北师大版高中数学选修电子题库第三章知能演练轻松闯关(1)(2)
高中数学 电子题库 第三章1.1知能演练轻松闯关 北师大版选修21
高中数学 电子题库 第三章1.1知能演练轻松闯关 北师大版选修2-11.设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D.由椭圆的标准方程得a 2＝25，即a ＝5.又由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，故选D.2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是( ) A.x 216＋y 27＝1 B.y 216＋x 27＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.y 225＋x 29＝1 解析：选 B.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝（4＋3）2＋（4－3）2＝8，∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为y 216＋x 27＝1.3.(2012·咸阳检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，则点F 1，F 2的坐标分别是______．解析：由椭圆的标准方程x 225＋y 216＝1，可得a 2＝25，b 2＝16，所以c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，即c ＝3.则点F 1，F 2的坐标分别是(－3，0)，(3，0)． 答案：(－3，0)，(3，0) 4.若方程x 2k －5＋y 210－k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是______．解析：由10－k >k －5>0，得5<k <152.答案：⎝⎛⎭⎪⎫5，152[A 级 基础达标]1.已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到其一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7解析：选D.由方程知a ＝5，设椭圆的两个焦点为F 1、F 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝10，所以点P 到另一个焦点的距离为10－3＝7.2.(2012·焦作调研)椭圆2x 2＋y 2＝8的焦点坐标是( ) A ．(±2，0) B ．(0，±2) C ．(±23，0) D ．(0，±23)解析：选B.椭圆标准方程为x 24＋y 28＝1，∴椭圆焦点在y 轴上，且c 2＝8－4＝4， ∴焦点为(0，±2)．3.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12解析：选C.设椭圆的另一个焦点为F (如图)，则△ABC 的周长为(|AB |＋|BF |)＋(|CA |＋|CF |)＝2a ＋2a ＝4a .而a 2＝3，a ＝3，∴4a ＝43， 即△ABC 的周长为4 3.4.已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．解析：设点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入①得4x 2＋y 2＝1.答案：4x 2＋y 2＝15.(2012·淮北质检)过点A (－1，－2)且焦点与椭圆x 26＋y 29＝1的两个焦点相同的椭圆的标准方程是________．解析：x 26＋y 29＝1的焦点坐标为(0，3)，(0，－3)，∴2a ＝（－1－0）2＋（－2－3）2＋（－1－0）2＋（－2＋3）2， ∴a 2＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝6－3＝3， ∴椭圆的标准方程为y 26＋x 23＝1.答案：y 26＋x 23＝16.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点； (2)a ＝4，c ＝15；(3)过点P (－3，2)，且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由A (3，－2)和B (－23，1)两点在椭圆上可得⎩⎨⎧m ·（3）2＋n ·（－2）2＝1m ·（－23）2＋n ·12＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝112m ＋n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115n ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)因为a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程是x 216＋y 2＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程是y 216＋x 2＝1.(3)因为所求的椭圆与椭圆x 29＋y 24＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有9a 2＋4b2＝1①又a 2－b 2＝c 2＝5，②由①②解得a 2＝15，b 2＝10.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1.[B 级 能力提升]7.(2012·上饶检测)椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到其左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A ．2 B ．4C ．8 D.32解析：选B.设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8，ON 綊12MF 2，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.8.(2012·南昌质检)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1”表示焦点在y 轴上的椭圆的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.椭圆方程为x 21m＋y 21n＝1，当m >n >0时，有1m <1n，∴椭圆焦点在y 轴上．当椭圆焦点在y 轴上时，有1n >1m>0，∴m >n >0.∴是充要条件．9.如图所示，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：因为F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且正三角形POF 2的面积为3，所以S △POF 2＝12|OF 2|·|PO |sin 60°＝34c 2＝3，所以c 2＝4.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c ，即(1，3)，∴1a 2＋3b 2＝1，又b 2＋c 2＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3a 2＝a 2b 2a 2＝4＋b2，解得b 2＝2 3. 答案：2 310.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别是a ，b ，c ，且|BC |＝2，求满足b ，a ，c 成等差数列且c >a >b 的顶点A 的轨迹．解：由已知条件可得b ＋c ＝2a ，则|AC |＋|AB |＝2|BC |＝4>|BC |，结合椭圆的定义知点A 在以B ，C 为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点O ，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，则m ＝2，n 2＝22－12＝3，从而椭圆方程为x 24＋y23＝1.又c >a >b 且A 是△ABC 的顶点，结合图形，易知x >0，y ≠0.故顶点A 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1的右半部分(x >0，y ≠0)．11.(创新题)船上两根高7.5 m 的桅杆相距15 m ，一条30 m 长的绳子，两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P 到桅杆AB 的距离．解：以两根桅杆的顶端A ，C 所在的直线为x 轴，线段AC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则P 点在以A ，C 为焦点的椭圆上，依题意，此椭圆的标准方程为x 2225＋y 2168.75＝1.因为P 点的纵坐标为－7.5，代入椭圆方程可解得P 点的坐标为(－12.25，－7.5)，所以P 到桅杆AB 的距离为12.25－7.5＝4.75(m)．。
北师大版数学必修1：第三章 §3 知能演练轻松闯关
1．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( )A ．(－89，8]B ．[－89，8]C ．(19，9)D ．[19，9] 解析：选A.∵y ＝(13)x －1在[－2,2)上是减函数， ∴y ∈(－89，8]． 2．(2012·九江质检)若0＜x ＜1，则2x 、(12)x 、0.2x 间的大小关系为( ) A ．2x ＜0.2x ＜(12)x B ．2x ＜(12)x ＜0.2x C ．(12)x ＜0.2x ＜2x D ．0.2x ＜(12)x ＜2x 解析：选D.2x ∈(1,2)，0.2x ∈(0,1)，(12)x ∈(0,1)． 根据图像x ∈(0,1)时，y ＝(12)x 在y ＝0.2x 的图像上方． 3．函数y ＝a x －2012＋1(a ＞0且a ≠1)的图像过定点________．解析：令x －2012＝0，∴x ＝2012，y ＝a 0＋1＝2.答案：(2012,2)4．已知x ＞0，指数函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为x ＞0，指数函数y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8＞1，即a 2＞9，解得a ＞3或a ＜－3.答案：{a |a ＞3或a ＜－3}[A 级 基础达标]1．(2010·高考重庆卷)函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4) 解析：选C.∵4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，0≤16－4x ＜16＝4，即函数y ＝16－4x 的值域是[0,4)．2．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2解析：选D.y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝23×0.