中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第3讲)求代数式的值
初一竞赛讲座05(代数式初步)
初一数学竞赛系列讲座(5)代数式初步一、一、知识要点1、代数式定义1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
2、代数式的值定义2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
3、列代数式列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。
列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。
4、求代数式的值代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。
代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。
求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。
二、二、例题精讲例1、轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)，甲乙两码头间相距S 千米，则轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为每小时 千米。
分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。
解 因为轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b)千米，所以顺流所用时间是b a +S逆流所用时间是b a -S，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所用时间的和，即a b a b a S b a S 222S-=-++评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。
例2一支部队排成a 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t 1分钟追上了团长。
为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t 2分钟。
如果他从最前头跑步回到队尾，那么要( )分钟。
A 、2121t t t t +B 、21212t t t t +C 、21212t t t t +D 、21212t t t t +分析：这是行程问题中的相遇问题。
3.2.2求代数式的值(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了代数式的基本概念、求值的方法及其在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对代数式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
b.给定含有字母的代数式，通过已知的等式关系求出字母的值，进而求出原代数式的值；
c.利用代数式的性质，简化计算过程，提高解题效率。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的符号意识：通过代数式的学习，使学生理解字母符号在数学表达中的意义和作用，提高抽象思维能力。
2.提升学生的逻辑推理能力：在求解代数式值的过程中，培养学生运用代入法进行逻辑推理，分析问题、解决问题的能力。
-举例：在复合代数式中，如(2x + 3y) * (x - y)，学生可能不知道如何逐层代入。
-代数式的简化：学生可能在面对复杂的代数式时，不知道如何利用性质进行简化。
-举例：对于2(x + y) + 3(x - y)，学生可能不知道如何运用分配律简化。
-实际问题的代数建模：将现实问题转化为代数式时，学生可能难以理解代数式与现实情境的关联。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解代数式的基本概念。代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，它能够表示一类具有相同数量关系的数学问题。代数式是数学表达的重要工具，它可以帮助我们简化和解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个苹果的价格是x元，小明买了3个苹果和2个橙子，橙子的价格是y元，我们如何计算小明总共花费了多少钱？这个案例展示了代数式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
代数式的值PPT课件(华师大版)
62个座位.
由一般到特殊，将n的 特定值代入求得的代数式，
计算出特定各排的座位数.
知识点 1 求代数式的值
1. 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式 中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．
2. 要点精析： 求代数式值的一般步骤： ①代入：用指定的字母的数值代替代数式里的字 母，其他的运算符号和本来的数都不能改变． ②计算：按照代数式指明的运算根据有理数的运 算方法进行计算． 一般地，代数式的值不是固定不变的，它随着代 数式中字母的取值的变化而变化．
所以a＞0，b＜0. 又|a|＝2，|b|＝3， 所以a＝2，b＝－3. 所以a＋b＝－1， 所以(a＋b)a＝(－1)的值，要先计算出相关字 母的值，再把求得的值代入代数式，计算出结果．
1 填表：
x
2
－2
1
2
2x
1 x
x2
6 1 4
2 (中考·湖州)当x＝1时，代数式4－3x的值是( )
3 (中考·漳州)在数学活动课上，同学们利用如图所示 的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都 会进入循环，下面选项一定不是该循环的是( ) A．4，2，1 B．2，1，4 C．1，4，2 D．2，4，1
4 若|m－3|＋(n＋2)2＝0，则m＋2n的值为( )
A．－4
B．－1
C．0
D．4
例1 当a＝2，b＝－1，c＝－3时，求下列各代数式 的值： b2－4ac； (a＋b＋c)2.
解：当 a＝2，b＝－1，c＝－3 时， b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－3)＝1＋24＝25.
当 a＝2，b＝－1，c＝－3 时， (a＋b＋c)2＝(2－1－3)2＝(－2)2＝4.
例2 若|a|＝2，|b|＝3且ab＜0，a＞b，求(a＋b)a的值． 解：因为ab＜0，a＞b，
初中数学《代数式的值》教学PPT课件
【答案】 (1)m＝±4 (2)－8 或 0
【例 3】 七年级学生在 7 名教师的带领下去公园秋游， 公园的门票为每人 20 元．现有两种优惠方案：甲方案， 带队教师免费，学生按 8 折收费；乙方案，师生都按 7.5 折收费． (1)若有 m 名学生，用代数式表示两种优惠方案各需多 少元？ (2)当 m＝50 时，采用哪种方案优惠？ (3)当 m＝400 时，采用哪种方案优惠？
【解析】 (1)甲方案需要 m×20×0.8＝16m(元)， 乙方案需要 20×(m＋7)×0.75＝(15m＋105)(元)． (2)当 m＝50 时， 甲方案需要 16×50＝800(元)， 乙方案需要 15×50＋105＝855(元)． ∵800＜855，∴甲方案优惠． (3)当 m＝400 时， 甲方案需要 16×400＝6400(元)， 乙方案需要 15×400＋105＝6105(元)． ∵6105＜6400，∴乙方案优惠． 【答案】 (1)甲方案需要 16m 元，乙方案需要(15m＋105) 元 (2)甲方案 (3)乙方案
代数式的值
知识要点
1．代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母， 计算后所得的结果叫做代数式的值．
2．利用代数式求值推断代数式所反映的规律． 3．解释代数式的值的实际意义．
重要提示
1．求代数式的值是由一般的式子到特殊的数的问题，代 数式里的字母取值要使代数式有意义． 如：代数式x－1 2中要保证分母 x－2≠0，即 x 取不能取 2．
2．求代数式的值的步骤： (1)代入：代入时要注意： ①如果代数式中省略乘号，代入后必须添上乘号．
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
初一数学《代数式求值》参考精品PPT课件
⒉ 物体自由下落的高度h(米)和下落时间
t(秒)的关系,在地球上大约是:h＝4.9t2，在 月球上大约是:h＝0.8 t2.
