一年级语文《一元二次方程》PPT课件
第二十二章一元二次方程
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程的应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程组》、《分式方程》等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
课时划分
本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：
22．1 一元二次方程 2课时
22．2 降次──解一元二次方程 4课时（直接开方法1、配方法1、公式法1、因式分解法1）习题课 1课时
22．3 实际问题与一元二次方程 3课时
小结 1课时
22.1一元二次方程（第1课时）
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 一般解法 1.配方法 （可解全部一元二次方程） 如：解方程：x^2+2x－3=0 解：把常数项移项得：x^2+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 因式分解得：（x+1)^2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当 2.公式法 （可解全部一元二次方程） 首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中） 2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2 3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根 当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a 来求得方程的根 3.因式分解法 （可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。 如：解方程：x^2+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0 解得：x1=x2=-1 4.直接开平方法 （可解部分一元二次方程） 5.代数法 （可解全部一元二次方程） ax^2+bx+c=0 同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0 设：x=y-b/2 方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0 再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]
《一元二次方程》复习资料(打印版)
《一元二次方程》 第一节认识一元二次方程 知识点一：一元二次方程的定义（重点） （温馨提示：紧扣定义理解一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2，这三个要素必须同时满足，缺一不可。） 例题1：下列方程中，关于x的一元二次方程是（） A．（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2-1 对应练习1：下列方程是一元二次方程的是（） A． B．2x-3y+1=0 C．（x-3）（x-2）=x2 D．（3x-1）（3x+1）=3 知识点二：一元二次方程的一般形式（重点） （温馨提示：一元二次方程的一般形式的特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式，其中a≠0是重要组成部分。） 例题1、一元二次方程2x2-5x-7=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5；2；7 B．2；-5；-7 C．2；5；-7 D．-2；5；7 对应练习1：把一元二次方程（1-x）（2-x）=3-x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（） A．2、3、-1 B．2、-3、-1 C．2、-3、1 D．2、3、1 对应练习2：下列一元二次方程是一般形式的为（） A．（x-1）2=0 B．3x2-4x+1=0 C．x（x+5）=0 D．（x+6）2-9=0 对应练习3：把方程（x-1）2+2=2x（x-3）化为一般形式是，其中二次项 是，一次项系数是． 知识点三：一元二次方程的解 温馨提示：根据方程的解的定义，用代入法和整体思想求代数式的值。 例题1、已知m是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式2m2-4027m-2+ 的值．
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总 认真阅读题目，分析题意，学会分解题目，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目，举例说明. 一、面积问题： 例1：如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直 的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设 道路的宽为x米，则可列方程为（） A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）+x2=7644 C．（100-x）（80-x）=7644 D．100x+80x=356 二、增长率问题：（变化前的基数a，增长率x，变化的次数n，变化后的基数b，关系：a（1+x）n=b）例2：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 三、商品价格问题 例3：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件。若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 四、储蓄问题 例4：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 五、情景对话类 例5：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
一元二次方程知识点总结
21章一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念:等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意:（1）一元二次方程必须是一个整式方程；(2）只含有一个未知数；(3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项. 注意：（1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 (2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。 （3）形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程. 二、一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当时,所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，是b的平方根,当时，,，当b<0时，方程没有实数根。三种类型:（1）的解是； （2)的解是； （3）的解是. 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 （2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；（3）把原方程变为的形式。 （4）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。 (二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 （2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； (3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式； (4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程. 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式： 用求根公式法解一元二次方程的步骤是： (1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）； (2)求出的值；并判断方程根的情况; （3）若，则把及的值代人求根公式，求出。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0,即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1）将方程的右边化为0(即化为一般式）；（2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
一元二次方程概念及解法
一元二次方程 一、一元二次方程的概念： 1、定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 补充关于初中常见代数式： 2、一元二次方程的一般式： 例1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值. 举一反三： 【变式】若方程2 (310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，求m 的值． 3、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 的两根求， ，的两根分别为为常数方程已知关于0)2(1-2)0,,,(0)(22=+++≠=++b m x a a m b a b m x a x
b a b b ax x x --=++求有一个非零根的一元二次方程关于,,02 二、一元二次方程的解法 1、基本思想：一元二次方程???→降次一元一次方程 2、常见解法： 直接开平方法：模型)0(2≥=p p x 因式分解理论基础： （1）提公因式法 解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)． （2）运用公式 完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 平方差公式：22()()a b a b a b +-=- 三数和平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ 224(3)25(2)0x x ---= 22)25(96x x x -=+- 01442 =++x x
（3）十字相乘：化成标准形式之后“看两端，凑中间” 模型一： （1）=0 （2）21016x x -+=0； （3）2310x x --=0 模型二： (1) 21252x x --=0 (2) 22568x xy y +-=0 配方法：
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1 学习目标 1、一元二次方程的求根公式的推导 2、会用求根公式解一元二次方程. 3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯 学习重、难点 重点：一元二次方程的求根公式. 难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0 学习过程： 一、自学质疑： 1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0. 2、用配方解一元二次方程的步骤是什么? 3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢? 二、交流展示： 刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?
