一年级语文《一元二次方程》PPT课件
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一元二次方程ppt课件
解：将x=2代入方程x2－c = 0中，2²-c=0，∴c=4，方程为x2－4= 0∴x2 = 4，x=±2∴这个方程另外的根是-2
6.已知x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根，求代数式a(a－1)＋a2＋5a的值．
解：将x＝1代入方程x2＋2ax＋a2＝3，得a2＋2a＝2，∴a(a－1)＋a2＋5a＝a2－a＋a2＋5a＝2a2＋4a＝2(a2＋2a)＝2×2＝4.
D
3.五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和. 你能求出五个整数分别是多少吗？
解：设第一个数为 x，则可列出方程 x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2.化简可得 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16，即 x2 - 8x - 20 = 0.
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
6.已知x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根，求代数式a(a－1)＋a2＋5a的值．
解：将x＝1代入方程x2＋2ax＋a2＝3，得a2＋2a＝2，∴a(a－1)＋a2＋5a＝a2－a＋a2＋5a＝2a2＋4a＝2(a2＋2a)＝2×2＝4.
D
3.五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和. 你能求出五个整数分别是多少吗？
解：设第一个数为 x，则可列出方程 x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2.化简可得 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16，即 x2 - 8x - 20 = 0.
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
一元二次方程ppt课件
3600 cm2
则盒底的长为 (100 − 2x) cm，宽为 (50 − 2x) cm，
化简，得 x2 75x 350 0 ②
该方程中未知数的个数和最 高次数各是多少？
3、 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要
比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7
天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队
二次方程.
(2) 当 a = 2 且 b≠0 时，是关于 x 的一元一次方程.
一元二次方程的根 活动3：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根?
– 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4
x
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6 14 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6
少了限制条件 a≠0
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整 式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
练习2：将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一 般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它
们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10 整理，得 3x2 - 8x - 10 = 0
化简,得2x2-3x-54=0 ①
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
2、有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的
四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分
折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方
盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的
正方形？
解：设切去的正方形的边长为 x cm，
(2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时， 原方程是关于 x 的一元二次方程.
一元二次方程ppt课件
(1)
3x 2 +1=6x
(2)
4x 2 +5x=81
(3)
x(x十5)=0
(4)
(2x-2)(x-1)=0
(5)
x(x十5)=5x-10
(6)
(3x-2)(x+1)=x(2x-1)
●2.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般
形式:
(1)一个圆的面积是2m 2 ，求半径;
(2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm 2 ，求较长
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于
较长一段的长的平方，求较短一段的长 x.
●1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次
项系数、一次项系数和常数项:
无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm，那么铁皮
各角应切去多大的正方形?
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm 2 ，
得 (100-2x)(50-2x)=3600.
4x 2 -300x+1400=0.
x 2 -75x+350=0.
不是，未知数在分母上
一元二次方程的三个必要条件
●1.未知数只有一个
●2.未知数的最高次数是2
●3.分母中没有未知数
●方程（m+2）x ㎡-2 +3mx+1=0，是关于x的一元二次方程，
求m的值
解：因为是一元二次方程，所以m 2 -2=2，得出m=2和m=-2
一元二次方程(全章课件173P) ppt课件
应有如下关系:
C
?
AC BC 2 2 AC 即 BC BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x
x 2(2 x) ppt课件 2 2x 4 0 整理得 x
2
5
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
4m
2
27mx 5 0
ppt课件 13
是关于x的一元二次方程.
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数： ⑴ 6y y
2
⑵ ⑶
( x 2)(x 3) 8
(2 3 x)(2 3 x) ( x 3)
ppt课件
x 3 5, x 3 5
得 : x 2, x 8
ppt课件
2 1
26
以上解法中,为什么在方程 x 两边加9?加其他数行吗?
2
6 x 16
像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法, 叫做配方法.
例 解下列方程
(1) x 6 x 3 0
2
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2且b≠0时是一元一次方程；
ppt课件 12
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元 二次方程的是( D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时,方程
C
?
AC BC 2 2 AC 即 BC BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x
x 2(2 x) ppt课件 2 2x 4 0 整理得 x
2
5
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
4m
2
27mx 5 0
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是关于x的一元二次方程.
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数： ⑴ 6y y
2
⑵ ⑶
( x 2)(x 3) 8
(2 3 x)(2 3 x) ( x 3)
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x 3 5, x 3 5
得 : x 2, x 8
ppt课件
2 1
26
以上解法中,为什么在方程 x 两边加9?加其他数行吗?
2
6 x 16
像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法, 叫做配方法.
例 解下列方程
(1) x 6 x 3 0
2
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2且b≠0时是一元一次方程；
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1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元 二次方程的是( D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时,方程
一元二次方程课件
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计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时， 方程有两个不相等的 实根
当$Delta < 0$时， 方程无实根，即根为 复数
当$Delta = 0$时， 方程有两个相等的实 根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二 次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与 方程根相关的问题，如判断方程的根 的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。
计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时， 方程有两个不相等的 实根
当$Delta < 0$时， 方程无实根，即根为 复数
当$Delta = 0$时， 方程有两个相等的实 根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二 次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与 方程根相关的问题，如判断方程的根 的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。
一元二次方程ppt课件
次项系数、一次系数和常数项系数：
ax2+bx+c=0
（1） 5x2-1=4x ；
（2）4x2=81 ；
（3）4x(x+2)=25 ;
（4）(2x-2)(x-1)=0
当堂检测
5.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化为一元二
次方程的一般式：
（1） 4个完全相同的正方形面积之和为25，求正方形的边长x ；
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数，不是整式
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
(5)5x2+6=0
a可能为0
是
典例精析
例 将下列方程化为一般形式，并判断二次项系数、一次项系数、常数项
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解：3x 2 − 3x = 5x + 10
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数最高次数是2（二次），这样的方程
叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a≠0）
【提问】为什么强调a≠0
其中 ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，
b是一次项系数，c是常数项.
判断一元二次方程
判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
算一算：
x＝-2，x＝1,哪个方程2x2-3x+1＝0的解？
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
ax2+bx+c=0
（1） 5x2-1=4x ；
（2）4x2=81 ；
（3）4x(x+2)=25 ;
（4）(2x-2)(x-1)=0
当堂检测
5.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化为一元二
次方程的一般式：
（1） 4个完全相同的正方形面积之和为25，求正方形的边长x ；
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数，不是整式
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
(5)5x2+6=0
a可能为0
是
典例精析
例 将下列方程化为一般形式，并判断二次项系数、一次项系数、常数项
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解：3x 2 − 3x = 5x + 10
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数最高次数是2（二次），这样的方程
叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a≠0）
【提问】为什么强调a≠0
其中 ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，
b是一次项系数，c是常数项.
判断一元二次方程
判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
算一算：
x＝-2，x＝1,哪个方程2x2-3x+1＝0的解？
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
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contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
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第二十二章一元二次方程
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程的应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程组》、《分式方程》等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
课时划分
本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：
22．1 一元二次方程 2课时
22．2 降次──解一元二次方程 4课时（直接开方法1、配方法1、公式法1、因式分解法1）习题课 1课时
22．3 实际问题与一元二次方程 3课时
小结 1课时
22.1一元二次方程（第1课时）。