2018版 学业分层测评14
2018版学业分层测评10
第 1 页学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．关于合运动、分运动的说法，正确的是() A．合运动的位移为分运动位移的矢量和B．合运动的位移一定比其中的一个分位移大C．合运动的速度一定比其中的一个分速度大D．合运动的时间一定比分运动的时间长【解析】位移是矢量，其运算满足平行四边形定则，A正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误，同理可知C错误；合运动和分运动具有等时性，D错误．【答案】 A2. (多选)如图3-1-6所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向，大小不变．即由F变为－F.在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是()图3-1-6A．物体不可能沿曲线Ba运动B．物体不可能沿直线Bb运动C．物体不可能沿曲线Bc运动D．物体不可能沿原曲线由B返回A【解析】物体受力方向与速度方向不在同一条直线上时，物体将做曲线运动．力的方向指向轨迹弯曲的一侧，AB曲线向下弯曲，说明力F沿某一方向指向AB弯曲一侧；若换成－F，其方向指向另一侧，故曲线要向上弯曲，物体可能沿Bc运动；如果物体在B点不受力，从B点开始沿Bb 方向做匀速直线运动；如果物体受力不变，则物体可能沿Ba做曲线运动．故此时只有可能沿曲线Bc运动．第 2 页【答案】ABD3．(多选)两个互相垂直的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动轨迹()【导学号：45732072】A．如果v1＝v2＝0，那么轨迹一定是直线B．如果v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线D．如果a1a2＝v1v2，那么轨迹一定是直线【解析】判断合运动是直线还是曲线，看合初速度与合加速度是否共线．【答案】AD4．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m、水流速度为4 m/s 的河流中渡河，则该小船()A．能到达正对岸B．渡河的时间可能少于50 sC．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m D．以最短位移渡河时，位移大小为150 m【解析】因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，故A错误；当船头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间t＝dv船＝50 s，故渡河时间不能少于50 s，故B错误；以最短时间渡河时，沿水流方向位移x＝v水t＝200 m，故C正确；当v船与实际运动方向垂直时渡河位移最短，设此时船头与河岸的夹角为θ，则cos θ＝34，故渡河位移s＝d cos θ＝200 m，故D错误．【答案】 C5．(多选)一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图3-1-7所示．关于物体的运动，下列说法正确的是()【导学号：45732073】第 3 页图3-1-7A．物体做曲线运动B．物体做直线运动C．物体运动的初速度大小为50 m/s D．物体运动的初速度大小为10 m/s 【解析】由v-t图象可以看出，物体在x方向上做匀速直线运动，在y 方向上做匀变速直线运动，故物体做曲线运动，选项A正确，B错误；物体的初速度大小为v0＝302＋402 m/s＝50 m/s，选项C正确，D错误．【答案】AC6．如图3-1-8所示，物体A和B的质量均为m，且分别与跨过定滑轮的轻绳连接(不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，则()图3-1-8A．物体A也做匀速直线运动B．绳子拉力始终等于物体A所受重力C．绳子对A物体的拉力逐渐增大D．绳子对A物体的拉力逐渐减小【解析】将B物体的速度v B进行分解如图所示，则v A＝v B cos α，α减小，v B不变，则v A逐渐增大，说明A物体在竖直方向上做加速运动，选项A错误；对A由牛顿第二定律T－mg＝ma，可知绳子对A的拉力T＞mg，选项B错误；运用外推法：若绳子无限长，B物体距滑轮足够远，即当α→0时，有v A→v B，这表明，物体A在上升的过程中，加速度必定逐渐减小，绳子对A物体的拉力逐渐减小，故C错误，D正确．故选D.【答案】 D7．(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是()第 4 页【导学号：45732074】【解析】静水速度垂直于河岸，根据平行四边形定则知，合速度的方向偏向下游，故A正确；当船头偏上游时，若船静水中速度与水流速度的合速度垂直河岸，会出现这种轨迹，故B正确；因船头垂直河岸，又存在水流，因此不可能出现这种运动轨迹，合速度不可能垂直河岸，故C错误；船头的指向为静水速度的方向，静水速度的方向与水流速度的合速度的方向，应偏向下游，故D错误．【答案】AB8．由于暴雪，在阿勒泰地区有多人被困．为营救被困人员，新疆军区派出直升机，用直升机空投救援物资时，直升机可以停留在离地面100 m的空中不动，设投出的物资离开直升机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s.若直升机停留在离地面100 m高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资以1 m/s的速度匀速水平向北运动，求：(1)物资在空中运动的时间；(2)物资落地时速度的大小；(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离．【解析】如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动．(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等．所以t＝hv y＝100 5 s＝20 s.(2)物资落地时，v y＝5 m/s，v x＝1 m/s，由平行四边形定则得v＝v2x＋v2y＝12＋52 m/s＝26 m/s.(3)物资水平方向的位移大小为s＝v x t＝1×20 m＝20 m.第 5 页【答案】(1)20 s(2)26 m/s(3)20 m[能力提升]9．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()A.kvk2－1B.v1－k2C.kv1－k2D.vk2－1【解析】设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝dv0，回程渡河所用时间t2＝dv20－v2.由题知t1t2＝k，联立以上各式得v0＝v1－k2.选项B正确，选项A、C、D错误．【答案】 B10．如图3-1-9所示，当小车A以恒定速度v向左运动时，则对于物体B 来说(忽略绳子质量)，下列说法正确的是()【导学号：45732075】图3-1-9A．匀加速上升B．匀速上升C．B物体受到的拉力大于B物体受到的重力D．B物体受到的拉力等于B物体受到的重力【解析】小车A与物体B由同一条绳子连接且一起运动，则有小车速度沿绳子方向的分速度大小等于B上升的速度．小车向左的运动产生两个效果：一是使车与滑轮间的绳子拉长；二是增大绳子与竖直方向间的夹角．故可将小车的速度分解为沿绳子方向的速度v1和垂直于绳子方向的速度v2，物体B的速度第 6 页即为v1，v1＝v cos θ，小车A向左运动时θ减小，cos θ增大，即v1变大，即物体B向上做变加速运动，拉力F>mg，故C选项正确.【答案】 C11．如图3-1-10所示，一条小船位于200 m宽的河中央A点处，从这里向下游1003 m处有一危险的急流区，当时水流速度为4 m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少为()图3-1-10A.433 m/sB.833 m/s C．2 m/s D．4 m/s【解析】如图所示，小船刚好避开危险区域时，设小船合运动方向与水流方向的夹角为θ，tan θ＝d2s＝33，所以θ＝30°，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，可以求出小船在静水中最小速度为2 m/s，C正确．【答案】 C12．质量m＝2 kg的物体在光滑的平面上运动，其分速度v x和v y随时间变化的图线如图3-1-11所示，求：【导学号：45732076】图3-1-9(1)物体的初速度；(2)物体受的合外力的大小；(3)t＝8 s时物体的速度；(4)前4 s内物体的位移大小．【解析】(1)由图可知v x0＝3 m/s，v y0＝0所以v0＝3 m/s第 7 页方向沿x轴正方向．(2)由图可知，x方向没有加速度，y方向加速度a y＝0.5 m/s2所以F＝ma y＝1 N.(3)t＝8 s时v x＝3 m/s，v y＝4 m/s所以v＝v2x＋v2y＝5 m/s方向与x轴正方向成53°角．(4)前4 s内x方向位移x＝v x t＝12 m前4 s内y方向位移y＝12at2＝4 m所以位移s＝x2＋y2＝410m.【答案】见解析。
2018版第1章1.1第1课时学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为()A．10B．16C．20 D．24【解析】每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，共有6＋4＝10种不同的选法．【答案】 A2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1轨道上，则5列火车的停车方法共有()A．96种B．24种C．120种D．12种【解析】先排第1轨道，有4种排法，第2,3,4,5轨道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．【答案】 A3．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()A．53种B．35种C．8种D．15种【解析】每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．【答案】 B4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个【解析】要完成这件事可分两步，第一步，确定b(b≠0)有6种方法，第二步，确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．【答案】 C5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有()【导学号：29472003】A．18条B．20条C．25条D．10条【解析】第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．【答案】 A二、填空题6．椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．【解析】因为焦点在y轴上，所以0<m<n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20个．【答案】207．某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．【答案】428．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有________个．【解析】分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．【答案】17三、解答题9．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种)．(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种)．10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．[能力提升]1．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有()【导学号：29472004】A．180种B．360种C．720种D．960种【解析】分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．【答案】 D2．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有_______________个．【解析】圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．【答案】243．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．【解析】不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)．所以共有20＋20＋25＝65(种)．【答案】654．已知a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，求有序数对(a，b)的个数．【解】①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，所以(a，b)的取值有4个．②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.a＝－1时，b的取值有4个；a＝1时，b的取值有3个；a＝2时，b的取值有2个．所以(a，b)的取法有9个．结合①②知，有序数对(a，b)的取法共有4＋9＝13个．。
(江苏专用版)2018_2019学年高中数学全一册学业分层测评(打包13套)苏教版选修4_4
学业分层测评(一) 直角坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．已知点Q (1,2)，求Q 点关于M (3,4)的对称点． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 由题意知，M 是PQ 的中点， 因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋2＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6，∴点P 的坐标为(5,6)．2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为A (3，－1)，B (8,2)，C (4,6)，求△ABC 的面积． 【解】 如图，作直线l ：y ＝－1，过点B 、C 向l 引垂线，垂足分别为B 1、C 1，则△ABC 的面积为S ＝S △AC 1C ＋S 梯形C C 1B 1B －S △AB 1B ＝12×1×7＋12(7＋3)×4－12×5×3＝16.3．已知点P (0,4)，求P 点关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点． 【解】 设P 点关于l 的对称点Q 的坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3·b －4a ＝－1，3×a 2－b ＋42－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b －12＝0，3a －b －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，∴P 点关于直线l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．【导学号：98990002】【解】 如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵AB ＝6，∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，① 又∵AM ∶MB ＝1∶2， ∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为x 2＋4y 2＝16.5．设点P 是矩形ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2. 【证明】 如图，以(矩形的)顶点A 为坐标原点，边AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，并设B (b,0)、D (0，d )，则点C 的坐标为(b ，d )．又设P (x ，y )，则PA 2＋PC 2＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋(y －d )2，PB 2＋PD 2＝(x －b )2＋y 2＋x 2＋(y －d )2.比较两式，可知PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.6．有相距1 400 m 的A 、B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，试求爆炸点所在的曲线．【解】 由题知：爆炸点P 到B 的距离比到A 的距离多340×4＝1 360米． 即PB －PA ＝1 360＜1 400，PB ＞PA .故P 在以A 、B 为焦点的双曲线上，且离A 近的一支．以A 、B 两点所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由题意得，2a ＝1 360,2c ＝1 400，故a ＝680，c ＝700，b 2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为x 2462 400－y 227 600＝1(x ＜0)．7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O 正东方向80海里的B 处，沿东西方向向O 岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】 A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(海里)，OB ＝80(海里)． 我船直行到点C 与不明船只相遇， 设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵两船速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2，即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．[能力提升]8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图412，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)，B (6,0)．图412(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A 、B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵ 点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)，AC ＝25，BC ＝4.所以当航天器离观测点A 、B 的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．学业分层测评(二) 极坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，π)．【解】 各点描点如下图．2．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．【解】 极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)(k ∈Z )，利用此，即可写出其中一个为(3，5π6)．3．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－5π6，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M 的极坐标． 【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，－5π6)与(2，π6)为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为(2，π6)．4．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标是多少？【解】 如右图，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点． 又AB ＝4，△ABC 为正三角形，OC ＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4. 5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为π6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝π6时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝5π6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝7π6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝11π6时，ρ ＝30(万千米)．彗星此时的极坐标有四种情形：(30，π6)，(30，5π6)，(30，7π6)，(30，11π6)．6．已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB的面积．【解】 求两点间的距离可用如下公式：AB＝4＋16－5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 7．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．【导学号：98990005】【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO ′＝23，OP ＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2， ∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为(4，π2)．[能力提升]8．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，π3，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3，且AO ＝BO ，所以△AOB 是等边三角形，AB ＝5， BC ＝ 52＋32－2×5×434π3－π2＝133， AC ＝52＋32－2×5×432π3＋π6＝133，∵AC ＝BC ，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.学业分层测评(三) 球坐标系与柱坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．把下列各点的球坐标化为直角坐标：(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3，π2；(3)P ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π4，2π3. 【解】 (1)设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 在xOy 平面内的射影为M ′，则OM ′＝2 sin π2＝2.于是x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝2cos π2＝0.故点M 的直角坐标为(1，3，0)．