三角函数公式练习
数学课程三角函数公式练习题及答案
数学课程三角函数公式练习题及答案在学习数学的过程中，三角函数是一个非常重要的概念。
它们是研究三角形及各种周期现象的数学工具。
熟练掌握三角函数公式可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将为大家提供一些三角函数公式的练习题及答案，以帮助大家巩固对这一知识点的掌握。
练习题一：正弦函数的基本关系式1. 已知角A的正弦值sin(A)=0.6，求角A的度数。
2. 已知角B的度数为45°，求sin(B)的值。
3. 已知角C的正弦值为√3/2，求角C的度数。
答案一：1. 根据正弦函数的定义，sin(A)=对边/斜边，可得对边=0.6×斜边。
由此可知，三角形中的角A的度数为arcsin(0.6)。
2. 对于一个45°的角度，根据特殊角的性质得知，sin(B)=cos(B)=1/√2。
3. 根据正弦函数的定义，sin(C)=√3/2，可得角C的度数为arcsin(√3/2)。
练习题二：余弦函数的基本关系式1. 已知角D的余弦值cos(D)=0.8，求角D的度数。
2. 已知角E的度数为60°，求cos(E)的值。
3. 已知角F的余弦值为1/2，求角F的度数。
答案二：1. 根据余弦函数的定义，cos(D)=邻边/斜边，可得邻边=0.8×斜边。
由此可知，三角形中的角D的度数为arccos(0.8)。
2. 对于一个60°的角度，根据特殊角的性质得知，cos(E)=1/2。
3. 根据余弦函数的定义，cos(F)=1/2，可得角F的度数为arccos(1/2)。
练习题三：正切函数的基本关系式1. 已知角G的正切值tan(G)=1.5，求角G的度数。
2. 已知角H的度数为30°，求tan(H)的值。
3. 已知角I的正切值为√3，求角I的度数。
答案三：1. 根据正切函数的定义，tan(G)=对边/邻边，可得对边=1.5×邻边。
由此可知，三角形中的角G的度数为arctan(1.5)。
三角函数公式典型例题大全
高中三角函数公式大全以及典型例题2009年07月12日星期日 19:27三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tan(A-B) =cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式tan2A =Sin2A=2SinA?CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式sin()=cos()=tan()=cot()=tan()==和差化积sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsintana+tanb=积化和差sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb =[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb =[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb =[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa.sin(-a) = cosa cos(-a) = sinasin(+a) = cosa cos(+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =万能公式sina=cosa=tana=其它公式a?sina+b?cosa=×sin(a+c) [其中tanc=]a?sin(a)-b?cos(a) =×cos(a-c) [其中tan(c)=]1+sin(a) =(sin+cos)2 1-sin(a) = (sin-cos)2其他非重点三角函数csc(a) =sec(a) =公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosαtan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα公式六：±α及±α与α的三角函数值之间的关系：sin（+α）= cosα cos（+α）= -sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanαsin（-α）= cosα cos（-α）= sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanαsin（+α）= -cosα cos（+α）= sinα tan（+α）= -cotαcot（+α）= -tanα sin（-α）= -cosα cos（-α）= -sinαtan（-α）= cotα cot（-α）= tanα(以上k∈Z)正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ三角函数典型例题1 ．设锐角的内角的对边分别为,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)求的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.(Ⅱ).2 ．在中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．(Ⅰ)求角B的大小;20070316(Ⅱ)设且的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=.∵0<B<π,∴B=.(II)=4ksinA+cos2A．=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,)设sinA=t,则t∈.则=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈.∵k>1,∴t=1时,取最大值.依题意得,-2+4k+1=5,∴k=.3 ．在中,角所对的边分别为,.I.试判断△的形状;II.若△的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4 ．在中,a、b、c分别是角A． B．C的对边,C=2A,,(1)求的值;(2)若,求边AC的长?【解析】:(1)(2)①又②由①②解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5 ．已知在中,,且与是方程的两个根.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若AB,求BC的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程的两根.∴(Ⅱ)∵,∴.由(Ⅰ)知,,∵为三角形的内角,∴∵,为三角形的内角,∴,由正弦定理得:∴.6 ．在中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c,向量,,且?(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值?【解析】:(1)2sinB(2cos2-1)=-cos2B2sinBcosB=-cos2B tan2B=-∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B=(2)由tan2B=-B=或①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤∴△ABC的面积最大值为②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)∴ac≤4(2-)∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤ 2-∴△ABC的面积最大值为2-7 ．在中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=+cos2B=(2)由∵b=2,+=ac+4≥2ac,得ac≤, S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为8 ．已知,求的值?【解析】;。
02三角函数诱导公式(含经典例题+答案)
