复变函数总结

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 yi x z +=

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z 、点z 、向量z 视为同一概念） （3）三角式：)sin (cos θθi r z += （4）指数式 ： θi re z = 辐角πk z Argz 2arg += 22||y x z +=

⎪⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧

<=->=<<-><+>=0,0,2/0,0,2/0

,0,arctan 0

,0,arctan ,0,arctan arg y x y x y x x y

y x x y

x x y z ππππ i

z

z y z z x 2,2-=

+= 二、乘幂与方根

（1）乘幂： θi re z =，θin n n e r z = （2）方根： 1,2,1,0,||arg 2-==+n k e

z z i n

z

k n n

π

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域处处可导

注：（1）点解析⇒点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域解析与可导等价

二、定理1 iv u z f w +==)(在0z 可导⇔v u ,在0z 可微，满足C-R 方程

定理2 iv u z f w +==)(在区域D 解析（可导） ⇔v u ,在区域D 可微，满足C-R 方程

讨论1 v u ,在区域D4个偏导数存在且连续，满足C-R 方程 ⇒iv u z f w +==)(在区域D 解析（可导） 三、解析函数和调和函数的关系

1、定义1 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。

定义2 设),(),,(y x y x ψϕ是区域D 调和函数，且满足C-R 方程，

x y y x ψϕψϕ-==,，则称ψ是ϕ的共轭调和函数。

2、定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。 定理2 函数在D 解析⇔虚部是实部的共轭调和函数。

3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部） 理论依据：

（1）虚部、实部是调和函数。 （2）实部与虚部满足C-R 方程。 求解方法：（例如已知v ）

（1）偏积分法：先求y x u u ,，再求)(y dx u u x ϕ+=⎰，得出)(y ϕ （2）利用曲线积分：求du u u y x ,,，再c dy u dx u u y x y x y x ++=⎰),()

,(00

（3）直接凑全微分：求du u u y x ,,，再du

四、初等函数

1、指数函数)sin (cos y i y e e e e w x iy x z +=== 性质：（1）z e 是单值函数，

（2）z e 除无穷远点外处处有定义 （3）0≠z e

（4）z e 处处解析，z z e e =')(

（5）2

1

2

1

z z z z e e e =+

（6）z e 是周期函数，周期是i k π2

2、对数函数πk i z i z Lnz w 2arg ||ln ++== （多值函数） 主值（枝）z i z z arg ||ln ln += （单值函数） 性质：（1）定义域是0≠z ， （2）多值函数

（3）除去原点和负实轴的平面连续 （4）除去原点和负实轴的平面解析，z Lnz 1)(=

'，z z 1

)(ln ='，

（5）

3、幂函数ααα,0(≠==z e z w Lnz 是复常数） （1）α为正整数，函数单值、处处解析，

（2）α为负整数，函数单值、除去0=z 及其负实轴处处解析， 4、三角函数

欧拉公式 θθθsin cos i e i +=

2121)(Lnz Lnz z z Ln +=2

12

1

Lnz Lnz z z Ln -=

或 i e e e e i i i i 2sin ,2cos θ

θθθθθ---=+= 定义：i

e e z e e z iz

iz iz iz 2sin ,2cos ---=+= z z z z z z sin /cos cot ,cos /sin tan == z z z z sin /1csc ,cos /1sec ==

性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样 各种三角公式、求导公式照搬 注：z z cos ,sin 的有界性 保护成立。

第三章 复变函数的积分

一、复积分⎰⎰++=c c yi x d vi u dz z f )()()(⎰⎰++-=c c udy vdx i vdy udx

⎰c

dz z f )( （c 的正向为逆时针方向）

计算方法：

（1）第二类曲线积分计算 （2）化为普通定积分

b a t t iy t x t z z

c →+==:),()()(:

dt t y i t x t y t x iv t y t x u dz z f b

a c )]()([))](),(())(),(([)('+'+=⎰⎰ 重要结果：

⎩

⎨

⎧≠==-⎰=-1,01,2)(1

||00n n i dz z z r z z n π （n 为任意整数） 二、柯西积分定理

定理1（柯西积分定理） 设)(z f 在单连通区域D 解析，C 为D