三、互动探究： 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根. 注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号. (2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了. 四、精讲点拨： 例1、课本例题 总结:其一般步骤是： (1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号) (2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根) (3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根. 例2、解方程： (1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0 (3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇） 《一元二次方程》优秀教案1 教学目标： 1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型 2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。 3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。 教学重点 1、一元二次方程及其它有关的概念。 2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。 教学难点 1、建立一元二次方程实际问题的数学模型． 2、把一元二次方程化为一般形式 教学方法：指导自学，自主探究 课时：第一课时 教学过程： （学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）
一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念） 1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。 2、你发现上述三个方程有什么共同特点？ 你能把这些特点用一个方程概括出来吗？ 3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念 你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？ 二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握） １、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？ ①②③ ④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=0 2、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1) 3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？ 4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程? 5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？ 三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）
一元二次方程复习课(教案).docx
第21章一元二次方程（复习课） 第1课时 【教材内容】 本节复习《一元二次方程》的前两个单元，包括“一元二次方程的有关概念”、“一元二次方程的解法”。【教材的地位与作用】 一元二次方程是在学习了“一元一次方程”、“二元一次方程（组）”、“分式方程”等基础上学习的，它也是一种数学建模的方法，学好一元二次方程是学习二次函数的基础。 【教学目标】 1、巩固一元二次方程定义及其相关概念。 2、掌握简单的一元二次方程的解法和思想方法。 3、了解一元二次方程的根的判别式，能够不解方程判别方程的根的情况。 4、掌握一元二次方程的根与系数的关系，能够不解方程直接写出一元二次方程的两根和、两根积。 【教学重点】 理解掌握一元二次方程的定义；掌握解一元二次方程的基本方法和解题思想；掌握一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系。 【教学难点】 一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系定理的应用。 【教法】 通过练习、学生讨论、师生总结归纳，完成本节复习内容。 【学法】 练习、合作交流、归纳总结 【教学过程】 一、引入：这节课我们来复习第21章《一元二次方程》，大家回忆一下，本章我们主要学习了哪些内容？ 学生思考，可以小组交流讨论，归纳总结。（教师可提示学生，三个单元分成三大块） 二、巩固知识点： 出示本章知识结构图，简单复习，学生记忆3——5分钟。（本节课我们重点复习前两个单元。）
r 1、定义：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2； （3）整式方程；（4）二次项系数a 尹。 广2、一般形式：ax2+bx+c=0 （a 尹0）（各部分名称：二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数） 心〔3、一元二次方程的根：（根与解的区别：一元方程的解也叫方程的根） 解一元二次方程的基本思想一一降次 前提条件：二次项系数为1 方法：方程两边都加上一次项系数一半的平方 适用范围：有一次项的 解一元二次方程的基本思想和方法选择的思路： 「（1）当^>0时，方程有两个不相等的实数根； 根的判别式：^^2—4ac J （2）当△=（）时，方程有两个相等的实数根； L （3）当^<0时，方程没有实数根； 配方法 （3 2、 3、 rd ）前提条件：一般形式 公式法〈（2）方法：①指出各项系数a 、b 、c 并计算判别式△ =b2—4ac 的值; 〔（3）适用范围：所有的一元二次方程 K1）方法：把方程的一边分解成两个一次因式的积的形式 因式分解法｛ 1（2）适用范围：方程的一边易分解，另一边是0 ②代入求根公式 一 b 土』— 4ac 4、 r 1、
一元二次方程定义
一元二次方程定义 一元二次方程是一种形如 $ax^2+bx+c=0$ 的代数式，其中 $a,b,c$ 都是 实数且 $a \ e 0$。在数学中，一元二次方程是一类基本的二次函数，它在数学上的应 用广泛，尤其在物理学、工程学、计算机科学等领域中，有着重要的作用。 一元二次方程的参数$a,b,c$ 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。在解一元二次方程时，我们的主要任务就是求解方程的根。通常来说，有三种 常见的解法，即因式分解法、求根公式法和配方法。不过，这三种方法并不一 定适用于所有的一元二次方程。在接下来中，我们将具体介绍这三种解法以及 它们的应用场景。 1. 因式分解法 因式分解法是最为直观的解法之一。对于形如 $ax^2+bx+c=0$ 的一元二次方程，如果其二次项系数 $a$ 不为零并且其方程左边的多项式是可因式分解的，那么我们就可以使用因式分解法来解方程。具体步骤如下： （1）观察方程左边的多项式，尝试将其因式分解为两个一次多项式的乘积，即 $ax^2+bx+c=(mx+p)(nx+q)$。
