抽象函数图像对称性问题
抽象函数的对称性常用结论
抽象函数的对称性常用结论知识与方法1.轴对称：如果函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()12f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等.例如，()()2f x f x +=-表示()f x 关于1x =对称，()()f m x f n x +=-表示()f x 关于2m n x +=对称.2.中心对称：若函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()122f x f x b +=，则()f x 关于点(),a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称.例如，()()112f x f x ++-=表示()f x 关于()1,1对称，()()f m x f n x a ++-=表示()f x 关于,22m n a +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.3.常用结论（视频中有推导这些结论）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()()20f x f x --=()x ∈R ，且在[)1,+∞上为增函数，则（）A.()()()112f f f ->> B.()()()121f f f >>-C.()()()121f f f ->> D.()()()211f f f >->【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以()()13f f -=，因为123<<，且()f x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()123f f f <<，从而()()()121f f f ->>【答案】C【例2】己知函数()f x 满足()()2f x f x =-()x ∈R ，若函数()1y x f x =--共有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=_________.【解析】()()()2f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()()101x f x x f x --=⇒-=，由于1y x =-的图象也关于1x =对称，故它们的交点关于1x =对称，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【答案】3【例3】已知函数()f x 满足()()22f x f x -=-()x ∈R ，若()()104f f -+=，则()()23f f +=_______.【解析】()()()()2222f x f x f x f x -=-⇒-+=，分别取3x =和2x =得：()()()()132022f f f f ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加得：()()()()13024f f f f -+++=，又()()104f f -+=，所以()()230f f +=.【答案】0【例4】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，若()33f =，则()1f -=_______.【解析】由题意，()f x 周期为4，故()()133f f -==.【答案】3【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()1250f f f +++ =（）A.50- B.0 C.2 D.50【解析】因为()f x 是奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故()()()3112f f f =-=-=-，在()()11f x f x -=+中取1x =-知()()200f f ==，又()()400f f ==，所以()()()()()123420200f f f f +++=++-+=，故()()()1250f f f +++ ()()()()()()()()145845484950f f f f f f f f =+++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()4950122f f f f =+=+=.【答案】C【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍，熟悉这一结论，可直接得出本题()f x 的周期为4.【例6】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x ++-=，当[]1,0x ∈-时，()f x x =，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_______.【解析】由题意，()f x 有对称中心()0,0和()1,0，故其周期为2，所以91112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】12【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.强化训练1.已知函数()y f x =满足()()40f x f x +--=()x ∈R ，且()f x 在[)2,+∞上为减函数，则（）A.()()()22log 3log 5.13f f f >> B.()()()22log 5.1log 33f f f >>C.()()()22log 5.13log 3f f f >> D.()()()22log 33log 5.1f f f >>【解析】()()()40f x f x f x +--=⇒的图象关于2x =对称，结合()f x 在[)2,+∞上为减函数知当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故()()()223log 3log 5.1f f f <<.【答案】B2.函数()y f x =满足()()2f x f x =-，且当[)1,x ∈+∞时，()1122x x f x e e x --=--+，则（）A.()()()121f f f <<- B.()()()211f f f <-<C.()()()121f f f -<< D.()()()112f f f -<<【解析】()()()()213f x f x f f =-⇒-=，当1x ≥时，()11220x x f x e e --'=+-≥-=，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，故()()()()1231f f f f <<=-.【答案】A3.已知函数()f x 满足()()20f x f x ---+=()x ∈R ，若函数()22y x x f x =+-共有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=________.【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x ---+=⇒-=-+⇒的图象关于1x =-对称，()()22202x x f x x x f x +-=⇔+=，而22y x x =+的图象也关于1x =-对称，故它们的交点也关于1x =-对称，所以1233x x x ++=-.。
