解三角形中最值问题的运算策略

解三角形中最值问题的运算策略
广西大学附属中学：潘承猛
在近年高考试题中,解三角形既是高考的重点也是热点问题。

其考查形式常与平面向量、三角函数以及正余弦定理等知识点交汇。

三角形的三条边和三个角中如果已知其中的三个（至少含一条边）条件，则三角形为可解三角形。

利用这一性质，结合正、余弦定理，多数高考题是比较容易解的，而且往往有多种解题思路，对学生来说怎样找到运算量小、效率高的解题思路是关键。

但是若只已知其中的两个条件,这样的三角形有无数个,属于不定问题，因此，这类题目经常考查最值问题。

这样的问题对学生的能力要求较高,具有一定的难度。

通常解决有三种思路,一是利用平面几何知识解题,二是余弦定理与基本不等式或函数相结合,三是正弦定理与三角函数结合,本文进行从题型上归纳总结,注重方法的引领的提高
例1：在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知A=ο60，a=2.
（1）求△ABC 面积的最大值.
（2）求△ABC 周长的最大值.
方法一：利用平面几何知识解题
解：（1）由正弦定理知，△ABC 的外接圆半径R=3
3260sin 22sin 2==οA a ，如图所示作出△ABC 的外接圆，则△ABC 是一个顶点A 可在优弧BC 上任意位置的三角形，由图可知，当A 在BC 垂直平分线与优弧BC 交点D 处时，BC 边上的高最大，从而三角形面积最大，即当b=c=2时，△ABC 面积最大值为3sin 2
1==A bc S . （2）当A 点在D 点处以外的E 点处时，都有CE BE CD BD +>+，证明如下：设BE 与CD 交点为F ，则△BDF ∽△CEF ， ∴k FC
FB EF DF CE BD ===，∵CE CD BD >=，∴1>k ， ()()
()()()()
()()0
1>-+-=++-++=++-++=+-+∴FC EF CE k CE kFC EF FC kEF kCE CE FB EF FC DF BD CE BE CD BD ∴当b=c=2时，△ABC 周长最大值为6.
点评：方法一抓住已知一边及对角的三角形外接圆
是确定的这一性质，通过几何图形的直观性，易观察判断面积、周长取得最值的位置，从而快速灵活的解决问题。

但这种解法在解答题中不易表达清楚，因此比较适用于无需书写解答过程的选择题和填空题。

方法二：余弦定理与基本不等式或函数相结合
解：（1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得bc c b -+=224，
∵bc c b 222≥+，∴bc bc bc =-≥24，
∴△ABC 面积34
3sin 21≤==bc A bc S ， ∴当且仅当b=c=2时，△ABC 面积最大值为3.
另解：由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得bc c b -+=224，即()bc c b =--2
4， ∵()4022=<-≤a c b ，∴△ABC 面积()[]
3443sin 212≤--==c b A bc S ， ∴当且仅当b=c=2时，△ABC 面积最大值为3.
（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得bc c b -+=224，即()bc c b 342-+= ∵22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤c b bc ，∴()()22241234c b c b c b +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯-+≥，即4≤+c b ， ∴当且仅当b=c=2时，△ABC 周长最大值为6.
点评：方法二属于化边求最值，若能把所求的最值用一边表示则转化为以这条边为变量的函数最值问题，否则考虑用基本不等式或重要不等式将b+c 和bc 统一起，把它们看成一个整体（换元法）来求最值，其过程简介，运算量较小。

