D．4
π 3π 3π cosα－10 sin2＋α－10 解析：基本法： π ＝ π sinα－5 sinα－5 π sinα＋5 sin ＝ π＝ sinα－5 sin
1－cos α α sin α tan2＝ ＝ sin α . 1＋cos α
3．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，
π π π π α＝4＋α－4＝α－3＋3.
方略点评：基本法是构造 sinα＋β的形式，再逆用公式.速解法是 根据三角函数的特征猜想，大胆猜想也是一种方法.
(2)设
π π α∈0，2，β∈0，2，且
1＋sin β tan α＝ cos β ，则( C )
π A．3α－β＝2 π C．2α－β＝2
π B．3α＋β＝2 π D．2α＋β＝2
释
从表面上看已知条件式子，庞 适用 范围 大而复杂，直接进行代数推理 计算会很麻烦，可考虑各种方 法.
1 答案：7
[终极提升]——登高博见 解选择题、填空题的方法——特征分析法
特征分析法：不同的选择题各有其不同的特点，某些选择题
方
法 诠
的条件、结论或条件与结论之间存在一些特殊关系，只要发 现了这些特殊关系就能很快作出选择．特征分析法是指根据 题目所提供的信息，抓住数值特征、结构特征、位置特征 (比如：定点、定线、拐点)进行大跨度、短思维链的推理、 判断的方法．它体现了对知识的数、形、结构的深刻认识与 状态把握，直觉、联想、猜想是思维的联结点．
(2)互余与互补关系
π 3π 例如，4＋α＋ 4 －α＝π， π π π ＋α＋ －α＝ . 3 6 2
(3)非特殊角转化为特殊角 例如，15° ＝45° －30° ，75° ＝45° ＋30° .
[速解方略]——不拘一格 类型一 [例 1] 三角函数概念，同角关系及诱导公式
是第四象限角，所以 1－sin 1
2
π cosθ＋4>0，所以
π cosθ＋4＝
π 4 θ＋ ＝ . 4 5
π π π tanθ－4＝tanθ＋4－2＝－
π tanθ＋4
π 4 cos θ＋4 5 4 ＝－ π ＝－3＝－3. sinθ＋4 5
类型一 类型二 限时速解训练
专题三
三角函数与解三角形
必考点一 三角恒等变换与求值
[高考预测]——运筹帷幄 1．三角函数定义、诱导公式与和差倍半角公式结合进行三角恒等 变换、求三角函数值． 2．结合简单的三角函数图象，求三角函数值或角度．
[速解必备]——决胜千里 1．诱导公式都可写为
kπ sin 2 ＋α或 kπ cos 2 ＋α的形式．
2 2α 2α
(4)其他常用变形 2sin αcos α 2tan α sin 2α＝ 2 2 ＝ 2 ； sin α＋cos α 1＋tan α cos2α－sin2α 1－tan2α cos 2α＝ 2 ＝ ； cos α＋sin2α 1＋tan2α 1± sin
α α2 cos ； α＝sin2± 2
π π α∈0，2，β∈0，2，所以－
π π π π π π 2＜α－β＜2，0＜2－α＜2，因为 α－β＝2－α，所以 2α－β＝2，故 选 C. α 1－cos α 速解法一：∵tan 2＝ sin α ，
1＋sin β 由 tan α＝ 知，α、β 应为 2 倍角关系，A、B 项中有 3α， cos β π 不合题意，C 项中有 2α－β＝ . 2 π 把 β＝2α－ 代入 2
1＋sin β sin α 1＋sin β 解析：基本法：由 tan α＝ cos β 得cos α＝ cos β ，即 sin αcos β ＝cos α＋sin βcos α，所以 sin(α－β)＝cos α，又 cos 所以
π sin(α－β)＝sin2－α，又因为 π α＝sin2－α，
4 答案：－3
π π 速解法：由题意知 θ＋4为第一象限角，设 θ＋4＝α， π ∴θ＝α－4，
π π π ∴tanθ－4＝tanα－2＝－tan2－α.
3 如图，不妨设在 Rt△ACB 中，∠A＝α，由 sin α＝5可得， BC＝3，AB＝5，AC＝4， π 4 ∴∠B＝2－α，∴tan B＝3， 4 ∴tan B＝－ . 3
π 1＋sin β 1＋sin2α－2 cos β ＝ π cos2α－2
1－cos 2α ＝ sin 2α ＝tan α，题设成立．故选 C.
π π β 1＋sin β 1－cos2＋β 速解法二： cos β ＝ π ＝tan4＋2 sin2＋β
1 π 1 2 2 确；α 取3时，cos 2α＝2cos α－1＝2× 2 －1＝－2＜0，D 错．故
选 C. sin α 速解法：∵tan α＝ ＞0，即 sin αcos α＞0， cos α ∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选 C.
答案：C
方略点评：1基本法根据 α 的可能象限判断符号.,速解法是根据 tan α 及 sin 2α 的公式特征判断符号，更简单. 2知弦求弦.利用诱导公式及平方关系 sin2α＋cos2α＝1 求解. 3知弦求切.常通过平方关系、对称式 sin α＋cos α，sin α－cos α， sin α sin αcos α 建立联系，注意 tan α＝ 的灵活应用. cos α 4知切求弦.通常先利用商数关系转化为 sin α＝tan α· cos α 的形 式，然后利用平方关系求解.
C.
答案：C
1 1 2．(2016· 河北石家庄模拟)已知 tan(3π－α)＝－2，tan(β－α)＝－3， 则 tan β＝________.
1 1 解析：基本法：依题意得 tan α＝2， 又 tan(β－α)＝－3， tanβ－a＋tan α 1 ∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝ ＝ . 1－tanβ－α· tan α 7
2×－2－1 －5 ＝ 5 ＝－1. －22＋1
答案：－1
类型二 三角函数的求值与化简 [例 2] (1)sin 20° cos 10° －cos 160° sin 10° ＝( D ) 3 B. 2 1 D. 2
3 A．－ 2 1 C．－ 2
解析： 基本法： 原式＝sin 20° cos 10° ＋cos 20° sin 10° ＝sin(20° ＋10° ) 1 ＝sin 30° ＝2，故选 D. 速解法：从题目形式上看应是 sin(α＋β)公式的展开式． 1 又∵20° ＋10° ＝30° ，故猜想为 sin 30° ＝ . 2 答案：D
高考数学(理)二轮复习专题突破课件：1-3-2三角恒等变换与解三角形
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(2)由 cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45， 得 cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得 2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2， ∴f(β)＝2sinπ2－π4＝2sinπ4＝ 2.
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(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2. (3)面积公式：S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C.
∴12＜sinA＋π6≤1，∴ 23＜sin A＋sin C≤ 3.
故 sin A＋sin C 的取值范围是 23， 3.
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考向四 正(余)弦定理的实际应用 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，测量、航海问题是高 考的热点．求解这类问题的关键是由题意构建三角形模型，借 助正弦、余弦定理求解．
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[思考2] 二倍角公式有哪些？降幂公式呢？
提示：(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝1－2tatnanα2α.