三角函数诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．例1．sin 585°的值为 ( )A ．－2 B.2 C ．－3 D.3例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( )A ．－πB ．－π C.π D.π例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝31，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．例9：△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝223.例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π. A ．B ．C ．D ．2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°4.已知，则下列各式中值为的是（ ）A ．B ．sin （π+α）C ．D ．sin （2π﹣α）换元法与诱导公式例11：已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ 。
三角函数计算练习题及答案详解
三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。
三角函数诱导公式练习题-带答案
三角函数的诱导公式(1)一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k π C ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ） 2．sin （－6π19）的值是（ ） A ． 21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］； ⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）． 其中函数值与sin3π的值相同的是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36 B ．36 C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2A B +=sin 2C 6．函数f （x ）=cos3πx （x ∈Z ）的值域为（ ） A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．若α．8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．11．．12、求证：tan(2π)sin(2π)cos(6π)cos(π)sin(5π)q q qq q-----+=tanθ．三角函数的诱导公式(2)一、选择题：1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A. 23 B. 21 C. 23± D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sinα=sinβB. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD. cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ）， A. 51（4+5） B. 51（4-5） C. 51（4±5） D. 51（5-4） 二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ． 7．tanα=m ，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ． 8．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题：9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5； （2）sin ［（2n +1）π－3π2］.13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.。
(完整版)三角函数诱导公式练习题__答案(最新整理)
13．证明：左边=
tan( ) sin( ) cos( ) ( cos )( sin )
( tan )( sin ) cos cos sin
=tanθ=右边，
∴原等式成立．
14 证明：（1）sin（ 3π －α）=sin［π+（ π －α）］=－sin（ π －α）=－cosα．
2
2
2
（2）cos（ 3π +α）=cos［π+（ π +α）］=－cos（ π +α）=sinα．
22 22 22
8
3
4
6
12． 求下列三角函数值：
（1）sin 4π ·cos 25π ·tan 5π ；
3
6
4
（2）sin［（2n+1）π－ 2π ］. 3
13．设
f（θ）=
2 cos3 2
sin2 (2π ) sin(π 2
2cos2 (π ) cos( )
)
3
，求
f（ π 3
）的值.
4
参考答案 1
8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________． 三、解答题 9．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．
1
10．证明：
2sin(π ) cos 1 2 sin2
1
tan(9π ) 1 tan(π ) 1
．
11．已知 cosα= 1 ，cos（α+β）=1，求证：cos（2α+β）= 1 ．
2
π tan( +α)＝-cotα
2
3π sin( －α)＝-cosα
三角函数的诱导公式练习(含答案)
三角函数的诱导公式课下练兵场一、选择题 1.若α、β终边关于y轴对称，则下列等式成立的是( )A.sinα＝sinβB.cosα＝cosβC.tanα＝tanβD.sinα＝－sin β解析：法一：∵α、β终边关于y 轴对称，∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k ∈Z ， ∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等设为r ，则sin α＝sin β＝yr. 答案：A 2.已知A ＝sin(kπ＋α)sin α＋cos(kπ＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A.{1，－1,2，－2}B.{－1,1}C.{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2} 解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.答案：C 3.已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝( )A.－1±52 B.3＋12 C.5－12 D.3－12解析：∵tan x ＝sin(x ＋π2)，∴tan x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12(或－1－52<－1，舍去). 答案：C 4.已知α∈(π2，3π2)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为 ( )A.±15B.－15C.15D.－75解析：tan(α－7π)＝tan α＝－34，∴α∈(π2，π)，sin α＝35，cos α＝－45，∴sin α＋cos α＝－15.答案：B5.已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α、β、a 、b 均为非零实数，若f (2010)＝－1，则f (2011)等于( )A.－1B.0C.1D.2 解析：由诱导公式知f (2010)＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2011)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案：C6.已知sin(2π＋θ)tan(π＋θ)tan(3π－θ)cos(π2－θ)tan(－π－θ)＝1，则3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是( )A.1B.2C.3D.6 解析：∵sin(2π＋θ)tan(π＋θ)tan(3π－θ)cos(π2－θ)tan(－π－θ)＝sin θtan θtan(π－θ)－sin θtan(π＋θ)＝－sin θtan θtan θ－sin θtan θ＝tan θ＝1， ∴3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2＝3＋31＋3＋2＝1. 答案：A 二、填空题7.若cos(2π－α)＝53，且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝ . 解析：cos(2π－α)＝cos α＝53，又α∈(－π2，0)， 故sin(π－α)＝sin α＝－1－(53)2＝－23. 答案：－238.