中考数学专题特训第22讲：梯形模块详细解析
冀教版数学八下22.7《梯形》ppt说课课件
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（四）关于教学方法的选用
教是为了不教，因此在课堂上更重要的是教会
学生如何学习、如何发现问题和解决问题，而不是老 师把所有的知识都一点一点的教给学生.因此本节课力 求在教法上体现以下几个方面：1.改变以往讲授式的教学Fra bibliotek法，一学生为主体进
行探究性学习，让学生自己发现等腰梯形的特征. 2.改变学生的学习方式，让学生合作学习，培养
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1.知识目标：
（1）经历探索梯形的概念、特征的过程，在操作活动中 培养学生说理意识，主动探究的习惯.
（2）体会平移、轴对称的有关知识，在研究等腰梯形特 征中的运用.
（3）体验添加辅助线对证明的必要性，使学生初步掌握 等腰梯形中常用辅助线的添加方法和应用.
（4）体验探索、归纳的过程，学会合情推理的数学方法.
⑵ 解决梯形时，常可添加辅助线，把梯形割补成 平行四边形或三角形，因此，要培养学生合作交流、 团结互助的精神和主动探索善于发现的科学精神.在交 流探索过程中学会用类比的方法发现作辅助线的规律.
总之，让学生要从生活中感受数学；在合作交流 中理解数学；在实验操作活动中探索数学；在作数学 当中学会数学。充分体现新课标中强调的自主探索、 合作互动、创造性学习这样一种有效地的学习方式.
学生的合作精神. 3.在例题的选择上由易到难，符合学生的认知规
律，便于掌握. 4.鼓励学生自己动手、动脑，发现规律并自己证
明自己的结论. 5.肯定学生的学习热情，引导学生积极探索和创
新，实现知识的正确运用和迁移.
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（五）关于学法的渗透
⑴ 平行四边形与梯形都有相似之处，又有区别， 通过对平行四边形与梯形的对比可以加深对梯形的概 念的理解，故在学生学习中应渗透对比法
初三总复习-四边形2梯形
利用已知条件求解未知量
已知两腰和底角求面积
通过已知的两腰长度和底角，可以计算出梯形的高，进而利用梯形面积公式求 解面积。
已知中位线和两腰求面积
中位线长度等于上下底边长度之和的一半，因此可以通过已知的中位线和两腰 长度，计算出梯形的上下底边长度和高，进而求解面积。
复杂图形中梯形面积计算策略
分割法
将复杂图形分割成若干个简单的 梯形或其他已知图形，分别计算
公式三
若已知等腰梯形的对角线长度$d$ 和夹角$theta$，则面积$S = frac{d^2 sintheta}{2}$。
03
直角梯形与斜梯形
特点分析
直角梯形特点及应用举例 特点 01
02
有一组对角互补的梯形是直角梯形。
有不同于底边的腰，而且此腰有一边与底 边垂直。
03
04
应用举例
在解决水坝、堤坝等实际问题时，经常把 其横截面视为直角梯形来研究相关问题。
利用相似多边形求解梯形问题
利用相似三角形求解梯形问题
01
在梯形中构造相似三角形，通
过相似三角形的性质求解梯形
的边长、角度等问题。
02
利用相似三角形的判定方法，
证明梯形中的两个三角形相似
，进而求解相关问题。
03
利用相似多边形性质求解梯形 问题
04
利用相似多边形对应边成比例
的性质，求解梯形的边长、面
积等问题。
05
06
斜梯形特点及应用举例
特点 斜梯形的两个底边平行但长度不相等。
斜梯形的两组对边都不平行。
斜梯形特点及应用举例
01
斜梯形的对角线相等。
02
应用举例
03
2022年中考复习《梯形》专项练习附答案
梯形1、〔2021•宁波〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD 于点E，且AE∥CD，那么AD的长为〔〕考点：梯形；等腰三角形的判定与性质．分析：延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．解答：解：延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．应选B．点评：此题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．2、〔2021•十堰〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，那么下底BC 的长为〔〕A．8B．9C．10 D．11考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，∴cos60°===，解得：BF=1.5，故EC=1.5，∴BC=1.5+1.5+5=8．应选：A．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据得出BF=EC的长是解题关键．3、〔2021•荆门〕如右图所示，等腰梯形ABCD，AD∥BC，假设动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影局部的面积为S，BP为x，那么S关于x的函数图象大致是〔〕A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．解解：①当直线l经过BA段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越答： 快；②直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A 选项的图象符合． 应选A ． 点评： 此题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．4、〔2021年广州市〕如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥==那么tan B =〔 〕A 23B 22 C114 D 554分析：先判断DA=DC ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，由等腰三角形的性质，可得点F 是AC 中点，继而可得EF 是△CAB 的中位线，继而得出EF 、DF 的长度，在Rt △ADF 中求出AF ，然后得出AC ，tanB 的值即可计算． 解：∵CA 是∠BCD 的平分线，∴∠DCA=∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴DA=DC ， 过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ， ∵AB ⊥AC ，∴DE ⊥AC 〔等腰三角形三线合一的性质〕， ∴点F 是AC 中点，∴AF=CF ，∴EF 是△CAB 的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2， 在Rt △ADF 中，AF==4，那么AC=2AF=8，tanB===2．应选B ．点评：此题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，判断点F 是AC 中点，难度较大．5、(2021年南京)如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点P 。
中考数学复习专题14：梯形(共22张PPT)
立的是（ A ）
A．b2＝ac
B．b2＝ce
C．be＝ac D．bd＝ae
C cD
d
b
e
B
a
A
考点4 梯形中位线（考查频率：★☆☆☆☆） 命题方向：（1）直接考查梯形中位线有关的线段长问题； （2）解答时需要用到中位线知识解决问题．