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例 1.设是上的奇函数，当时，，则等于（）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例2．已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。
2、比较函数值大小例 3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.3、求函数解析式例4.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？8、复数中的应用例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是（A） 3 ；（B）4 ；（C）6 ；（D）7.9、解“立几”题例11.ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）；（C）；（D）0.例题与应用例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值。
例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？例8、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（）A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称例9、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。
抽象函数的周期性与对称性(精)
抽象函数的周期性与对称性(精)抽象函数的周期性和对称性问题可以通过恒等式简单判断。
如果函数满足f(x+a)=f(-x+a)，那么它是偶函数，对称轴为x=a，周期为T=2a。
如果函数满足f(x+a)=-f(-x+a)，那么它是奇函数，对称中心为(a,0)。
如果函数满足f(a-x)=f(b+x)，那么它的对称轴为x=(a+b)/2，周期为T=|b-a|。
如果函数满足f(x+a)=-f(x-a)，那么它的对称中心为(a,0)，周期为T=2a。
需要注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别，对称轴或对称中心的位置可以通过对应法则求得。
例如，对于已知定义在实数集上的奇函数f(x)，满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为-1.又如，如果函数f(x)对于任意实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于x=1对称。
练1：如果函数y=f(x+1)是偶函数，则y=f(x)的图像关于x=1对称。
练2：如果函数y=f(x)满足11f(x+3)=-f(x)，且f(3)=1，则f(2010)=-1/2.23、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且当x>2时，f(x)=2x-3，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 2f(3)+f(1)+f(5)=2(2×3-3)+2×1-3+2×5-3= 8.4、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x。
要求求出f(7.5)的值。
由奇函数的定义可知，f(5.5)=f(-5.5)，即f(7.5)=f(-7.5)。
又因为f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)，所以f(x+4k)=f(x)，其中k为整数。
故f(-7.5)=f(-7.5+4×2)=f(0)=-f(0)，即f(0)=0.又f(1)+f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)。
以自变量的和差为定值统领抽象函数的对称性和周期性
以自变量的和差为定值统领抽象函数的对称性和周期性
在数学中，抽象函数的对称性和周期性的本质依赖于自变量的和差，这也成为
抽象函数理论中重要的研究内容。
例如，如果函数具有偶对称性，它意味着当自变量x满足条件：x＋x＝参数常量a时，函数图像在垂直方向上有对称关系。
而若函数具有周期性，则意味着当自变量x满足条件：x＋x＝参数常量b时，函数图像在水平方向上有相同的结构和形式重复。
以上是抽象函数的对称性和周期性的概念，在互联网，及它服务的应用的许多
场景中，这种理论的实施也有着重要的作用。
例如，通过将抽象函数的对称性和周期性引入信息管理系统，可以确保数据按照统一的标准进行存取，而不会因为计算错误或偏差而出现不一致的情况。
此外，这种理论还可以应用在网络访问量的动态调度和流量均衡等多领域，营造良好的用户体验，为运营和管理带来切实的便利。
虽然抽象函数的对称性和周期性对于互联网来说，有着重要的作用，但要实现
其实际效果，尚存在一些工程技术挑战。
首先，鲁棒性是抽象函数这类理论的重要特征，尤其是在应用领域中，它的容错性得以发挥。
其次，参数优化也应给予重视，依靠适当的调整参数，可以有效地获得更高效也更高质量的结果。
最后，更多精细化算法也有待于发展，充分整合抽象函数的对称性和周期性，才能不断提升互联网的性能与服务水准。
抽象函数对称性的几个结论及其应用
抽象函数对称性的几个结论及其应用1. 反演对称性（Inversion Symmetry）反演对称性是指函数在空间中经过一些点的反演之后保持不变。
具体来说，如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称其具有反演对称性。
这种对称性常用于描述物理系统中的对称性，比如平面镜对称、球面镜对称等。
