离散数学试卷及答案(3)

一、 填空 20% （每空 2分）

1、 设 f ，g 是自然数集N 上的函数x x g x x f N x 2)(,1)(,

=+=∈∀，

则=)(x g f 。

2、 设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} ,

则s （R ）= 。

3、 A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法 T= ； T 的关系图为

； T 具有 性质。

4、 集合}}2{},2,{{Φ=A 的幂集A

2= 。 5、 P ，Q 真值为0 ；R ，S 真值为1。则))()(())((S R Q P S R P wff ∧∧∨→∨∧的真值

为 。

6、 R R Q P wff →∨∧⌝))((的主合取范式为 。

7、 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。则谓词

))),()(()((x y N y O y x P x wff ∧∃→∀ 的自然语言是

。 8、 谓词)),,()),(),(((u y x uQ z y P z x P z y x wff ∃→∧∃∀∀的前束范式为

。

二、 选择 20% （每小题 2分）

1、 下述命题公式中，是重言式的为（ ）。

A 、)()(q p q p ∨→∧ ；

B 、))())(()(p q q p q p →∧→↔↔ ；

C 、q q p ∧→⌝)( ；

D 、q p p ↔⌝∧)( 。 2、 r q p wff

→∧⌝)(的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。

A 、2；

B 、 3；

C 、5；

D 、0；

E 、 8 。 3、 给定推理

①))()((x G x F x →∀ P ②)()(y G y F → US ① ③)(x xF ∃ P ④)(y F ES ③ ⑤)(y G T ②④I ⑥)(x xG ∀

UG ⑤

)())()((x xG x G x F x ∀⇒→∀∴

推理过程中错在（ ）。

A 、①->②;

B 、②->③;

C 、③->④;

D 、④->⑤;

E 、⑤->⑥

4、 设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}，

S 5={3，5}，在条件31S X S X ⊄⊆且下X 与（ ）集合相等。 A 、 X=S 2或S 5 ； B 、X=S 4或S 5；

C 、X=S 1，S 2或S 4；

D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。

5、 设R 和S 是P 上的关系，P 是所有人的集合，},|,{的父亲是y x P y x y x R ∧∈><=，

},|,{的母亲是y x P y x y x S ∧∈><= 则R S 1-表示关系 （ ）。 A 、},|,{的丈夫是y x P y x y x ∧∈><； B 、},|,{的孙子或孙女是y x P y x y x ∧∈><；

C 、 Φ；

D 、},|,{的祖父或祖母

是y x P y x y x ∧∈><。 6、 下面函数（ ）是单射而非满射。

A 、12)(,:2-+-=→x x x f R R f ；

B 、x x f R Z f ln )(,:=→+

；

C 、的最大整数表示不大于x x x x f Z R f ][],[)(,

:=→；

D 、12)(,:+=→x x f R R f 。

其中R 为实数集，Z 为整数集，R +，Z +分别表示正实数与正整数集。 7、 设S={1，2，3}，R 为S 上的关系，其关系图为

则R 具有（ ）的性质。

A 、 自反、对称、传递；

B 、什么性质也没有；

C 、反自反、反对称、传递；

D 、自反、对称、反对称、传递。 8、 设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有（ ）S ⊆。

A 、{{1,2}} ；

B 、{1,2 } ；

C 、{1} ；

D 、{2} 。 9、 设A={1 ,2 ,3 }，则A 上有（ ）个二元关系。

A 、23 ；

B 、32 ；

C 、3

22； D 、2

32。 10、全体小项合取式为（ ）。

A 、可满足式；

B 、矛盾式；

C 、永真式；

D 、A ，B ，C 都有可能。

三、 用CP 规则证明 16% （每小题 8分）

1、F A F

E D D C B A →⇒→∨∧→∨,

2、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∀⇒∨∀

四、（14%）

集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<,>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。 1、 证明R 是X 上的等价关系。 （10分） 2、 求出X 关于R 的商集。（4分）

五、（10%）

设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >}

要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。（4分） 2、用矩阵运算求出R 的传递闭包。（6分）

六、（20%）

1、（10分）设f 和g 是函数，证明g f ⋂也是函数。

2、（10分）设函数S T f T S g →→::，证明 S T f →:有一左逆函数当且仅当f 是入射函

数。

一、 填空 20%（每空2分）

1、2(x+1)；

2、}a , c ,a , b ,c , c ,c , a ,b , a ,a , a {><><><><><>< ；

3、

>}<><><><><><3,6,2,6,2,4,5,1,3,1,2,1{；

4、

反对称性、反自反性；4、}}}2{},2,{{}},2{{}},2,{{,{ΦΦΦ；5、1；

6、)()()(R Q P R Q P R Q P ∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨；

7、任意x ，如果x 是素数则存在一个y ，y 是奇数且y 整除x ；

8、)),,(),(),((u y x Q z y P z x P u z y x ∨⌝∨⌝∃∀∀∀。

二、 选择 20%（每小题 2分）

三、 证明 16%(每小题8分) 1、 ①A P （附加前提） ②B A ∨

T ①I ③D C B A ∧→∨

P