(4)sin2
α＝1－c2os
2α；cos2α＝1＋c2os
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【变式训练3】 已知三角形的三个内角A，B，C所对边的长分别 为a，b，c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，且 m∥n. (1)求角B的大小； (2)求sin A＋sin C的取值范围．
2017高考数学文二轮复习讲义：专题整合突破 专题三 三角函数与解三角形 第二讲 三角恒等变换与解三角形
第二讲 三角恒等变换与解三角形必记公式]1．同角三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式(1)公式：S α＋2k π；S π±α；S －α；S π2±α；(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；(4)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)＝a 2＋b 2cos(α＋θ)．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.5．降幂公式 (1)sin 2α＝1－cos2α2； (2)cos 2α＝1＋cos2α2. 6．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 7．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .8．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .重要结论]1．判断三角形形状的常用结论(1)sin A ＝sin B 且A ＋B ≠π⇒等腰三角形；(2)sin2A ＝sin2B ⇒A ＝B 或A ＋B ＝π2⇒等腰或直角三角形； (3)cos A ＝cos B ⇒A ＝B ⇒等腰三角形； (4)cos2A ＝cos2B ⇒A ＝B ⇒等腰三角形； (5)sin(A －B )＝0⇒A ＝B ⇒等腰三角形； (6)A ＝60°且b ＝c ⇒等边三角形； (7)A ，B ，C 成等差数列⇔B ＝60°；(8)a 2＜b 2＋c 2(A 为三角形中的最大角)⇒三角形为锐角三角形(A 为锐角)；(9)a 2＝b 2＋c 2⇒三角形为直角三角形(A 为直角)；(10)a 2＞b 2＋c 2⇒三角形为钝角三角形(A 为钝角)． 2．射影定理 a ＝b cos C ＋c cos B . b ＝a cos C ＋c cos A . c ＝a cos B ＋b cos A .失分警示]1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．3．忽视解的多种情况如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π，求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ，但解可能有多种情况．4．忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围．5．忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．考点三角恒等变换典例示法 题型1 求角典例1 2016·中山模拟]已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解析] 由0<β<π4<α<π2易得π4<2α－β<π，－π4<α－2β<π2，π4<α＋β<3π4，故sin(2α－β)＝5314，cos(α－2β)＝17，cos(α＋β)＝cos(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝12，故α＋β＝π3.答案] π3解答此类问题的关键是结合已知条件，求出相应角的三角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.题型2 求值典例2 2016·安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32∴tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.化简常用的方法技巧(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．考点正、余弦定理典例示法题型1应用正、余弦定理求边、角典例32016·淄博模拟]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解](1)由a cos C＋3a sin C－b－c＝0及正弦定理得sin A cos C＋3sin A sin C－sin B－sin C＝0.因为B＝π－A－C，所以3sin A sin C－cos A sin C－sin C＝0.易知sin C≠0，所以3sin A－cos A＝1，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫A－π6＝12.又0＜A＜π，所以A＝π3.(2)解法一：由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ( 0＜B ＜2π3 )， 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C sin π3＝433sin B sin C ＝433sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin2B －33cos2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33.易知－π6＜2B －π6＜7π6， 故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.解法二：由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3， 即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果． 题型2 判断三角形的形状典例4 设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，故选B. 答案] B利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．题型3 求有关三角形的面积典例5 2014·浙江高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．解] (1)由题意得1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin2A －32sin2B ，即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －12cos2B ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)， 得2A －π6＋2B －π6＝π， 即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85. 由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310， 所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．考点正、余弦定理的实际应用典例示法典例6 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解] (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sinπ－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB 的长为1040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537时，d 最小，所以乙出发3537分钟后，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsin A＝ACsin B，得BC＝ACsin B×sin A＝12606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤125043，62514(单位：m/min)范围内．1．解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2．解三角形应用题的一般步骤针对训练2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________________________________________________________________________m.答案100 6解析在△ABC中，∠BAC＝30°，∠BCA＝75°－30°＝45°，所以由正弦定理得，BC＝sin∠BAC sin∠BCA·AB＝sin30°sin45°×600＝1222×600＝300 2.在△BCD中，CD＝BC tan30°＝3002×33＝1006，故此山的高度为100 6 m.全国卷高考真题调研]1．2016·全国卷Ⅱ]若cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝() A.725 B.15C．－15D．－725答案 D解析因为cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22(sinα＋cosα)＝35，所以sinα＋cosα＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D.2．2015·全国卷Ⅰ]sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32 B.32C．－12 D.12答案 D解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.3．2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．答案(6－2，6＋2)解析 如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，过P 作BC 的垂线交BC 于点E ，则PB ＝BE cos75°＝6＋2；在△QBC 中，由余弦定理QB 2＝BC 2＋QC 2－2QC ·BC ·cos30°＝8－43＝(6－2)2，故QB ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．其它省市高考题借鉴]4．2016·浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案2 1解析 由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.5．2015·广东高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 1解析 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1.6．2014·山东高考]设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.一、选择题1．2016·合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.12答案 D 解析sin18°sin78°－cos162°cos78°＝sin18°sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝12，故选D.2．2016·广西质检]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64C.223D.326答案 C解析 由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 3．2016·郑州质检]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝a sin A，则cos B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 由正弦定理知sin B 3cos B ＝sin A sin A ＝1，即tan B ＝3，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B.4．2016·武汉调研]据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )A ．9 hB ．10 hC ．11 hD ．12 h答案 B解析 记码头为点O ，热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝400，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得4002＋400t 2－2×20t ×400×22≤3002，即t 2－202t ＋175≤0，解得102－5≤t ≤102＋5，所以所求时间为102＋5－102＋5＝10(h)，故选B.5．2016·云南统测]已知△ABC 的内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334 B.6＋324 C.326－24 D.36－324答案 A解析 根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C 得a ＋2b ＝2c ，c＝a ＋322，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a＝a 8＋34a －24≥2a 8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a ，即a ＝6时，等号成立，此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334.6．2016·郑州质量预测]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736答案 D解析 sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cos B sin A ，sin2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.二、填空题7．已知tan α，tan β是lg (6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.答案 1解析 lg (6x 2－5x ＋2)＝0⇒6x 2－5x ＋1＝0，∴tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. 8．2016·贵阳监测]在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，若sin 2B 2＝c －a2c ，则△ABC 的形状一定是________．答案 直角三角形解析 由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝ac ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理，得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．9．2016·西安质检]已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，若△ABC 的面积为453，则△ABC 外接圆的半径为________．答案 14解析 因为a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22×5k ×3k ＝－12.因为A 是△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝32，因为△ABC的面积为453，所以12bc sin A ＝453，即12×5k ×3k ×32＝453，解得k ＝2 3.由正弦定理asin A ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，即2R ＝7k sin A ＝14332，解得R ＝14，所以△ABC 外接圆半径为14.三、解答题10．2016·重庆测试]在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B ＋C2＋sin2A ＝1.(1)求A ；(2)设a ＝23－2，△ABC 的面积为2，求b ＋c 的值． 解 (1)由2cos 2B ＋C 2＋sin2A ＝1可得，21＋cos (B ＋C )2＋2sin A cos A ＝1，所以1＋cos(π－A )＋2sin A cos A ＝1，故2sin A cos A －cos A ＝0. 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ≠0，故sin A ＝12，从而A ＝π6.(2)因为△ABC 的面积为12bc sin A ＝14bc ＝2，所以bc ＝8. 因为A ＝π6，故cos A ＝32，由余弦定理可知，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝3bc .又a ＝23－2，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝(2＋3)bc ＋a 2＝8×(2＋3)＋(23－2)2＝32.故b ＋c ＝32＝4 2.11．2016·武汉调研]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解 (1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3. ∴△ABC 的面积的最大值为 3.12．2016·济宁模拟]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3. 则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C ，又0<C <π2， 则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1又因为f (2A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.典题例证2016·天津高考]已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[规范解答] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ －π12＋k π≤x ≤5π12＋ }k π，k ∈Z .易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 模型归纳利用y ＝sin x (y ＝cos x )的图象及性质解决三角函数性质的模型示意图如下：典题例证△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．审题过程切入点 利用正、余弦定理进行边角互化；关注点 由S △ABC 得出ab ，再由余弦定理联立方程.(1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7. 模型归纳利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：专题四 数列 第一讲 等差与等比数列必记公式]1．等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d.2．等差数列前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2. 3．等比数列通项公式：a n ＝a 1·q n －1. 4．等比数列前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q (q ≠1).5．等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．6．等比中项公式：a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．7．数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 重要结论]1．通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m ·q n －m .2．增减性：(1)等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．(2)等比数列中，若a 1>0且q >1或a 1<0且0<q <1，则数列为递增数列；若a 1>0且0<q <1或a 1<0且q >1，则数列为递减数列．3．等差数列{a n }中，S n 为前n 项和．