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5且y ＝2x 在R 上是增函数， ∴y 1＞y 3＞y 2.故选D.3．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 为( ) A.12 B.32 C.12或32 D.14解析：选C.当a ＞1时，a 2－a ＝a 2⇒a 2－32a ＝0，得a ＝32，当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2⇒a 2－a 2＝0，得a ＝12. 综上可知选C.4．函数y ＝(12)x －a 的定义域是R ，则a 的取值范围为________． 解析：由题意知(12)x －a ≥0恒成立，即a ≤(12)x 恒成立 ∵(12)x ＞0(x ∈R)， ∴a ≤0.答案：a ≤05．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a ，x ＜0，a x ，x ≥0(a ＞0且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数，当x ≥0时，若函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1.要使函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3－3a ≥a 0，解得a ≤23，所以a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a ≤23，即0＜a ≤23答案：(0，23] 6．求函数y ＝9x －3x ＋1的最小值．解：令3x ＝t ，则y ＝t 2－t ＋1(t ＞0)，∴y ＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34(t ＞0)，如图所示，可知y ≥34， 即当t ＝12时，y min ＝34. ∴函数的最小值是34. [B 级 能力提升]7．(2012·合肥质检)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图像不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.函数y ＝a x ＋b (0＜a ＜1，b ＜－1)的图像是由y ＝a x (0＜a ＜1)的图像向下平移|b |个单位长度得到的，如图，因而一定不经过第一象限．8．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a ＞b )，例如1*2=1,则函数y = 1*2x 的值域为( ) A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0,1]解析：选D.由函数f (x )＝2x 的图像可知，y ＝1*2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)，1 (x ＞0)，又∵当x ≤0时，0＜2x ≤1， ∴函数y ＝1*2x的值域为(0,1].9.设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R ，是偶函数，则实数a ＝________.解析：∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )·(e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )．整理，得(a ＋1)·x ·(1＋e 2x )＝0.∵x ∈R,1＋e 2x ＞0，∴a ＋1＝0，故a ＝－1.答案：－110．已知f (x )＝2x ，g (x )＝3x .(1)当x 为何值时，f (x )＝g (x )?(2)当x 为何值时，f (x )＞1？f (x )＝1？f (x )＜1?(3)当x 为何值时，g (x )＞3？g (x )＝3？g (x )＜3?解：作出函数f (x )，g (x )的图像，如图所示．(1)∵f (x )，g (x )的图像都过点(0,1)，且这两个图像只有一个公共点，∴当x ＝0时，f (x )＝g (x )＝1.(2)由图可知，当x ＞0时，f (x )＞1；当x ＝0时，f (x )＝1；当x ＜0时，f (x )＜1.(3)由图可知：当x ＞1时，g (x )＞3；当x ＝1时，g (x )＝3；当x ＜1时，g (x )＜3.11．(创新题)已知9x －10·3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2的最大值与最小值． 解：∵9x －10·3x ＋9≤0，∴(3x )2－10·3x ＋9≤0，即(3x －1)(3x －9)≤0，∴1≤3x ≤9，∴0≤x ≤2，又y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2＝⎝⎛⎭⎫14x ·⎝⎛⎭⎫14－1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2＝4·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2， 令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝⎛⎭⎫t －122＋1， ∵0≤x ≤2，∴14≤⎝⎛⎭⎫12x ≤1，∴14≤t ≤1，如图所示，当t ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝12时，y min ＝1；当t ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝1时，y max ＝2.。
高中数学 电子题库 第三章1.2知能演练轻松闯关 北师大版选修21
高中数学 电子题库 第三章1.2知能演练轻松闯关 北师大版选修2-11.(2011·高考课标全国卷)椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：选D.由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e 2＝c 2a 2＝12，解得e ＝22或e ＝－22(舍去)．2.椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的( ) A ．长轴的长相等 B ．短轴的长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等解析：选D.椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的焦点分别在x 轴和y 轴上，前者a2＝25，b 2＝9，则c 2＝16，后者a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，则c 2＝16.显然只有D 正确． 3.比较椭圆①9x 2＋y 2＝36与②x 216＋y 212＝1的形状，______更扁(填序号)．解析：椭圆①9x 2＋y 2＝36的离心率是223；椭圆②x 216＋y 212＝1的离心率是12，因为223>12，所以，椭圆①比②更扁．故填①. 答案：①4.(2012·石河子检测)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：设椭圆的长半轴为a ，由2a ＝12知a ＝6，又e ＝c a ＝32，故c ＝33，∴b 2＝a 2－c2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝1[A 级 基础达标]1.(2012·九江质检)若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 解析：选B.由题意知2c ＝2b ，∴c ＝b .又b 2＋c 2＝a 2，∴a ＝2c .∴e ＝ca＝22. 2.椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1 B.－2－m mC.2m mD ．－21－mm －1解析：选C.将椭圆化为标准方程为x 21m ＋1＋y 21m＝1， 则必有m >0. ∵m ＋1>m >0，∴1m ＋1<1m. ∴a 2＝1m ，a ＝m m，2a ＝2m m.3.中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰将长轴三等分，则此椭圆方程为( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析：选A.设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得2c 2a ＝13，且a ＝9，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝72.故方程为x 281＋y 272＝1.4.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是________．解析：由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∴⎩⎨⎧a ＝2b ，c ＝215.(其中c ＝a 2－b 2) ∴b 2＝20，a 2＝80.答案：x 280＋y 220＝15.(2012·焦作检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0，∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.同除以a 2得5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：356.已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.求椭圆E 的方程．解：设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y23c2＝1.将A (2，3)代入上式，得1c 2＋3c2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆E 的方程为x216＋y212＝1.[B 级 能力提升]7.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8解析：选C.由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.8.(2012·宝鸡调研)以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 解析：选C.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1x －y ＋3＝0，得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋(10a 2－a 4)＝0， 由Δ≥0，得a ≥5，∴e ＝c a ＝1a ≤55，此时a ＝5，故椭圆方程为x 25＋y 24＝1.9. 