（2）将因式分解后的乘积式展开并合并同类项，得到一个新的二次方程，即 $mnx^2+(mq+np)x+pq=0$。 （3）将新的二次方程与原方程进行比较，即可得到各个系数的关系，从而求出方程的根。 需要注意的是，因式分解法并不适用于所有的一元二次方程。具体来说，它只适用于一元二次方程的方程左边的多项式可以被分解为两个一次多项式的乘积的情况。如果方程左边的多项式是一个完全平方式，则我们可以直接使用求根公式法来求解。 2. 求根公式法 求根公式法是解一元二次方程时最为常见的一种方法。它基于一种著名的求根公式，即 $x=\\frac{-b\\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。这个公式也被称为一元二次方程的通项公式。 在使用求根公式法时，我们需要依次求出二次项系数 $a$、一次项系数$b$ 和常数项 $c$ 的值，并将其代入求根公式中即可求解方程的根。如果 $b^2-4ac<0$，则说明方程无实数根；如果 $b^2-4ac=0$，则说明方程有一个重根；如果 $b^2-4ac>0$，则说明方程有两个不同的实数根。
一元二次方程
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）。一元二次方程的标准形式（即所有一元二次方程经整理都能得到的形式）是ax^2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。求根公式：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。 1方程定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadratic equation of one variable 或a single-variable quadratic equation)。 一元二次方程有三个特点： (1)有且只含有一个未知数； (2)且未知数的最高次数是2； (3)是整式方程。(两边都是整式） 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。 b^2-4ac求解任何一元二次方程，都可以直接用求根公式x=(-b±√b^2-4ac)/2a。其中是根的判别式。也可以用其他特殊方法求根。 2方程形式 2.1一般式 y=ax²+bx+c（a、b、c是实数，a≠0） 配方式 a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a 两根式 a(x-x1)(x-x2)=0 公式法 x=(-b±√b^2-4ac)/2a求根公式 2.2十字相乘法 x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
3解法 3.1分解因式法 因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 如 1.解方程：x²+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0 解得：x1= x2=-1 2.解方程x（x+1）-2（x+1）=0 解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0 即x-2=0 或x+1=0 ∴x1=2，x2=-1 3.解方程x²-4=0 解：（x+2）（x-2）=0 x+2=0或x-2=0 ∴x1=-2，x2= 2 3.2十字相乘法公式： x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例： 1. ab+2b+a-b- 2 =ab+a+b²-b-2 =a(b+1)+(b-2)(b+1) =(b+1)(a+b-2) 公式法 （可解全部一元二次方程）求根公式 首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b²-4ac<0时x无实数根（初中）
一元二次方程
一元二次方程 A 级 基础题 1．方程x 2－4＝0的根是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝－2 C ．x 1＝2，x 2＝－2 D ．x ＝4 2．用配方法解一元二次方程x 2－2x －3＝0时，方程变形正确的是( ) A ．(x －1)2＝2 B ．(x －1)2＝4 C ．(x －1)2＝1 D ．(x －1)2＝7 3．(2012年贵州安顺)已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．无法确定 4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －4＝0的两个根，则此方程的根的判别式等于( ) A ．－8 B ．20 C ．8 D ．－20 5．(2013年四川成都)一元二次方程x 2＋x －2＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 6．(2012年江西南昌)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.14 D ．－14 7．(2012年上海)如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实根，那么c 的取值范围是________． 8．(2013年山东青岛)某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x ，根据题意，可得方程__________________． 9．解方程： (x －3)2＋4x (x －3)＝0. B 级 中等题 10．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是__________． 11．(2013年江苏常州)已知x ＝－1是关于x 的方程2x 2＋ax －a 2＝0的一个根，则a ＝____________. 12．(2013年广西玉林)已知关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m .求m ，n 的值． 13．(2013年江苏淮安)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
1.2《一元二次方程的解法—直接开方法》教案