(2)x ＝5sin 2π3cos π2＝0，y ＝5sin 2π3sin π2＝523，z ＝5cos2π3＝－52， 点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，523，－52.(3)x ＝9sin 3π4cos 2π3＝－942，y ＝9sin3π4sin 2π3＝946，z ＝9cos 3π4＝－922. ∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－942，946，－922.2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，－2；(2)R ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，4；(3)S ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π4，－3. 【解】 (1)x ＝0，y ＝5， 故点Q 的直角坐标为Q (0,5，－2)．(2)x ＝6cos 2π3＝－3，y ＝6sin 2π3＝33，故点R 的直角坐标为R (－3,33，4)．(3)x ＝8cos 5π4＝－42，y ＝8sin 5π4＝－42，故点S 的直角坐标为S (－42，－42，－3)．3．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的边长为AB ＝14，AD ＝6，AA 1＝10，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．【导学号：98990008】【解】 如图，C 1点的直角坐标(x ，y ，z )分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的柱坐标(ρ，θ，z )分别对应着CA 、∠BAC 、CC 1；C 1点的球坐标(r ，θ，φ)分别对应着AC 1、∠BAC 、∠A 1AC 1.C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为()258，θ，10(其中tan θ＝37)，C 1点的球坐标为(283，φ，θ)(其中cos φ＝58383，tan θ＝37)． 4．在球坐标面内，方程r ＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝π4表示空间中的什么曲面？【解】 方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的圆锥面，中心轴为z 轴． 5．在球坐标系中，求两点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离．【解】 将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标：P ：x ＝3sin π6·cos π4＝324， y ＝3sin π6·sin π4＝324， z ＝3cos π6＝332， ∴P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫324，324，332.Q ：x ＝3sin π6·cos 3π4＝－324， y ＝3sin π6·sin3π4＝324，z ＝3cos π6＝332， ∴Q 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－324，324，332.∴|PQ |＝[342－－3242＋324－3242＋332－3322＝322，即PQ 的距离为322. 6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】 以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在面BCD 上建立极坐标系．过O 点与面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则BA ′＝323×23＝3，AA ′＝32－32＝6，∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A (3，π3，6)，B (0,0,0)，C (3，π6，0)，D (3，π2，0)．7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．【解】 以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．[能力提升]8．如图4110建立球坐标系，正四面体ABCD 的边长为1，求A 、B 、C 、D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．图4110【解】 ∵O 是△BCD 的中心， ∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C (33，π2，0)，D (33，π2，2π3)， B (33，π2，4π3)，A (63，0,0)． 学业分层测评(四) 曲线的极坐标方程的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： (1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x ， 得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0， ∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)ρ＝5cos θ；(2)ρ2＝tan θ.【解】 (1)由ρcos θ＝5，得x ＝5.(2)x 2＋y 2＝y x(x ≠0)，即x (x 2＋y 2)－y ＝0(x ≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x (x 2＋y 2)－y ＝0.3．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(1)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【导学号：98990011】【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R )表示直线y ＝x ；曲线C 1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. (2)因为圆心C 1(3,0)到直线的距离d ＝322，r ＝3，所以弦长AB ＝3 2.4．求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝－2的距离．【解】 A (2，π3)的直角坐标为(1，3)，l ：ρsin(θ－π6)＝－2，ρ(32sin θ－12cos θ)＝－2. 即： x －3y －4＝0.故A (1，3)到l ：x －3y －4＝0的距离为|1－3－4|12＋32＝3.5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1， 即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)∵M 的直角坐标为(2,0)，N 的直角坐标为(0，233)． ∴P 的直角坐标为(1，33)， P 的极坐标为(233，π6)． 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．6．在平面直角坐标系中，已知点A (3,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹方程．【解】 以圆心O 为极点，x 轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q (ρ，θ)，P (1,2θ)． 因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP .即12·3·ρ·sin θ＋12·1·ρ·sin θ ＝12·3·1·sin 2θ. 整理得：ρ＝32cos θ.7．在极坐标系中，圆C ：ρ＝10cos θ和直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【解】 分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2＝25，圆心C (5,0)；直线l ：3x －4y －30＝0，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|15－0－30|5＝3，所以AB ＝225－d 2＝8.[能力提升]8．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．【解】 ∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36. ∴PQ 的最大值为6＋6＋32＋32＝18.学业分层测评(五) 直线和圆的极坐标方程(建议用时：45分钟)[学业达标]1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？【解】 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．【解】 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐标方程分别为x ＋y ＝1和y －x ＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，π2)．3．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离．【解】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.4．已知A 是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，则点A 到直线ρcos θ＝1距离的最大值和最小值分别为多少？【解】 将极坐标方程ρ＝3cos θ转化成直角坐标方程：x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.ρcos θ＝1即x ＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.图4235．如图423，点A 在直线x ＝5上移动，等腰三角形OPA 的顶角∠OPA ＝120°(O 、P 、A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．【解】 取O 为极点，x 轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.设P 、A 的坐标依次为(ρ，θ)，(ρ0，θ0)， 则ρ0＝3ρ，θ0＝θ－30°.代入直线的极坐标方程ρcos θ＝5，得3ρcos(θ－30°)＝5，即为点P 的轨迹方程．6．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝3.(1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．【导学号：98990014】【解】 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35ρ，θ，因为点Q 在圆C 上运动，所以35ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即ρ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.7．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值．【解】 原方程化为ρ2－42ρ(22cos θ＋22sin θ)＋6＝0. 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0 ∴圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0， 圆心M (2,2)，半径为2， ∴ρmax＝OM ＋2＝22＋2＝3 2.[能力提升]8．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解】 在ρsin(θ－π3)＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P (2，π4)，所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.学业分层测评(六) 圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．过椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A 、B 两点，若FA ＝2FB ，求直线l 的斜率．【解】 椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝45，p ＝b 2c ＝94.取椭圆的左焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ＝45×941－45cos θ＝95－4cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是95－4cos θ＝2×95＋4cos θ，解得cos θ＝512，所以tan θ＝1195，即直线l 的斜率为1195.2．已知椭圆方程为ρ＝165－3cos θ，过左焦点引弦AB ，已知AB ＝8，求△AOB 的面积．【解】 如图，设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)．所以ρ1＋ρ2＝165－3cos θ＋165＋3cos θ＝16025－9cos 2θ. 因为AB ＝8， 所以16025－9cos 2θ＝8， 所以cos 2θ＝59，sin θ＝23.由椭圆方程知e ＝c a ＝35，b 2c ＝163，则c ＝3. S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12OF ·ρ1·sin θ＋12OF ·ρ2·sin θ＝8.3．如图424，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦AB 与x 轴斜交，M 为AB 的中点，MN ⊥AB ，并交对称轴于N .图424求证：MN 2＝AF ·BF .【证明】 取F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)，则AF ·BF ＝p1－cos θ·p1＋cos θ＝p 2sin 2θ.不妨设0＜θ＜π2，则MF ＝12(ρ1－ρ2)＝12(p 1－cos θ－p 1＋cos θ)＝p cos θsin 2θ. 所以MN ＝MF ·tan θ ＝p cos θsin 2θtan θ＝psin θ. 所以MN 2＝AF ·BF .4．如图425，已知圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0，抛物线G 的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F ，过圆心且倾斜角为θ的直线l 与抛物线G 、圆F 从上至下顺次交于A 、B 、C 、D 四点．图425(1)当直线的斜率为2时，求AB ＋CD ；(2)当θ为何值时，AB ＋CD 有最小值？并求这个最小值．【解】 圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系．则圆F 的坐标方程为ρ＝2，抛物线G 的极坐标方程为ρ＝41－cos θ.设A (ρ1，θ)、D (ρ2，θ＋π)，所以AB ＝AF －2，CD ＝FD －2，即AB ＋CD ＝AF ＋FD －4＝ρ1＋ρ2－4＝41－cos θ＋41－θ＋π－4＝41－cos θ＋41＋cos θ－4＝81－cos 2θ－4＝8sin 2θ－4. (1)由题意，得tan θ＝2，所以sin 2θ＝45.所以AB ＋CD ＝8sin 2θ－4＝6.(2)AB ＋CD ＝8sin 2θ－4，当sin 2θ＝1，即θ＝π2时△ABF 2的面积取到最小值4.5．已知抛物线ρ＝p1－cos θ，过焦点作互相垂直的极径FA 、FB ，求△FAB 的面积的最小值．【解】 设A (ρ1，θ)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，则 ρ1＝p 1－cos θ，ρ2＝p 1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝p1＋sin θ.△FAB 的面积为S ＝12ρ1ρ2＝12·p 1－cos θ·p1＋sin θ＝p 2－cos θ＋sinθ＝p 2－cos θ＋sin θ－sin θcos θ.设t ＝sin θ－cos θ，则sin θcos θ＝1－t22.所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t －1－t 22＝12(t ＋1)2.又t ＝sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4∈[－2，2]，所以当t ＝2，即θ＝3π4时，△FAB 的面积S 有最小值p 2＋22.6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆短轴的一个顶点，且∠F 1PF 2＝90°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，且△ABF 2的面积的最大值为12，求椭圆C 的方程．【导学号：98990017】【解】 (1)因为∠F 1PF 2＝90°，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即a 2＋a 2＝4c 2.所以e ＝c a ＝22. (2)以椭圆的左焦点F 1为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为ρ＝22p 1－22cos θ＝p2－cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)， 则AB ＝AF ＋FB ＝ρ1＋ρ2 ＝p2－cos θ＋p2－θ＋π＝p2－cos θ＋p2＋cos θ＝22p2－cos 2θ. 因为F 1F 2＝2c ，所以△ABF 2的边AB 上的高h 为2c |sin θ|，△ABF 2的面积S ＝12·AB ·h＝22pc |sin θ|2－cos 2θ＝22pc |sin θ|1＋sin 2θ＝22pc1|sin θ|＋|sin θ|.因为1|sin θ|＋|sin θ|≥2，所以当|sin θ|＝1，即θ＝π2或θ＝3π2时S 取到最大值．所以当l 过左焦点且垂直于极轴时，△ABF 2的面积取到最大值2pc ，所以2pc ＝12，即b 2＝6 2.故a 2－c 2＝6 2.又ca ＝22， 所以a 2＝122，c 2＝6 2. 所求椭圆的方程为 x 2122＋y 262＝1. 7．已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x 12＋y8＝1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】 如图，以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，则： 椭圆的极坐标方程为ρ2＝482cos 2θ＋3sin 2θ， 直线l 的极坐标方程ρ＝242cos θ＋3sin θ.由于点Q 、R 、P 在同一射线上，可设点Q 、R 、P 的极坐标分别为(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依题意，得ρ21＝482cos 2θ＋3sin 2θ，① ρ2＝242cos θ＋3sin θ.②由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρ·ρ2＝ρ21(ρ≠0)． 将①②代入，得ρ·242cos θ＋3sin θ＝482cos 2θ＋3sin 2θ， 则ρ＝4cos θ＋6sin θ2cos 2θ＋3sin 2θ(ρ≠0)． 这就是点Q 的轨迹的极坐标方程， 化为直角坐标方程，得2x 2＋3y 2＝4x ＋6y ， 即x －252＋y －253＝1(x 、y 不同时为0)．∴点Q 的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于x 轴，长、短半轴长分别为102，153的椭圆(去掉坐标原点)．[能力提升]8．建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB |＝2r (r ＞0)，半圆外一条直线l 与AB 所在直线垂直相交于点T ，并且|AT |＝2a (2a ＜r2)．若半圆上相异两点M ，N 到l 的距离|MP |、|NQ |满足|MP |：|MA |＝|NQ |：|NA |＝1，则|MA |＋|NA |＝|AB |.【证明】 法一 以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，则ρ1＝2r cos θ1，ρ2＝2r cos θ2，又|MP|＝2a＋ρ1cos θ1＝2a＋2r cos2θ1，|NQ|＝2a＋ρ2cos θ2＝2a＋2r cos2θ2，∴|MP|＝2a＋2r cos2θ1＝2r cosθ1，|NQ|＝2a＋2r cos2θ2＝2r cos θ2，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，又由题意知，M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)在抛物线ρ＝2a1－cos θ上，∴2r cos θ＝2a1－cos θ，r cos2θ－r cos θ＋a＝0，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，得|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.学业分层测评(七) 平面直角坐标系中的平移变换(建议用时：45分钟)[学业达标]1．已知函数y＝x2图象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求图象F′的函数表达式．【解】在曲线F上任取一点P(x，y)，设F′上的对应点为P′(x′，y′)，则x′＝x－2，y′＝y＋3，∴x＝x′＋2，y＝y′－3.将上式代入方程y＝x2，得：y′－3＝(x′＋2)2，∴y′＝(x′＋2)2＋3，即图象F′的函数表达式为y＝(x＋2)2＋3.2．求椭圆4x2＋9y2＋24x－18y＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】 因椭圆方程可化为x ＋329＋y －24＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为53，准线方程为x ＝－3±955. 3．圆x 2＋y 2＝25按向量a 平移后的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，求过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线按向量a 平移后的方程．【导学号：98990020】【解】 由题意可知a ＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线方程为3x ＋4y ＝25，所以平移后的切线方程为3(x －1)＋4(y ＋2)＝25，即3x ＋4y －20＝0.4．已知两个点P (1,2)、P ′(2,10)和向量a ＝(－3,12)．回答下列问题： (1)把点P 按向量a 平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a 平移得到对应点P ′，求这个点的坐标； (3)点P 按某一向量平移，得到的对应点是P ′，求这个向量的坐标． 