(北京高考)若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝ .解析：由sin θ＝－45＜0，tan θ＞0知θ是第三象限角.故cos θ＝－35.答案：－359.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin(－α－32π)cos(32π－α)cos(π2－α)sin(π2＋α)·tan2(π－α)＝ .解析：方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴sin(－α－32π)cos(32π－α)cos(π2－α)sin(π2＋α)·tan 2(π－α)＝－sin(π＋π2＋α)cos(π＋π2－α)sin αcos α·tan 2α＝－ sin(π2＋α)cos(π2－α)sin αcos α·tan 2α＝－cos αsin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－(－35)2(－45)2＝－916.答案：－916三、解答题10.已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin(5π2＋α)cos(5π2－α).解：∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角. 当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， tan(α＋π)＋sin(5π2＋α)cos(5π2－α)＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52. 当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.11.(1)若角α是第二象限角，化简tan α 1sin 2α－1； (2)化简：1－2sin130°cos 130°sin130°＋1－sin 2130° . 解：(1)原式＝tan α 1－sin 2αsin 2α＝tan α cos 2αsin 2α＝sin αcos α|cos αsin α|， ∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴原式＝sin αα⎧=⎪=sin αcos α|cos αsin α|＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.(2)原式＝sin 2130°＋cos 2130°－2sin130°cos 130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.12.是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在角,αβ满足条件，则sinα⎧=⎪由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈(－π2，π2)，∴α＝±π4. 当α＝π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6；当α＝－π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。
三角函数诱导公式练习题非常经典含有--答案
一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k πD ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）2．sin （－6π19）的值是（ ）A ． 21 B ．－21C ．23 D ．－233．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos（2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sinπ的值3相同的是（）A．①②B．①③④C．②③⑤D．①③⑤4．若cos（π+α）=－10，5且α∈（－π，0），则tan（2π3+α）2的值为（）A．－6B．363C．－6D．2625．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．cos（A+B）=cos C B．sin（A+B）=sin C C．tan （A+B）=tan C D．sin2B A =sin2C 6．函数f（x）=cos3πx（x ∈Z）的值域为（）A．{－1，－1，0，21，21} B ．{－1，－21，21，1}C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1}二、填空题7．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________．8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．已知cos α=31，cos（α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α；（2）cos （2π3+α）=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B二、填空题7．－sin α－cos α 8．289三、解答题 9．43+1．10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++， 右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--，左边=右边，∴原等式成立． 11．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21 =︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：（1）sin（π3－α）2=sin［π+（π－α）］=－sin（2π－2α）=－cosα．（2）cos（π3+α）=cos［π+2（π+α）］=－cos（2π+α）=sinα．2三角函数的诱导公式2一、选择题：1．已知sin(π+α)=23，则4sin(3π-α)值为（）4A.1 B. —21 C.223 D. —232．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ）A. 23 B. 21 C.23±D. —233．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sin α=sin βB.sin(α-π2) =sin βC.cos α=cos βD. cos(π2-α) =-cos β5．设tan θ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），A. 51（4+5） B. 51（4-5）C. 51（4±5） D. 51（5-4）二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ．7．tan α=m ，则=+-+++)c o s(-s i n ()c o s(3s i n (απα）απ）απ ．8．|sin α|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin 3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin3π4·cos6π25·tan4π5；（2）sin［（2n+1）π－3π2］.13．设f（θ）=)cos()π(2cos23)2πsin()π2(sin cos2223θθθθθ-+++-++-+，求f（3π）的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π7．11-+m m8．[(2k-1) π,2kπ]9．原式=)cos(·sin()cos()ns(sinαα）παπα--+--αi=)cos?(sin)cos(sin2αααα--=sin α 10．161111．解：（1）sin 3π7=sin（2π+3π）=sin 3π=23.（2）cos 4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22.（3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23.（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin（－45°）=－sin45°=－2.2注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sinπ4·cos6π25·tan4π5=sin3（π+π）·cos（4π+6π）·tan（π+4π）3=（－sinπ）·cos6π·tan4π=（－323）·23·1=－43.