第四章控制系统的传递函数
自动控制原理 孟华 第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (2，j 0)，(0+j 1)，(3+j 2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()13()(++=s s s K s G试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K =0时：s=-1/2，0；K =1：s=-122；K =-∞：s=-∞，-1/3。
根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图4-3 已知系统的开环传递函数)1()1()()(-+=s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。
解：分离点：；会合点： ；与虚轴交点：±j 。
稳定的K 值范围：K >1。
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。
解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
-10-505-8-6-4-22468Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s习题4-4答案图4-5 设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角55°；分离会合点和；与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为 ＜K ＜ (即 ＜K *＜。
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
控制工程课件07第四章(第一讲修改)
arctan T
第四章 频率特性 • uo(t)表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态 分量。显然上述RC电路的稳态响应为
lim uo (t )
t
U
2 2
1 T 1 1 U sin t 1 jT 1 jT
sin(t )
第四章 频率特性 应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。
第四章 频率特性 频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性； ()大于零时称为相角超前，小于零时称 为相角滞后。
由若干典型环节的频率特性组成的。
• 本节介绍六种常用的典型环节。
第四章 频率特性 4.2.1 典型环节的极坐标图 1 比例环节
G( s ) K
比例环节的奈氏图
G( j ) K
G( j) K U jV A e j
式中 U ( ) K －实频特性；
频率特性分别为：
G( j ) j G( j ) 1 j G( j ) 1 2 2 j 2
第四章 频率特性 ① 纯微分环节：G ( j ) j
纯微分环节的奈氏图
U ( ) 0 V ( )
e j (t G ( j )) e j (t G ( j )) R | G ( j ) | 2j R | G ( j ) | sin(t G ( j )) Ac sin(t )
式中，稳态输出的振幅和相位分别为
自动控制原理第四章习题解答
4
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
（２） G(s) =
K ∗ (s + 20)
。
s(s + 10 + j10)(s + 10 − j10)
解：
系统开环传递函数为 G(s) =
K ∗ (s + 20)
s(s + 10 + j10)(s + 10 − j10)
有三个极点：p1 =（0，j0），p2 =（-10＋ｊ10），p3 =（－10-ｊ10），有一个零点 z1 =（－
(2) 确定 G(s) = K ∗ (s + z)
产生纯虚根为±ｊ1 的ｚ值和 K ∗ 值。
s 2 (s + 10)(s + 20)
解：系统特征方程为 s4 + 30s3 + 200s2 + K *s + K *z = 0 令 s = j1代入特征方程中得：
20，ｊ０）。 起始角：
∑ ∑ θ pi
= (2k
+ 1)π
+
m
ϕ z j pi
j =1
n
−
θ pi pi
j =1
( j≠i)
k = 0,±1,±2,L
θ p1 = 1800
θ p2 = 1800 ϕ + z1p2 θ − p1p2 θ − p3p2 = 1800 + 450 − 1350 − 900 = 00
有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。
分离点坐标计算如下：
1+ 1 = 1 d d + 0.5 d + 1
d 2 + 2d + 0.5 = 0 解方程的 d1 = −1.7 ， d2 = −0.29
控制系统的传递函数定义
控制系统的传递函数定义
控制系统传递函数是描述控制系统输入与输出关系的数学模型，通常用于分析和设计控制系统。
它表示了输入信号经过控制系统后的输出信号，可以用数学公式表示为输出信号Y(s)与输入信号U(s)的关系：Y(s)=G(s)U(s)。
其中，G(s)为系统的传递函数，它是一个复数函数，描述了控制系统的动态特性和稳态特性。
传递函数的分母描述了系统的阻尼和自然频率，分子描述了系统的增益和相位，通过对传递函数进行分析可以得到系统的稳态误差、稳定性、响应速度等性能指标。