【解】 (1)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ＝1，y ＝2，解得x ′＝－2，y ′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ′＝2，y ′＝10，解得x ＝5，y ＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k .由x ＝1，y ＝2，x ′＝2，y ′＝10，解得h ＝1，k ＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y ＝x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y ＝2x －5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(h ，k )，所以y ＝x 2平移后的解析式为y －k ＝(x －h )2，即y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 与直线y ＝2x －5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 在(3,1)处切线的斜率为6－2h ，从而6－2h ＝2，h ＝2.又点(3,1)在y －k ＝(x －h )2上，解得k ＝0，所以向量a 的坐标为(2,0)．6．抛物线y ＝x 2－4x ＋7按向量a 平移后，得到抛物线的方程是y ＝x 2.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标．【解】 抛物线方程可化为y －3＝(x －2)2，平移后的抛物线方程为y ＝x 2，所以a ＝(－2，－3)，因为y ＝x 2的焦点坐标为(0，14)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，14＋3)，即(2，134)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0与4x －3y ＋15＝0，一条准线的方程为y ＝－115，求此双曲线的方程．【解】 两渐近线的交点即双曲线中心，故由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋9＝0，4x －3y ＋15＝0，解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y ＝－115，说明焦点所在的对称轴平行于y 轴，所以可设双曲线方程为y －2a 2－x ＋2b 2＝1，它的渐近线方程可写成y －1a ±x ＋3b＝0①，准线方程为y －1＝±a 2c②，而已知渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0，即4(x ＋3)＋3(y －1)＝0，另一条渐近线方程为4x －3y ＋15＝0，即4(x ＋3)－3(y －1)＝0，合并即为y －14±x ＋33＝0.对照①，得a b ＝43③.而已知准线方程y ＝－115，即y －1＝－165.对照②，得a 2c ＝165④.由③④，解得a ＝4，b ＝3，c ＝5.故所求双曲线方程为y －216－x ＋29＝1.[能力提升]8．已知抛物线y ＝x 2－4x －8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程； (2)将此抛物线按怎样的向量a 平移，能使平移后的方程是y ＝x 2?【解】 (1)将抛物线y ＝x 2－4x －8配方，得y ＝(x －2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P (2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a ＝(1,10)，于是平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋1，y ′＝y ＋10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′－10.因为点(x ，y )在抛物线y ＝x 2－4x －8上，所以y ′－10＝(x ′－1)2－4(x ′－1)－8， 即y ′＝x ′2－6x ′＋7.所以平移后的方程为y ＝x 2－6x ＋7.(2)法一 设平移向量a ＝(h ，k )，则平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k .将其代入y ＝x 2－4x －8，得y ′－k ＝(x ′－h )2－4(x ′－h )－8，化简整理，得y ′＝x ′2－(2h ＋4)x ′＋h 2＋4h ＋k －8.令⎩⎪⎨⎪⎧2h ＋4＝0，h 2＋4h ＋k －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－2，k ＝12，此时y ′＝x ′2.所以当图象按向量a ＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y ＝x 2. 法二 将抛物线y ＝x 2－4x －8，即y ＋12＝(x －2)2平移到y ＝x 2. 只需要作变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y ＋12.所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．学业分层测评(八) 平面直角坐标系中的伸缩变换(建议用时：45分钟)[学业达标]1．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0，所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后，方程x2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即x ′－29＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是x －29＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】 双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y3)2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x 轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)．所以A ′B ′＝kx 1－kx 22＋ky 1－ky 22＝|k |x 1－x 22＋y 1－y 22＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′，S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【导学号：98990023】【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)．P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.[能力提升]8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：学业分层测评(九) 参数方程的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]1．如图442，OB 是机器上的曲柄，长是r ，绕点O 转动，AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA ＝a ，MB ＝b (2r ＜a ＋b )．当点A 在Ox 上做往返运动，点B 绕着O 做圆周运动时，求点M的轨迹方程．图442【解】 如题图，设点M (x ，y )，θ＝∠BAO ，由点B 作BC ⊥Ox ，交Ox 于点C ，由点M作MD ⊥Ox ，交Ox 于点D ，由点M 作ME ⊥BC ，交BC 于点E ，那么y ＝DM ＝a sin θ，x ＝OD ＝OC ＋CD ＝OC ＋EM＝±OB 2－CB 2＋EM ＝±r 2－a ＋b2sin 2θ＋b cos θ，得到点M (x ，y )的坐标满足方程组⎩⎨⎧x ＝b cos θ±r 2－a ＋b 2sin 2θ，y ＝a sin θ，即为点M 的轨迹方程．2．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为9 m/s 和12 m/s ，运动开始时，点M 位于A (1,1)，求点M 的轨迹方程．【解】 设t s 后点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t ≥0)．3．以椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 与椭圆上任意一点连线的斜率k 为参数，将椭圆方程化为参数方程．【导学号：98990028】【解】 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 的坐标为(－2,0)．设P (x ，y )为椭圆上任意一点(除点A )，则点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋2＝k ，x24＋y 2＝1.将y x ＋2＝k 代入x 24＋y 2＝1，消去x ，得(1k 2＋4)y 2－4ky ＝0.解得y ＝0，或y ＝4k1＋4k 2.由y ＝4k1＋4k 2，解得x ＝－4k21＋4k2；由y ＝0，解得x ＝2.由于(2,0)满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k21＋4k2，y ＝4k1＋4k 2，所以椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k21＋4k2，y ＝4k 1＋4k 2.4．△ABC 是圆x 2＋y 2＝1的内接三角形，已知A (1,0)，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心的轨迹方程．【解】 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°. 设B (cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)，则有C (cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ＋θ＋3，y ＝sin θ＋θ＋3.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ－32sin θ3y ＝12sin θ＋32cos θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋θ＋3，y ＝θ＋3.消去θ＋60°，得(3x －1)2＋9y 2＝1， ∵0°＜θ＜240°，∴－1≤cos(θ＋60°)＜12，∴0≤1＋θ＋3＜12， 即0≤x ＜12.∴△ABC 的重心的轨迹方程为(x －13)2＋y 2＝19(0≤x <12)．5．如图443，过抛物线y 2＝4x 上任一点M 作MQ 垂直于准线l ，垂足为Q ，连接OM 和QF (F 为焦点)相交于点P ，当M 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程．图443【解】 设直线OM 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k2，y ＝4k ，所以M (4k 2，4k)，则Q (－1，4k)，于是直线QF 的方程为y ＝4k－1－1(x －1)，即y ＝－2k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－2k x －，消去k ，得2x 2＋y 2－2x ＝0.所以点P 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)．6．如图444所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．图444【解】 设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．7．已知点P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ)＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin(θ＋π3)，∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]．[能力提升]8．如图445，已知曲线4x 2＋9y 2＝36(x ＞0，y ＞0)，点A 在曲线上移动，点C (6,4)，以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 的坐标．图445【解】 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1(x ＞0，y ＞0)，设A (3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，π2)，则B (6,2sin θ)，C (6,4)，D (3cos θ，4)， 所以S ABCD ＝AB ·AD ＝(6－3cos θ)(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ，则t ∈(1，2]，sin θcos θ＝t 2－12，则S ABCD ＝3(t －2)2＋9.因为t ∈(1，2]，所以当t ＝2时，矩形面积最小，即t ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝2，此时，θ＝π4.所以矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标是(322，2)．学业分层测评(十) 参数方程与普通方程的互化(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a ＞b ＞0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p 为正常数)．【解】 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1，这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆．(2)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p2·2p ＝x ，即y 2＝2px ， 这是一条抛物线．2．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，求r 的值．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x－2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝2.3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为普通方程为y ＝－32x ＋72，斜率k 1＝－32，当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k，由k 1k 2＝(－32)×(－4k)＝－1得k ＝－6；当k ＝0时，直线y ＝－32x ＋72与直线4x ＝1不垂直．综上可知，k ＝－6.4．过椭圆x 29＋y 24＝1内一定点P (1,0)作弦，求弦的中点的轨迹．【解】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入方程x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝18k29k 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9k 29k 2＋4，y ＝kx －＝－4k 9k 2＋4，∴x y ＝－94k ， 即k ＝－4x 9y，代入y ＝k (x －1)中，得4x 2＋9y 2－4x ＝0，即x －12214＋y 219＝1.① 当AB ⊥Ox 轴时，线段AB 的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为x －12214＋y 219＝1.点M 的轨迹是以O 、P 为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆． 5．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，α∈R )，点M (5,4)在该曲线上，(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．。
【课堂新坐标】高中物理人教版选修1-1学业分层测评-学业分层测评14【含解析】
学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]1．如图 3-3-8 所示，属于沟通电的是()图 3-3-8【分析】方向随时间做周期性变化是交变电流最重要的特点． A 、B、 D 三项所示的电流大小随时间做周期性变化，但其方向不变，它们所表示的是直流电． C 选项中电流的方向随时间做周期性变化，应选 C.【答案】C2．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，当线圈经过中性面时，以下说法中正确的选项是()【导学号： 33810188】A．穿过线圈的磁通量最大，线圈中的感觉电动势最大B．穿过线圈的磁通量为零，线圈中的感觉电动势最大C．穿过线圈的磁通量最大，线圈中的感觉电动势为零D．穿过线圈的磁通量为零，线圈中的感觉电动势等于零【答案】C3． (多项选择 )如图 3-3-9 中，将电灯与电容器串连接入通有交变电流的电路中，灯泡发光，则 ()【导学号： 33810189】图3-3-9A．自由电荷经过了电容器两极板间的绝缘电介质B．自由电荷没有经过电容器两极板间的绝缘电介质C．接入沟通电源使电容器两极板间的绝缘电介质变为了导体D．电容器交替进行充放电，电路中就有电流，表现为交变电流“经过”了电容器【分析】电容器“通沟通”是因为两极板不停地充放电，进而使电路中有电流，而不是自由电荷经过了两极板间的电介质，因此B、 D 项正确．【答案】BD4．2 A 的直流电流经过电阻R 时，t 时间内产生的热量为Q.现让一正弦式电流经过电阻R，若 2t 时间内产生的热量为Q，则交变电流的最大值为()【导学号： 33810190】A．1A B．2 AC.2A D．2 2A【分析】设交变电流有效值为I，则 I2·R·2t＝ (2A)2·R·t，故 I ＝ 2 A ．交变电流的最大值 I m＝2I ＝ 2 A ．应选项 B 正确．【答案】B5．一只“ 220 V 100 W 的”灯泡接在u＝ 311sin 314t V 的沟通电源上，则以下说法中错误的是()【导学号： 33810191】A．经过灯泡的电流 I ＝0.64 AB．与灯泡串连的电流表示数为I＝0.45 AC．灯泡能正常发光D．与灯泡并联的电压表示数为U＝ 220 V311【分析】该沟通电源的有效值为U＝ U m/ 2＝V≈ 220 V，选项 D 正确；经过灯泡2U220P100的电流为 I ＝R＝2202/100 A≈ 0.45 A ，选项 B 正确；灯泡的额定电流为I＝U＝220A≈ 0.45 A ．与实质电流相等，因此灯泡能正常发光，选项C 正确．【答案】A6．(多项选择 )如图 3-3-10 所示电路， L1和 L2是两个完整同样，标有“6 V 0.1 A ”的灯泡， C 是额定电压 8 V 的电容器， ab 之间接有 6 V 的沟通电源．则 ()【导学号： 33810192】图 3-3-10A．灯泡 L1发光， L 2不发光B．灯泡 L1和 L2都发光C．灯泡 L1和 L2亮度同样D．灯泡 L1比 L2亮一些【分析】沟通能够“经过”电容器，但电容器对沟通有阻挡作用．故B、 D选项正确．【答案】BD()【导学号：33810193】7．以下对“交变电流能够, 经过 ?电容器”的理解正确的选项是A．因为沟通，因此电荷能够从电容器极板间经过B．极板之间的电介质中有电荷经过，连结极板的导线中有电流不停地流动C．连结极板的导线中不停地有电流经过，是因为电容器在频频地充放电D．电容器两极板间有电介质，因此交变电流才能从电容器中经过【分析】电容器的两极板之间是互相绝缘的，无论是恒定电流仍是交变电流，自由电荷都不可以经过两极板之间的绝缘体 (电介质 ) ．往常所说的交变电流“经过”电容器，其实不是自由电荷穿过了电容器，而是在沟通电源作用下，当电压高升时电容器充电，电容器极板上的电荷量增添，形成充电电流；当电压降低时电容器放电，电容器极板上的电荷量减少，形成放电电流，因为电容器频频不停地充电和放电，使电路中有连续的交变电流．【答案】Ct 8．如图3-3-11 中画出了六种电流随时间变化的图象．这六个图中的电流，都随时间做周期性变化，此中属于沟通的是_______，属于正弦式电流的是_______．【导学号：33810194】图 3-3-11【分析】大小和方向随时间作周期性变化的电流为沟通电，b、 d中方向不变不是交流电．【答案】(a)(c)(e)(f) (c)[ 能力提高 ]T时，电流的刹时价为 () 【导学9．已知某沟通电变化规律是 i＝ 10sin ωt A，当 t＝12号： 33810195】A．5A B ．7.07 AC． 8.67 A D．10 A2π2πT2π【分析】将ω＝T代入 i ＝ 10sinωt 得出 i＝ 10sin T t A ，再将 t＝12代入 i＝ 10sin T t A得 i＝ 10sin(2π Tπ1× ) A ＝ 10sin A＝10× A ＝5 A，应选 A. T1262【答案】A10．如图 3-3-12(a)所示的正弦式电流，接入图(b)所示电路的 M、 N 两头．已知图 (b) 电路中的定值电阻R＝ 110Ω，电流表 A 为理想电流表， C 为击穿电压为 250V 的电容器， D 为熔断电流 I 0＝2.5 A 的保险丝．则以下说法中正确的有() 【导学号：33810196】(a)(b)图 3-3-12A．电流表读数为 2.82 AB．若将电容器 C 接到P、 Q两点之间，电容器 C 不会被击穿C．保险丝 D 接入电路中的图示地点，一定会被熔断D．若保险丝不被熔断，在10 个周期内，电阻R 放出的热量为【分析】由题给出的沟通电压的图象可知，该沟通电压的最大值88 JU m＝311 V ，有效值U ＝U m＝ 220 V ，周期T＝0.02 s.2沟通电流表所测得的电流值为有效值，因此电流表读数为I＝ U＝ 220 V ＝2 A ，选项R 110 ΩA错；电容器的击穿电压是指电容器被击穿时电压值的下限．因此与之相对应的应当是沟通电压的最大值，亦即电容器 C 只好接入电压的最大值小于250 V 的沟通电路中，今将其接入P、Q 两点之间会被击穿，选项 B 错；保险丝的熔断是因为电流的热效应所致，熔断电流值指的是电流的有效值，I0＝ 2.5 A>2 A ．因此保险丝 D 不会被熔断，选项 C 错；沟通电的有效值是依据电流的热效应来定义的，因此计算电阻R 上放出的热量则应当用有效值计算，10 个周期内电阻R 上放出热量Q＝ I2Rt ＝22×110 ×10×0.02 J＝ 88 J，选项 D 正确．【答案】 D11．一沟通电流的图象如图3-3-13 ________ A 所示，由图可知，该交变电流刹时价表达式为i ＝________ A10电阻耗费的电功率为________ W.【导学号：33810197】图 3-3-13【分析】要写出正弦电流的表达式，需确立最大值和角速度，由图象可知最大值为10 2 A ．角速度是 200 π，即可写出表达式为i ＝ I m sin 200t，π示数为 I ＝I m＝ 10 A．电功率2为 P＝ I2R′＝ 1 000 W.【答案】10 2sin 200 πt 10 1 00012．一台发电机产生的按正弦规律变化的电动势的峰值为400 V ，线圈匀速转动的角速度为 314 rad/s，试写出电动势刹时价的表达式．假如该发电机与只含电阻的负载构成的闭合电路的总电阻为 2 000 Ω，则电路中电流的峰值为多少？电流的刹时价表达式如何？【导学号： 33810198】【分析】依据电动势刹时价的公式e＝ E m sin ωt，由 E m＝ 400 V ，ω＝ 314 rad/s，因此 e＝ 400sin 314t VE m又因为 I m＝，i＝I m sinωt，R＝ 2 000Ω400因此 I m＝2 000 A ＝ 0.2 Ai＝ 0.2sin 314t A.【答案】e＝ 400sin 314t V0.2 Ai＝ 0.2sin 314t A。