6．（2013四川巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD
的中点且EF＝6，则AD＋BC的值是（ C ）
A．9
B．10.5
C．12
D．15
7．（2013江苏无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，－a）是一
平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为 7 2 ．
考点5 与梯形有关的探究问题（考查频率：★★☆☆☆） 命题方向：（1）以梯形为载体的动点问题； （2）与梯形有关的折叠问题． 8．（2013河南）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm． 射线AG//BC ，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射 线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)． （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）填空： ①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；
【思维模式】矩形去掉一个角之后是直角梯形，很多直 角梯形问题可以补成一个矩形来解决问题，也可以通过构造 梯形常用的辅助线，将直角梯形分割成“矩形＋直角三角形 ”或“平行四边形＋直角三角形”来解决．本题表面上看是 考查直角梯形，但如果知道这个直角梯形实际上就是正方形 去掉了一个角，那么这个问题就很容易思考了．
A．8 B．9 C．10
D．11
4．（2013浙江杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线
2023中考数学复习-专题22 四边形(讲通)(学生版)
专题22 四边形1.掌握平行四边形、菱形、矩形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.2.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.3.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.例1.一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8二、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．5．平行四边形的面积：1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．例2．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE▭BD，BM▭AC、DN▭AC，CF▭BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN▭MF．三、矩形的定义、性质与判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．四、菱形的定义、性质与判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质①菱形的四条边都相等;②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.注意：菱形也具有平行四边形的一切性质.3.菱形的判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四条边都相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形4.菱形的面积①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a²·sinx5.菱形的周长菱形周长=边长×4用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a例3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)判断四边形EHFG的形状；(2)在什么情况下，四边形EHFG为菱形？五、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).六、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：▭n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；▭n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.1．（2022·泉州市东海中学）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2022·黑龙江九年级期末）如图，矩形ABCD中8AB=把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．若254AF=，则AD的长为（）A．4B．5C．6D．7 3．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．四条边相等的四边形是矩形D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．（2022·深圳市罗湖区翠园初级中学）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC▭BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当AC垂直平分BD时，它是正方形5．（2022·沙坪坝·重庆八中九年级月考）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定ABE ADF≌的是（）A．BE DF∠=∠∠=∠C．AE AF=B．BAF DAE=D．AEB AFD 6．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）下列说法不正确的是（）A．平行四边形两组对边分别平行B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的两组对边分别平行且相等7．（2020·浙江杭州市·九年级）若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别________．8．（2022·沈阳市第四十三中学九年级月考）如图，在▭ABC中，▭A＝50°，AB＝AC，点D 在AC边上，以CB、CD为边作平行四边形BCDE，则▭E的度数为_____．9．（2022·济南市章丘区实验中学九年级月考）已知：如图，平行四边形ABCD中，AC，BD⊥于点F．交于点O，AE BD⊥于点E，CF BD求证：OE OF=．10．（2019·宁波市慈湖中学九年级）如图，在梯形ABCD中，AD▭BC，AB＝DC，若点M为线段AD上任意一点(M与A、D不重合)．问：当点M在什么位置时，MB＝MC，请说明理由．。
中考数学 第五章四边形第22讲 梯形精品课件(含11真题和12预测题)
(2011·广东)如图所示，在直角梯形纸片ABCD中， AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°.折叠纸片使BC经过点D， 点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8.
