高等数学三重积分

解
2
2

2
: {( x , y , z ) | c z c , x2 y2 z2 2 1 2} 2 a b c
z
Dz
o
y
原式

c
c
z dz dxdy,
2 Dz
x
x y z Dz {( x , y ) | 2 2 1 2 } a b c
z z 2 dxdy a (1 2 ) b (1 2 ) c c D
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
例 1 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz为三

次积分，其中积分区域 为由曲面 z x 2 y 及 z 2 x 所围成的闭区域.
2
2
2
z x2 2 y2 解 由 , 2 z 2 x
得交线投影区域
x y 1,
2 2
1 x 1 2 2 故 ： 1 x y 1 x , x2 2 y2 z 2 x2

1
1 z
1 y z
1
dx
o
0 zdz0 (1 y z )dy
1
1 z
y
1
x
1
1 1 2 0 z (1 z ) dz . 2 24
1
例 5 计算三重积分 z dxdydz ，其中 是
2
x y z 由椭球面 2 2 2 1所成的空间闭区域. a b c

n
其中 dxdydz叫做直角坐标系中的体 积元素.
二、利用直角坐标系计算三重积分
直角坐标系中将三重积分化为三次积分 --- 投影法
闭区域 在 xoy 如图， 面上的投影为闭区域D, S1 : z z1 ( x , y ), S2 : z z2 ( x , y ),
过点 ( x , y ) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
a x b, 得
f ( x , y , z )dv
a dx y ( x ) dy z ( x , y )
1 1
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的
直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
Dz
z
z 的函数 F ( z ) ； 其结果为
(4)最后计算单积分 F ( z )dz 即得三重积分值.
c1 c2
例4
计算三重积分 zdxdydz ，其中 为三个

坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
解（一） zdxdydz 0 zdz dxdy,
I I1 I 2 ( x y )dxdydz ( x y )dxdydz,
2 2 2 2 1
I1 rdrd r fdz
2
8
2
D1
2
0
4 d dr r 2 r r dz , 0 3 2
4 8 2
2
5

I 2 rdrd r fdz
x
b
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2

z1
S1
z z1 ( x , y )
a
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
y y1 ( x )
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z )只看作 z 的 函数，则
F ( x, y)
z2 ( x , y )
I 1 dx
1
1 x 2 1 x
2
dyx
2 x 2
2
2 y
2
f ( x , y, z )dz.
例2
化三重积分 I
2
f ( x , y , z )dxdydz为三

2
次积分，其中 积分区域
为由曲面 z x y , 2 y x , y 1, z 0 所围

x y z 4与抛物面 x y 3 z
所围的立体.
x r cos 解 由 y r sin , zz
r 2 z 2 4 2 r 3z
2
2
知交线为
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
r 2 : z 4r ， 3 0 r 3, 0 2.
就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 ,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
球 面；
0 2.
为常数
为常数
圆锥面；
半平面．
如图，
z

x
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
则 OA x , AP y, PM z .
绕 oz 轴旋转得，
2 2
旋转面方程为 x y 2z ,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 y 2 16,
0 2 0 r 4 1 : 2 , r z 8 2
D2 : x 2 y 2 4,
D1
D2
0 2 0 r 2 2 : 2 . r z 2 2
o

r
P(r , )
y
x
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
z
rd
dr
dv rdrddz,
f ( x , y, z )dxdydz

r
dz
o
x
d
y
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.

例1 计算 I
2 2 2
zdxdydz，其中 是球面
2
r

o
f ( x, y, z )dxdydz
2
2
2
D2
2
0
2 d dr r 2 r r dz , 0 2 6
2 2 2
5
4 2 原式 I 336 . 3 6
5
5
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点M 可用 三个有次序的数 r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 段 OP 的角，这里 P 为 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 r，，

( i ,i , i )
z
vi

o
y
x
三重积分的定义
设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成 n个小闭区域 v1， v2 ,, v n ，其中 vi 表示第 i 个小闭区域，也表 示它的体积, 在每个 vi 上任取一点( i , i , i ) 作 乘积 f ( i , i , i ) vi ， 并作和, 如 ( i 1,2,, n) ， 果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z )在闭区域 上的三重积分，记为 f ( x, y, z )dv ,
成的空间闭区域. 如图，
解
2
: 0 z x2 y2 ,
1 1 x2 y2
x y 1, 1 x 1.
I 1 dx x 2 dy 0
f ( x , y , z )dz .
例 3 将 0 dx 0 dy 0 的次序积分.
解
1
1
x2 y2
f ( x , y , z )dz 按 y , z , x

即
f ( i , i , i ) vi . f ( x , y , z )dv lim 0 i 1

n
其中 dv 叫做体积元素 .
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 的平面来划分 , 则 vi x j yk zl .
三重积分记为
f ( i , i , i ) vi . f ( x , y, z )dxdydz lim 0 i 1
A
r

M ( x, y, z )
z
o

球面坐标与直角坐标的关系为
x
y
P

y
x r cos sin , y r sin sin , z r cos .
如图，
z
d
球面坐标系中的体积元素为
dr
r sin d rd d
r sin
dv r sindrdd ,
规定： 0 r ,
0 2,
z
M ( x, y, z )
z .
x
o

r
P(r , )

y
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
z
为常数
z 为常数

M ( x, y, z )