【同步汇编】人教A版2018年高一数学必修2 分层测评与综合测评汇编150页(30份,含解析)
人教A版必修2 分层测评与综合测评汇编目录人教A版必修2学业分层测评1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征含解析人教A版必修2学业分层测评2 旋转体与简单组合体的结构特征含解析人教A版必修2学业分层测评3 中心投影与平行投影空间几何体的三视图含解析人教A版必修2学业分层测评4 空间几何体的直观图含解析人教A版必修2学业分层测评5 柱体、锥体、台体的表面积与体积含解析人教A版必修2学业分层测评6 球的体积和表面积含解析人教A版必修2学业分层测评7 平面含解析人教A版必修2学业分层测评8 空间中直线与直线之间的位置关系含解析人教A版必修2学业分层测评9 空间中直线与平面之间位置关系平面与平面之间位置关系含解析人教A版必修2学业分层测评10 直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定含解析人教A版必修2学业分层测评11 直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质含解析人教A版必修2学业分层测评12 直线与平面垂直的判定含解析人教A版必修2学业分层测评13 平面与平面垂直的判定含解析人教A版必修2学业分层测评14 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质含解析人教A版必修2学业分层测评15 倾斜角与斜率含解析人教A版必修2学业分层测评16 两条直线平行与垂直的判定含解析人教A版必修2学业分层测评17 直线的点斜式方程含解析人教A版必修2学业分层测评18 直线的两点式方程直线的一般式方程含解析人教A版必修2学业分层测评19 两条直线的交点坐标两点间的距离含解析人教A版必修2学业分层测评20 点到直线的距离两条平行直线间的距离含解析人教A版必修2学业分层测评21 圆的标准方程含解析人教A版必修2学业分层测评22 圆的一般方程含解析人教A版必修2学业分层测评23 直线与圆的位置关系含解析人教A版必修2学业分层测评24 圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用含解析人教A版必修2学业分层测评25 空间直角坐标系空间两点间的距离公式含解析人教A版必修2章末综合测评1 含解析人教A版必修2章末综合测评2 含解析人教A版必修2章末综合测评3 含解析人教A版必修2章末综合测评4 含解析人教A版必修2模块综合测评含解析学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列描述中，不是棱柱的结构特征的是()A．有一对面互相平行B．侧面都是四边形C．相邻两个侧面的公共边都互相平行D．所有侧棱都交于一点【解析】由棱柱的结构特征知D错．【答案】 D2．观察如图1-1-8的四个几何体，其中判断不正确的是()图1-1-8A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．【答案】 B3．四棱柱的体对角线的条数为()A．6 B．7C．4 D．3【解析】共有4条体对角线，一个底面上的每个点与另一个底面上的不相邻的点连成一条体对角线．【答案】 C4．(2016·长春高二检测)若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【解析】因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．【答案】 D5．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图1-1-9所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()【导学号：09960004】图1-1-9A．南B．北C．西D．下【解析】将题给图形还原为正方体，并将已知面“上”、“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面，选B.【答案】 B二、填空题6．如图1-1-10所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．图1-1-10【解析】将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.【答案】107．下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．(1)(2)(3)(4)图1-1-11【解析】(2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样．【答案】(2)(3)三、解答题8．如图1-1-12，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB 和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，问：这个空间几何体是什么几何体？【导学号：09960005】图1-1-12【解】折起后是一个三棱锥(如图所示)．9．根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形；(2)由五个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的三角形．【解】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱．(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥．[自我挑战]10．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图1-1-13)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()图1-1-13【解析】两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．【答案】 A11．如图1-1-14所示，已知三棱台ABC-A′B′C′.(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示.【导学号：09960006】图1-1-14【解】(1)如图(1)所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，多面体是B′C′-BCC″B″.(2)如图(2)所示：三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.(1)(2)学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是()①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误．【答案】 B2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥【解析】如图，以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．【答案】 D3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是()A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面．【答案】 D4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱【解析】 一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.【答案】 B5．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图1-1-21所示，则截面可能的图形是( )图1-1-21A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】 C二、填空题6．如图1-1-22是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.【导学号：09960010】图1-1-22【解析】 一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．【答案】 圆柱7．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．【解析】 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13，∴r ＝1.【答案】 1三、解答题8．指出如图1-1-23(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．图1-1-23【解】 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．9．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底半径O 1A ＝2(cm)，下底半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.[自我挑战]10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．0.5【解析】 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.【答案】 B11．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S; 【导学号：09960011】(2)当x 为何值时，S 最大？【解】 (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点； ②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2016·南宁高一期末)下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是( )图1-2-12A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【解析】 ①③的三个三视图都相同，②④的正视图和侧视图相同．故选C.【答案】 C3．(2016·葫芦岛高一期末)一根钢管如图1-2-13所示，则它的三视图为( ) 图1-2-13A B C D【解析】该几何体是由圆柱中挖去一个圆柱形成的几何体，三视图为B.【答案】 B4．(2016·台州高二检测)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图1-2-14所示，则该几何体的侧视图为()【导学号：09960014】图1-2-14A B C D【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D 符合．故选D.【答案】 D5．(2016·安庆高二检测)如图1-2-15，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是()图1-2-15A B C D【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C.光线从前向后照射，得到A.光线从左向右照射得到B.故空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D，故选D.【答案】 D二、填空题6．(2015·肇庆高二检测)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积S的取值范围是________.【导学号：09960015】【解析】正视图的最小面积为正方形ABB1A1的面积，为1，最大面积为矩形ACC1A1的面积，为2，故所求范围为[1，2]．【答案】[1，2]7．(2015·昆明高二检测)如图1-2-16为长方体木块堆积成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成．图1-2-16【解析】该几何体的实物图如图．故此几何体共有4块木块堆成．【答案】 4三、解答题8．画出如图1-2-17所示的几何体的三视图．图1-2-17【解】该几何体的三视图如图所示．9．(2016·潍坊高一检测)已知一个几何体的三视图如图1-2-18，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图．图1-2-18【解】由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的底面相切于长方体的上底面，由此可画出实物草图如图．[自我挑战]10．(2015·济南高一检测)如图1-2-19，E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1、B1C上的动点(不含端点)，则四边形B1FDE的俯视图可能是()【导学号：09960016】图1-2-19【解析】D的投影为D1，E的投影在A1D1上，F的投影在B1C1上，则俯视图可能为B.【答案】 B11．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图1-2-20所示，试据图回答下列问题：图1-2-20(1)该物体有多少层？(2)该物体的最高部分位于哪里？(3)该物体一共由几个小正方体构成？【解】(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个，该物体一共由7个小正方体构成.学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x 轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.【答案】 C2．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【解析】只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.【答案】 A3．如图1-2-30为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()【导学号：09960020】图1-2-30A B C D【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．【答案】 C4．(2015·江西师大附中高一检测)已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1-2-31所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC中∠ABC的大小是()图1-2-31A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝3，AO⊥BC，∴AB＝AC＝12＋(3)2＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.【答案】 C5．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()【解析】根据斜二测画法知在A，B，D中，正三角形的顶点A，B 都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等．【答案】 C二、填空题6．如图1-2-32所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．图1-2-32【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin 45°＝2 2.【答案】 227．(2015·雅安高二检测)如图1-2-33所示，斜二测画法得到直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．【导学号：09960021】图1-2-33【解析】 在梯形A ′B ′C ′D ′中，B ′C ′＝A ′D ′＋2·A ′B ′cos 45°＝1＋2，则原平面图形是上底为1，下底为1＋2，高为2的直角梯形，其面积S ＝12(1＋1＋2)×2＝2＋ 2.【答案】 2＋ 2三、解答题8．如图1-2-34，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．图1-2-34【解】 画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；① ②(2)在图①中，过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，在图②中，在x 轴上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，并使DB ＝2D ′B ′.(3)连接AB ，BC ，则△ABC 即为△A ′B ′C ′原来的图形，如图②.9．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正六棱锥的直观图．【解】 (1)先画出边长为3 cm 的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O ′建立z ′轴，在z ′轴上截取O ′V ′＝3 cm ，如图②所示；(3)连接V ′A ′、V ′B ′、V ′C ′、V ′D ′、V ′E ′、V ′F ′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．[自我挑战]10．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图1-2-35所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )【导学号：09960022】图1-2-35 A.732 B.73 C ．5 D.52【解析】 由斜二测画法规则知△ABC 是∠ACB 为直角的三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，AB ＝73，所以AB 边上的中线长为732.【答案】 A11．(2015·咸阳高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图1-2-36所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，求原平面图形的面积．图1-2-36【解】 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴四边形ADCE 是矩形， ∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO ′的侧面积是( )A ．54πB ．8πC ．4πD ．16π【解析】 S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝π(7＋2)×6＝54π.【答案】 A2．(2015·烟台高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【解析】 设轴截面正方形的边长为a ，由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2.又∵S 侧＝4π，∴a ＝2.∴V 圆柱＝π×2＝2π.【答案】 B3．如图1-3-7，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )图1-3-7【解析】 由三视图的概念可知，此几何体高为1，其体积V ＝Sh ＝S ＝12，即底面积S ＝12，结合选项可知，俯视图为三角形．【答案】 C4．(2016·天津高一检测)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1-3-8所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是( )图1-3-8A ．45，8B ．45，83 C ．4(5＋1)，83D ．8,8【解析】 由题图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，V ＝13×2×2×2＝83，侧面三角形的高h ＝22＋12＝5，S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝4 5.【答案】 B 5．(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图1-3-9所示，则该四面体的表面积是( )图1-3-9A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2【解析】根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD ⊥底面BCD ，另两个侧面ABC ，ACD 为等边三角形，则有S 表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3.故选B.【答案】 B 二、填空题6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.【导学号：09960026】【解析】 棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2)． 【答案】 72 7．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图1-3-10所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图1-3-10【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.【答案】 83π 三、解答题8．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1-3-11所示，AA 1＝3.(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．图1-3-11【解】 (1)直观图如图所示．(2)由题意可知，S △ABC ＝12×3×332＝934.S 侧＝3×AC ×AA 1＝3×3×3＝27.故这个三棱柱的表面积为27＋2×934＝27＋932.这个三棱柱的体积为934×3＝2734.9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【导学号：09960027】【解】 如图所示，作轴截面A 1ABB 1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r 、R ，l ，高为h .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3.又∵∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1Dtan 60°，即R －r ＝3×33，∴R －r ＝ 3. 又∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°. ∴BD ＝A 1D ·tan 60°，即R ＋r ＝3×3，∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3，∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2) ＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2] ＝21π.所以圆台的体积为21π.[自我挑战]10．(2016·蚌埠市高二检测)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.