因此，传递函数是控制系统分析和设计的重要工具，对于掌握控制系统的动态特性和优化系统性能具有重要意义。
- 1 -。
第四章 控制系统的传递函数(2)
Ub(s) R2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Uo(s) I(s)
C1
C2
I f ( s)
U b ( s) 1 R1 c1s
R c s 1 1 1 1 1 I ( s ) U ( s ) I ( s ) R // b 1 2 c c s c s c s c s s 1 1 2 2 1 1 2 c R
2 d dx o o ⑤ 二阶环节和振荡环节 T x T x Kx o o i 2 dt dt
G(s)
2 K n 2 2 s 2 s n n
⑥ 延时环节
xo (t) = xi (t-τ)
G (s) es
求右图油缸-阻尼-弹簧 系统的传递函数.其中， p为输入，xo为输出。
试画出人工控制的恒温箱原理框图
脑
① 比例环节
xo(t)=kxi(t)
G(s)
Xo (s) Xi (s)
k
小 节
② 微分环节
③ 积分环节
dx i (t) xo(t) T G(s)=TS dt
x ( t) T t) dt G(s)=T/S o i( x
dx K G ( s ) ④ 惯性环节 T o xo Kx i Ts1 dt
第四章 控制系统的传递函数
第二节 复合环节传递函数
一般来说，采用调节器的控制系统，既能获得较高的 静态精度，又具有较快的动态响应。
2014.10.13
1. 复合环节概念
在自动控制技术中，常用到一些被称为调节器（校正器）的 动态元件。他们就是由一些典型环节组成的复合环节。不同 环节的组合，构成各种性能不同的调节器。了解这些调节器 的传递函数，会方便以后的设计。 单一典型环节组合 复合环节，如PI调节器、PD调节器
第四章控制系统的传递函数
其中，
n
1 T
——环节的 固有频率
To 2
1 T
——环节的 阻尼比
如果0≤ξ<1，二阶环节称为振荡环节
例7 图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统. 求G(s)
依动力平衡原理有 Xi(t) k m c
Xo(t)
d 2 xo dxo m 2 c kxo kxi dt dt
因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应 的拉氏变换。
一般地,传递函数的表达式为
X o ( s) ao s n a1s n1 a2 s n2 an G( s ) X i ( s) bo s m b1s m1 b2 s m2 bm
2. 传递函数的性质
k
k为比例环节的增益或称为放大系数
例1
解
ni(t)
z1
求一对齿轮传动的传递函数 no z1 k ∴G(s)=k ni z2
最基本的运算放大器
no(t)
z2
例2
i 1= i 2
ei ea ea eo R1 R2
ei eo R1 R2
ei
R2 R1 e i2 a Ko a i3 i1 +
ZL=Ls
3.电容元件
dUC iC C dt
ZC(s) = 1/sC
例5
下图是一个由运算放大器组成的积分器， 求G(s)。 C R i + uc 取拉氏变换 uo Ui(s) R
Zc
i
+ Uo(s)
ui
解：
1 uc idt c
I ( s) U c ( s) cs
K s
1 Zc cs
ms2 X o ( s) csX o (s) kXo ( s) kXi (sG( s) 2 ms cs k
《机械工程控制基础》课后答案
目录第一章自动控制系统的基本原理第一节控制系统的工作原理和基本要求第二节控制系统的基本类型第三节典型控制信号第四节控制理论的内容和方法第二章控制系统的数学模型第一节机械系统的数学模型第二节液压系统的数学模型第三节电气系统的数学模型第四节线性控制系统的卷积关系式第三章拉氏变换第一节傅氏变换第二节拉普拉斯变换第三节拉普拉斯变换的基本定理第四节拉普拉斯逆变换第四章传递函数第一节传递函数的概念与性质第二节线性控制系统的典型环节第三节系统框图及其运算第四节多变量系统的传递函数第五章时间响应分析第一节概述第二节单位脉冲输入的时间响应第三节单位阶跃输入的时间响应第四节高阶系统时间响应第六章频率响应分析第一节谐和输入系统的定态响应第二节频率特性极坐标图第三节频率特性的对数坐标图第四节由频率特性的实验曲线求系统传递函数第七章控制系统的稳定性第一节稳定性概念第二节劳斯判据第三节乃奎斯特判据第四节对数坐标图的稳定性判据第八章控制系统的偏差第一节控制系统的偏差概念第二节输入引起的定态偏差第三节输入引起的动态偏差第九章控制系统的设计和校正第一节综述第二节希望对数幅频特性曲线的绘制第三节校正方法与校正环节第四节控制系统的增益调整第五节控制系统的串联校正第六节控制系统的局部反馈校正第七节控制系统的顺馈校正第一章自动控制系统的基本原理定义：在没有人的直接参与下，利用控制器使控制对象的某一物理量准确地按照预期的规律运行。
第一节控制系统的工作原理和基本要求一、控制系统举例与结构方框图例1．一个人工控制的恒温箱，希望的炉水温度为100C°,利用表示函数功能的方块、信号线，画出结构方块图。
图1人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温度，通过大脑分析、比较，利用手和锹上煤炭助燃。
比较图2例2．图示为液面高度控制系统原理图。
试画出控制系统方块图和相应的人工操纵的液面控制系统方块图。