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等差数列；等比数列{b n } 中，T n 为前n 项和．T n ，T 2n －T n ，T 3n－T 2n ，…一般仍成等比数列．失分警示]1．忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． 2．漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab . 3．忽略对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n 项和公式时应首先讨论公式q 是否等于1. 4．a n －a n －1＝d 或a na n －1＝q 中注意n 的范围限制．5．易忽略公式a n ＝S n －S n －1成立的条件是n ≥2.6．证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前n 项和想当然得到数列的通项公式，易出错，必须用定义证明．7．等差数列的单调性只取决于公差d 的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q ，又要考虑首项a 1的正负．考点数列的概念、表示方法及递推公式典例示法题型1 利用递推关系求通项公式典例1 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12D ．a n ＝n解析] 由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0， 又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1a n＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n ，所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)， 所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.答案] B(2)2015·江苏高考]设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为______．解析] 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝⎛1－12＋12－⎭⎪⎫13＋…＋110－111＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 答案] 2011题型2 利用a n 与S n 的关系求a n典例2 2015·全国卷Ⅰ]S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛ 12n ＋1－ ⎦⎥⎥⎤⎭⎪⎫12n ＋3＝n 3(2n ＋3).求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．(2)已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，求a n .(3)累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．(5)构造法：①递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n＋1＋qp －1＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋q p －1(p ≠1)的形式，利用⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1是以p 为公比的等比数列求解；②递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1－1a n＝1p 的形式．考点等差、等比数列的运算典例示法题型1 等差、等比数列的基本运算典例3 2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1， ∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2， ∴a 2＝12，故选C. 答案] C题型2 等差、等比数列性质的运算典例4 2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析] 设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.答案] 641．等差(比)数列基本运算中的关注点 (1)基本量在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本量． (2)解题思路①求公差d (公比q )：常用公式a n ＝a m ＋(n －m )d (a n ＝a m q n －m )； ②列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量．2．等差(比)数列的性质盘点考点等差、等比数列的判断与证明典例示法典例52014·全国卷Ⅰ]已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解](1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.因为a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{a n}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故a n＋2－a n＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．在本例题(2)中是否存在λ，使得{a n }为等比数列？并说明理由．解 由题设可知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，得a 2＝λ－1，由(1)知a 3＝λ＋1，若{a n }为等比数列，则a 22＝a 1a 3，即(λ－1)2＝λ＋1，解得λ＝0或λ＝3.当λ＝0时，a n a n ＋1＝－1，又a 1＝1，所以a 2＝－1，a 3＝1，…，a n ＝(－1)n －1，所以数列{a n }为首项为1，公比为－1的等比数列；当λ＝3时，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，故可令a n ＝2n －1，则a n a n ＋1＝22n －1.λS n －1＝3·2n －4，易得a n a n ＋1与λS n －1不恒相等，与已知条件矛盾．综上可知，存在λ＝0，使得{a n }为等比数列．1．等差数列的判定方法(1)证明一个数列{a n }为等差数列的基本方法有两种 ①利用等差数列的定义证明，即证明a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)； ②利用等差中项证明，即证明a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ∈N *)． (2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断． ①通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列．②前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }是等差数列．2．等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：若判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明前三项不是等差(等比)数列即可．针对训练2016·云南统测]在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n .(1)证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； (2)比较a n 与S n ＋7的大小． 解 (1)证明：∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n，∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列． 由a 1＝35，b n ＝1a n －1得b 1＝－52，∴S n ＝－5n 2＋n (n －1)2＝n 22－3n .(2)由(1)知：b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1得a n ＝1＋1b n＝1＋1n －72. ∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋1n －72.∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝1n －72也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n －7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴∀n ∈N *，a n －S n －7≤0，∴a n ≤S n ＋7.全国卷高考真题调研]1．2016·全国卷Ⅰ]已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n3， 因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 2．2016·全国卷Ⅲ]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解 (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.其它省市高考题借鉴]3．2016·北京高考]已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案 6解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，2a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝－2，所以S 6＝6a 1＋12×6×5d ＝36＋15×(－2)＝6.4．2015·广东高考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1，∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1， ∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋54 )＋1， 解得a 4＝78.(2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1，∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n )＝2[(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1) ]，∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n )＝12[ (S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1) ]， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n . 又a 3－12a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12a 1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列． (3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列， ∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，两边同乘以2n ＋1得，a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n ＝4. 又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝2(2n －1)2n ＝2n －12n －1.一、选择题1．2015·重庆高考]在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2．2016·山西四校联考]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．31B ．36C ．42D ．48答案 A解析 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且公比q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2(q ＝－2舍)，所以S 5＝1×(1－25)1－2＝31，故选A.3．2016·唐山统考]设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310 D ．1或2答案 B解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.4．2015·浙江高考]已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4 >0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0答案 B解析 由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.5．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n 的最小值为( )A ．2B ．16 C.114 D.32答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2＝q ＋2⇒q ＝－1(舍)或q ＝2，∴a n ＝a 1·2n －1，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2m ＋n －2＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114.6．2016·吉林长春质量监测]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1 C.2n －12n －1 D.n ＋12n ＋1 答案 A解析 设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝4，b 2＝8，{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，S n ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n a n ＝4. 当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2(n ＋1)na n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，又因为a 11＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *)，a n ＝n 2n －1(n ∈N *)，故选A.二、填空题7．2015·广东高考]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.答案 10解析 利用等差数列的性质可得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，从而a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，故a 5＝5，所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.8．2016·辽宁质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________.答案 66解析 依题a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差得，a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×(1－33)1－3＝66.9．2016·云南统考]在数列{a n }中，a n >0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是________．答案 100101解析 由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0，又a n >0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以1a 1－1为首项，－1为公差的等差数列，∴1a n－1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101.三、解答题10．2016·蚌埠质检]已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 23a 2n ＋3，且{b n }为递增数列，若c n ＝4b n ·b n ＋1，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1.解 (1)设该等比数列的公比为q ， 则根据题意有3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q ＋1q 2＝9， 从而2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a n ＝3；当q ＝－12时，a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3. (2)证明：若a n ＝3，则b n ＝0，与题意不符，故a n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫－12n －3，此时a 2n ＋3＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n，∴b n ＝2n ，符合题意． ∴c n ＝42n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1，从而c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1－1n ＋1<1.11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15， 解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2， 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22， 解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列． 12．2016·西安质检]等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.。
2017高考数学二轮浙江专用课件：3-2三角恒等变换与解
且 cos 2
π -������ 4
πD. 2 -25 ������ =2cos2 4
7
π -������ 4
-1=2×
3 2 7 -1=- , 5 25
=cos
αsin
9 α)=25,
关闭
D
解析
答案
-4热点考题诠释 能力目标解读
1 2 3 4 5
3.(2016 全国丙,理 8)在△ABC A=( C ) A. 10
1 5
=
5 . 5
∴cos∠BAC=cos ������ + 4 =cos αcos4-sin αsin4
2 2 = 2 (cos α-sin α)= 2 × 10 =- ,故选 C. 10 5 2 5 - 5 5
π
π
-7热点考题诠释 能力目标解读
1 2 3 4 5
4.(2016 山东,文 8)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 b=c,a2=2b2(1-sin A),则 A=( ) A.
3π 4
B.
π 3
C.
π 4
D.
π 6
关闭
由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A,又因为 b=c,所以 a2=b2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A). 由已知 a2=2b2(1-sin A),所以 sin A=cos A, 因为 A∈(0,π),所以
π A= . 4
关闭
-6热点考题诠释 能力目标解读
1 2 3 4 5
(方法 2)如图,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的高,由题意知∠ π BAD= . 设∠DAC=α, π 则∠BAC=α+ . 4 ∵BC=3AD,BD=AD. ∴DC=2AD,AC= 5AD.