如图，已知椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A 为椭圆的左顶点，B ，C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆的离心率等于________．解析：由BC ，OA 平行且相等及椭圆的对称性，得出C 点的横坐标为a2，又∠COx ＝30°，易知点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 6，代入椭圆的方程得14＋a 212b 2＝1，即a 2＝9b 2，又b 2＝a 2－c 2，故c2＝8b 2，则椭圆的离心率e ＝c 2a 2＝8b 29b 2＝223. 答案：22310.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1(－c ，0)，c 2＝a 2－b 2，则P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 1－c 2a 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵AB ∥PO ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac .∴b ＝c .又a ＝b 2＋c 2＝2c ，∴e ＝c a ＝22.11.(创新题)设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且P 的纵坐标y ≠0，已知点A (－5，0)，B (5，0)，试判断k PA ·k PB 是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 解：是定值．因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.所以k PA ＝y x ＋5，k PB ＝yx －5. 所以k PA ·k PB ＝yx ＋5·yx －5＝y 2x 2－25.因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以y 2＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225＝16×25－x 225.把y 2＝16×25－x 225代入k PA ·k PB ＝y 2x 2－25，得k PA ·k PB ＝16×25－x 225x 2－25＝－1625.所以k PA ·k PB 为定值，这个定值是－1625.。
北师大版数学选修2-1：第三章3.2知能演练轻松闯关
1.(2011·高考安徽卷)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：选C.∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴2a ＝4. 2.(2011·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1 解析：选C.x 2a 2－y 29＝1的渐近线为y ＝±3a x ，∴a ＝2. 3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c ＝4，且满足c a ＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝2 3.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 答案：(±4，0) y ＝±3x4.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，∵c >b ，∴∠B 1F 1B 2＝60°，∴∠B 1F 1O ＝30°.在△B 1OF 1中，b c＝tan 30°， ∴b c ＝33. ∴c 2－a 2c 2＝13.∴1－a 2c 2＝13，∴a 2c 2＝23. ∴e 2＝c 2a 2＝32，∴e ＝62. 答案：62[A 级 基础达标]1.(2012·西安质检)下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B.双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝62，得b 2a 2＝12，只有B 选项符合，故选B.2.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2.∴－1m ＝b 2＝4.∴m ＝－14，故选A. 3.双曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y 解析：选B.将x 2－y 2＝－3化为y 23－x 23＝1，知a ＝3，b ＝3，c ＝6，焦点在y 轴上，所以顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±x . 4.(2012·咸阳检测)双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程是______． 解析：方程x 24－y 28＝1，即为x 222－y 2（22）2＝1，∴a ＝2，b ＝2 2.∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x5.(2012·新余调研)与椭圆x 2＋4y 2＝16有共同焦点，且一条渐近线方程是x ＋3y ＝0的双曲线的方程是________．解析：椭圆x 2＋4y 2＝16化为标准方程为x 216＋y 24＝1， ∴焦点在x 轴上，且c ＝2 3.∴双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2 3.又b a ＝33， ∴b 2a 2＝13，即a 2＝3b 2. 又a 2＋b 2＝c 2＝12， ∴a 2＝9，b 2＝3. ∴双曲线方程为x 29－y 23＝1. 答案：x 29－y 23＝1 6.双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，求该双曲线的方程．解：椭圆4x 2＋y 2＝64即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，所以a ＝6，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线方程为y 236－x 212＝1. [B 级 能力提升]7.焦距为10，且b a ＝43的双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 2100＝1 D.x 29－y 216＝1或y 29－x 216＝1 解析：选D.由题意知2c ＝10，c ＝5，又b a ＝43，c 2＝b 2＋a 2，∴a 2＝9，b 2＝16，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1或y 29－x 216＝1.故选D. 8.(2011·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选B.由⎩⎨⎧y ＝b a x x ＝－p 2，解得⎩⎨⎧y ＝－bp 2a x ＝－p 2， 由题得⎩⎨⎧－bp 2a 1－p 2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12p ＝4， 又p 2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5.故选B. 9.(2012·驻马店质检)如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：∵P 在双曲线右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 2|＝23a ≥c －a . ∴53a ≥c ，即c a ≤53. ∴双曲线离心率e 最大值为53. 答案：5310.双曲线C 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且C 上存在一点P 与点Q (2－23，5)关于直线y ＝－x ＋2对称，求双曲线C 的方程．解：设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 又设P 点坐标为(x ，y )，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＋23＝1，y ＋52＝－x ＋2－232＋2，解之得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝2 3. 又双曲线C 过点P (－3，23)，所以λ＝（－3）29－（23）216＝14，所以所求双曲线C 的方程为x29－y216＝14，即49x2－14y2＝1.11.(创新题)已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，求1e21＋1e22的值．解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则有|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.由题意可知，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，整理得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|²|PF2|＝4c2，(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|²|PF2|＝4c2，则两式相加得4a21＋4a22＝8c2，整理得1e21＋1e22＝2.。
北师大版高中数学选修电子题库第三章知能演练轻松闯关(1)(3)