(1)求∠BDF的度数； (2)求AB的长． 【点拨】在直角三角形中求线段的长度，常运用锐角三角函数求解． 折叠的本质是轴对称． 【解答】(1)∵FB＝FC，∠C＝30°，∴∠FBC＝∠C＝30°. 由折叠的性质得∠DBF＝∠FBC＝30°.又∵∠DFB＝∠C＋∠FBC＝60° ，∴∠BDF＝180°－∠DBF－∠DFB＝180°－30°－60°＝90°.
【解析】CD＝DE＝AB＝6，CE＝BC－BE＝BC－AD＝8－5＝ 3.∴△CDE的周长＝DE＋DC＋EC＝6＋6＋3＝15.
【答案】15
15．(2011·呼和浩特)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD 的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1， 则梯形ABCD的面积为________．
考点三 梯形的中位线 1．定义：连接梯形 两腰中点 的线段叫做梯形中位线． 2．判定：(1)经过梯形一腰中点与 底平行 的直线必平分另一腰； (2)定义法． 3．性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和 的一半.
考点四 解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法
1．基本思路：梯形问题分割―转、―化→拼接三角形或平行四边形． 2．常见辅助线的作法：
【答案】A
9．(2011·潍坊)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝ 90°，BC＝CD＝2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P ，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是( )
A．CP平分∠BCD B．四边形ABED为平行四边形 C．CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分 D．△ABF为等腰三角形
中考数学专题二十二：梯形(含详细参考答案)
中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。
其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X 高【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形一般梯形特殊梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9．思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC 且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（）A．17B．18C．19D．201．考点：；．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A．25B．50C．25 D．思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC 于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC （已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE （等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3．2．3考点：．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．考点：；；．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE 于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。
中考数学热身梯形含解析
梯形一、选择题1．下列结论正确的是（）A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C．平行四边形是梯形的特殊形式D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式2．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形3．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，∠BCD=60°，则下列说法错误的是（）A．梯形ABCD是轴对称图形B．BC=2ADC．梯形ABCD是中心对称图形D．AC平分∠DCB二、填空题4．等腰梯形ABCD对角线交于O点，∠BOC=120°，∠BDC=80°，则∠DAB=．5．一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，BC=5，AD=3，则CD=．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上一点，DE∥AB，AD的长为1，BC的长为2，则CE的长为．8．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为．三、解答题9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，求证：BM=MC．10．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，那么四边形BCED是什么形状的图形呢？11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的长．12．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8．求：梯形两腰AB、CD的长．13．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．14．如图所示，在梯形ABCD中，上底AD=1cm，下底BC=4cm，对角线BD⊥AC，交点为E，且BD=3cm，AC=4cm．（1）求ABCD面积；（2）求△BEC面积．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．梯形参考答案与试题解析一、选择题1．下列结论正确的是（）A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C．平行四边形是梯形的特殊形式D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式【考点】多边形．【分析】平行四边形和梯形是特殊的四边形，直角梯形和等腰梯形是特殊的梯形，平行四边形是两边互相平行的四边形，梯形是一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形．【解答】解：A、四边形可以分成平行四边形和梯形两类，说法错误；B、梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类，说法错误；C、平行四边形是梯形的特殊形式，说法错误；D、直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式，说法正确；故选：D．