高三数学二轮复习 三角恒等变换与解三角形 课件 (全国通用)
π a＋b＋c＝5＋10sinA＋ ∈(10,15]. 6
【点评】1.解三角形常见类型及解法 在三角形的六个元素中要知三个 ( 除三角外 ) 才能 求解,常见类型及其解法见下表：
已知条件 一边和二角 (如 a,B,C) 应用 定理 正弦 定理 一般解决 由 A＋B＋C＝180°,求角 A；由正弦定理 1 求出 b 与 c； S△＝ acsin B,在有解时只有一 2 解 由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出一 边所对的角,再由 A＋B＋C＝180°求出另 一角. 1 S△＝ absin C,在有解时只有一解 2 由余弦定理求出角 A,B,再利用 A＋B＋C 1 ＝180°求出角 C.S△＝ absin C,在有解时 2 只有一解 由正弦定理求出角 B；由 A＋B＋C＝180° 1 求出角 C；再利用正弦定理求出 c 边.S△＝ 2 absin C,可有两解、一解或无解
第5讲
三角恒等变换与解三角形
【命题趋势】 1.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查： ①利用三角恒等变换求值和化简.其中降幂公式、 辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的 三角变换思想. ②利用三角恒等变换研究三角函数的图象与性质. 三种题型均可能出现,以基础题和中档题为主.
2.解三角形问题是高考的必考内容,主要考查： ①利用正、余弦定理求边、角、面积、判断三角 形的形状； ②利用正、余弦定理解决一些现实生活中的实际 问题； ③处理正、余弦定理与三角函数、平面向量的交 汇问题. 三种题型均可能出现,以基础题或中档题为主.
2 2 2
14 . 2
【点评】三角恒等变换的方法： (1)弦切互化：一般是切化弦. (2) 常值代换：特别是 “1” 的代换 , 如 1 ＝ sin2 α＋ cos2α＝tan 45°等. (3)降次与升次： 正用二倍角公式升次,逆用二倍角 公式(降幂公式)降次. (4)公式的变形应用： 如 sin α＝cos αtan α, 1－cos 2α 2 sin α＝ , 2 1＋cos 2α 2 cos α＝ , 2 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β), α α 2等 . 1±sin α＝sin ±cos 2 2
高考数学大二轮复习 专题三 三角函数及解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质复习指导课后强化训练-人
专题三 第一讲A 组1．(2017·某某模拟)已知sin φ＝35，且φ∈(π2，π)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f (π4)的值为导学号 52134381( B )A ．－35B ．－45C ．35D ．45[解析] 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f (π4)＝sin(2×π4＋φ)＝cos φ＝－1－sin 2φ＝－45．2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为导学号 52134382( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z[解析] 由五点作图知，⎩⎪⎨⎪⎧14ω＋φ＝2k π＋π2，54ω＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，可得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D ．3．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f (π8＋t )＝f (π8－t )，且f (π8)＝－3，则实数m 的值等于导学号 52134383( C )A ．－1B ．±5C ．－5或－1D ．5或1[解析] 依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，∴m ＝－5或m ＝－1，选C ．4．函数y ＝cos(x ＋π2)＋sin(π3－x )具有性质导学号 52134384( B )A ．最大值为1，图象关于点(π6，0)对称B ．最大值为3，图象关于点(π6，0)对称C ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称D ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称[解析] y ＝－sin x ＋32cos x －12sin x ＝－3(32sin x －12cos x )＝－3sin(x －π6)， ∴最大值为3，图象关于点(π6，0)对称．5．(2017·某某测试)设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f (x 0＋12)<33，则这样的零点有导学号 52134385( C )A ．61个B ．63个C ．65个D ．67个[解析] 依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0，得πx 0＝k π，k ∈Z ，x 0＝k ，k ∈Z .当k 是奇数时，f (x 0＋12)＝sin[π(k ＋12)]＝sin(k π＋π2)＝－1，|x 0|＋f (x 0＋12)＝|k |－1<33，|k |<34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f (x 0＋12)＝sin[π(k ＋12)]＝sin(k π＋π2)＝1，|x 0|＋f (x 0＋12)＝|k |＋1<33，|k |<32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65个．故选C ．6．(2017·某某市高三一模)已知函数f (x )＝2sin(π＋x )sin(x ＋π3＋φ)的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则φ＝__π6__.导学号 52134386[解析] 本题主要考查三角函数的奇偶性，诱导公式． 因为f (x )＝2sin(π＋x )sin(x ＋π3＋φ)的图象关于原点对称，所以函数f (x )＝2sin(π＋x )sin(x ＋π3＋φ)为奇函数，则y ＝sin(x ＋π3＋φ)为偶函数，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6．7．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f (x )＝sin x ＋cos x; ②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x; ④f (x )＝2sin x ＋2．其中为“互为生成”函数的是__①④__.(填序号).导学号 52134387 [解析] 首先化简题中的四个解析式可得：①f (x )＝2sin(x ＋π4)，②f (x )＝2sin(x ＋π4)，③f (x )＝sin x ，④f (x )＝2sin x ＋2，可知③f (x )＝sin x 的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f (x )＝sin x 不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象与②f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f (x )＝2sin x ＋2的图象向左平移π4个单位，再向下平移2个单位即可得到①f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．8．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos 4x .导学号 52134388(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求a 的值．[解析] (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin(4x ＋π4) 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22．(2)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1． 因为α∈(π2，π)，所以4α＋π4∈(9π4，17π4)，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16．9．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：导学号 52134389(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．[解析] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin(2x －π6)．(2)由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，则g (x )＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ． 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z ． 由于函数y ＝g (x )的图象关于点(5π12，0)成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6．B 组1．(2016·某某卷)为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点导学号 52134390( D )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度[解析] 因为y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π6)]，所以只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度即可，故选D ．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是导学号 52134391( B )A ．(π3，1)B ．(π12，0)C ．(5π12，0)D ．(－π12，0)[解析] 由题意知T ＝π，∴ω＝2，由函数图象关于直线x ＝π3对称，得2×π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝－π6＋k π(k∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝A sin(2x －π6)，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝π12＋k2π(k ∈Z )．∴一个对称中心为(π12，0)，故选B ．3．已知函数f (x )＝1＋cos2x －2sin 2(x －π6)，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是导学号 52134392( D )A ．f (x )是最小正周期为π的偶函数B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π3C ．f (x )的最大值为2D ．将函数y ＝3sin2x 的图象向左平移π6得到函数f (x )的图象[解析] f (x )＝cos2x ＋cos(2x －π3)＝cos2x ＋12cos2x ＋32sin2x＝3sin(2x ＋π3)，故选D ．4．(2017·某某一模)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移5π6个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是导学号 52134393( B )A ．15B ．1C ．115D ．2[解析] 本题主要考查三角函数的图象和性质．由题意可得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos(ωx ＋π6)，将函数f (x )的图象向左平移5π6个单位后得到g (x )＝2cos[ω(x ＋5π6)＋π6]＝2cos[ωx ＋5ω＋1π6]的图象，g (x )为偶函数，所以5ω＋1π6＝k π，k ∈Z ，所以ω的最小值是1，故选B ．5．给出下列四个命题：①f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π；④函数f (x )＝sin(x ＋π4)在[－π2，π2]上是增函数．其中正确命题的个数是导学号 52134394( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，故①正确；②由f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)知，函数的最大值为2，故②正确；③f (x )＝sin x cos x －1＝12sin2x －1，函数的周期为π，故③错误；④函数f (x )＝sin(x ＋π4)的图象是由f (x )＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到的，故④错误．6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示，则函数f (x )的解析式为__f (x )＝2sin(π4x ＋π4)__.导学号 52134395[分析] 观察图象，由最高点与最低点确定A ，由周期确定ω，由特殊点的坐标确定φ．[解析] 由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，所以ω＝π4，得f (x )＝2sin(π4x ＋φ)．由对应点得当x ＝1时，π4×1＋φ＝π2⇒φ＝π4．所以f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．7．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值X围是__[12，54]__.导学号 52134396[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．由题意，函数f (x )在(π2，π)上单调递减，故(π2，π)为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．由4k ＋12<2k ＋54，解得k <38．由ω>0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值X 围为[12，54]．8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x ，x ∈R .导学号 52134397(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)∵f (x )＝sin2x ·cosπ3＋cos2x ·sin π3＋sin2x ·cos π3－cos2x sin π3＋cos2x ＋1＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π．(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1．∵x ∈[－π4，π4]，∴令2x ＋π4＝π2得x ＝π8，∴f (x )在区间[－π4，π8]上是增函数；在区间[π8，π4]上是减函数，又∵f (－π4)＝0，f (π8)＝2＋1，f (π4)＝2，∴函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值为2＋1，最小值为0．9．(2017·某某质检)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .导学号 52134398(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，某某数m 的最大值．[解析] (1)因为tan θ＝2， 所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝sin θcos θ＋12(2cos 2θ－1)＝sin θcos θ＋cos 2θ－12＝sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－12 ＝tan θ＋1tan 2θ＋1－12＝110． (2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin(2x ＋π4)． 依题意， 得g (x )＝22sin[2(x －π4)＋π4]， 即g (x )＝22sin(2x －π4)． 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈[－π4，2m －π4]，又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以2m －π4≤π2，即m ≤3π8，故实数m 的最大值为3π8．。