（2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23.13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++--- =θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cosθ－1，∴f（3π）=cos3π－1=21－1=－1.2三角函数公式1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanαcosαtanαcotα=12．诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)（一）sin(π－α)＝sinαsin(π+α)＝-sinαcos(π－α)＝-cosαcos(π+α)＝-cosαtan(π－α)＝-tanαtan(π+α)＝tanαsin(2π－α)＝-sinαsin(2π+α)＝sinαcos(2π－α)＝cosαcos(2π+α)＝cosαtan(2π－α)＝-tanαtan(2π+α)＝tanα（二）sin(π2－α)＝cosαsin(π2+α)＝cosαcos(π2－α)＝sin αcos(π2+α)＝- sin αtan(π2－α)＝cot αtan(π2+α)＝-cot αsin(3π2－α)＝-cos αsin(3π2+α)＝-cos αcos(3π2－α)＝-sin αcos(3π2+α)＝sin αtan(3π2－α)＝cot αtan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα3．两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβsin (α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβsin (α－β)=sinαcosβ－cosαsinβtan(α+β)=tanα+tanβ1－tanαtanβtan(α－β)= tanα－tanβ1＋tanαtanβ4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2αtan2α=2tanα1－tan2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2αsin2α＝21－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tan αtanβ）tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)（4）万能公式（用tanα表示其他三角函数值）sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a )特殊地：sinx±cosx＝ 2sin(x±π4 )7．熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosxtanx＋cotx若A、B是锐角，A+B＝π4，则（1＋tanA）(1+tanB)=2 8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π,A+B+C2=π2则有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tan C2＋tanC2tanA2＝1。
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1.θ为第二象限的角，则必有（ ）
A ．2tan θ＞2cot θ
B ．2tan θ＜2cot θ
C ．2
sin θ＞2cos θ D ．2
sin θ＜2cos θ 2.若sin m α=，且α为第二象限的角，则tan 2α的值为（ ）
（A ）（B （C ）（D ）以上全不对
3．锐角α，β满足41sin sin -=-βα，4
3cos cos =-βα，则=+)tan(βα（ ） A B C D ．．．．4
34
33
43
4--
4. 若(,),2παπ∈且cos 2sin()4
παα=-，则sin 2α的值为 （ ） A.12- B.12
C.1
D.1-
5.若10,0,cos(),cos()224342ππππβαβα<<-<<+=-=则cos()2
βα+=（ ）
A.
6. )80sin(5)20sin(3 +++=x x y 的最大值为___________，最小值为__________。
7. 若α、β为锐角，且12cos()13α+β=，3cos(2)5α+β=，则cos α等于 .
8．ππππ15
16cos 158cos 154cos 152cos
等于 .
9. 已知cos α＝1
7，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，则cos β=
10. 若tan α＝3，则cos2α＋3sin 2α＝__________.
11.1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________.
12. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则si n (α＋β)＝__________.
13. 函数2cos 152sin 5x y x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的递减区间是___________.
14. 已知tan 2x =-，则2222sin 3cos 3sin cos x x x x
+-的值为_________.
15.已知34
παβ+=
，则(1tan )(1tan )αβ--=________.
16. 若3sin cos 0θθ-=，则21cos sin 22
θθ+的值是___________.
17. 若0,,(0,)4παβπ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，且11tan(),tan 27αββ-==-，则2αβ-=______
18．已知sin(α＋β)=－53，cos(βα-)=1312，且2
π＜β＜α＜43π，求sin2α。
19．已知cos(x ＋4π)=53，π45＜x ＜π47，求x
x x tan 1sin 22sin 2-+的值。
20.已知3tan 4
θ=-，求22sin cos cos θθθ+-的值.
21.设函数2()4sin sin cos242x f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
(x ∈R ). (1) 求函数f (x )的值域；
(2) 若对任意x ∈2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，都有|f (x )－m |＜2成立，求实数m 的取值范围.
22.已知函数y ＝sin x ·cos x ＋sin x ＋cos x ，求y 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x 的值.
AADAC 六。
7，－7七。
56
65
八。
16
1
九。
1/2 十。
19
10
十一。
15
16
十三。
73
2,2,
55
k k k
ππππ
⎛⎫
-+∈
⎪
⎝⎭
Z十四。
7
11
十五。
2 十六。
6
5
十七。
3
4
π
-十八。
65
56
-十九。
75
28
-
二十。
2＋
2
222
sin cos cos tan1
2
sin cos tan1
θθθθ
θθθ
--
=+
++
＝
3
122
4
2.
925
1
16
--
+=
+
二十一。
［－1，3］故m的取值范围是（1，4）
二十二。
令sin x＋cos x＝t.由sin x＋cos x
4
x
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，知t
，
∴sin x·cos x＝
21
2
t-
，t
.所以y＝
21
2
t-
＋t＝
1
2
（t＋1）2－1，
t
.当t＝－1，即2sin
4
x
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＝－1，x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋
3 2π（k∈Z）时，y min＝－1；当t
4
x
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
x＝2kπ＋
4
π
（k∈Z）时，y max
＝1 2 +。