复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：

z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式

e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。

1.定义法求积分：

定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，

z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度

={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：

=??z k

设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)

例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0.

∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a

∴=b-a,即=b-a.

(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则

∑1= （）(z k-z k-1)

有可设?k=z k，则

∑2= （）(z k-z k-1)

因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以

S n= (∑1+∑2)==b2-a2

∴=b2-a2

1.2 定义衍生1：参数法：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：

= - vdy + i+ udy

再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)

=

参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段

解：参数方程z=（3+i）t

=′

=(3+i)3

=6+i

例题2：沿曲线y=x2计算（）

解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)

=（）

=(1+i)+ 2i]

=-+i

1.3定义衍生2 重要积分结果：

z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)

由参数法可得：

=

dθ=dθ

（）

=

例题1：例题2：

解：=0 解=2πi

2.柯西积分定理法：

2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：

=0

2.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。

2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D 内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路Γ=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：

=+=0

ΓArray即=

推论：=

例题：C为包含0和1的正向简单曲线。

解：被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。

=+

=

=+++

=0+2πi+2πi+0

=4πi

2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：

定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即

??= ??这里的z1和z0积分的上下限。当下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分??在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)=??所以有

若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且

=f(z).根据定理2.2和2.4可得= F(z1) - F(z0).

例题：求

解：函数zcosz在全平面内解析

∴=zsinz-

= isin i+cosz=isin i+cos i-1

=i+-1=e-1-1

此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。

2.5柯西积分公式法：

设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数在

z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分一般不为零。

取z0位中心，以>0为半径的正向圆周=位积分曲线，由于f(z)的连续性，所以

==2πif(z0)

：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有：

f(z0)=

例题：1）

2）

解：=2π isin z|z=0=0 解：=

=2πi|z=-i=

2.6解析函数的高阶导数：

解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为

f(n)(z0)=dz(n=1,2…)

其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.

例题：C:=1

解：由高阶导数的柯西积分公式：

原式=2πi(e z)(4)|z==

3.解析函数与调和函数：

定义：（1）调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：