高考数学二轮复习专题3三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件
2．利用同角三角函数的关系式化简与求值的三种常用方法 (1)切弦互换法：利用 tan α＝csoins αα进行转化． (2)和积转化法：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α 进行变形、转化． (3)常值代换法：其中之一就是把 1 代换为 sin2α＋cos2α.同角三角函数关系 sin2α＋cos2α＝1 和 tan α＝csoins αα联合使用，可根据角 α 的一个三角函数值求出另外 两个三角函数值．根据 tan α＝csoins αα可以把含有 sin α，cos α 的齐次式化为 tan α
式成立的是 导学号 52134401 ( A )
A．a＝2b
B．b＝2a
C．A＝2B
D．B＝2A
• [解析] 等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C) • ＝sin Acos C＋sin(A＋C) • ＝sin Acos C＋sin B， • 等式左边＝sin B＋2sin Bcos C， • ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B． • 由cos C>0，得sin A＝2sin B． • 根据正弦定理，得a＝2b． • 故选A．
命题热点突破
•命题方向1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、 (1)(2017·日照诱模导拟公)已式知角的α应的用终边上一点 P 的坐标为(sin23π，
cos23π)，则角 α 的最小正值为 导学号 52134406 ( D )
A．56π
B．23π
C．53π
D．116π
[解析] 由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义得 cos α＝sin23π＝
2tan α • (3)tan 2α＝___1_－__t_an_2_α_____．
2017版高考数学二轮突破：专题三-三角函数、三角恒等变换与解三角形ppt课件
4 [答案] －5
[解析] 根据题意，cos α＝
－4 4 ＝－5. （－4）2＋32
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第8讲 三角函数的图像与性质
核 心 知 识 聚 焦
5 2． [2015· 福建卷改编] 若 sin α ＝－13， 且 α 为第四象限 角，则 tan α 的值等于________． 测试要点：同角三角函数关系
题型：选择、填空 分值：5 分 难度：中等 热点： 利用三角函数定义、 同角三角函数关系 和诱导公式求值
考 点 考 向 探 究
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第8讲 三角函数的图像与性质
(1)已知 α 是第二象限角，其终边上的一点为 P(x， 2 5)，且 cos α＝ 4 x，则 tan α＝( ) 15 15 15 15 A. 5 B. 3 C．－ 5 D．－ 3 (2)已知 12sin α－5cos α＝13，则 tan α＝( ) 5 12 A．－12 B．－ 5 12 7 C．± 5 D．±12 例1
专题三
三角函数、三角恒等变换与解 三角形
第8讲 三角函数的图像与性质
第9讲 三角恒等变换与解三角形
核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究
第8讲
三角函数的图像与性质
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第8讲 三角函数的图像与性质
核 心 知 识 聚 焦
1．[2014· 全国卷改编] 已知角 α 的终边经过点(－4，3)， 则 cos α ＝________． 测试要点：三角函数定义
[答案] π
3 7 π＋kπ， π＋kπ（k∈Z） 8 8
核 心 知 识 聚 焦
1－cos 2x 1 π 2 3 [解析] f（x）＝ ＋2sin 2x＋1＝ 2 sin2x－ ＋2， 2 4 π π 则最小正周期是π.单调递减区间： 2kπ＋ 2 ≤2x－ 4 ≤ 3π 3π 7π 2kπ＋ 2 （k∈Z）⇒kπ＋ 8 ≤x≤kπ＋ 8 （k∈Z）.
高考数学二轮复习 专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理学案含解析
第2讲三角恒等变换与解三角形(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查：(1)边、角、面积的计算；(2)有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱(理科)年份卷别题号考查角度分值2020 Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10 Ⅱ卷17 解三角形求角和周长的最值12 Ⅲ卷7、9 余弦定理解三角形；三角恒等变换求值102019 Ⅰ卷17 正余弦定理12 Ⅱ卷15二倍角公式、基本关系式、余弦定理、三角形面积公式5 Ⅲ卷18 正余弦定理、三角形面积公式122018 Ⅰ卷17 正余弦定理、解三角形12 Ⅱ卷10、15二倍角、辅助角公式、基本关系式、和的正弦公式、余弦定理10 Ⅲ卷15 余弦定理、二倍角公式、函数零点 5年份卷别题号考查角度分值2020 Ⅰ卷18 余弦定理、三角恒等变换解三角形10 Ⅱ卷13、17余弦的二倍角公式的应用；诱导公式和平方关系的应用,利用勾股定理或正弦定理,余弦定理判断三角形的形状17Ⅲ卷 5、11 两角和与差的正余弦公式及其应用；余弦定理以及同角三角函数关系解三角形10 2019Ⅰ卷7、11 诱导公式及两角和的正切公式；正、余弦定理10 Ⅱ卷 11、15 二倍角公式的应用；正弦定理的应用10 Ⅲ卷 18 正余弦定理、三角形面积公式12 2018Ⅰ卷11、16 三角函数定义及三角恒等变换；正余弦定理、解三角形10 Ⅱ卷 7、15 二倍角及余弦定理；诱导公式及三角恒等变换10 Ⅲ卷7、11二倍角公式、正、余弦定理解三角形10KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点 考点一 三角恒等变换知识再现三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式asin x ＋bcos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝b a)典例悟通典例1 (1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos 240°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝( A )A ．34B ．14C ．12＋32 D ．334(2)(2020·宜宾模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,且3sin 2α－5cos 2α＋sin 2α＝0,则sin 2α＋cos 2α＝( A )A ．1B ．－2317C ．－2317或1D ．－1(3)已知函数f(x)＝3cos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－12.①求f(x)的单调递增区间；②若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,f(x)＝36,求cos 2x 的值．【解析】 (1)原式＝cos 240°＋2sin 35°cos 35°sin 10° ＝cos 240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝12＋12(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°) ＝12＋12(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°)＝12＋12cos 60°＝34.故选A ． (2)由3sin 2α－5cos 2α＋sin 2α＝0, 得3sin 2α－5cos 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝0 3tan 2α＋2tan α－5tan 2α＋1＝0, 即3tan 2α＋2tan α－5＝0, 解得tan α＝1或tan α＝－53.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,∴tan α＝1,即α＝π4.∴sin 2α＋cos 2α＝sinπ2＋cos π2＝1．故选A ． (3)f(x)＝3cos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－12 ＝3sin xcos x ＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32－12＝32sin 2x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝32sin 2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.①令2k π－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2,k ∈Z,得k π－π6≤x≤kπ＋π3,k ∈Z,所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3,k ∈Z.②由f(x)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝36,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,∴－π6≤2x－π6≤π3, ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63. ∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×12＝63×32－33×12＝22－36. 方法感悟三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．跟踪训练1．(1)(2019·江苏)已知tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是10(2)设α为锐角,若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为50【解析】 (1)方法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α()1－tan αtan α＋1＝－23.解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22 ＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22, 将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.方法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23,∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.① 又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22,②由①②,解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25,cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.(2)因为α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0,所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 考点二 正弦定理与余弦定理知识再现1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2Rsin A,b ＝2Rsin B,c ＝2Rsin C. sin A ＝a 2R ,sin B ＝b 2R ,sin C ＝c2R .a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A,b 2＝a 2＋c 2－2accos B, c 2＝a 2＋b 2－2abcos C.推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ,cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ,cos C ＝a 2＋b 2－c22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bccos A,a 2＋c 2－b 2＝2accos B,a 2＋b 2－c 2＝2abcos C. 3．面积公式S △ABC ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝12absin C.典例悟通典例2 (2020·百校联盟联考)已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 满足acos B＋bcos A ＝c2cos C,且BC 边上一点P 使得PA ＝PC.(1)求角C 的大小；(2)若PB ＝3,sin ∠BAP ＝35738,求△ABC 的面积．【解析】 (1)因为acos B ＋bcos A ＝c2cos C ,在△ABC,由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ,所以得2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C. 