【导学号：09960028】【解析】 因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝120×π×22360＝43π， 设圆锥的底面圆的半径为r ，因为扇形的弧长为2π3×2＝43π，所以2πr ＝43π，所以r ＝23，所以底面圆的面积为49π.所以圆锥的表面积为169π.【答案】 169π11．若E ，F 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A -BEFC 的体积．【解】 如图所示，连接AB 1，AC 1. ∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A -BEFC 的高与四棱锥A -B 1EFC 1的高相等，∴V A -BEFC ＝VA -B 1EFC 1＝12VA -BB 1C 1C ， 又VA -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ， VABC -A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ，∴VA -A 1B 1C 1＝m3，∴VA -BB 1C 1C ＝VABC -A 1B 1C 1－VA -A 1B 1C 1＝23m ，∴V A -BEFC ＝12×23m ＝m3. 即四棱锥A -BEFC 的体积是m3.学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3 C ．43π D ．323π【解析】 设正方体边长为a ，由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π. 【答案】 C2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3 D.8∶27【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27，∴r ∶R ＝2∶3，∴S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9. 【答案】 B3．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h 2B.r 2h 4C.3r 2h 4D.r 2h2【解析】 ∵13πr 2h ＝43πR 3，∴R ＝3r 2h 4. 【答案】 C4．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )【导学号：09960032】A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.41613π3cm 3 【解析】 根据球的截面性质，有R ＝r 2＋d 2＝32＋42＝5，∴V 球＝43πR 3＝5003π(cm 3)．【答案】 C5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球<S 圆柱<S 正方体B ．S 正方体<S 球<S 圆柱C ．S 圆柱<S 球<S 正方体D ．S 球<S 正方体<S 圆柱 【解析】 设等边圆柱底面圆半径为r ， 球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 3＝32，⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 3＝2π，S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 2＝323<1， S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 2＝34π>1，故选A. 【答案】 A 二、填空题6．一个几何体的三视图(单位：m)如图1-3-16所示，则该几何体的体积为________m 3.图1-3-16【解析】 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32； 上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323×2＋1×3×6＝9π＋18.【答案】 9π＋18 7．(2016·河源高二检测)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 6 cm ，深为 1 cm 的空穴，则该球半径是________cm ，表面积是________cm 2.【导学号：09960033】【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝R －1，则(R－1)2＋32＝R2，解得R＝5 cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．【答案】 5 100π三、解答题8．如图1-3-17，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径．图1-3-17【解】设球的半径为R，由题意可得43πR3＝π×32×0.5，解得R＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.9．(2016·大同高二检测)如图1-3-18所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．图1-3-18【解】12S球＝12×4π×22＝8π(cm2)，S圆台侧＝π(2＋5)(5－2)2＋42＝35π(cm2)，S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，即该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．又V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)，V 半球＝12×4π3×23＝16π3(cm 3)． 所以该几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π3(cm 3)．[自我挑战]10．一块石材表示的几何体的三视图如图1-3-19所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-3-19A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.因此选B.【答案】 B 11．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.【导学号：09960034】【解】 如图所示，作出轴截面，因为△ABC 是正三角形，所以CD ＝12AC ＝2，所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23， 因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ，所以OE AO ＝CD AC .设OE ＝R ，则AO ＝23－R ，所以R 23－R ＝12，所以R ＝233.所以V 球＝43πR 3＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2333＝323π27. 所以球的体积等于323π27.学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·郑州高一检测)给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．【答案】 A2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合【解析】选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．【答案】 C3．(2016·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面()【导学号：09960046】A．只有一个B．可作两个C．可作无数多个D．只有一个或有无数多个【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.【答案】 D4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线【解析】如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．(1)(2)【答案】 B5．如图2-1-7，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l ＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()图2-1-7A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D【解析】根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.【答案】 D二、填空题6．如图2-1-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：图2-1-8(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．【答案】(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．。
2018版 第2章 学业分层测评12
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是________．(填序号)①频率分布折线图与总体密度曲线无关；②频率分布折线图就是总体密度曲线；③样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线；④如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线．【解析】由总体密度曲线定义知④正确．【答案】④2．为了解高二年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，所得结果如下：(单位：cm)149159142160156163145150148151156144148149153143168168152155在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4 cm，那么组数为________．【解析】极大值为168，极小值为142，极差为168－142＝26，根据组距＝极差组数，知组数为7.【答案】73．一个容量为40的样本数据，分组后，组距与频数如下：[5,10)5个；[10,15)14个；[15,20)9个；[20,25)5个；[25,30)4个；[30,35]3个．则样本在区间[20，＋∞)上的频率为________．【解析】 由题意知在区间[20，＋∞)上的样本数为5＋4＋3＝12个，故所求频率为1240＝0.3.【答案】 0.34．如图2-2-5是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据填空．图2-2-5(1)样本数据在范围[6,10)内的频率为________；(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________．【解析】 (1)样本数据在[6,10)内频率为0.08×4＝0.32.(2)在[10,14)内的频数为0.09×4×100＝36.【答案】 (1)0.32 (2)365．在样本频率分布直方图中，共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积的和的14，且样本容量为100，则中间一组的频数为________．【解析】 设中间一个小矩形的面积为x ，由题意得x 1－x＝14，解得x ＝15，故中间一组的频数为100×15＝20.【答案】 206．为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图2-2-6.根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是________．。
2018版高中数学人教A版 选修1-1学业分层测评章末综合
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( ) A.x ＝132 B.y ＝2 C.y ＝132D.y ＝－2【解析】 将y ＝－18x 2化为标准形式为x 2＝－8y ，故准线方程为y ＝2. 【答案】 B2.下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) 【导学号：97792119】 A.x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 2－y22＝1D.x 22－y 2＝1【解析】 法一 由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y2＝±x ，所以双曲线的标准方程可以为x 2－y 24＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 24－x 2＝1，舍去.法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.【答案】 A3.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43， ∴b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53. 【答案】 D4.抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )【导学号：97792120】A.(1,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C.(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 【解析】 ∵y 2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，∴关于直线y ＝x 对称后抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1D.3x 25－3y 220＝1【解析】 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.【答案】 A6.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A.23pB.43pC.63pD.83p【解析】 设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx ＝30°，则OA 的方程为y ＝33x .由⎩⎨⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得y ＝23p ，∴△AOB的边长为43p .【答案】 B7.已知| A B →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点， O P →＝13 O A →＋23 O B →，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1D.x 2＋y 29＝1【解析】 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|A B →|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.【答案】 A8.AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦F 1为一个焦点，则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距)( )A.acB.abC.bcD.b 2【解析】 △ABF 1的面积为c ·|y A |，因此当|y A |最大， 即|y A |＝b 时，面积最大.故选C. 【答案】 C9.若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A.7B.72C.74D.752【解析】 |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6， 则|AF 2|＝6－|AF 1|，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，即(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， 解得|AF 1|＝72，所以S ＝12×72×22×22＝72. 【答案】 B10.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点.若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.±12 B.±22 C.±1D.±2【解析】 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1. 【答案】 C11.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AF |＝3，则△AOB 的面积是( )A.3 2B.2 2C. 2D.322【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1).联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝322. 【答案】 D12.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【解析】 如图所示，设OE 的中点为N ，在△AOE 中，∵MF ∥OE ， ∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a . ①在△MFB 中，∵ON ∥MF ， ∴|ON ||MF |＝|BO ||BF |＝aa ＋c ＝12|OE ||MF |，∴2a a ＋c ＝|OE ||MF |，即|MF ||OE |＝a ＋c 2a . ② 由①②可得a －c a ＝a ＋c2a ，解得a ＝3c ， 从而得e ＝c a ＝13. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.【解析】 由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b >0，所以b ＝ 3.【答案】314.设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________.【解析】 由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y ). 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2. 【答案】215.已知圆锥曲线x 24＋y 2m ＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________.【解析】 曲线方程可化为x 24－y 2－m ＝1，因为m ∈[－2，－1]，所以曲线表示双曲线，∴e ＝4－m 2，由m 的取值范围得52≤e ≤62.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，6216.已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为x 24－y 2＝1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为________.【解析】 因为C 1的方程为x 24－y 2＝1，所以C 1的一条渐近线的斜率k 1＝12，所以C 2的一条渐近线的斜率k 2＝1，因为双曲线C 1、C 2的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 所以a ＝b ＝2，所以C 2的方程为x 24－y 24＝1. 【答案】 x 24－y 24＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，点P (3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程.【解】 由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1，双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1(b >0).点P (3,4)在椭圆上，则16a 2＋9a 2－25＝1，得a 2＝40，双曲线过点P (3,4)的渐近线方程为y ＝b 25－b 2x ，即4＝b 25－b2×3，得b 2＝16.所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1，双曲线方程为y 216－x 29＝1.18.(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点， (1)若|AB |＝10，求m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求m 的值. 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， (1)⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x⇒x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0 ⇒⎩⎨⎧Δ＝(2m －8)2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.|AB |＝2|x 1－x 2|＝ 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10，得m ＝716，∵m ＜2，∴m ＝716. (2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0， 2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0， m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8. 经检验m ＝－8.19.(本小题满分12分)已知双曲线过点P ()－32，4，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值.【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1. ∵双曲线过点P (－32，4)， ∴18a 2－16b 2＝1. ① 又b a ＝43，②由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1. (2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d2＝(d 1－d 2)2＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.20.(本小题满分12分)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .【导学号：97792121】【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2). 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .21.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线F A 的距离为22b .(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标.【解】 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及b ＝1－e 2a ，得直线F A 的方程为x －ae ＋y 1－e 2a＝1，即1－e 2x －ey ＋ae 1－e 2＝0. 因为原点O 到直线F A 的距离为 22b ＝ae 1－e 2， 所以221－e 2·a ＝ae 1－e 2， 解得e ＝22.(2)设椭圆C 的左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋22a＝12，2·x 0－22a2＋y 02＝0，解得x 0＝3210a ，y 0＝225a .因为P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3210a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫225a 2＝4.所以a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4.故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. 22.(本小题满分12分)如图1，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.图1(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.【导学号：97792122】【解】 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得p 2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t ，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t . 设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2t t 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m＝2t2t2－1＝2＋2t2－1，所以m<0或m>2.经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).。