高中数学 电子题库 第三章3.2知能演练轻松闯关 北师大版选修2-11.(2011·高考安徽卷)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 解析：选C.∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴2a ＝4.2.(2011·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.x 2a 2－y 29＝1的渐近线为y ＝±3ax ，∴a ＝2.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c ＝4，且满足c a＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝2 3.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x .答案：(±4，0) y ＝±3x4.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，∵c >b ，∴∠B 1F 1B 2＝60°，∴∠B 1F 1O ＝30°.在△B 1OF 1中，b c＝tan 30°，∴b c ＝33. ∴c 2－a 2c 2＝13.∴1－a 2c 2＝13，∴a 2c 2＝23.∴e 2＝c 2a 2＝32，∴e ＝62.答案：62[A 级 基础达标]1.(2012·西安质检)下列曲线中离心率为62的是( )A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B.双曲线的离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝62，得b 2a 2＝12，只有B 选项符合，故选B.2.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2.∴－1m ＝b 2＝4.∴m ＝－14，故选A.3.双曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y解析：选B.将x 2－y 2＝－3化为y 23－x 23＝1，知a ＝3，b ＝3，c ＝6，焦点在y 轴上，所以顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±x . 4.(2012·咸阳检测)双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程是______．解析：方程x 24－y 28＝1，即为x 222－y 2（22）2＝1，∴a ＝2，b ＝2 2.∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x5.(2012·新余调研)与椭圆x 2＋4y 2＝16有共同焦点，且一条渐近线方程是x ＋3y ＝0的双曲线的方程是________．解析：椭圆x 2＋4y 2＝16化为标准方程为x 216＋y 24＝1，∴焦点在x 轴上，且c ＝2 3.∴双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2 3. 又b a ＝33， ∴b 2a 2＝13，即a 2＝3b 2. 又a 2＋b 2＝c 2＝12， ∴a 2＝9，b 2＝3.∴双曲线方程为x 29－y 23＝1.答案：x 29－y 23＝16.双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，求该双曲线的方程．解：椭圆4x 2＋y 2＝64即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，所以a ＝6，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线方程为y 236－x 212＝1.[B 级 能力提升]7.焦距为10，且b a ＝43的双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 2100＝1 D.x 29－y 216＝1或y 29－x 216＝1 解析：选D.由题意知2c ＝10，c ＝5，又b a ＝43，c 2＝b 2＋a 2，∴a 2＝9，b 2＝16，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1或y 29－x 216＝1.故选D.8.(2011·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3 D ．4 5解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x x ＝－p 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp2ax ＝－p2，由题得⎩⎪⎨⎪⎧－bp2a ＝－1－p 2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12p ＝4，又p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5.故选B.9.(2012·驻马店质检)如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 解析：∵P 在双曲线右支上， ∴|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 2|＝23a ≥c －a .∴53a ≥c ，即c a ≤53. ∴双曲线离心率e 最大值为53.答案：5310.双曲线C 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且C 上存在一点P 与点Q (2－23，5)关于直线y ＝－x ＋2对称，求双曲线C 的方程．解：设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，又设P 点坐标为(x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＋23＝1，y ＋52＝－x ＋2－232＋2，解之得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝2 3.又双曲线C 过点P (－3，23)，所以λ＝（－3）29－（23）216＝14，所以所求双曲线C 的方程为x 29－y 216＝14，即49x 2－14y 2＝1. 11.(创新题)已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，求1e 21＋1e 22的值．解：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2， 则有|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2.由题意可知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，整理得(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，则两式相加得4a 21＋4a 22＝8c 2，整理得1e 21＋1e 22＝2.。
高中数学电子题库第三章4.1知能演练轻松闯关北师大版选修21
高中数学 电子题库 第三章4.1知能演练轻松闯关 北师大版选修2-11.(2012·南阳检测)若曲线C 的方程为x 2－xy ＋2y ＋1＝0，则下列各点中，在曲线C 上的点是( )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(2，－3)D ．(3，6)解析：选B.将各点坐标代入代数式x 2－xy ＋2y ＋1得：(－1)2－(－1)×2＋2×2＋1＝8≠0，A错；12－1×(－2)＋2×(－2)＋1＝0，B 对；22－2×(－3)＋2×(－3)＋1＝5≠0，C 错；32－3×6＋2×6＋1＝4≠0，D 错．2.(2012·延安质检)x ＝1－3y 2表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分解析：选D.由已知得x ≥0，把x ＝1－3y 2两边平方得x 2＝1－3y 2，即x 2＋3y 2＝1(x ≥0)为椭圆的一部分．3.若曲线C ：xy ＋3x ＋ky ＋2＝0，则当k ＝______时，曲线C 经过点(2，－1)．解析：将点(2，－1)代入曲线C 的方程xy ＋3x ＋ky ＋2＝0，由曲线与方程的概念知，方程成立，即2×(－1)＋3×2＋k ×(－1)＋2＝0，解得k ＝6. 答案：64.设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是______．解析：设点P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 02，∴2x ＝x 0，2y ＝y 0.把点P (x 0，y 0)的坐标代入x 24－y 2＝1，得4x 24－4y 2＝1，即x 2－4y 2＝1. 答案：x 2－4y 2＝1[A 级 基础达标]1.如图，方程x ＝－y 表示的曲线是( )解析：选D.x ＝－y ，∴x ≥0，y ≤0 ∴x 2＝－y ，表示开口向下的抛物线右支．2.下列各组方程中，表示相同的曲线的是( )A ．y ＝x 与y ＝x 2B ．|x |－|y |＝0与x 2－y 2＝0C ．y ＝1x与xy ＝1D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x解析：选B.判断两个方程表示的曲线是否为同一曲线，只需判断两个方程的解集是否相等，也可通过判断两个函数是否是同一函数来解决．3.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线 D ．四条直线解析：选B.方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2，故方程表示的图形是四个点．4.已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦且|BC |＝6，则BC 的中点的轨迹方程是________．解析：由已知可知圆心与BC 中点的距离为定值4，由圆的定义知轨迹为以(0，0)为圆心4为半径的圆．答案：x 2＋y 2＝165.过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过原点O 作OM ⊥AB ，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是________． 解析：设M (x ，y )， ∵OM ⊥AB ，F (2，0)， ∴OM →·MF →＝0. ∵OM →＝(x ，y )，MF →＝(2－x ，－y )，∴x (2－x )－y 2＝0， ∴x 2＋y 2－2x ＝0.答案：x 2＋y 2－2x ＝06.(2011·高考课标全国卷改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C . 求C 的方程．解：设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )， MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)． 由MA →·AB →＝MB →·BA →， 得(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.[B 级 能力提升]7.(2012·榆林质检)已知定点A (1，0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F ，且满足AE →⊥AF →，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝4x (x ≠0)C ．y 2＝－4xD ．y 2＝－4x (x ≠0)解析：选B.设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为零)，由EP →∥OA →，得y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →，得y 2＝－y x ，即F (－1，－y x)．由AE →⊥AF →，得y 2＝4x (x ≠0)．故选B.8.