所以2cos Csin(A ＋B)＝sin C. 即2cos C ＝1,所以cos C ＝12,因为C ∈(0,π),所以C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3,而PA ＝PC,△APC 为等边三角形．由于∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB ＝2π3.在△APB 中,由正弦定理得PBsin ∠BAP ＝ABsin2π3, 即335738＝AB sin2π3,所以AB ＝19.所以由余弦定理得,AB 2＝PA 2＋PB 2－2PA·PBcos 2π3,即PA 2＋3PA －10＝0, 解得：PA ＝2,故BC ＝2＋3＝5,AC ＝2,所以S △ABC ＝12CA·CB·sin C＝12×2×5×32＝532.方法感悟解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理．正弦定理可以将角转化成边,也可以将边转化成角,当涉及边的平方关系时,一般利用余弦定理,要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式,灵活选用．跟踪训练2．(2020·江苏省扬州市调研)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若b ＝3,sin 2A －sin 2B ＝3sin 2C,cos A ＝－13,则△ABC 的面积是__2__.【解析】 由正弦定理可将sin 2A －sin 2B ＝3sin 2C 转化为a 2－b 2＝3c 2, 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A,将b ＝3,cos A ＝－13,代入上面两个式子,并化简可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3c 2＋9a 2＝c 2＋2c ＋9,解得：c ＝1,∵cos A ＝－13,∴sin A ＝223,∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×3×1×223＝ 2.考点三 正、余弦定理的实际应用知识再现1．实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解． 2．实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．典例悟通典例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD ＝__1006__m.【解析】 由题意,在△ABC 中,∠BAC ＝30°, ∠ABC ＝180°－75°＝105°,故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m,故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°,解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中,CD ＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． 方法感悟 解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．跟踪训练3．(2020·湖北省高三冲刺)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3,弦长为40 3 m 的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(其中π≈3,3≈1.73)( B )A ．15 m 2B ．16 m 2C ．17 m 2D ．18 m 2【解析】 因为圆心角为2π3,弦长为40 3 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m, 因此根据经验公式计算出弧田的面积为 12(403×20＋20×20)＝(4003＋200) m 2, 实际面积等于扇形面积减去三角形面积为12×2π3×402－12×20×403＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 600π3－4003 m 2,因此两者之差为1 600π3－4003－(4003＋200)≈16 m 2．故选B ．考点四 与解三角形有关的交汇创新知识再现1．以平面几何为载体的解三角形问题,这种题目主要是：一是考查多个三角形的问题；二是考查四边形问题；三是通过三角形中的不等关系确定角或边的范围问题．2．以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及重要不等式．典例悟通典例4 (2020·武侯区校级模拟)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,已知c ＝3,且sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6·cos C＝14.(1)求角C 的大小；(2)若向量m ＝(1,sin A)与n ＝(2,sin B)共线,求a 、b 的值．【解析】 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6·cos C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin Ccos π6－cos Csin π6·cos C＝32sin Ccos C －12cos 2C ＝34sin 2C －1＋cos 2C 4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6－14＝14,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1；又0＜C ＜π,∴－π6＜2C －π6＜11π6,∴2C －π6＝π2,解得C ＝π3.(2)向量m ＝(1,sin A)与n ＝(2,sin B)共线, ∴2sin A －sin B ＝0, ∴sin B ＝2sin A, 即b ＝2a ①； 又c ＝3,C ＝π3,∴c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝a 2＋b 2－ab ＝9 ②； 由①②联立解得a ＝3,b ＝2 3方法感悟以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及重要不等式．这类综合问题的解法思路是：通过向量的运算把向量问题转化为三角函数问题或解三角形问题,再利用三角变换或正(余)弦定理综合解决． 跟踪训练4．(2020·青岛模拟)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AB ＝1,AD ＝3,BC ＝ 2.(1)若CD ＝1＋3,求四边形ABCD 的面积；(2)若sin ∠BCD ＝325,∠ADC ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,求sin ∠ADC. 【解析】 (1)连接BD,在Rt △ABD 中,由勾股定理可得,BD 2＝AB 2＋AD 2＝4,故BD ＝2,在△BCD 中,由余弦定理可得,cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC·CD ＝2＋1＋32－42×2×1＋3＝22, 因为C 为三角形的内角,故C ＝π4, 所以S △ABD ＝12AB·AD＝12×1×3＝32,S △BCD ＝12BC·CDsin C＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32,故求四边形ABCD 的面积S ＝12＋ 3. (2)在△BCD 中,由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BD sin ∠BCD, 所以sin ∠BDC ＝BC·sin ∠BCD BD＝2×3252＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以∠BDC ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,cos ∠BDC ＝45,Rt △ABD 中,tan ∠ADB ＝AB AD ＝33,故∠ADB ＝π6, 所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋∠BDC ＝35×32＋45×12＝4＋3310.YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零·免失误1．处理三角恒等变换时角的变换方向不清典例1 (2020·湖南长郡中学10月模拟)已知sin(α＋2β)＝34,cos β＝13,α,β为锐角,则sin(α＋β)的值为( D )A ．37－2212B ．3－21412C ．37＋2212D ．3＋21412 【错解】 因为cos β＝13,β为锐角, 所以sin β＝1－132＝223, cos 2β＝2cos 2 β－1＝－79<0． 又α、β为锐角,∴0<α＋β<π,又sin(α＋2β)＝34, 所以cos(α＋2β)＝1－sin 2α＋2β＝74. 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β－β)]＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β＝34×13－74×223＝3－21412,故选B ． 【剖析】 上述解法错误是利用同角三角函数关系时,求错α＋2β的范围,而导致求cos(α＋2β)时求错值,故导致后面计算sin(α＋β)时尽管利用对了公式,但是结果也错了．【正解】 因为cos β＝13,β为锐角,所以sin β＝1－132＝223,cos 2β＝2cos 2 β－1＝－79<0, 又β为锐角,所以π2<2β<π, 因为α为锐角,所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2, 又sin(α＋2β)＝34, 所以cos(α＋2β)＝1－sin 2α＋2β＝－74, 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β ＝34×13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×223＝3＋21412,故选D ． 2．解三角形时忽视对三角形的解的个数的讨论而出错典例2 (2020·天津摸底调研)在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边,若b ＝3,c ＝4,C ＝2B,且a≠b.(1)求cos B 及a 的值；(2)求cos(2B ＋π3)的值． 【解析】 (1)在△ABC 中,由正弦定理b sin B ＝a sin A ＝c sin C ,得3sin B ＝4sin C. 因为C ＝2B,所以3sin B ＝4sin 2B ,即3sin B ＝42sin Bcos B, 又sin B≠0,所cos B ＝23. 在△ABC 中,由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B,则a 2－163a ＋7＝0,解得a ＝3或a ＝73. 又a≠b ,所以a ＝73. (2)由(1)知,cos B ＝23,所以sin B ＝53,所以cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×49－1＝－19, 所以sin 2B ＝2sin BcosB ＝2×53×23＝459,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝cos 2Bcos π3－sin 2Bsin π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×12－459×32 ＝－1＋41518. 【剖析】 (1)求解此类题时避免出错的关键：一是会选定理,即根据已知的边角关系,恰当地选用正弦定理或余弦定理解三角形,一般地,知两边和其中一边所对的角(既要注意角和边的对应,还要注意讨论钝角与锐角)或一边和两角,常利用正弦定理解三角形,知三边或两边与其夹角,常利用余弦定理解三角形；二是会用公式,即会利用二倍角公式、两角和与差的正弦和余弦公式求三角函数值．(2)在△ABC 中,已知a,b 和A,三角形的解的个数的情况如下,①A 为锐角时,当0<a<bsin A 时,无解：当a ＝bsin A 时,有一解；当bsin A<a<b 时,有两解；当a≥b 时,有一解．②A 为直角或钝角时,当a≤b 时,无解：当a>b 时,有一解．3．不能正确进行边角互化典例3 (2020·南宁10月模拟)△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asin Asin B＋bcos 2A ＝2a.(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2,求B.【解析】 (1)由正弦定理,得asin B ＝bsin A,因为asin AsinB ＋bcos 2A ＝2a,所以bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a,所以b a＝ 2. (2)由余弦定理得,b 2＝a 2＋c 2－2accos B,因为c 2＝b 2＋3a 2,所以cos B ＝1＋3a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2,故c 2＝(2＋3)a 2．所以cos 2B ＝12,易知cos B>0, 所以cos B ＝22,又0<B<π,所以B ＝π4. 【剖析】 求解此类题时避开易错点的关键是会转化,即已知三角等式中既含有角又含有边的关系时,①若等式两边为关于边的齐次式,可以将边化为对应角的正弦值；②若具有余弦定理的形式,可以运用余弦定理将边化为角；③若等式两边均含有角的正弦值,常将角的正弦值化为边；④若含有角的余弦值,可以运用余弦定理将角化为边；⑤若一边与它的对角同时出现,经常用正弦定理,注意角和边要对应．。