【点评】此题主要考查了多边形，关键是掌握梯形、平行四边形、直角梯形、等腰梯形与四边形的关系．2．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形【考点】直角梯形．【分析】设四角的度数分别为：2X，2X，X，3X，根据四边形的内角和公式即可求得各角的度数，从而便可求得该四边形的形状．【解答】解：由题意，设四角的度数分别为：2X，2X，X，3X，由四边形的内角和为360°，得X+2X+2X+3X=360°，解得X=45°，四角分别为：90度，90度，45度，135度，有两个邻角为90度，所以是直角梯形．故选C．【点评】本题通过设适当的参数，根据四边形的内角和建立方程，求得各角的度数进行判定．3．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，∠B CD=60°，则下列说法错误的是（）A．梯形ABCD是轴对称图形B．BC=2ADC．梯形ABCD是中心对称图形D．AC平分∠DCB【考点】梯形．【专题】压轴题．【分析】利用已知条件，对四个选逐个验证，即可得到答案．【解答】解：A、根据已知条件AB=CD，则该梯形是等腰梯形，等腰梯形是轴对称图形，正确；B、过点D作DE∥AB交BC于点E，得到平行四边形ABED和等边三角形CDE．所以BC=2AD，正确；C、根据中心对称图形的概念，等腰梯形一定不是中心对称图形，错误；D、根据等边对等角和平行线的性质，可得AC平分∠BCD，正确．故选C．【点评】要熟悉这个上底和腰相等且底角是60°的等腰梯形的性质；理解轴对称图形和中心对称图形的概念．二、填空题4．等腰梯形ABCD对角线交于O点，∠BOC=120°，∠BDC=80°，则∠DAB= 110°．【考点】等腰梯形的性质．【分析】首先根据题意画出图形，分别从AD∥BC与AB∥CD去分析求解，由图（1）可证得△ABC≌△DCB，即可求得∠ACB的度数，继而可求得答案；由图（2）可得不符合要求．【解答】解：如图（1），若AD∥BC，AB=CD，则AC=BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB=∠DBC，∠BAC=∠BDC=80°，∵∠BOC=120°，∴∠ACB=30°，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=110°．如图（2），若AB∥CD，AD=BC，则AC=BD，在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC（SSS），∴∠ACD=∠BDC=80°，∴∠BOC=∠BDC+∠ACD=160°≠120°（不符合要求，舍去）．故答案为：110°．【点评】此题考查了等腰梯形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．5．一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是20cm．【考点】梯形．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】首先根据题意画出图形，由一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，易得四边形AECD是平行四边形，又由△BCE的周长为12cm，CD为4cm，即可得形ABCD的周长=△BCE的周长+AE+CD．【解答】解：如图，∵梯形ABCD中，AB∥CD，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=4cm，CE=AD，∵△BCE的周长为12cm，即CE+BE+CD=12cm，∴AD+BE+BC=12cm，∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AD+AE+BE+BC+CD=AD+BE+BC+4+4=12+4+4=20（cm）．故答案为：20cm．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，BC=5，AD=3，则CD= 2 ．【考点】梯形．【分析】已知∠B=50°，∠C=80°，过A点作AE∥CD，交BC于E点，利用平移将两个角“移”到同一个三角形中，证明△ABE为等腰三角形，得出线段的相等关系及和差关系．【解答】解：过A点作AE∥CD，交BC于E点，∵AD∥BC，∴四边形ADCE为平行四边形，CD=AE，AD=EC；又∵∠C=80°，∴∠AEB=80°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=50°∴AE=BE，CD=BE=BC﹣EC=BC﹣AD=2．【点评】本题考查了梯形常用的作辅助线的方法：平移一腰，等腰三角形的判定及性质的运用．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上一点，DE∥AB，AD的长为1，BC的长为2，则CE的长为 1 ．【考点】梯形．【分析】根据已知证明四边形ABED为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得BE=AD，从而可求CE．【解答】解：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，BE=AD，∴CE=BC﹣BE=BC﹣AD=2﹣1=1．【点评】本题考查了梯形常用的作辅助线的方法，平行四边形的判定与性质．8．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 6 ．【考点】梯形中位线定理．【分析】结合梯形的中位线定理以及梯形的面积公式，得梯形的面积等于中位线长和高的乘积．【解答】解：根据题意，得该梯形的面积为3×2=6．【点评】熟记梯形的面积公式：梯形的面积=两底和的一半×高=梯形的中位线×高．三、解答题9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，求证：BM=MC．【考点】等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】欲证MB=MC，可利用等腰梯形的性质“两腰相等；同一底边上的两个角相等”证△ABM≌△DCM，然后由全等三角形对应边相等得出．【解答】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠A=∠D．∵M是AD的中点，∴AM=DM．在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS）．∴MB=MC．【点评】本题主要考查等腰梯形的性质的应用．10．（2011秋•安溪县校级期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，那么四边形BCED是什么形状的图形呢？【考点】等腰梯形的判定．【分析】根据已知条件中AD=AE及∠B=∠C可推得∠ADE=∠B，则DE∥BC．而由∠B=∠C，可得AB=AC，又因为BD与CE交于点A，故BD不平行与CE，所以四边形BCED是等腰梯形．【解答】可以猜测四边形BCED是等腰梯形．