已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8π D ．9π解析：选B.设P (x ，y )，代入|PA |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，则点P 的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，所以点P 的轨迹所围成的图形的面积等于4π.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的右顶点为B ，右焦点为F ，设动点P 满足|PF |2－|PB |2＝4，则点P 的轨迹方程为________． 解析：由题设得B (3，0)，F (2，0)．设点P (x ，y )，则|PF |2＝(x －2)2＋y 2，|PB |2＝(x －3)2＋y 2.由|PF |2－|PB |2＝4，得(x －2)2＋y 2－(x －3)2－y 2＝4，化简得x ＝92.故所求点P 的轨迹方程为x ＝92.答案：x ＝9210.(2012·宿州调研)过点P (2，4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程． 解：法一：如图，设点M 的坐标为(x ，y )．∵M 为线段AB 的中点，∴点A 的坐标为(2x ，0)，点B 的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴PA ⊥PB ，∴k PA ·k PB ＝－1.而k PA ＝4－02－2x ＝21－x ，k PB ＝4－2y2－0＝2－y (x ≠1)，∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)，∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，也满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：如图，设M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连接PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2，|AB |＝（2x ）2＋（2y ）2，∴2（x －2）2＋（y －4）2＝4x 2＋4y 2， 化简，得x ＋2y －5＝0为所求轨迹方程．11.(创新题)当实数a ，b 变化时，直线l 1：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0与直线l 2：m 2x ＋2y ＋n ＝0都过一个定点，问：点(m ，n )应在怎样的曲线上？解：因为(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝(2x ＋y ＋1)a ＋(x ＋y －1)b ＝0对于任意的a ，b 都成立，所以2x ＋y ＋1＝0且x ＋y －1＝0，二者联立，解得x ＝－2，y ＝3，即直线l 1过定点(－2，3)．因此直线l 2也过定点(－2，3)，将点坐标代入l 2：m 2x ＋2y ＋n ＝0，可得－2m 2＋6＋n ＝0，即n＝2m 2－6.因此点(m ，n )在抛物线y ＝2x 2－6上．。
北师大版高中数学选修电子题库第三章知能演练轻松闯关(1)
高中数学 电子题库 第三章2.1知能演练轻松闯关 北师大版选修2-11.(2012·驻马店检测)抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2，0) B ．(－2，0) C ．(4，0) D ．(－4，0) 答案：B2.在抛物线y 2＝2px (p >0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析：选C.由题意p2＋4＝5，所以p ＝2.3.(2012·吉安质检)已知抛物线过点(1，1)，则该抛物线的标准方程是______．解析：设抛物线为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2my (m >0)，把(1，1)代入得1＝2p 或1＝2m ，∴p ＝12或m ＝12，∴抛物线方程为y 2＝x 或x 2＝y .答案：y 2＝x 或x 2＝y4.动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程为______________．解析：由题意知，P 的轨迹是以点F (2，0)为焦点，以直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x[A 级 基础达标]1.(2012·阜阳检测)过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x 和x 2＝12yB ．y 2＝4xC ．y 2＝4x 和x 2＝－12yD ．x 2＝－12y解析：选C.因为点(1，－2)在第四象限，所以满足条件的抛物线的标准方程是y 2＝2p 1x (p 1>0)或x 2＝－2p 2y (p 2>0)．将点(1，－2)分别代入上述两个方程，解得p 1＝2，p 2＝14.因此满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y 2＝4x 和x 2＝－12y .2.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选B.由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6，故选B.3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：选C.由抛物线方程y 2＝2px (p >0)得准线方程为x ＝－p 2.由定义得|FP 1|＝x 1＋p2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，则x 1＝|FP 1|－p 2，x 2＝|FP 2|－p 2，x 3＝|FP 3|－p2，又2x 2＝x 1＋x 3，所以2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.4.(2012·汉中质检)已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________．解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py .由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4. 答案：±45.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.答案：546.设抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程． 解：当m >0时，由2p ＝m ，得p 2＝m 4，这时抛物线的准线方程是x ＝－m4.∵抛物线的准线与直线x ＝1的距离为3，∴1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝3，解得m ＝8.这时抛物线的方程是y 2＝8x .同理，当m <0时，抛物线的方程是y 2＝－16x .[B 级 能力提升] 7.(2012·焦作检测)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率是－3，那么|PF |＝( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16解析：选B.如图，设准线l 与x 轴的交点为H ，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠FAH ＝30°，∴∠PAF ＝60°. 又由抛物线的定义知|PA |＝|PF |， ∴△PAF 为等边三角形， 由|HF |＝4得|AF |＝8， ∴|PF |＝8.8.(2011·高考山东卷)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据已知只要|FM |>4即可，根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．9.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 的坐标为(0，2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点F 的坐标为(p 2，0)，线段FA 的中点B 的坐标为(p4，1)，代入抛物线方程得1＝2p ×p4，解得p ＝2，故点B 的坐标为(24，1)，故点B 到该抛物线准线x ＝－22的距离为24＋22＝324. 答案：32410.点M 到直线l ：y ＝－1的距离比它到点F (0，2)的距离小1，求点M 的轨迹方程． 解：∵点M 到直线l ：y ＝－1的距离比它到点F (0，2)的距离小1， ∴点M 到点F 的距离与它到直线l ：y ＝－2的距离相等，即点M 的轨迹是以F (0，2)为焦点，直线l ：y ＝－2为准线的抛物线．设M 点坐标为(x ，y )，∵p2＝2，且开口向上，∴点M 的轨迹方程为x 2＝8y .11.(创新题)已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两个动点，|AB |＝3，求AB 的中点P 到y 轴距离的最小值． 解：如图所示，分别过点A ，B ，P 作准线l 的垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1，PP 1交y 轴于Q 点，连接AF ，BF ，由抛物线定义可知|AF |＝|A 1A |，|BF |＝|B 1B |，所以|A 1A |＋|B 1B |＝|AF |＋|BF |.又四边形ABB 1A 1为梯形，P 1P 是中位线，所以|PP 1|＝12(|A 1A |＋|B 1B |)＝12(|AF |＋|BF |)，所以|PP 1|≥12|AB |＝32.又|PQ |＝|PP 1|－p 2＝|PP 1|－12，所以|PQ |≥32－12＝1，当且仅当A ，B ，F 三点共线时取等号．故AB 的中点P 到y 轴距离的最小值为1.。
北师大版高中数学选修电子题库第三章知能演练轻松闯关(1)(1)