应用中常用反演对称性简化问题的求解过程，例如在研究电磁波传播时，通过利用反演对称性可以简化波动方程的求解。
2. 平移对称性（Translation Symmetry）平移对称性是指函数在空间中进行平移操作之后保持不变的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足f(x+a)=f(x)，其中a为任意实数，则称其具有平移对称性。
平移对称性在物理学中有广泛的应用，例如在研究周期性现象时，可以通过引入平移对称性简化问题的求解过程，如布洛赫定理在固体电子理论中的应用。
3. 旋转对称性（Rotation Symmetry）旋转对称性是指函数在空间中进行旋转操作之后保持不变。
具体来说，如果函数f(x)满足f(Rx)=f(x)，其中R为旋转矩阵，则称其具有旋转对称性。
旋转对称性在几何学和物理学中非常重要，例如在研究物体的形状、电磁场分布等问题时，可以通过引入旋转对称性简化问题的求解过程。
4. 对偶对称性（Duality Symmetry）对偶对称性是指函数在一些操作下可以与其对偶函数互相转换的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足一定的变换关系f(x)=g(x)，其中g(x)为f(x)的对偶函数，则称其具有对偶对称性。
对偶对称性在数学和物理学中有广泛的应用，例如在研究波动现象时，可以通过引入对偶对称性简化问题的求解过程。
5. 微分对称性（Differential Symmetry）微分对称性是指函数在一些微分操作下保持不变的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足一定的微分方程f''(x)=-f(x)，则称其具有微分对称性。
微分对称性在数学和物理学中有重要的应用，例如在研究自然界中的自旋系统、波动现象等问题时，可以通过引入微分对称性简化问题的求解过程。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
重视直观,学会抽象——以一道三角函数对称性习题拓展学习设计为例
对余弦 函数和正切 函数 ， 讨 论上述 同样 的问题．
分析 ： 该题 的主要意 图， 是引导学生对三角 函数 的对 称性 有一个完整的认识． 教师用书说 明“ 利用三角 函数 的
（ ｋ ≠０ ） 图象 关于 原点 对称 ； 进入 高 中 ， 在 奇偶性 概念 学 习中知道“ 偶 函数 图象关于ｙ 轴对称 ， 奇 函数 图象关 于原
、 ／
图象 与性质 ” 后是 学 习对称性 的最 佳 时机 ： 首先学 生 的 知识技 能 、 研 究方法 的储 备有 了必要 基础 ； 其次 ， 学生思
维、 心智 的发展 水平 ， 使相 对抽象 的对 称性 学 习成为 可
明为什 么没有对称轴 ” ．
（ ２ ） 如何多角度发现 、 描述对称性 ？ 譬如 ， 单位 圆也 可
提供 “ 形” 的支 持 ； 诱 导公式提供 “ 数” 的支持 ； 当然 ， 周 期
性、 奇偶性既可提供思考 的类别参 考 ， 也与对称性本 身存
在内在的联 系．
能． 研 习教 材 ， 不难 发 现专家 们 对此 也给 予 了一定 的思 考， 从 教材必修４ 第４ ６ 页习题 １ ． ４ Ａ 组第１ １ 题、 第７ ０ 页 复习
设计意 图 ： 借助 图象 ， 观察正弦 曲线对称 中心 的不 唯
一
设计 意图 ： 是学生经 历特殊到 一般 、 具 体到抽 象 、 图
象到符号 的思维过程对 函数 的轴对称给 出形式化定义 ， 即 ｙ － ４￣ ｘ ） 关于直线 ＝ 寸 称 ０ ） ａ ＋ ｘ ） ｃ ： ￣ （ ２ ａ － ｘ ） ） ．
的探讨又可促进对 函数概 念和性 态学习 的深化 ． 对称性
教材必修４ 第４ ６ 页习题 １ ． ４ Ａ 组第 １ ｌ 题：
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
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函数图像对称性的问题一、函数自身的对称性的问题函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。
函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。
例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
例题2①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2c －f [2(a －b) + x]…………（**），用2（a －b ）－x 代x 得f [2 (a －b)+ x] = 2c －f [4(a －b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a －b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a －b|是其一个周期。
二、 不同函数对称性的问题数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。
全部数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。
在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。
数和形的内在联系可使许多问题具有鲜明的直观性，数和形的结合也是数学教学中一个非常重要的环节。
例题3① 函数y = f (x)与y = f (2a －x)的图像关于直线x = a 成轴对称。
②函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
③函数y = f (x)与x －a = f (y + a)的图像关于直线x －y = a 成轴对称。
设点P(x 0 ,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0)。
记点P( x ,y)关于直线x －y = a 的轴对称点为P ‘（x 1， y 1），则x 1 = a + y 0 , y 1 = x 0－a ，∴x 0 = a + y 1 , y 0= x 1－a 代入y 0 = f (x 0)之中得x 1－a = f (a + y 1) ∴点P ‘（x 1， y 1）在函数x －a = f (y + a)的图像上。
同理可证：函数x －a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x －y = a 的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。
故定理5中的③成立。
推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