⑴ 填写下表：
t
0 2 4 6 8 10
h＝4.9 t2 0 19.6 78.4 176.4 313.6 490
h=0.8 t2 0 3.2 12.8 28.8 51.2 80
5n+6 11 16 21 26 31 36 41 46
n2 1 4 9 16 25 36 49 64 (1)随着n的值逐渐变大，两个代数式 的值如何变化？ (2)估计一下，哪个代数式的值先超 过100。
⒈ 人体的血液的质量约占人体体重 的6％～7.5％。
⑴ 如果某人体重是a千克，那么他
的血液质量大约在什么范围？ ⑵ 亮亮体重是35千克，他的血液质 量大约在什么范围内？ ⑶ 估计你自己的血液质量。
⑵ 物体在哪儿下落得快？
⑶ 当h＝20米时，比较物体在地球上在
月球上自由下落所需的时间.
通过表格，估计当h＝20米时， t(地球)≈2(秒)，t(月球)≈5(秒).
3、按下列图示的程序计算,若开始输入 的值为x=3,则最后输出的结果是 。
4.某计算装置有一数据输入口A和一运算 结果的输出口B，下表是小明输入的一些 数据和这些数据经该装置计算后输出的相 应结果： 按照这个计算装 置的计算规律， 若输入的数是10， 则输出的数是 .
反馈练习：
1、如图，是一个简单的数值运算程序 当输入x的值为－1时，则输出的数值 为。
2、 根据下图所示的程序计算函数值。 若输入的值为1.5，则输出的结果为 .
3、在如图所示的运算流程中，若输 出的数y=3，则输入的数x=______。
填写下表，并观察下列两个代数式的值 的变化情况
代数式的值 公开课PPT课件
年数x
1
2
3
4…
实际价值y 15-0.6 15-1.2 15-1.8 15-2.4 …
的公式:y=___________. =_______. 年后,机器申请报废(即实际价值为0).
能力拓展:
=7,则6x2-4x-2=__________.
=7时,代数式x2+2x-a=0,则a2+2a+1的值为
____________.
例1:
当a=2,b=-1,c=-3时,求下列各代 数式的值:
(1) b2 - 4ac (2) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (3) (a + b + c)2
填表:
a b (a+b)(a-b)
a2-b2 总结规律
21
3 -2
-5 3
7.5 4.5
基础训练:
=1时,代数式2x2-1的值为_______.
3.当a=3b时,求代数式 3a 4b (b 0)
的值 .
2a b
4.已知 的值.
x y z 357
xy yz xz ,求代数式 x2 y2 z2
巩固练习
当x=1,y=-6时求下列代数式的值:
(1)x+y2 (2)(x+y)2 (3)x2-2xy+y2
例2:
某企业去年的年产值 为a亿元,今年比去年增 长了10%.如果明年还能 按这个速度增长,请你预 测一下,该企业明年的年 产值能达到多少亿元?如
某工厂用15万元购进一台机器,随着使用年数的增 加而机器的实际价值不断降低,下表是机器实际价 值y(单位:万元)与使用年数x的关系:
代数式的值说课稿
初中数学说课稿：《代数式的值》各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是：《代数式的值》。
我准备从如下几个方面展示：教材分析，教法、学法分析，教学程序设计，评价与反思。
一、教材分析（一）、教材内容的地位和作用《代数式的值》选自义务教育课程标准实验教科书（人教版）七年级数学（上）第二章，是我个人根据学生的知识基础较差、认知能力不强以及思维品质不够活跃等实际情况而在教学中加以补充的一节课。
代数学作为一门学科，它的课题首要的就是研究用字母表示式子的变形规则和解方程的方法。
因此，本节课既是算术知识的延续，又为后面知识的学习起着导航作用，即：对于代数我们研究什么？如何研究？（二）、教学目标根据新《课标》要求和上述教材分析，结合学生的情况，我制定了以下教学目标：知识、能力目标：了解代数式的值的概念，知道代数式求值的书写格式，能区分易混淆语言，清楚代数式求值过程中易出错的地方，会解决简单的问题，并在此基础上应用变式训练进行拔高。
情感目标：使学生明白数学来源于生活，学习数学是为了解决实际问题，，培养学生科学的学习态度，同时通过多媒体演示激发学生探究数学问题的兴趣。
（三）、教学重点、难点教学重点：代数式求值的书写格式。
教学难点：代数式求值的书写格式，变式训练知识的运用。
二：教法、学法分析本节课涉及的知识点不多，知识的切入点比较低，根据课标的要求，代数式的值的概念属于了解内容，所以本节课较多的时间用在代数式求值知识的运用上。
教师以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。
而学生在教师的鼓励引导下小结方法，克服思维定势，并通过小组讨论、组际竞赛等多种方式增强学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。
三、教学程序设计22新课标要求我们合理选用教学素材，优化教学内容。
(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题
代数式的化简求值问题初中数学中，全面实现了用字母代数。
这实现了学生对数认识的又一次飞跃。
这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
例题精讲【试题来源】【题目】若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值. 【答案】-4【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4将m=4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m 利用“整体思想”求代数式的值【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
【答案】-202008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 【解析】分析： 因为8635=-++cx bx ax当x=-2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ，所以146822235-=--=++c b a当x=2时，635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.【答案】4【解析】分析：观察两个代数式的系数由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932=+x x整体代人，42932=-+x x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
3.2.1++求代数式的值+课件+2024-2025学年人教版七年级数学上册
探究新知
问题：根据下列x，y的值，分别求代数式2x+13y的值：
（2）x= 2
1
，y=
2
.
1
2
解：（1）当x=1，y= 时，
2x+3y
1
=2×1+3×
7
2
= ；
2
探究新知
学生活动三 【一起探究】
问题：帮一位同学进行纠错，辨析错误，指出错因，并给出
正确答案。
当a=-8，b=-4时，求代数式a2 －（ b －1）的值。
探究新知
当a=-8，b=-4时，求代数式a2 －（ b －1） 的值。
解：当a=-8，b=-4时，
a2 －（ b －1）=-82 －（ -4 －1）
=-64－（-5）
=-64＋5
= -59
错在这一步，原因
是负数的乘方要加
括号，即（-8）2
探究新知
正确的解答如下：
解：当a=-8，b=-4时，
在代入数值时应注意：
代入一个
a值
代数式2x+1
当抽到一张红桃3时，则
a=3，输入机器2x+1，得
到结果为7.
得出一个结果
当抽到一张黑桃11时，
则a=-11，输入机器2x+1，