《创新设计》2017届高考数学(浙江专用)二轮教师文档讲义：专题2.2三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C.1D.1625解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.答案 A2.(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝ sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 答案 21133.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________.解析 如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°， ∴设AD ＝12x ，则AE ＝22x ，DE ＝6＋24x ，令CD ＝m ，∵BC ＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋24x ＋m ·sin 15°＝1⇒6＋24x ＋m ＝6＋2， ∴0<x <4，而AB ＝6＋24x ＋m －22x ＝6－24x ＋m ＝6＋2－22x ， ∴AB 的取值范围是(6－2，6＋2). 答案 (6－2，6＋2)4.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ； 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .热点一 三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4(2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(3)(2016·合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.则sin 2α＝________.解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.(2)∵α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35＞0，∴α＋π6为锐角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×45×35＝2425，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425.(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.答案 (1)C (2)2425 (3)12探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】 (1)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16 B.13 C.12D.23(2)(2016·成都模拟)sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝( )A.－63 B.－66 C.66 D.63(3)(2016·中山模拟)已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解析 (1)法一 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22cos α－22sin α.所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α) ＝12(1－sin 2α)＝16.(2)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－532＝－23. 由cos α＝2cos 2α2－1，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，得cos α2＝－cos α＋12＝－66.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－66.(3)因为cos(2α－β)＝－1114， 且π4＜2α－β＜π， 所以sin(2α－β)＝5314. 因为sin(α－2β)＝437， 且－π4＜α－2β＜π2. 所以cos(α－2β)＝17，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. 又π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)A (2)B (3)π3 热点二 正、余弦定理的应用 [微题型1] 三角形基本量的求解【例2－1】 (2016·四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c . (1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin Cc 中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B . 故tan B ＝sin Bcos B ＝4.探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. [微题型2] 求解三角形中的最值问题【例2－2】 (2016·绍兴模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2sin π3＝43， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝ 433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33.易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3. 法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值. [微题型3] 解三角形与三角函数的综合问题【例2－3】 (2016·四川成都诊断二)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA→·BC →的值. 解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵f (x )的最小正周期为π， ∴T ＝2π2|ω|＝π. ∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . ∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B ∈(0，π)).∵BC ＝3，∴a ＝3，∵sin B ＝3sin A ， ∴b ＝3a ，∴b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3， 解得sin A ＝12. ∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6. ∴C ＝π6，∴c ＝a ＝ 3.∴BA→·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练2】 (2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋ sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C.－34D.－43解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2 α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52. 用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C. 答案 C2.(2016·宁波二模)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A.10 B.9 C.8D.5解析 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，又角A 为锐角， 解得cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b ＝5. 答案 D3.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010 B.1010 C.－1010D.－31010 解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010.答案 C4.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2 B.2α－β＝π2 C.3α＋β＝π2 D.2α＋β＝π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2. 答案 B5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A.3 B.932 C.332D.3 3解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得 ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C. 答案 C 二、填空题6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 87.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6. 答案 100 68.(2016·杭州模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24， 当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24.答案6－24三、解答题9.(2016·北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以 C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，∵0＜A ＜3π4，∴π4＜A ＋π4＜π， 故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值.解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·ca sin A ＝ bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.11.(2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34.\。
专题二 第3讲 三角恒等变换与解三角形(解析版)
1三角恒等变换与解三角形【要点提炼】考点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．【热点突破】【典例】1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23 C.13 D.59【答案】 A【解析】 由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53.2(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6【答案】 C【解析】 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.【方法总结】(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 【拓展训练】1 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( )A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2【答案】 B3【解析】 tan α＝cos 2β1－sin 2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β＝cos β＋sin βcos β－sin βcos β－sin β2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π4＋β，即α－β＝π4.(2)(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°＝________.【答案】 －2【解析】 (tan 10°－3)·cos 10°sin 50°＝(tan 10°－tan 60°)·cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin －50°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 【要点提炼】考点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bccos A. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a22bc.43．三角形的面积公式：S ＝12absin C ＝12acsin B ＝12bcsin A.【热点突破】考向1 求解三角形中的角、边【典例】2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asin C1－cos A ＝3c.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝10，△ABC 的面积S △ABC ＝43，求a 的值． 解 (1)由正弦定理及asin C1－cos A ＝3c ，得sin Asin C1－cos A＝3sin C ，∵sin C ≠0，∴sin A ＝3(1－cos A)，∴sin A ＋3cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，又0<A<π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝2π3，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bcsin A ＝34bc ＝43，∴bc ＝16.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccos π3＝(b ＋c)2－2bc －bc ＝(b ＋c)2－3bc ，又b ＋c ＝10，∴a 2＝102－3×16＝52，∴a ＝213.5考向2 求解三角形中的最值与范围问题【典例】3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a ＝3csin A －acos C ，②(2a －b)sin A ＋(2b －a)sin B ＝2csin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3，而且________． (1)求角C ；(2)求△ABC 周长的最大值．解 (1)选①：因为a ＝3csin A －acos C ， 所以sin A ＝3sin Csin A －sin Acos C ， 因为sin A ≠0，所以3sin C －cos C ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝12，因为0<C<π，所以－π6<C －π6<5π6，所以C －π6＝π6，即C ＝π3.选②：因为(2a －b)sin A ＋(2b －a)sin B ＝2csin C ， 所以(2a －b)a ＋(2b －a)b ＝2c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为0<C<π，所以C ＝π3.(2)由(1)可知，C ＝π3，6在△ABC 中，由余弦定理得a 2＋b 2－2abcos C ＝3，即a 2＋b 2－ab ＝3， 所以(a ＋b)2－3＝3ab ≤3a ＋b 24，所以a ＋b ≤23，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以a ＋b ＋c ≤33，即△ABC 周长的最大值为3 3.【方法总结】 (1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．【拓展训练】2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为S ，且a ＝1,4S ＝b 2＋c 2－1，则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2【答案】 D【解析】 由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，a ＝1， 所以b 2＋c 2－1＝2bccos A ， 又S ＝12bcsin A,4S ＝b 2＋c 2－1，所以4×12bcsin A ＝2bccos A ，即sin A ＝cos A ，所以A ＝π4， 由正弦定理得，1sinπ4＝2R ，得R ＝22，7所以△ABC 外接圆的面积为π2.