三． 函数图像的中心对称与轴对称。
1、 函数的中心对称定义在R 上的函数y=f （x ）对其定义内的任意的x ，如果都有f （x ）=2b －f （2a －x ）（或f （a ＋x ）=2b －f （a －x ）），那么y=f （x ）关于点（a ，b ）成中心对称；反之亦然。
事实上：对任意x ∈R ，当都有f （x ）=2b －f （2a －x ）时，有点（x ，f （x ））与点（2a -x ，f （2a －x ））存在关系： b x a f x a f b x a f x f a x a x =-+--=-+=-+2)2()2(22)2()(,2)2(，这说明点（a ，b ）是点（x ，（f （x ））与点（2a －x ，f （2a －x ））的中点，由x 的任意性及中心对称的定义，可知函数 y =f （x ）关于点（a ，b ）成中心对称；反之亦然。
特例：定义在R 上的函数y=f （x ）关于点（a ，0）对称《=》对任意x ∈R ，都有f （a ＋x ） =－f （a －x ）（或 f （x ）=－f （2a －x ））例4：已知函数1)(---=a x x a x f 的反函数)(1x f -的图象的对称中心是（－1，3），则实数a 等于（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）－2 （D ）－4 解：1)1()(1+++=-x a x a x f∵)(1x f-关于点（－1，3）对称，∴)(1x f - =6－1-f （－1－x ） 即：11)1)(1(611)1)(1(+--+--+-=++-++-+x a x a x a x a ，也即：（2a －4）x = 0 由等式的恒等性可知：2a －4 = 0 ∴ a = 2 选（A ）例5：已知f （x ）+f （2－x ）+2 = 0 对任意实数x 恒成立，则函数f （x ）图象关于 对称解：由f （x ）+f （2－x ）+2 = 0 得：f （x ）+1 = －[f （2－x ）+1]令φ（x ）= f （x ）+1，则φ（2－x ）=f （2－x ）+1 ∴φ（x ）=－φ（2－x ）∴ φ（x ）关于点（1，0）对称，又f （x ）=φ（x ）－1故由平移知识可得：f （x ）关于点（1，－1）对称。
例6：设曲线C 的方程是y=x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴的正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1（1）写出曲线C 1方程；（2）求证：曲线C 与C1关于点)2,2(s t A 对称。
解（1）：C1的方程是：s t x t x y +---=)()(3证（2）：曲线C 关于点)2,2(s t A 的对称曲线方程是：s t x t x x t x t s x t x t s y +---=----=-⨯--⨯-⨯=)()()]()[()]22()22[(22333 即为曲线C1 ∴ 曲线C 与曲线C1关于点)2,2(s t A 对称。
2、函数的轴对称定义在R 上的函数y =f （x ），如果满足：f （a ＋x ）=f （b －x ），那么函数y =f （x ）的图象关于直线2b a x +=成轴对称；反之亦然。
事实上：对任意x ∈R ，都有f （a ＋x ）=f （b －x ）时，有点（a ＋x ，（a ＋x ））与点（b －x ，f （b －x ））存在关系：22b a x b x a +=-++，f （a ＋x ）=f （b －x ），由轴对称的定义可知：点（a ＋x ，f （a ＋x ））与点（b －x ，f （b －x ））关于直线成轴对称，又由x 的任意性可知：函数y =f （x ）关于直线成轴对称。
反之亦然。
特例：定义在R 上的函数y ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ=a 成轴对称《=》对任意x ∈R ，都有f （a+x ）=f （a-x ）。
例7：二次函数f （x ）满足f （2＋x ）=f （2－x ），又f （2）=1，f （0）=3，若在[0，m]有最小值1，最大值3，则的取值范围（ ）（A ）0＜m ≤2 （B ）m ≥2 （C ）m ＞0 （D ）2≤m ≤4解：由函数的轴对称性可知：二次函数f （x ）关于直线x =2对称，又f （2）=1， f （0）=3，∴ f （x ）在[0，2]上是减函数，∴ f （x ）在[2，+∞）上增函数，又由轴对称可知：f （2+2）=f （2－2）即f （4）=f （0）∵ f （x ）在[0，m]上有最小值1，最小值3，∴ 2≤m ≤4 选（D ）例8：函数f （x ）对一切实数x 都满足)43()41(x f x f -=+，并且f （x ）=0有3个实根，求这3个实根之和。
解：由)43()41(x f x f -=+可知：函数f （x ）关于直线21=x 对称，又∵f （x ）=0有3个实根，∴f （x ）=0必有一根是211=x ，且其余两根x 2、x 3关于21=x 对称，∴ 121232=⨯=+x x ∴ 23321=++x x x 四． 函数对称性常用性质函数的对称性一般体现在中心对称和轴对称。
函数的奇偶性和周期性就是对称性的直接体现，常见的有以下结论。
【性质1】函数y=f(x)的图像关于原点O(0 ,0)对称f(x)=-f(-x)。
（这是奇函数的数与形的体现）。
推论1：函数y=f(x)的图像关于点M （a ，b ）对称f(x)+f(2a-x)=2b证明：因为函数y=f(x)的图像关于点M （a ，b ）对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=（-a,-b ）平移后对应图像的解析式为：y=f(x+a)-b ，关于原点0(0，0)中心对称，由性质1知f(-x+a)-b=-［f(x+a)-b ］，即f(a-x)+f(a-x)=2b ，即f(x)+f(2a-x)=2b 。
反之也成立。
推论2：函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点M(a ,b)成中心对称。
【性质2】函数y = y=f(x)的图像关于y 轴对称f(x)=f(-x)。
（这是偶函数的数与形的体现）。
推论3：函数y=f(x)的图像关于直线x = a 轴对称f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。
证明：因为y=f(x)的图像关于直线x = a 对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=(-a,0)平移后图像的解析式为：y=f(x+a)，关于y 轴对称，由性质2知f(x+a)=f(-x+a)，即f(a+x)=f(a-x)，即f(a+x)=f(a-x)。