解：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠A），又∵∠B=∠C=（180°﹣∠A），∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC．由BD与CE交于点A，∴BD不平行与CE，∴四边形BCED是梯形．∵∠B=∠C，∴AB=AC，又∵AD=AE，∴BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形．【点评】此题主要考查了等腰梯形的判定．要说明四边形BCED是等腰梯形必须先说明BCED是梯形，根据梯形的定义，论证DE∥BC，同时要说明DB与EC不平行，这一点容易被遗漏．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的长．【考点】梯形；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质．【分析】要求DC的长，根据已知条件可将它转化为直角三角形的边，由勾股定理即可求得．【解答】解：解法一：如图1，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．∴AE∥DF．又AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF=AD=．∵AB⊥AC，∠B=45°，BC=4，∴AB=AC．∴AE=EC=BC=2．∴DF=AE=2，CF=EC﹣EF=在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∴DC=．解法二：如图2，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4=4在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=，∴DE=AE=1．∴CE=AC﹣AE=3．在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC=．【点评】统观北京及全国各地中考试卷，几何中的计算往往会与两个知识点有关：①圆；②梯形．本题考点：等腰直角三角形的性质、特殊四边形的性质、勾股定理．12．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8．求：梯形两腰AB、CD的长．【考点】梯形．【分析】平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．【解答】解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．∴AB=DE，AD=BE，∠DEC=∠B=60°，∵∠C=30°，∴∠EDC=180°﹣60°﹣30°=90°，∵CE=BC﹣BE=BC﹣AD=6，∴DE=3，CD=3，即AB=3，CD=，【点评】本题考查与梯形有关的问题，平移一腰是梯形中常见的辅助线，再根据平行四边形的性质和三角形的性质进行分析．13．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．【考点】梯形．【专题】计算题．【分析】首先根据题意画出图形，由梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA，易得四边形AECD是平行四边形，又由△BCE的周长为7cm，CD为3cm，即可得形ABCD的周长=△BCE的周长+AE+CD．【解答】解：如图，∵梯形ABCD中，AB∥CD，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=3cm，CE=AD，∵△BCE的周长为7cm，即CE+BE+CD=7cm，∴AD+BE+BC=7cm，∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AD+AE+BE+BC+CD=AD+BE+BC+3+3=7+3+3=13（cm）．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．14．如图所示，在梯形ABCD中，上底AD=1cm，下底BC=4cm，对角线BD⊥AC，交点为E，且BD=3cm，AC=4cm．（1）求ABCD面积；（2）求△BEC面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；梯形．【分析】（1）首先过点D作DF∥AC交BC的延长线于F点．易证得四边形ACFD为平行四边形．由BD⊥AC，即可得BD⊥DF，又由在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，即可求得BC边上的高，继而求得四边形ABCD面积；（2）由AD∥BC，即可证得△ADE∽△CBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BE与CE的长，继而求得△BEC面积．【解答】解：（1）过点D作DF∥AC，交BC的延长线于F点．∵AD∥BC，∴四边形ACFD为平行四边形．∴DF=AC=4cm，AC∥DF，CF=AD=1cm，∴BF=BC+CF=4+1=5（cm），∵AC⊥BD，∴BD⊥DF，在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，∴BC边上的高h为：（cm），∴S四边形ABCD=（AD+BC）h=×（1+4）×=6（cm2）；（2）∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴，∴，，∴DE=cm，AE=cm，∴BE=3﹣DE=3﹣（cm），EC=4﹣AE=（cm），S△BEC=BE•EC=（cm2）．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．【考点】直角梯形．【专题】证明题．【分析】延长CE交BA的延长线于点G，那么可得△CED≌△GEA，那么CE=GE，AE=DE，进而可得BC=BG，那么CE⊥BE．【解答】证明：延长CE交BA的延长线于点G，即交点为G，∵E是AD中点，∴AE=ED，∵AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠AGE，∴△CED≌△GEA，∴CE=GE，AG=DC，∴GB=BC=3，∴EB⊥EC．【点评】考查梯形的常用辅助线方法的应用；碰到中点问题时构造全等三角形是常用的辅助线方法．16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．【考点】全等三角形的判定与性质；梯形．【专题】证明题．【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．【解答】证明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC（SAS）．（2）连接BD．∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又∵BD是公共边，∴△BAD≌△BED（ASA）．∴AD=DE．【点评】这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度．。