高中数学 电子题库 第三章3.1知能演练轻松闯关 北师大版选修2-11.(2010·高考安徽卷)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点的坐标为(62，0)． 2.在双曲线中，c a＝52，且双曲线与椭圆4x 2＋9y 2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是( ) A.y 24－x 2＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 24＝1D ．y 2－x 24＝1解析：选B.椭圆x 29＋y 24＝1，焦点为(±5，0)，∴c ＝5，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， 双曲线为x 24－y 2＝1.3.(2012·宿州质检)已知双曲线的焦距为26，a 2c ＝2513，则双曲线的标准方程是________．解析：由2c ＝26，∴c ＝13. 又a 2c ＝2513，∴a 2＝25.∴b 2＝c 2－a 2＝132－25＝144. ∴所求方程为x 225－y 2144＝1或y 225－x 2144＝1. 答案：x 225－y 2144＝1或y 225－x 2144＝1 4.若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k ＝______． 解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1. 答案：－1[A 级 基础达标]1.(2012·驻马店检测)双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析：选D.由双曲线的标准方程知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝4 3.故选D.2.双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5，0)的距离为15，则点P 到点(－5，0)的距离为( )A ．7B ．23C ．7或23D ．5或25解析：选C.依据题意知(5，0)，(－5，0)恰为双曲线的两个焦点，由双曲线的定义得点P 到点(－5，0)的距离为15＋8＝23或15－8＝7.3.(2012·商洛质检)设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( ) A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5解析：选B.依题意，△PF 1F 2构成直角三角形，O 为F 1F 2的中点，故|PO |＝12|F 1F 2|，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →，故|PF 1＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝2c ＝210，故选B.4.F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______．解析：由定义，知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6.两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.∵|F 1F 2|＝2c ＝29＋16＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴∠F 1PF 2＝90°. 答案：90°5.(2012·安康检测)已知抛物线C 1的方程为y ＝120x 2，它的焦点F 关于原点的对称点为E .若曲线C 2上的点到E ，F 的距离之差的绝对值等于6，则曲线C 2的标准方程为________．解析：方程y ＝120x 2可化为x 2＝20y ，其焦点为F (0，5)，所以点E 的坐标为(0，－5)，根据题意知曲线C 2是焦点在y 轴上的双曲线，且其两焦点分别为F ，E ，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝6，即a ＝3.又c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，所以曲线C 2的标准方程为y 29－x 216＝1.答案：y 29－x 216＝16.求与双曲线x 216－y 24＝1有共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解：由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1.由于点(32，2)在所求的双曲线上，从而有1816－k －44＋k＝1.整理，得k 2＋10k －56＝0，∴k ＝4或k ＝－14. 又16－k >0，4＋k >0，∴－4<k <16.从而得k ＝4.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.[B 级 能力提升]7.(2012·蚌埠调研)F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48 解析：选C.由P 是双曲线x 2－y 224＝1上一点和3|PF 1|＝4|PF 2| ①，可得|PF 1|－|PF 2|＝2 ②，解①②得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，则有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.8.如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×2× 3＝5－ 3. 9.(2012·亳州质检)如图所示，F 为双曲线C ：x29－y 216＝1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7－i (i＝1，2，3)关于y 轴对称，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |－|P 4F |－|P 5F |－|P 6F |的值是________．解析：设双曲线的右焦点为F 2，则点F 与F 2关于y 轴对称，分别连接P 1F 2，P 2F 2，P 3F 2，由双曲线C 上的点P i 与P 7－i (i ＝1，2，3)关于y 轴对称，可得|P 6F |＝|P 1F 2|，|P 5F |＝|P 2F 2|，|P 4F |＝|P 3F 2|，于是|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |－|P 4F |－|P 5F |－|P 6F |＝(|P 1F |－|P 1F 2|)＋(|P 2F |－|P 2F 2|)＋(|P 3F |－|P 3F 2|)＝2a ＋2a ＋2a ＝6×3＝18. 答案：1810.在△ABC 中，B (－6，0)，C (6，0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，根据题意得 y x ＋6·y x －6＝94，化简得x 236－y 281＝1(x ≠±6)．所以，顶点A 的轨迹是双曲线(除去与x 轴的交点)．11.(创新题)设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线， 所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2. 又因为||PM |－|PN |＝2|m |>0， 所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1，所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m2. 因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0，解得0<|m |<55， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，55.。
北师大版数学必修1：第三章 §1 知能演练轻松闯关
1．函数y ＝5x，x ∈N ＋的值域是( ) A ．R B ．N ＋ C ．N D ．{5,52,53,54，…}解析：选D.因为函数y ＝5x ，x ∈N ＋的定义域为正整数集N ＋，所以当自变量x 取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y 依次是5,52,53,54，….因此，函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是{5,52,53,54，…}． 2．春天到了，曲曲折折的荷塘上面，弥望的是田田的叶子，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了( ) A ．10天 B ．15天 C ．19天 D ．20天解析：选C.设荷叶覆盖水面的初始面积为a ，则x 天后荷叶覆盖水面的面积y ＝a ·2x(x ∈N ＋)．根据题意，令2(a ·2x )＝a ·220，解得x ＝19，故选C. 3．某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个细胞分裂成2个)，则经过两个小时后，1个这样的细胞可以分裂成________个．解析：每15分钟分裂一次，则两个小时共分裂8次．一个这样的细胞经过一次分裂后，由1个分裂成2个；经过2次分裂后，由1个分裂成22个……经过8次分裂后，由1个分裂成28个．∴1个这样的细胞经过两个小时后，共分裂成28个，即256个． 答案：2564．当x ∈N ＋时，用“＞”“＜”或“＝”填空：⎝⎛⎭⎫12x ________1,2x ________1，⎝⎛⎭⎫12x ________2x ，⎝⎛⎭⎫12x ________⎝⎛⎭⎫13x,2x ________3x . 解析：∵x ∈N ＋，∴⎝⎛⎭⎫12x ＜1,2x＞1.∴2x ＞⎝⎛⎭⎫12x .又根据对其图像的研究，知2x ＜3x ，⎝⎛⎭⎫12x ＞⎝⎛⎭⎫13x .也可以代入特殊值比较大小． 答案：＜ ＞ ＜ ＞ ＜[A 级 基础达标]1．若x ∈N ＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝－2x C ．y ＝(－2)x D ．y ＝πx 答案：D2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x，x ∈N ＋是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数 D ．偶函数解析：选A.由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C 、D ；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x ，x ∈N ＋的底数43大于1，所以此函数是增函数． 3．已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)a x ，则f (2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．16解析：选C.由于a －2＝1，则a ＝3，所以f (x )＝3x ，x ∈N ＋，所以f (2)＝32＝9.4．某厂2011年的产值为a 万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．解析：根据增长率，写出每一年的产值.2011年产值为a ，增长率为7%,2012年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)，2013年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7% ＝a (1＋7%)2，…，2022年的产值为a (1＋7%)11.答案：a (1＋7%)115．已知不等式(a 2＋a ＋2)2x ＞(a 2＋a ＋2)x ＋8，其中x ∈N ＋，使此不等式成立的x 的最小整数值是________．