【同步汇编】人教A版2018年高一数学必修1分层测评与综合测评 汇编170页(26份,含解析)
人教A版2018年高一数学必修1分层测评与综合测评汇编目录2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评1 集合的含义Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评2 集合的表示Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评3 集合间的基本关系Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评4 并集、交集Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评5 补集及综合应用Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评6 函数的概念Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评7 函数的表示法Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评8 分段函数及映射Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评9 函数的单调性Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评10 函数的最大（小）值Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评11 奇偶性Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评12 指数与指数幂的运算Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评13 指数函数的图象及性质Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评14 指数函数及其性质的应用Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评15 对数的运算Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评16 对数函数的图象及性质Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评17 对数函数及其性质的应用Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评18 幂函数Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评19 方程的根与函数的零点Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评20 用二分法求方程的近似解Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评21 几类不同增长的函数模型Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1学业分层测评22 函数模型的应用实例Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1章末综合测评1 Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1章末综合测评2 Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1章末综合测评3 Word版含解析2018年高一数学人教A版必修1模块综合测评Word版含解析学业分层测评(一)集合的含义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列对象能构成集合的是()①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员，②所有的钝角三角形，③2015年诺贝尔经济学奖得主，④大于等于0的整数，⑤莘县第一中学所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．【答案】 D2．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.【答案】 D3．下面有三个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a∉N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以①错；对于②，取a＝2，则－2∉N，2∉N，所以②错；对于③，a＝0，b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错．【答案】 A4．下列正确的命题的个数有()①1∈N；②2∈N*；③12∈Q；④2＋2∉R；⑤42∉Z.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确；∵2不是正整数，∴2∉N *，故②不正确；∵12是有理数，∴12∈Q ，故③正确；∵2＋2是实数，∴2＋2∈R ，所以④不正确； ∵42＝2是整数，∴42∈Z ，故⑤不正确．【答案】 B5．给出下列说法，其中正确的个数为( )(1)由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，12这些数组成的集合有5个元素； (2)方程(x －3)(x －2)2＝0的解组成的集合有3个元素；(3)由一条边为2，一个内角为30°的等腰三角形组成的集合中含有4个元素．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任意两个元素都是不同的，而32与64相同，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12与12相同，故这些数组成的集合只有3个元素．(2)不正确．方程(x －3)(x －2)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝2，因此写入集合时只有3和2两个元素．(3)正确．若2为底边长，则30°角可以是顶角或底角；若2为腰长，则30°角也可以是顶角或底角，故集合中有4个元素．【答案】 B二、填空题6．由m －1,3m ，m 2－1组成的三元素集合中含有－1，则m 的值是________. 【导学号：97030003】【解析】 当m ＝0时，三个数分别为－1,0，－1，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当m ＝－13时，三个数分别为－43，－1，－89，符合题意，即m 只能取－13.【答案】－1 37．设集合A是由1，k2为元素组成的集合，则实数k的取值范围是________．【解析】∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的性质可知k2≠1，解得k≠±1. 【答案】k≠±18．由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中最多含有________个元素．【解析】由于|t|至少与t和－t中的一个相等，故集合M中至多有4个元素．当t＝－2时，t，－t，t2，t3互不相同，此时集合M中元素最多，为4个．【答案】 4三、解答题9．设非空数集A满足以下条件：若a∈A，则11－a∈A，且1∉A.(1)若2∈A，你还能求出A中哪些元素？(2)“3∈A”和“4∈A”能否同时成立？【解】(1)若2∈A，则11－2＝－1∈A，于是11－(－1)＝12∈A，而11－12＝2.所以集合A中还有－1，12这两个元素．(2)若“3∈A”和“4∈A”能同时成立，则11－a＝3且11－a＝4，由11－a＝3解得a＝23，由11－a＝4解得a＝34，矛盾，所以“3∈A”和“4∈A”不能同时成立．10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【导学号：97030004】【解】∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．[能力提升]1．集合A含有两个元素a－3和2a－1，则实数a的取值范围是________．【解析】由集合中元素的互异性，可得a－3≠2a－1，所以a≠－2.即实数a的取值范围为a≠－2.【答案】a≠－22．设P、Q是两个数集，P中含有0,2两个元素，Q中含有1,2两个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．【解析】由于a∈P，a＝0或2，b∈Q，b＝1或2，因此a＋b的值为1,2,3,4，共4个．【答案】 43．集合A中的元素y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．【解析】依题意A＝{y∈N|y＝－x2＋1}＝{y∈N|y≤1}＝{0,1}．又t∈A，∴t＝0或1.【答案】0或14．若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断32－9是否是集合A 中的元素．【解】∵32－9＝－9＋32＝3×(－3)＋2×3.令a＝－3，b＝3，则－3∈Z,3∈Z.∴32－9是集合A中的元素．学业分层测评(二)集合的表示(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为()A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}【解析】解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．【答案】 D2．(2016·石家庄高一检测)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为()A．4 B．5C．6 D．7【解析】由题意，B＝{2,3,4,5,6,8}，共有6个元素，故选C.【答案】 C3．(2016·漳州高一检测)下列各组两个集合M和N表示同一集合的是()A．M＝{π}，N＝{3.141 59}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{x|x2＋1＝0}，N＝∅【解析】对于A，∵π≠3.141 59，∴{π}≠{3.141 59}．对于B，前者包含2个元素，而后者只含一个元素，是个点．对于C，前者是直线x＋y＝1上点的集合，而后者是函数y＝－x＋1的值域．对于D，∵x2＋1＝0无解，∴{x|x2＋1＝0}＝∅，故选D.【答案】 D4．(2016·贵阳高一检测)设集合A＝{－2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为() 【导学号：97030008】A．1 B．2C．3 D．4【解析】若x∈B，则－x∈A，∴x的可能取值为：2,0，－1，－3，当2∈B时，则1－2＝－1∉A，∴2∈B；当0∈B时，则1－0∈A，∴0∉B；当－1∈B时，则1－(－1)＝2∉A，∴－1∈B；当－3∈B时，则1－(－3)＝4∉A，∴－3∈B.综上，B＝{－3，－1,2}，所以集合B含有的元素个数为3，故选C.【答案】 C5．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则()A．5<x<6 B．5≤x<6C．5<x≤6 D．5≤x≤6【解析】因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，可得5<k≤6，故选C.【答案】 C二、填空题6．已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B应为________．【解析】(－1)2＝12＝1，(－2)2＝22＝4,02＝0，所以B＝{0,1,4}．【答案】{0,1,4}7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.【解析】把x＝1代入方程x2＋2x＋a＝0可得a＝－3，解方程x2＋2x－3＝0可得A＝{－3,1}．【答案】{－3,1}8．(2016·松原高一检测)若2∉{x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________．【解析】由题意，{x|x－a＜0}＝{x|x＜a}，∵2∉{x|x－a＜0}，∴a≤2，∴实数a 的取值集合是{a|a≤2}．【答案】{a|a≤2}三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(4)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．【解】(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y ＝－3，所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)集合的代表元素是数，用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1 000}．(3)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．(4)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．10．(2016·宁德高一检测)若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值．【解】∵－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，又a2＋1≥1，∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，解得a＝0，或a＝－1，当a＝0时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－3，－1,1}，满足集合三要素；当a＝－1时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－4，－3,2}，满足集合三要素；∴a＝0或－1.[能力提升]1．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，C＝{z|z＝xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为()A．3 B．4C．11 D．12【解析】C＝{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}，故选C.【答案】 C2．已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为()A．2 B．－2C．0 D. 2【解析】若k2－2＝2，得k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，得k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，得k＝±3，显然满足条件；若k2－2＝4，得k＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B中的元素之和为－2，则选B.【答案】 B3．已知集合M ＝{a,2,3＋a }，集合N ＝{3,2，a 2}，若M ＝N ，则a ＝( )A ．1B ．3C ．0D ．0或1【解析】 因为集合M 与集合N 相等．所以⎩⎨⎧ a ＝33＋a ＝a 2或⎩⎨⎧a ＝a 23＋a ＝3， 对于⎩⎨⎧ a ＝33＋a ＝a 2，无解； 对于⎩⎨⎧a ＝a 23＋a ＝3， 解得a ＝0，综上可知a ＝0.【答案】 C4．设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N ， (1)试判断元素1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B . 【导学号：97030009】【解】 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，所以1∈B,2∉B . (2)令x ＝0,1,4代入62＋x∈N 检验，可得B ＝{0,1,4}.学业分层测评(三) 集合间的基本关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·漳州高一检测)已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则有( )A ．1∉AB ．0⊆AC ．∅⊆AD ．{0}⊆A【解析】 由已知，A ＝{1，－1}，所以选项A ，B ，D 都错误，因为∅是任何非空集合的真子集，所以C 正确．【答案】 C2．(2016·普洱高一检测)已知集合N ＝{1,3,5}，则集合N 的真子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 ∵集合N ＝{1,3,5}，∴集合N 的真子集个数是23－1＝7个，故选C.【答案】 C3．集合A ＝{2，－1}，B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m ＝( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．4【解析】 ∵A ＝B ，∴m 2－m ＝2，即m 2－m －2＝0，∴m ＝2或－1.【答案】 C4．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1【解析】 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.【答案】 D5．(2016·南阳高一检测)集合M ＝x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋13，k ∈Z ，N ＝x ⎪⎪⎪x ＝k ＋13，k ∈Z ，则( )【导学号：97030012】A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ∅【解析】 ∵M 中：x ＝k 2＋13＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋13，k ＝2n ，n ∈Z n ＋56，k ＝2n ＋1，n ∈Z .N 中：x ＝k ＋13＝n ＋13，k ＝n ∈Z ，∴N ⊆M . 【答案】 C 二、填空题 6．设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，则a ＋2b ＝________.【解析】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，而a ≠0，∴a ＋b ＝0，ba ＝－1，从而b ＝1，a ＝－1，可得a ＋2b ＝1. 【答案】 17．已知集合A ＝{x |1＜x －1≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.【解析】 ∵A ＝(2,5]，A ⊆B ，∴5＜a ，又a ∈(c ，＋∞)，∴c ＝5. 【答案】 58．(2016·保定高一检测)设集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，则满足B ⊆A 的实数m 的取值集合为________．【解析】 ∵A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，又∵B ⊆A ，当m ＝0，mx ＋1＝0无解，故B ＝∅，满足条件，若B ≠∅，则B ＝{－3}，或B ＝{2}，即m ＝13，或m ＝－12，故满足条件的实数m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12三、解答题9．(2016·菏泽高一检测)已知A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |x ＜a }． (1)若B ⊆A ，求a 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求a 的取值范围．【解】 (1)因为B ⊆A ，B 是A 的子集，由图(1)得a ≤3.(1)(2)因为A ⊆B ，A 是B 的子集，由图(2)得a ≥3.(2)10．已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解】 A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}， ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}． (1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根， 则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0. ∴a <－1. (2)当B ＝{0}时， 有⎩⎨⎧Δ＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. (3)当B ＝{－4}时，有 ⎩⎨⎧Δ＝0a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1. 综上所述，a ＝1或a ≤－1.[能力提升]1．(2016·石家庄高一检测)已知集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4}，则集合A的个数为()A．8 B．2C．3 D．4【解析】由题意，集合A可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D.【答案】 D2．