但如何根据需要将b+c 和bc 统一起来是难点，学生对基本不等式或重要不等式变形应用不过关将导致逻辑混乱。

方法三：正弦定理与三角函数结合
解：（1）由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==得，B b sin 334=，C c sin 3
34=. ∴△ABC 面积C B bc A bc S sin sin 3
3443sin 21=== ∵π=++C B A ，∴B C -=3
2π,
3362sin 3323
32cos 332sin sin 3
32cos sin 2sin 21cos 23sin 33432sin sin 334sin sin 3
342+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==
ππB B B B B B B B B B B C B S ∴当262ππ=-
B ，即3π=B 时，△AB
C 面积最大值为3.
（2）由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==得，B b sin 334=，C c sin 3
34=. ∴△ABC 周长为：C B c b a sin 334sin 3342++
=++， ∵π=++C B A ，∴B C -=3
2π, 26sin 42cos 2sin 3232sin 334sin 3342+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++=++ππB B B B B c b a ∴当26ππ
=+B ，即3
π=B 时，△ABC 周长最大值为6.
点评：方法三属于化角求最值，根据三角形内角和很容易把两个角统一为一个角转化为三角函数最值问题，而三角函数式的化简主要用到两角和与差公式、二倍角公式、辅助角公式等，思路清晰明确。

但整个过程运算量较大，公式不过关，运算能力差的同学很难化简得正确结果。

通过对比可以看到，三种解题思路各有优势，各有特点，采取哪一种思路还要认真分析题目的条件和所求最值式子的特征。

下面我们再来看几个例子。

例2：（2015年全国理科1卷16题）在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围 .
解：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D
重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，
∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=
∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
，即，解得BF=，所以AB 的取值范围为（，）.
点评：例2利用几何图形的直观性，用运动变化观点来看待四边形ABCD 的变化，使得问题迎刃而解.
例3：（2019年全国理科3卷18题改编）锐角三角形ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知B =60°，1c =，求ABC ∆面积的取值范围。

解：方法一：如图所示，点C 看成在∠B 一条边上的动点，作AD ⊥BC ，垂足
为D ，则2
121==AB BD ，作AE ⊥AB ，交射线BC 于点E ，则22==AB BE . ∵三角形ABC ∆为锐角三角形，
∴C 点在线段DE 上，即BD<BC<BE ，故
122a <<， ∵△ABC 的面积a B ac S 43sin 21==
． ∴△ABC 面积的取值范围是33,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．
方法二：由正弦定理得()sin 120sin 31sin sin 2tan 2
C c A a C C C ︒-===+． ∵△ABC 为锐角三角形，∴0°<A<90°，0°<C<90°，
∵A+C=120°，∴30°<C<90°，即122
a <<， sin sin BC BE E C
=∠∠o o
2sin 30sin 75BE =BE 6+2sin sin BF BC FCB BFC =∠∠o o
2sin 30sin 75BF =62-62-6+2
∵△ABC 的面积a B ac S 4
3sin 21==． ∴△ABC
面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．
点评：例3方法一利用几何图形的直观性，用运动变化观点来看待点C 的位置，由△ABC 为锐角三角形条件可直观看出BC 的取值范围。

方法二用正弦定理将边化为角，由角C 的范围求得边a 的范围。

例4：（2011·全国理科卷16题）在中，
ABC ∆
的最大值为_____.
解： 令AB c =，BC a =，则由正弦定理得
2,sin sin sin 2
a c AC A C B ====2sin ,2sin ,c C a A ∴==且120A C +=︒， 222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+2sin 4sin(120)C C =+︒-＝2sin C + 14(cos sin )4sin 22C C C C +=++)C ϕ=(其中tan 2ϕ= ∴当90C ϕ+=︒时，2AB BC +取最大值为
点评：例4由于所求式子AB 边和BC 边的系数不同，直接结合余弦定理化边解题很困难。

而把边化角转化为三角函数最值问题，解题思路清晰明确。

从以上例题可以看出，对于不确定三角形，如果只有一个动点，且动点运动轨迹明确，可考虑第一种解题思路，特别是选择填空题特别有效。

若所求最值的式子可化为b+c 或bc 的形式可考虑第二种思路。

若所求最值的式子可化为角，则可转化为三角函数最值问题。

60,B AC ==o 2AB BC +。