解析：∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74＞1，且x ∈N ＋，∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时单调递增的性质，得2x ＞x ＋8，即x ＞8，∴使此不等式成立的x 的最小整数值为9. 答案：96．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)， (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．解：(1)设正整数指数函数为f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)∵f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增， ∴f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3；f (x )无最大值．[B 级 能力提升]7．若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是( )A ．1 B.14C.22D.23答案：D8．若正整数指数函数f (x )＝(a －1)x 在定义域N ＋上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ＜2 C ．a ＞2 D ．1＜a ＜2解析：选D.因为正整数指数函数f (x )＝(a －1)x 在定义域N ＋上是减函数，所以其底数满足0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.9．(2010·高考陕西卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜4，x 2＋ax ，x ≥4，(x ∈N ＋)，若f (f (2))＝4a ，则实数a 等于________．解析：∵2＜4，∴f (2)＝22＋1＝5.∵5＞4，∴f (f (2))＝f (5)＝52＋5a ＝4a ， ∴a ＝－25. 答案：－2510．已知集合A ＝{m |正整数指数函数y ＝(m 2＋m ＋1)·(15)x ，x ∈N ＋}，求集合A .解：由题意得m 2＋m ＋1＝1， 解得m ＝0或m ＝－1， ∴A ＝{0，－1}． 11．(创新题)对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)解：设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果：①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； ②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5， 则M N ＝2(1＋10%)5， 因为(1＋10%)5≈1.61＜2，所以MN＞1，即M ＞N .因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．。
Section Ⅲ 知能演练轻松闯关(2)
Ⅰ.单句语法填空1．There was a time when Anne was so crazy about everything to do with nature.2．I will never forget the days when I was in the summer camp.3．He is a teacher of rich experience, from whom we can learn a lot.4．The reason why he was late was that something was wrong with his bike on the way.5．The film in which he played the leading role was a great success.6．After graduation, he returned to the city where he grew up.7．I wanted to find someone with whom I could share my travel experience.8．We visited the house where the famous scientist once lived.9．The car whose window got broken in the accident belongs to Mr. Brown.10．This is the primary school where both my brother and I stayed for six years.11．It was a period when they met very frequently.12．When I arrived, my friend took me to see the house where I would be staying.13．We have come to a point where everyone has different opinions and it is difficult to reach an agreement.14．Bob is now in a position where he has no more money to pay his rent.15．One of the reasons why he was refused in the interview was that his spoken English was terrible.Ⅱ.语法与写作——将下列句子合并升级为定语从句1．The university is big and beautiful.My brother studies in the university.The university where/in__which__my__brother__studies__is__big__and__beautiful．2．The party turned out to be quite successful.We sang the beautiful song Fore v er Young at the party.The party where/at which we sang the beautiful song Fore v er Young turned out to be quite successful.3．Do you know the lady? Our English teacher is taking a photo of her.Do__you__know__the__lady__whom__our__English__teacher__is__taking__a __photo__of?4．Rose knew the year.The Red Cross was founded in the year.Rose__knew__the__year__when/in__which__the__Red__Cross__was__founde d.5．Paul looked so excited today.His friends didn't know the real reason.Paul's__friends__didn't__know__the__real__reason__why/for__which__he__lo oked__so__excited__today.6．We paid a visit to the coffee shop last summer.A writer wrote his famous book in the coffee shop.Last__summer__we__paid__a__visit__to__the__coffee__shop__where/in__whi ch__a__writer__wrote__his__famous__book.7．We'll go to meet the famous singer.We often talked about the famous singer.We'll go to meet the famous singer whom__we__often__talked__about．8．She has three sons.All of her sons are abroad now.She has three sons, all__of__whom are abroad now.9．There are sixty students in our class.Thirty of the students in our class are boys.There are sixty students in our class, thirty__of__whom are boys.10．He wrote many children's books.Nearly half of the children's books were published in the 1990s.He wrote many children's books, nearly half__of__which were published in the 1990s.Ⅰ.单句语法填空1．I still remember the moment when we first met.2．My hometown that/which I spent most of my childhood has taken on a new look.3．She is a very kind lady, who looks after my little brother.4．The Smiths have two children, both of whom work in New York.5．This is the most interesting novel__that__ I have ever read.6．The reason why he gave up his wellpaid job isn't known to us.7．I'll never forget the time that/which we spent together in the army camp.8．I'll never forget the moment when we first met.9．The number of the people that/who come to visit the city each year has risen to one million.10．They have reached the stage where they are going to get married.Ⅱ.