(2016·达州高一检测)下列四个集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3}B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0}D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}【解析】根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A，x＝0；对于选项B，(0,0)是集合中的元素；对于选项C，由于x＝0成立；对于选项D，方程无解．故选D.【答案】 D3．(2016·衡水高一检测)若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足1a＋1b＝2c，则称a、b、c是调和的；若满足a＋c＝2b，则称a、b、c是等差的．若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”．若集合M＝{x||x|≤2 016，x∈Z}，集合P＝{a，b，c}⊆M.则：(1)“好集”P中的元素最大值为__________________；(2)“好集”P的个数为______________________．【解析】(1)∵1a＋1b＝2c，且a＋c＝2b，∴(a－b)(a＋2b)＝0，∴a＝b(舍)，或a＝－2b，∴c＝4b，令－2 016≤4b≤2 016，得－504≤b≤504，∴P中最大元素为4b＝4×504＝2 016.(2)由(1)知P＝{－2b，b,4b}且－504≤b≤504，∴“好集”P的个数为2×504＝1 008.【答案】(1)2 016(2)1 0084．已知集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|m－2＜x＜2m－3}，且B⊆A，求实数m的取值范围．【导学号：97030013】【解】∵集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|m－2＜x＜2m－3}，且B⊆A，∴当B ≠∅时，应有⎩⎨⎧m －2≥－32m －3≤5m －2<2m －3，解得1＜m ≤4.当B ＝∅时，应有m －2≥2m －3，解得m ≤1. 综上可得，实数m 的取值范围为(－∞，4].学业分层测评(四)并集、交集(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·湛江高一检测)设集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，则集合A∪B＝() A．{1,3,1,2,4,5} B．{1}C．{1,2,3,4,5} D．{2,3,4,5}【解析】∵集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，∴集合A∪B＝{1,2,3,4,5}．故选C.【答案】 C2．(2016·中山高一检测)已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，那么A∩B 等于()A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}C．{2,3,4} D．{x∈R|1＜x≤5}【解析】∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，∴A∩B＝{x∈R|1＜x≤5}，故选D.【答案】 D3．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1 B．3C．4 D．8【解析】A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A＝{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22＝4个．故选C.【答案】 C4．(2016·保定高一检测)设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是() 【导学号：97030016】A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵A＝{1,4，x}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4，∵A∪B＝{1,4，x}，∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2，满足条件的实数x有0,2，－2，共3个，故选C.【答案】 C5．(2016·东城高一检测)已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝()A．{0，x,1,2} B．{2,0,1,2}C．{0,1,2} D．不能确定【解析】∵M∩N＝{2}，∴2∈M，而M＝{0，x}，则x＝2，∴M＝{0,2}，∴M∪N＝{0,1,2}，故选C.【答案】 C二、填空题6．某校高一某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数为________人．【解析】如图，设两门都得优的人数是x，则依题意得20－x＋(15－x)＋x＋20＝45，整理，得－x＋55＝45，解得x＝10，即两门都得优的人数是10人．【答案】107．(2016·廊坊高一检测)若集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．【解析】A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠∅，得a≥－1.【答案】a≥－18．(2016·达州高一检测)已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，若A∩B ＝B，则a的值为________．【解析】由题意得，当a＝1时，方程x2－ax＋1＝0即x2－x＋1＝0无解，集合B ＝∅，满足题意；当a＝2时，方程x2－ax＋1＝0即x2－2x＋1＝0有两个相等的实根1，集合B＝{1}，满足题意；当a ＝3时，方程x 2－ax ＋1＝0即x 2－3x ＋1＝0有两个不相等的实根3＋52，3－52，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3＋52，3－52，不满足题意．综上可知，a 的值为1或2.【答案】 1或2 三、解答题9．(2016·滁州高一检测)设A ＝{x |x 2＋ax ＋12＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2b ＝0}，A ∩B ＝{2}，C ＝{2，－3}，(1)求a ，b 的值及A ，B ； (2)求(A ∪B )∩C .【解】 (1)∵A ∩B ＝{2}，∴4＋2a ＋12＝0，即a ＝－8,4＋6＋2b ＝0，即b ＝－5， ∴A ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}＝{2,6}，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{2，－5}． (2)∵A ∪B ＝{－5,2,6}，C ＝{2，－3}，∴(A ∪B )∩C ＝{2}．10．已知集合A ＝{x |a －1＜x ＜2a ＋1}，B ＝{x |0＜x ＜1}. 【导学号：97030017】 (1)若a ＝12，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2，B ＝{x |0＜x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}．(2)若A ∩B ＝∅，当A ＝∅时，有a －1≥2a ＋1，∴a ≤－2. 当A ≠∅时，有⎩⎨⎧a －1<2a ＋12a ＋1≤0或a －1≥1，∴－2＜a ≤－12或a ≥2. 综上可得，a ≤－12或a ≥2.[能力提升]1．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．若A ∩B ＝B ，则实数a 组成的集合C 中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 当a ＝0时，由题意B ＝∅，又A ＝{3,5}，B ⊆A ，当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，又A ＝{3,5}，B ⊆A ，此时1a ＝3或5，则有a ＝13或a ＝15，故C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 【答案】 D 2．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32＝12，B ＝{t |t 2＋2(a ＋1)t ＋(a 2－5)＝0}．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |a ≤－2}B ．{a |a ≤－3}C ．{a |a ≤－4}D ．{a |a ≤－1}【解析】 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32＝12＝{1,2}，B ＝{t |t 2＋2(a ＋1)t ＋(a 2－5)＝0}．由A ∩B ＝B ，得B ⊆A .当4(a ＋1)2－4(a 2－5)＜0，即a ＜－3时，B ＝∅，符合题意；当4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝0，即a ＝－3时，B ＝{t |t 2－4t ＋4＝0}＝{2}，符合题意； 当4(a ＋1)2－4(a 2－5)＞0，即a ＞－3时，要使B ⊆A ，则B ＝A ， 即⎩⎨⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5，此方程组无解．∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－3}． 【答案】 B3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) 【导学号：97030018】A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}， ∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4. 【答案】 D4．(2016·郑州高一检测)设集合A ＝{x |－1＜x ＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－5<x <32，C ＝{x |1－2a ＜x ＜2a }．(1)若C ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若C ≠∅且C ⊆(A ∩B )，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵C ＝{x |1－2a ＜x ＜2a }＝∅， ∴1－2a ≥2a ，∴a ≤14，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.(2)∵C ＝{x |1－2a ＜x ＜2a }≠∅，∴1－2a ＜2a ，即a >14.∵A ＝{x |－1＜x ＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－5<x <32， ∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32， ∵C ⊆(A ∩B )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≥－12a ≤32a >14，解得14<a ≤34，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤14，34.学业分层测评(五)补集及综合应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有()A．3个B．5个C．7个D．8个【解析】A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.【答案】 C2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．【答案】 D3．(2015·天津高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}【解析】由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．【答案】 A4．(2016·中山高一检测)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图1-1-2中的阴影部分表示的集合为()图1-1-2A．{2} B．{4,6}C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}【解析】全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，∵∁U A＝{4,6,7,8}，∴(∁U A)∩B＝{4,6}．故选B.【答案】 B5．(2016·南阳高一检测)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是() 【导学号：97030023】A．a≤2 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2【解析】∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}，因为A∪∁R B＝R，所以a≥2，故选C.【答案】 C二、填空题6．(2016·杭州模拟)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝________.【解析】∵集合S＝{x|x>－2}，∴∁R S＝{x|x≤－2}，由x2＋3x－4≤0，得T＝{x|－4≤x≤1}，故(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．【答案】(－∞，1]7．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝________.【解析】∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．【答案】{3}8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．【解析】∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁U A⊆∁U B.【答案】∁U A⊆∁U B三、解答题9．(2016·宁波高一检测)设A＝{x∈Z||x|＜6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩∁A(B∪C)．【解】A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，(1)由B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．(2)由B∪C＝{1,2,3,4,5}，∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}，∴A∩∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}．10．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求：(1)A∩B；(2)∁R A；(3)∁R(A∪B)．【解】(1)∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，∴A∩B＝{x|3≤x＜7}．(2)又全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，∴∁R A＝{x|x＜3或x≥7}．(3)∵A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．[能力提升]1．(2016·石家庄高一检测)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)【解析】∵全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，∴M∪N＝{1,2,3,4}，则(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}．故选D.【答案】 D2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵A ＝{1,2}，∴B ＝{2,4}，∴A ∪B ＝{1,2,4}，∴∁U (A ∪B )＝{3,5}． 【答案】 B3．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∁U A ＝{1}，则实数a 的值是________． 【解析】 ∵U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∁U A ＝{1}，∴a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.【答案】 －1或24．(2016·哈尔滨师大附中高一检测)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}．求(1)∁U (A ∪B )；(2)记∁U (A ∪B )＝D ，C ＝{x |2a －3≤x ≤－a }，且C ∩D ＝C ，求a 的取值范围. 【导学号：97030024】【解】 (1)由题意知，A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∪B ＝{x |x ≤2或x ≥5}，又全集U ＝R ，∁U (A ∪B )＝{x |2＜x ＜5}．(2)由(1)得D ＝{x |2＜x ＜5}，由C ∩D ＝C 得C ⊆D ， ①当C ＝∅时，有－a ＜2a －3，解得a ＞1；②当C ≠∅时，有⎩⎨⎧2a －3≤－a 2a －3>2－a <5，解得a ∈∅.综上，a 的取值范围为(1，＋∞).学业分层测评(六)函数的概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}∩{(x，y)|x ＝2}中元素的个数为()A．1 B．0C．1或0 D．1或2【解析】从函数观点看，问题是求函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象与直线x＝2的交点个数(这是一个数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“唯一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，但未明确给出1与[a，b]的关系，当1∈[a，b]时有1个交点，当1∉[a，b]时没有交点，故选C.【答案】 C2．(2016·中山高一检测)下列四组函数中表示同一函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x【解析】∵y＝x(x∈R)与g(x)＝(x)2(x≥0)两个函数的定义域不一致，∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.【答案】 C3．函数y＝1－x＋x的定义域为()【导学号：97030029】A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}【解析】 由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0x ≥0，解得0≤x ≤1.【答案】 D4．(2016·三明高一检测)下列四个区间能表示数集A ＝{x |0≤x ＜5或x ＞10}的是( )A ．(0,5)∪(10，＋∞)B ．[0,5)∪(10，＋∞)C ．(5,0]∪[10，＋∞)D ．[0,5]∪(10，＋∞)【解析】 根据区间的定义可知数集A ＝{x |0≤x ＜5或x ＞10}可以用区间[0,5)∪(10，＋∞)表示．故选B.【答案】 B5．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2【解析】 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f [f (－1)]＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1.∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去)． 【答案】 A 二、填空题6．已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f (2)＝________.【解析】 ∵f (x )＝x 2＋x ＋1，∴f (2)＝(2)2＋2＋1＝3＋ 2. 【答案】 3＋ 27．若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________.【解析】 由A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，得A ＝[－1，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，∴A ∩B ＝[1，＋∞)．【答案】 [1，＋∞)8．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1－1<x －1<1，即⎩⎨⎧－2<x <20<x <2.从而0＜x ＜2， 于是函数g (x )的定义域为(0,2)． 【答案】 (0,2) 三、解答题9．求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋1＋3－4x ；(2)y ＝1|x ＋2|－1. 【导学号：97030030】【解】 (1)由已知得⎩⎨⎧2x ＋1≥03－4x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－12x ≤34，∴－12≤x ≤34，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34.(2)由已知得：∵|x ＋2|－1≠0，∴|x ＋2|≠1，即x ≠－1，－3，∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∈R .(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值； (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．【解】 (1)f (1)－f (－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0； f (2)－f (－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0； f (3)－f (－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0. (2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ，有f (x )－f (－x )＝0. 证明如下：∵f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )， ∴对任意x ∈R ，总有f (x )－f (－x )＝0.[能力提升]1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y【解析】 对于选项A ，若x ＝5，则y ＝±2，不满足函数定义中的唯一性． 【答案】 A2．已知f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，即f (175)＝________. 【解析】 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .【答案】 2m ＋n3．