§1.2一元二次方程的解法⑴——直接开方法 班级________姓名____________ 一.学习目标： 1．由平方根的定义探寻直接开方法； 2．掌握形如：ax2＝b；a(x－m)2＝b；a(x－m)2＝b(x－n)2的解题方法．二．学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程． 学习难点：体会整体思想在解题中的作用． 三．教学过程 Ⅰ．知识准备 ①4的平方根是；81的平方根是；100的算术平方根是． ②若x2＝a，则叫的平方根；记作x＝． ③x2＝1 4，则x＝．若分式 x2－9 2x－6 的值为零，则x的值为． Ⅱ．活动探究 【复习】回忆数的开方一章中的知识，请大家生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x： 1．x2＝225；2．x2－169＝0；3．36x2＝49；4．4x2－25＝0． 【新知探究】我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？ 阅读：解方程x2－4＝0． 解：移项，得x2＝4． ∴x＝±4＝±2 即x1＝2，x2＝−2． 我们把这种解一元二次方程的方法叫做“直接开平方法”． 思考：比较用直接开平方法解方程和求一个非负数的平方根的差异。 例1：解下列一元二次方程．
⑴x2＝196；⑵9x2＝16；⑶4x2－3＝0． 例2：解下列一元二次方程． ⑴(x− 2)2＝5；⑵(x－1)2－18＝0；⑶3(x＋2)2＝27；⑷12(2－x)2－9＝0． 【题后反思】你能否总结一下，能使用直接开平方法的一元二次方程的形式是怎样的？一般解题步骤又是怎样的？ 例3：用“直接开方法”解下列方程： ⑴(3x－2)2＝(x＋1)2；⑵(x＋2)2－(2x＋3)2＝0． 【思考】若将⑵中的两项加上系数又如何解呢？4(x＋2)2－9(2x + 3)2＝0 【课内反馈】 1．①方程x2＝9的根为；②方程4x2＝100的解为． 2．①方程6x2－1＝23的解为；②方程(x＋1)2＝16的解为． 3．关于x的方程x2＋k＝0有实数根的条件是（） A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0 4．解下列方程 ⑴2x2＝50；⑵1 2y 2＝16；⑶(x－2)2＝6；⑷(2m－4)2－18＝0．
《一元二次方程的解法 配方法 》教学设计
《一元二次方程的解法配方法》教学设计 一、素质训练目标 （一）知识教学点：1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q ＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）型别．2．会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的数字係数的一元二次方程．3．了解新、旧知识的内在联络及彼此的作用． （二）力量训练点：培养学生準确、快速的计算力量，严谨的逻辑推理力量以及观察、比较、分析问题的力量． （三）德育渗透点：通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法． 二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：用配方法解一元二次方程． 2．教学难点：正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2＋ax加上一次项係数一半的平方转化成完全平方式． 3．教学疑点：配方法可以解决许多代数问题，例如：因式分解，将一个代数式配成完全平方式等等，本节课传授的是用配方法解一元二次方程． 三、教学步骤 （一）明确目标
学习了直接开平方法解一元二次方程，对形如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）的一元二次方程便会求解．假如给出一元二次方程x2＋2x＝3，那么怎样求解呢？这就是我们本节课所要讨论的问题．将x2＋2x＝3转化为（ax＋b）2＝c型是我们本节课一个重要的突破点，攻克此难关，方程的求解问题便迎刃而解了． （二）整体感知 本节课在直接开平方法的基础上引进了配方法，实现由未知向已知的转化．直接开平方法在本节课中起到了一个承上启下的作用．它为配方法的引入做了很好的铺垫．假如说平方根的概念为一元二次方程解法的引进立下了汗马功劳，那么可以说直接开平方法为其他方法的引进作了坚实的铺垫． 配方法是初中代数中解决某些代数问题的一个常用方法，方法的实质是将代数式x2＋ax配成一个完全平方式，它的理论依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2． （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．複习提问 （1）完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2． （2）填空： 1）x2-2x+（）＝[x＋（）]2 2）x2＋6x＋（）＝[x-（）]2
《一元二次方程》练习
《一元二次方程》练习 解题示范 例 若方程（m+2）·x |m| +3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，试求m 的值，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 审题 方程中含有字母m ，由于m 的取值不同，会使原方程变为不同类型的方程，因此需要根据一元二次方程的定义及一般形式来确定字母m 的取值． 方案 利用一元二次方程的定义：“只有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程”可求出使│m │=2的m 的值，另外要注意二次项系数a ≠0这一条件． 实施 由一元二次方程定义可知，│m │=2， ∴ m=±2． ∵ 当m=-2时，m+2=0， ∴ m=-2不合题意，舍去． ∴ m=2． ∴ 原方程为4x 2 +6x+1=0． 这个方程的二次项系数是4，一次项系数是6，常数项是1． 反思 （1）一元二次方程的一般形式为ax 2 +bx+c=0（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0），•在解题时特别要注意a ≠0这个条件． （2）当m 为何值时，原方程是关于x 的一元一次方程？ 课时训练 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． （A ）x 2 -1x =1 （B ）x 2+y=2 （C x 2=2 （D ）x+5=（-7）2 2．方程3x 2=-4x 的一次项系数是（ ）． （A ）3 （B ）-4 （C ）0 （D ）4 3．把一元二次方程（x+2）（x-3）=4化成一般形式，得（ ）． （A ）x 2 +x-10=0 （B ）x 2 -x-6=4 （C ）x 2 -x-10=0 （D ）x 2 -x-6=0 4．一元二次方程3x 2 x -2=0的一次项系数是________，常数项是_________． 5．x=a 是方程x 2 -6x+5=0的一个根，那么a 2 -6a=_________．
一元二次方程解法