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝3B ，则ab 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0,1]D ．(1,2] 【答案】 B【解析】A ＝3B ⇒sin A sin B ＝sin 3B sin B ＝sin 2B ＋Bsin B＝sin 2Bcos B ＋cos 2Bsin Bsin B＝2sin Bcos 2B ＋cos 2Bsin B sin B ＝2cos 2B ＋cos 2B ＝2cos 2B ＋1，即a b ＝sin A sin B ＝2cos 2B ＋1，又A ＋B ∈(0，π)，即4B ∈(0，π)⇒2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2⇒cos 2B ∈(0,1)，∴a b ∈(1,3)．(3)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C ＝125，a ＝b ＝13，BC 边上的中点为D ，则sin ∠BAC ＝________，AD ＝________.【答案】31313 352【解析】 因为tan C ＝125，所以sin C ＝1213，cos C ＝513，又a ＝b ＝13，所以c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝13＋13－2×13×13×513＝16，所以c ＝4.由a sin ∠BAC ＝c sin C ，得13sin ∠BAC ＝41213，解得sin ∠BAC ＝31313.因为BC 边上的中点为D ，所以CD ＝a2，所以在△ACD 中，AD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos C ＝454，所以AD ＝352.8专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B 等于( )A.19B.13C.12D.23 【答案】 A【解析】 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( )A.12B.33C.23D.22 【答案】 B【解析】 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33.93．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，sin 2C 1－cos 2C ＝1，B ＝π6，则a 的值为( )A.3－1 B ．23＋2C ．23－2 D.2＋ 6【答案】 D【解析】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，sin 2C1－cos 2C ＝1，所以2sin Ccos C 2sin 2C ＝1，所以tan C ＝1，C ＝π4. 因为B ＝π6，所以A ＝π－B －C ＝7π12，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.由正弦定理可得a2＋64＝2sinπ6，则a ＝2＋ 6.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，acos B ＋bcos A ＝2ccos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( ) A ．1＋7 B ．2＋7 C ．4＋7 D ．5＋7【答案】 D【解析】 在△ABC 中，acos B ＋bcos A ＝2ccos C ， 则sin Acos B ＋sin Bcos A ＝2sin Ccos C ， 即sin(A ＋B)＝2sin Ccos C ，∵sin(A ＋B)＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，10 由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即(a ＋b)2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12absin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b)2＝7＋3ab ＝25，即a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.5．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525【答案】 A【解析】 因为α，β都是锐角，且cos α＝55<12， 所以π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35，而12<35<22，所以3π4<α＋β<5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45，又sin α＝1－cos 2α＝255， 所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝2525.6．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )11A ．3 B.2213 C ．3 2 D.352【答案】 B【解析】 因为A ＝120°，a ＝1，所以由正弦定理可得 b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝1sin 120°＝233， 所以b ＝233sin B ，c ＝233sin C ， 故2b ＋3c ＝433sin B ＋23sin C ＝433sin ()60°－C ＋23sin C ＝433sin C ＋2cos C ＝2213sin(C ＋φ)． 其中sin φ＝217，cos φ＝277， 所以2b ＋3c 的最大值为2213. 二、多项选择题7．(2020·临沂模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝23，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是( )A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23 C ．a ＝3D ．S △ABC ＝ 2【答案】 AD 【解析】 因为A ＋3C ＝π，A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝2C.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得23sin 2C ＝3sin C，即12 232sin Ccos C ＝3sin C ，所以cos C ＝33，故A 正确；因为cos C ＝33，所以sin C ＝63，所以sin B ＝sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2×63×33＝223，故B 错误；因为cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝－13，所以sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝223×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×63＝69，则cos A ＝539，所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1，所以a ＝1，故C 错误；S △ABC ＝12bcsin A ＝12×23×3×69＝2，故D 正确．8．已知0<θ<π4，若sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n 且m ≠n ，则下列选项中与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ恒相等的有() A.n 1＋m B.m 1＋n C.1－nm D.1－mn【答案】 AD【解析】 ∵sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n ，∴m 2＋n 2＝1，∴1－m n ＝n1＋m ，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos θ－sin θcos θ－sin θcos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1－sin 2θcos 2θ＝1－m n ＝n1＋m .三、填空题9．(2020·保定模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【答案】 －56【解析】 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12，13 即1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13， 所以sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ＋a sin C ＝2asin B －c sin B －sin A，则A ＝________. 【答案】π4 【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＋a c ＝2asin B －c b －a， 整理得b 2－a 2＝2acsin B －c 2，即b 2＋c 2－a 2＝2acsin B ＝2bcsin A ，由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，∴2bccos A ＝2bcsin A ，即cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∴A ＝π4. 11．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝________.【答案】 －14【解析】 在△ABD 中，∵AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝3，∴BD ＝6，∴FB ＝BD ＝ 6.14在△ACE 中，∵AE ＝AD ＝3，AC ＝1，∠CAE ＝30°， ∴EC ＝32＋12－2×3×1×cos 30°＝1， ∴CF ＝CE ＝1.又∵BC ＝AC 2＋AB 2＝12＋32＝2， ∴在△FCB 中，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－FB 22×CF ×BC ＝12＋22－622×1×2＝－14. 12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ，且4a 2＝b 2＋2c 2，则S a2的最大值为________． 【答案】 106【解析】 由题意知，4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2accos B ，整理，得2accos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3c 2－a 22ac ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12acsin B a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫csin B 2a 2＝c 21－cos 2B 4a 2， 代入cos B ＝3c 2－a22ac，整理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫Sa 22＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫9×c4a 4－22×c2a 2＋9， 令t ＝c 2a 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝－116(9t 2－22t ＋9) ＝－116⎝⎛⎭⎪⎫3t －1132＋1036， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22≤1036，所以S a 2≤106，故S a 2的最大值为106.15四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin Bsin C.(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．解 (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB.①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·ABcos A ．②由①②得cos A ＝－12. 因为0<A<π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BC sin A＝23， 从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B)＝3cos B －3sin B.故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 又0<B<π3， 所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 14．(2020·重庆模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A)．(1)求角C ；(2)若c ＝210，D 为BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度．16 条件①：△ABC 的面积S ＝4且B>A ；条件②：cos B ＝255.解 (1)在△ABC 中，由余弦定理知，b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，所以2b 2＝2bccos A(1－tan A)，所以b ＝c(cos A －sin A)，又由正弦定理知，b c ＝sin Bsin C ，得sin B ＝sin C(cos A －sin A)，所以sin(A ＋C)＝sin C(cos A －sin A)，即sin Acos C ＋cos Asin C ＝sin Ccos A －sin Csin A ，所以sin Acos C ＝－sin Csin A ，因为sin A ≠0，所以cos C ＝－sin C ，所以tan C ＝－1，又因为0<C<π，所以C ＝3π4.(2)选择条件②，cos B ＝255，因为cos B ＝255，且0<B<π，所以sin B ＝55，因为sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22×255＝1010，由正弦定理知csin C ＝asin A ，17 所以a ＝csin A sin C ＝210×101022＝22，在△ABD 中，由余弦定理知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝(210)2＋(2)2－2×210×2×255＝26，所以AD ＝26.(【答案】不唯一)。