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23的定义域为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤10≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12－23≤x ≤13，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，134．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016的值. 【导学号：97030031】【解】 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1 ＝x 2＋1x 2＋1 ＝1.(3)由(2)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，…，f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝1.∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝2 015.学业分层测评(七)函数的表示法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A．100元B．90元C．80元D．60元【解析】不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．【答案】 C2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()【解析】距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.【答案】 C3．(2016·晋城高一检测)已知f (x )＝2x ＋3，g (x )＝4x －5，则使得f (h (x ))＝g (x )成立的h (x )＝( )A ．2x ＋3B ．2x －11C ．2x －4D ．4x －5【解析】 由f (x )＝2x ＋3，得f (h (x ))＝2h (x )＋3，则f (h (x ))＝g (x )可化为2h (x )＋3＝4x －5，解得h (x )＝2x －4，故选C. 【答案】 C4．(2016·青岛高一检测)已知f (x )是一次函数，且f (x －1)＝3x －5，则f (x )的解析式为( )【导学号：97030035】A ．f (x )＝3x ＋2B ．f (x )＝3x －2C ．f (x )＝2x ＋3D ．f (x )＝2x －3【解析】 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，可得f (x －1)＝k (x －1)＋b ＝kx －k ＋b ，∵f (x －1)＝3x －5，∴⎩⎨⎧k ＝3，－k ＋b ＝－5，解之得k ＝3且b ＝－2.因此，f (x )的解析式为f (x )＝3x －2，故选B. 【答案】 B 5．函数y ＝－1x ＋1的大致图象是( )【解析】 函数y ＝－1x ＋1的图象是由函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位得到，而函数y ＝－1x 的图象在第二、第四象限且是单调下降的两支图象，考查所给的四个图象只有B 符合，选B.【答案】 B 二、填空题6．设函数g (x ＋2)＝2x ＋3，则g (x )的解析式是________．【解析】 令x ＋2＝t ⇒x ＝t －2，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1. 【答案】 g (x )＝2x －17．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图1-2-1的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________(kg)．图1-2-1【解析】 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,300)与点(40,630)得⎩⎨⎧ 330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ，解得⎩⎨⎧a ＝30，b ＝－570，即y ＝30x －570，若要免费，则y ≤0，∴x ≤19. 【答案】 198．设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝x ，则f (x )＝________.【解析】 令t ＝1x －1，解得x ＝1t ＋1，代入得f (t )＝1t ＋1，又因为x >0，所以t >－1，故f (x )的解析式为f (x )＝1x ＋1(x >－1)． 【答案】 1x ＋1(x >－1) 三、解答题9．求下列函数的解析式：(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x )＝x －2x －1，求f (x )．【解】 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，∴f (x )＝x 2－5x ＋6，(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2，(x ≥1)．10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， (1)求f (x )的表达式；(2)求f (2)的值. 【导学号：97030036】【解】 (1)由f (0)＝0，得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx ，又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， ∴ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1， ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)得，f (2)＝12×2＋12×2＝1＋22.[能力提升]1．已知函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (12)＝( ) A ．p ＋q B ．2p ＋q C ．p ＋2qD ．p 2＋q【解析】 由f (ab )＝f (a )＋f (b )， ∴f (12)＝f (4)＋f (3)＝2f (2)＋f (3)＝2p ＋q . 【答案】 B2．若x ∈R ，f (x )是y ＝2－x 2，y ＝x 这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值为( ) 【导学号：97030037】A ．2B ．1C ．－1D ．无最大值 【解析】 在同一坐标系中画出函数y ＝2－x 2，y ＝x 的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数f (x )的图象． ∴当x ＝1时，f (x )max ＝1， 故选B. 【答案】 B3．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，则f (x )的解析式为________．【解析】 ∵f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，①∴将x 换成1x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x .②由①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝－23x －x 3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．【答案】 f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)4．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋bx .且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象． 【解】 (1)将⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝100，⎩⎨⎧x ＝7，y ＝35，代入y ＝ax ＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b 2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎨⎧ 4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝196. 所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x (x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：学业分层测评(八) 分段函数及映射(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2(x ≤1)x 2＋x －2(x >1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18【解析】 当x ＞1时，f (x )＝x 2＋x －2，则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝14，当x ≤1时，f (x )＝1－x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516.故选A. 【答案】 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，在下图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )【导学号：97030042】【解析】 在A 中，当0＜x ＜1时，y ＜1，所以集合A 到集合B 不成映射，故A 不成立；在B 中，当1≤x ≤2时，y ＜1，所以集合A 到集合B 不成映射，故B 不成立； 在C 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在0≤y ≤2内，有两个y 值与之相对应，所以构不成映射，故C 不成立；在D 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在0≤y ≤2内，总有唯一确定的一个y 值与之相对应，故D 成立．故选D.【答案】 D3．已知f (x )＝⎩⎨⎧x －5(x ≥6)f (x ＋2)(x <6)，则f (3)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 由题意，得f (3)＝f (5)＝f (7)， ∵7≥6，∴f (7)＝7－5＝2.故选A. 【答案】 A4．(2016·杭州高一检测)在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与B 中的元素(－1,1)对应的A 中的元素为( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(－1，－3)D ．(－2,0)【解析】 由题意，⎩⎨⎧x －y ＝－1x ＋y ＝1，解得x ＝0，y ＝1，故选A.【答案】 A5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－1)x 2(－1<x <2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x ＝( )【导学号：97030043】 A. 3 B ．±3 C ．－1或 3D ．不存在【解析】∵f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－1)x 2(－1<x <2)2x (x ≥2)，f (x )＝3，∴⎩⎨⎧ x ＋2＝3x ≤－1或⎩⎨⎧ x 2＝3－1<x <2或⎩⎨⎧2x ＝3x ≥2，∴x ∈∅或x ＝3或x ∈∅，∴x ＝ 3. 【答案】 A 二、填空题6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x <0－12x ，0<x <23，x ≥2，则f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34的值为________，f (x )的定义域是________． 【解析】 ∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12.而0<12<2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32.因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】 32 {x |x ≥－1且x ≠0}7．已知函数f (x )的图象如图1-2-3所示，则f (x )的解析式是______．图1-2-3【解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧－a ＋b ＝0b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝1，即f (x )＝x ＋1； 当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，即f (x )＝－x . 综上，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ＜0－x ，0≤x ≤1.【答案】 f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，－1≤x <0－x ，0≤x ≤18．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥ba ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．【解析】 由题意得f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．【答案】 (－∞，1] 三、解答题9．画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出其值域． 【导学号：97030044】【解】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝错误!∴函数图象如图，由图象易知函数的值域为[4，＋∞)．10.如图1-2-4，动点P 从边长为4的正方形ABCD的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．图1-2-4【解】 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤48，4<x ≤824－2x ，8<x ≤12.[能力提升]1．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1}D ．∅【解析】 由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.【答案】 B2．下列图形是函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是( )【解析】 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C3．(2016·常州高一检测)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________. 【导学号：97030045】【解析】 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 【答案】 －344．“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y (单位：元)．【解】 由题意可知：①当x ∈[0,5]时，f (x )＝1.2x .②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，即当x ∈(5,6]时， f (x )＝1.2×5＋(x －5)×3.6＝3.6x －12.③当x ∈(6,7]时，f (x )＝1.2×5＋1×3.6＋(x －6)×6＝6x －26.4.∴f(x)＝⎩⎨⎧1.2x ，x ∈[0，5]3.6x －12，x ∈(5，6]6x －26.4，x ∈(6，7].。
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学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．伏尔泰研究了牛顿的科学成就，孟德斯鸠写过多篇自然科学的论文，康德在46岁之前的著述也集中在自然科学方面，他们“用自然科学的方法审视自然、人类与上帝的关系，形成了自然法论中具有新精神的人文主义”。
据此可见启蒙运动时期的“人文主义”()
A．划清与自然科学的界限
B．汲取了理性思考的精神
C．偏离了文艺复兴的轨道
D．开启近代思想解放序幕
【解析】随着资本主义经济的发展，新兴资产阶级开展反对封建统治和教会特权的启蒙运动，启蒙运动的先驱们敬畏真实，尊重科学，崇尚“理性”，运用人自己思考，运用自己的理智去认识、判断和理解事物的能力，发展了人文主义精神。
【答案】 B
2．“启蒙思想家手中所持有的武器同样是传统里面的东西……是借助于远古的传统反对近世的传统。
”“近世的传统”是指()
【导学号：11140092】A．古希腊罗马思想传统
B．神权思想与拜金主义
C．封建专制与宗教神学
D．人文主义与理性主义
【解析】结合所学知识可知，启蒙运动斗争的对象是专制王权和教权主义，因此“近世的传统”是指封建专制与宗教神学，故C项正确，A、B、D三项错
误。
【答案】 C
3．“以国会立法、以法官司法、以政府行政，而人主总之……人主尊为神圣，不受责任，而政府代之。
”下列人物的观点与材料观点相似的是() A．伏尔泰B．孟德斯鸠
C．卢梭D．康德
【答案】 B
4．雨果说：“伏尔泰让那个时代的欧洲摆脱愚昧，走向文明，所以他是一个时代。
”这么说是因为伏尔泰()
A．架起了东西方交流的桥梁
B．参与并领导法国大革命
C．颁布民法典动摇欧洲统治秩序
D．是欧洲启蒙运动的旗帜
【解析】材料肯定了伏尔泰在思想领域的成就，由愚昧走向理性，由野蛮走向文明，雨果的言论没有反映出伏尔泰在文明交流方面的作用，故A项错误；伏尔泰作为思想家，其政治主张指导了法国大革命，并未参与领导，故B项错误；拿破仑颁布《民法典》，故C项错误；伏尔泰的时代是启蒙和理性的时代，这也是他最伟大的成就，故D项正确。
【答案】 D
5．1791年，法国国民公会投票通过决议，为大革命的象征卢梭竖立雕像，并授予“自由的奠基人”的称号，卢梭受此推崇是因为他()
【导学号：11140093】
①主张君主立宪②宣传主权在民③倡导天赋人权
④提出三权分立
A．①②B．②③
C．①②④D．①③④
【解析】卢梭赞成民主共和，反对君主专制，提倡主权在民和天赋人权，
而“三权分立”学说是孟德斯鸠提出的。
故选B项。
【答案】 B
6．18世纪的法国，越来越多的人不再盲从统治者的说教，学会了用自己的头脑思考问题。
与文艺复兴、宗教改革时期相比，启蒙运动时期人们思考的问题突出表现在()
A．批判神权统治B．提倡人性解放
C．倡导思想自由D．构建“理性王国”
【答案】 D
[能力提升]
7．卢梭在《社会契约论》中指出：“社会秩序乃是为其他一切权利提供了基础的一项神圣权利。
”这表明卢梭主张()
【导学号：11140094】A．维持原有的社会是实现基本人权的前提
B．努力构建社会新秩序是实现基本人权的保障
C．社会秩序是神圣不可侵犯的
D．社会秩序是权利而非义务
【解析】本题考查法国启蒙思想家卢梭的思想主张，即考查社会契约的思想。
题干表述了社会秩序与其他一切权利的关系，即社会秩序为其他一切权利提供了保障，故B项正确；A项“维持原有的社会”表述有误；C项“神圣不可侵犯”表述错误；D项“是权利而非义务”说法错误。
【答案】 B
8．下图著作体现当时思想解放运动的突出特征是()
A．打破宗教束缚，推动信仰自由
B．提倡人文主义，追求个性自由
C．打破神的崇拜，关注人的发展
D．反对封建专制，构建理性王国
【解析】图中著作属于启蒙运动思想家孟德斯鸠、卢梭的代表作，宗教改革打破宗教束缚，推动信仰自由，故A项错误；文艺复兴提倡人文主义，追求个性自由，故B项错误；智者学派打破神的崇拜，关注人的发展，故C项错误；启蒙运动思想家反对封建专制，构建理性王国，故D项正确。
【答案】 D
9．阅读下列材料，回答问题。
【导学号：11140095】材料一明清之际的一些思想家的主张
材料二启蒙运动时期法国一些主要思想家的主张
思想家的各自主张。
(2)材料一、二两种思想对历史发展分别产生了怎样的影响？
(3)中国明清之际的批判思想虽然出现比较早，但思想高度及社会效果远不及法国的启蒙思想，为什么？
【解析】本题主要考查17－18世纪中外民主启蒙思想的对比。
第(1)问，注意根据材料内容进行概括归纳。
第(2)问，结合所学知识分析归纳即可。
第(3)问，注意结合中国明清之际的经济、政治及思想状况回答。
【答案】(1)共同主张：反对君主专制。
各自主张：孟德斯鸠主张三权分立，权力互相制约、平衡。
伏尔泰主张平等、自由、民主(或开明君主制)。
卢梭主张主权在民。
(2)影响：材料一发展了儒学的“经世致用”思想，对中国近代民主思想产生了一定的启蒙作用。
材料二发展了人文主义，既为西方资产阶级革命奠定了思想基础，也提出革命胜利后的政治构想。
(3)原因：明清之际自然经济占统治地位，资本主义萌芽发展缓慢；君主专制空前强化；思想文化专制。
10．阅读下列材料，回答问题。
材料一从更为一般的意义上讲，启蒙运动提出了一整套有关人类事务的原则：人类是善良的，至少是可以完善提高的，他们可以通过教育变得更加完善，人的理性是获得真理的钥匙，而依赖盲目信仰或者拒绝容忍多样性的宗教是错误的。
——斯塔夫里阿诺斯《全球通史》材料二启蒙使人了解到：没有公民法律，人就没有办法保障其生活，也没有办法享受其生活。
如果还没有引入社会契约以及随着而引入的君臣关系，那么人就不会拥有这一切。
如果对自由的限制必须来自每一个理性的规则，由此也来自国家的法律，那么那些限制必然也为公共福利和个人福利所要求，这样，每一
个理性的人都必须愿意忍受那些限制。
——卢梭《社会契约论》材料三只要人们认为他们政府的安排是不公正的或不适当的，他们就不得安宁，直到他们给予一个新的形态。
有人责备作家们引起革命，不过，这个责备是可敬的。
当然，我们不希望他们在行动的时候没有责任感或没有良知，不希望他们歪曲真理，胆怯地和卑贱地逃避为真理服务。
每个这样的抵御都是对理性的凌辱，都是对人类的蔑视。
——伏尔泰《哲学通信》
(1)根据材料一并结合所学知识，归纳从文艺复兴到启蒙运动时期“理性”思想的变化。
(2)材料二体现了启蒙运动的哪些主张？
(3)材料三反映了启蒙运动中的作家产生了怎样的影响？
【解析】第(1)问，文艺复兴时期的思想结合所学知识从人文主义的内涵角度回答，从材料一中的“启蒙运动提出了一整套有关人类事务的原则，人的理性是获得真理的钥匙”信息可以概括出启蒙运动对“理性”的崇拜，“理性”的具体表现就是科学、民主和自由。
第(2)问，依据材料中“没有公民法律，人就没有办法保障其生活，也没有办法享受其生活”可以概括出“法律是人们自由权利和生活的保障”的答案；从“如果还没有引入社会契约以及随着而引入的君臣关系，那么人就不会拥有这一切”可以归结出“社会契约”的结论；依据“每一个理性的人都必须愿意忍受那些限制”的信息可以概括出“个人必须遵守法律”的答案。
第(3)问，从材料中“只要人们认为他们政府的安排是不公正的或不适当的，他们就不得安宁，直到他们给予一个新的形态”说明人们不再是政府的奴仆，当政府违背人们意愿，人们就会通过革命改造社会，从而归结出启蒙运
动对思想的启迪和解放作用。
【答案】(1)从肯定人性、尊重人的价值发展到提倡科学与自由平等(回答从崇拜人性发展到崇拜理性等也可)。
(2)法律是人们自由权利和生活的保障；按照社会契约组成国家、确立君臣关系；每一个人必须遵守按照理性规则制定的法律。
(3)作家通过自己的行动启迪了人们的思考，解放了人们的思想；当政府违背了人们的意愿时，人们在这种思想影响下就会引起革命，改造旧社会。