阅读理解AAs everyone knows, English is very important today. It hasbeen used everywhere in the world. It has become the mostcommon language on the Internet and for international trade. Ifwe can speak English well, we will have more chances tosucceed. Because more and more people have taken notice of it,the number of the people who learn English has increased at ahigh speed.But for myself, I learn English not only because of its importance and its usefulness, but also because of my love for it.When I learn English, I can feel a different way of thinking which gives me more room to touch the world. When I read English novels, I can feel the pleasure from the book which is different from reading the translation.When I speak English, I can feel the confidence from my words. When I write English, I can see the beauty which is not the same as our Chinese...I love English, because it gives me a colorful dream. I hope I can travel around the world one day. With my good English, I can make friends with many people from different countries and see many places of great interests. I dream that I can go to London, because it is the birthplace of English. I also want to use my good English to introduce our great places to the people who speak English. I hope that they can love our country like us. I know, Rome was not built in a day. I believe that after continuous hard study, one day I can speak English very well.If you want to be loved, you should learn to love and be lovable. So I believe, as I love English, it will love me, too.I am sure that I will realize my dream one day!【解题导语】作者介绍了英语对自己而言很重要，并说明了自己学习英语的原因。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学电子题库第三章4.3知能演练轻松闯关北师大版选修2-11.(2012·宿州检测)抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当直线与抛物线的对称轴平行时，与抛物线也有一个公共点．2.若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小，则点P是( )A．椭圆短轴的端点B．椭圆长轴的一个端点C．不是椭圆的顶点D．以上都不对解析：选B.由统一定义点P到右焦点的距离|PF2|＝de＝(a2c－x0)e＝a－ex.当x0＝a时，|PF2|最小．3.已知动点P的坐标(x，y)满足（x－1）2＋（y－1）2|x＋y＋2|2＝12，则动点P的轨迹是______(填名称)．解析：（x－1）2＋（y－1）2表示动点P到定点(1，1)的距离，|x＋y＋2|2表示动点P到定直线x＋y＋2＝0的距离，即原等式表示动点P到定点(1，1)和到定直线x＋y＋2＝0的距离之比等于常数12，且0<12<1，因此动点P的轨迹为椭圆．答案：椭圆4.(2012·杨凌检测)若直线y＝a与椭圆x23＋y24＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．解析：椭圆的上，下顶点为(0，2)，(0，－2)，故－2≤a≤2.答案：[－2，2][A级基础达标]1.方程（x－1）2＋（y－1）2＝|x＋y＋2|表示的曲线是( )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段解析：选B.∵（x－1）2＋（y－1）2＝|x＋y＋2|，∴（x－1）2＋（y－1）2|x＋y＋2|2＝2>1.∴由圆锥曲线的统一定义知该方程表示双曲线．2.(2012·南阳检测)曲线x2＋y2＝2|x|＋2|y|所围成的面积是( )A．2πB．π＋2C．4π＋4 D．4π＋8解析：选D.此曲线在直角坐标系内所围成的图形在每个象限的面积相等且为π＋2，所以S＝4×(π＋2)＝4π＋8.3.过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x 轴平行．4.已知斜率为1的直线过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3x 24＋y 2＝1得5x 2－83x ＋8＝0.∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝835，e ＝32，|AB |＝2a －e (x 1＋x 2)＝4－32×835＝85. 答案：855.(2012·汉中检测)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条准线与抛物线y 2＝－6x 的准线重合，则a ＝________．解析：抛物线y 2＝－6x 的准线方程为x ＝32.由双曲线准线方程的求法得a 2c ＝32， ∴a 2＝32c .又b ＝1，c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝a 2＋1，即c 2＝32c ＋1，解得c ＝2或c ＝－12(舍去)，∴a ＝ 3.答案： 36.已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |. (1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程．解：(1)∵F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，∴3－a 23＝33，得a 2＝2，或－3＋a 23＝33，得a 2＝4.而c ＝3，∴a 2＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝1.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．∵|F 2B |＝3|F 2A |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y 11＋3，∴⎩⎨⎧x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y .∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1，（43－3x 1）24＋（－3y 1）2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1033y 1＝233(取正值)．∴l 的斜率为233－01033－3＝ 2.∴l 的方程为y ＝2(x －3) 即2x －y －6＝0.[B 级 能力提升]7.(2010·高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：选C.圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心坐标为(3，0)，半径为4，y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.8.(2011·高考江西卷)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析：选B.C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m <0或0<m <33.综上知－33<m <0或0<m <33. 9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为e ，直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与该椭圆仅有的一个公共点，则|AM ||AB |等于______．解析：设AM →＝λAB →，由题意得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，B (0，a )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c ，y ＝b 2a.∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，AM →＝λAB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a e ，a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a e －c ＝λa e，b 2a ＝λa .而c ＝a 2－b 2，∴λ＝1－e 2且1－e 2>0，故|AM ||AB |＝1－e 2. 答案：1－e 210.已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？解：直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ①x 24＋y 22＝1 ②，将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0 ③.这个关于x 的一元二次方程③的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．11.(创新题)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0， 解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412.设线段AB 的中点坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝x 1＋x 22＝32，y ′＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.。