∴x=[(-b±√（b²-4ac)]/（2a) ∴原方程的解为x?=,x?= . 4．因式分解法（十字相乘法）：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（老教材中这种方法称为十字相乘法） 例4．用因式分解法解下列方程： ⑴ (x+3）（x-6）=-8 ⑵ 2x²+3x=0 ⑶ 6x²+5x-50=0 （选学）⑷x²-4x+4=0 （选学） ⑴解：（x+3）（x-6）=-8 化简整理得x²-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零） （x-5）（x+2）=0 （方程左边分解因式） ∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 ⑵解：2x²+3x=0 x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式） ∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 ⑶解：6x²+5x-50=0 （2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=,x2=- 是原方程的解。 ⑷解：x²-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） （x-2）（x-2）=0 ∴x1=2,x2=2是原方程的解。 小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。 但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：元法，配方法，待定系数法）。 5、十字相乘法
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。 如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+， b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两 边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(242 2≥--±-= ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的
一元二次方程的概念及其解法
一元二次方程的概念及解法和讲义 知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax (3)四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． 〔4〕将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足〔a ≠0〕 例1：以下方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351 =--x x ，其中是一元二次方程的有 。 变式:方程：①13122 =-x x ②0522 2=+-y xy x ③0172=+x ④02 2=y 中一元二次程的是 。 例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 变式1：一元二次方程3〔x —2〕2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。 例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。 变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是〔 〕 A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解 （1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 （2）应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】
专题4 配方法解一元二次方程-讲义(解析版)
专题4 配方法解一元二次方程 【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 【例1】（2021春•上城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1 【分析】先将常数项移到方程右边，再将两边都加上一次项系数一半的平方，据此可得答案． 【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0， ∴x2+2x＝3， 则x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1-1】（2020秋•隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（） A．(x−3 2 )2=134B．(x+32)2=134 C．(x−3 2 )2=54D．(x+32)2=54 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0， ∴x2﹣3x＝﹣1， 则x2﹣3x+9 4 =−1+94，即（x−32）2=54， 故选：C． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式1-2】（2020秋•崂山区期末）解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．
【分析】移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【解答】解：移项得，x 2﹣5x ＝﹣1， 配方得，x 2﹣5x +（5 2）2＝﹣1+ 254，即（x −52）2=214 ， ∴x −5 2=±√21 2 ， ∴x 1= 5+√212，x 2=5−√21 2 ． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 【变式1-3】（2020秋•白银期末）解方程：x 2+2＝2√2x ． 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【解答】解：∵x 2+2＝2√2x ， ∴x 2﹣2√2x +2＝0， （x −√2）2＝0， ∴x 1＝x 2=√2． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【题型2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 【例2】（2020秋•陇县期中）用配方法解方程2x 2＝7x ﹣3，方程可变形为（ ） A ．（x −72 ）2=374 B ．（x −72）2=434 C ．（x −74）2= 116 D ．(x −74 )2= 2516 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，然后把方程两边加上4916 即可． 【解答】解：∵2x 2﹣7x ＝﹣3， x 2−7 2x =−3 2， x 2−7 2x +49 16=−3 2+49 16， ∴（x −7 4）2=25 16． 故选：D ． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．