得到结果为-21.
探究新知
学生活动一 【一起探究】
问题：为了开展体育活动，学校要购置一批排球，每班5个，
学校另外留20个.
（1）若记全校的班级数是n，则学校总共需要购置多少个排球？
1.当a=2,b=1,c=3时代数式c-(c-a)(c-b)的值是（ A ）
A.1
B.2
C.3
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第三讲求代数式的值
用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．
例1求下列代数式的值：
分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．
=0-4a3b2-a2b-5
=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5
=-16+2-5=-19．
(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]
=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)
=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)
=2xyz-2x2z
=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)
=12+6=18．
说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．
例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．
分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．
解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简
a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3
=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3
=-1．
说明这是用代入消元法消去a化简求值的．
解法2因为a-b=-1，所以
原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab
=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab
=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2
=-(-1)2=-1．
说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以
原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3
=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3
=(-1)3=-1．
说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．
解法4 因为a-b=-1，所以
(a-b)3=(-1)3=1，
即a3+3ab2-3a2b-b3=-1，
a3-b3-3ab(a-b)=-1，
所以a3-b3-3ab(-1)=-1，
即a3-b3+3ab=-1．
说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．
解法5
a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab
=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab
=(-1)3+3ab(-1)+3ab
=-1．
说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a-b)2=a2-2ab+b2；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以
解因为a=3b，所以
c=5a=5×(3b)=15b．
将a，c代入所求代数式，化简得
解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有
由(2)得y+1=3，所以y=2．
下面先化简所求代数式，然后再代入求值．
=x2y+5m2x+10xy2
=52×2+0+10×5×22=250
例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．
分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．
解14a-2b=2(7a-b)
=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]
=2[(4a-3b)+(3a+2b)]
=2(7+19)=52．
｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．
分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，
据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．
原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)
=-1-2+3+4+5=9．
说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．
例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？
分析x:y:z=3:4:7可以写成
的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．
x=3k，y=4k，z=7k．
因为
2x-y+z=18，
所以
2×3k-4k+7k=18，
所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以
x+2y-z=6+16-14=8．
例9已知x=y=11，求
(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．
分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．
解设x+y=m，xy=n．
原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)
=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n
=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2
=(n+1)2-2m(n+1)+m2
=(n+1-m)2
=(11×11+1-22)2
=(121+1-22)2
=1002=10000．
说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．
练习三
1．求下列代数式的值：
(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；
的值．
3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式
｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求a，b的值．
5．已知。