专题训练讲义--正方形

第十五讲专题训练讲义----正方形一．正方形的性质：【例1】如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.【例2】如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，CE=AC，AE交CD于F，求∠AFC的度数。

【例3】如图4-60，正方形ABCD的对角线相交于O，EF∥AB，并且分别与OA，OB相交于E，F．若BE=3厘米，求CF的长．【练习1】如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【练习2】如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，1DE=．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90︒，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于．【练习3】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP= BC，则∠ACP度数是．【练习4】如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG.(1)观察猜想BE与DC之间的大小关系，并说明你的结论; (2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形? 若存在，请说出旋转过程; 若不存在，请说明理由.【练习5】如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.（1）求证AE=BF；（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.Ｄ Ｑ ＣＮ Ｂ【练习6】在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED（1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED ＝120°时，求EFD ∠的度数．【练习7】如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD =2EC ．其中正确结论的序号是 ． 二．正方形的折纸：【例1】（08哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的（ ）．（A ）3cm （B ）4cm（C ）5cm （D ）6cm【练习】 (2006 荆门大纲)如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ = ．三．正方形的面积：【练习1】正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点 G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK ∆的面积为（ ）（A ）10 （B ）12 （C ）14 （D ）16【练习2】如图，正方形ABCD 中，边长为2，其中正方形A ’B ’C ’O 与正方形ABCD 全等，顶点O 在正方形ABCD 对角线交点O ，求阴影部分面积。

1. 边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）。

A ．2－33B ．332C ．2－43D ．22. 将n 个边长都为lcm 的正方形按如图所示的方法摆放，点A 1，A 2，……，A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为（ ）A ．41cm 。

B ．4n cm 2 Ｃ．（n －41）cm 2 D ．(41）n cm 2 3. 如图，正方形ABCD 各边中点为E 、F 、G 、H ，设正方形ABCD 面积为S ，求图中LKMN 的面积。

4. 如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）证明：∠BAE =∠FEC ；（2）证明：△AGE ≌△ECF ；（3）求△AEF 的面积．四．正方形的判定：【例1】如图，正方形ABCD 中，DH CG BF AE ===．求证：四边形EFGH 是正方形．【练习1】已知：如图，△ABC 中，︒=∠90C ，CD 平分ACB ∠，BC DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F ．求证：四边形CFDE 是正方形．【练习2】如图,正方形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为四边中点，连接AG 、BH 、CE 、DF 依次相交于M 、N 、P 、Q 。

求证：四边形MNPQ 是正方形五．正方形的有关计算：【例1】已知：如图，已知四边形ABCD 是正方形，︒=∠=35,MCE MN CE ．求ANM ∠．【例2】如图，四边形ABCD 为正方形,以AB 为边向正方形外做等边三角形ABE ，交BD 于F ，求∠AFD 的度数。

【练习1】如图,P 是正方形ABCD 边AB 上任意一点,AC,BD 交于O,PM ⊥OA,PN ⊥OB 于N,若AB=10,则四边形PMON 的周长为____________.【练习2】在正方形ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE ＝4，CF ＝3，则EF ＝ ；【练习4】在正方形ABCD 中，E 在BC 上，且BE=2，EC=1，点P 在BD 上，求PE+PC 的最小值；【练习5】如图，将边长为a 的正方形ABCD 沿直线l 按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O 所经过的路径长为____。

【练习7】（2006，福州）如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高是（ ）； B ； C ； D ．六．正方形的综合题：【例1】.如图，正方形ABCD中，MN⊥EF，求证：MN=EF【例2】如图，正方形形ABCD的边长为1、P、Q分别在AB、AD上，已知△APQ周长为2，求证：∠PCQ=450；【例3】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N，（如图甲）（1）求证：MD＝MN；（2）若将上述条件中的“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余的条件不变，（如图乙），则结论MD＝MN还成立吗？如果成立，请证明，若不成立，请说明理由；【练习1】如图所示，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G 为FH中点，求证：EC⊥CG。

【练习2】在正方形ABCD中,AC与BD交于点O.M,N分别是OA,OB上的点,且MN//AB.求证(1)BM=CN; (2)BM⊥CN.【练习3】已知，如图，以△ABC的边AB、AC为边，分别向形外作一个正方形，中心分别为O1、O2，D为BC中点。

求证：O1D⊥O2D。

【练习6】如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.（1）AE与BF相等吗？为什么？（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。

【练习7】如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD 于F。

（1）说明OE=OF的道理；（2）在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。

专题训练讲义---正方形一．正方形的性质：【例1】（2008湖北襄樊）如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.解：（1）BG=DE ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，∴GC=CE ，BC=CD ，∠BCG=∠DCE=90°）∴△BCG ≌△DCE ∴BG=DE（2）存在. △BCG 和△DCE ；△BCG 绕点C 顺时针方向旋转90°与△DCE 重合【例2】如图，E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，CE=AC ，AE 交CD 于F ，求∠AFC 的度数。

【例3】如图4-60，正方形ABCD 的对角线相交于O ，EF ∥AB ，并且分别与OA ，OB 相交于E ，F ．若BE=3厘米，求CF 的长．【练习1】(2008年沈阳市)如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（ C ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 【练习2】（08沈阳）如图所示，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连接AE ，交对角线BD 于点F ，连接CF ，则图中全等三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 【练习3】（2008佛山12）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 22.5 ° ．【练习4】（2005山西） 如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连结BE 、DG.(1) 观察猜想BE 与DC 之间的大小关系，并说明你的结论; (2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形? 若存在，请说出旋转过程; 若不存在，请说明理由.【练习5】（2008广东肇庆市）如图5，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上.（1）求证AE =BF ； （2）若BC =cm ，求正方形DEFG 的边长.A D C E F 第8题图解：（1）∵ 等腰Rt △ABC 中，∠90°， ∴ ∠A ＝∠B ∵ 四边形DEFG 是正方形，∴ DE ＝GF ，∠DEA ＝∠GFB ＝90°∴ △ADE ≌△BGF ∴ AE ＝BF（2）∵ ∠DEA ＝90°，∠A=45°∴ ∠ADE =45°∴ AE ＝DE ． 同理BF ＝GF∴ EF ＝AB===cm ∴ 正方形DEFG 的边长为【练习6】如图4-52，在正方形ABCD 外以CD 为边作等边△CDE ．求AED ∠的度数．【练习7】如图所示，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，•连结AP ，EF ，求证：AP=EF ．二．正方形的折纸：【例1】（08哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的（ ）． （A ）3cm （B ）4cm（C ）5cm （D ）6cm【练习】 如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ =． 三．正方形的判定：【例1】如图，正方形ABCD 中，DH CG BF AE ===．求证：四边形EFGH 是正方形． 【例2】已知：如图，△ABC 中，︒=∠90C ，CD 平分ACB ∠，BC DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F ．求证：四边形CFDE 是正方形．四．正方形的有关计算：【例1】已知：如图4-57，已知四边形ABCD 是正方形，︒=∠=35,MCE MN CE ．求ANM ∠．【例2】如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外做等边三角形ABE ，交BD 于F ，求∠AFD 的度数。