解：浮子作为液面高度的反馈物，自动控制器通过比较实际的液面高度与希望的液面高度，调解气动阀门的开合度，对误差进行修正，可保持液面高度稳定。
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① 比例环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节，又称P 调节器。
比例环节运动方程为 xo(t)=kxi(t)，所以比例环节传递函数为
k G(s) Xo(s) X i (s)
k为比例环节的增益或称为放大系数
例1
ni(t)
z1
求一对齿轮传动的传递函数
解
no z1 k ni z2
∴G(s)=k
no(t)
z2
例2
最基本的运算放大器
i1=i2
ei ea ea eo
R1
R2
ei eo R1 R2
R2
G(s) Eo (s) R2 k Ei (s) R1
ei
R1
ea
i2 -
Ko
k — 运算放大器的闭环增益
i1
a i3 +
eo
② 微分环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一阶导数成比例的环节，又称为D调节
器。
运动方程为
xo (t)
T
dxi (t) dt
因此传递函数为：G(s)=TS
i
例3 求图示微分电路的G(s)
Ui
Uo
{ 解
1 c
idt uo ui
i uo
R
1
Rc
uodt uo ui
1 Rcs
Uo
(
s)
Uo
(
s)
Ui
(
s)
Ts G(s) Rcs Ts Rcs 1 Ts 1
微分环节不能单独存在。
因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应 的拉氏变换。
一般地,传递函数的表达式为
G(s)
X o (s) Xi (s)
aosn a1sn1 a2sn2 an bosm b1sm1 b2sm2 bm
2. 传递函数的性质
① 传递函数是系统本身的固有特性，与输入量的大小及 性质无关；
② 传递函数以简明的数学形式表达了系统的动态模型组 成，只要动态性能相似，就可以用相似的传递函数；
运动方程为
T
d 2 xo dt2
To
dxo dt
xo
Kxi
两边取拉氏变换得 Ts2 X o (s) TosX o (s) X o (s) KX i (s)
G(s)
Ts 2
K Tos 1
s2
Kn2 2ns n2
其中，
n
1 T
——环节的 固有频率
To
2
1 T
——环节的 阻尼比
如果0≤ξ<1，二阶环节称为振荡环节
运动方程为 T
dxo dt
xo
Kxi
因此传递函数为：G(s) K Ts 1
K—惯性环节的增益；T—惯性环节的时间常数
例6 求右图电路的G(s)。
解：
Zc
1 cs
uo
Zc R Zc
ui
Uo (s)
Zc R Zc
Ui (s)
R
ui
i
C uo
G(s) Zc 1 R Zc Rcs 1
如果Rcs »1，则G(s)=1/Rcs=1/Ts
例5 下图是一个由运算放大器组成的积分器，
求G(s)。
C
ui
R
i uc -
取拉氏变换 Ui(s)
R
i -
+
uo
+
解：
uc
1 c
idt
Uc
(s)
I(s) cs
Zc
1 cs
G(s) Zc 1 K R Rcs s
K 1 Rc
Uo(s)
④ 惯性环节
凡能用一阶线性微分方程来描述的环节，又称为一阶环节。
例7 下图是运算放大器组成的惯性环节，求该环节的K和T。
R2
Z
ui
R1
C
-
+
uo
i
Ui(s) R1
-
+
Uo(s)
解： Z=R2∥Zc=R2∥1/cs = R2 / (R2cs+1)
G(s) Z R2 1
R1 R1 R2cs 1
K R2 R1
T R2c
⑤ 二阶环节和振荡环节
凡能用二阶线性微分方程来描述的环节都称为二阶环节。
第四章 控制系统的传递函数
1. 传递函数的概念
传递函数是在拉氏变换的基础上建立起来的一种数 学模型，是经典控制论中对线性系统进行研究、分析与综 合的重要数学工具。
定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。
即
，
G(s) Xo(s) X i (s)
特别地，当xi(t)=δ(t)，亦即 Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)
dxo dt
Dn
sX o (s) DN (s)
G(s) D
s
但如以vo(t)表示齿条的移动速度，则
vo (t) Dn Vo (s) DN (s)
G(s) D
1、电阻元件
u(t)=Ri(t)
2、电感元件
u
L
L
diL dt
3.电容元件
i
C
C
dUC dt
U(s)=RI(s) ZR=R ZL=Ls ZC(s) = 1/sC
2 mk
k m
k m
s
2
k m
{n
k m
c
2 mk
⑥ 延时环节
凡输出量滞后于输入量一个时间τ，但不失真地反映输入量
的环节。 运动方程为 xo (t) = xi (t-τ)
G(s) es X o (s) X i (s)es
1 xi(t)=1(t)
1
t
t
0
0
1
注意延时环节和惯性环节的区别
t
0
k ① 比例环节 xo(t)=kxi(t)
例7 图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统. 求G(s)
依动力平衡原理有
m
d 2 xo dt2
c
dxo dt
k xo
k xi
Xi(t)
k m
c
Xo(t)
ms 2 X o (s) csX o (s) kXo (s) kXi (s)
2
G(s)
ms2
k cs k
s2 2 2
c mk
③ 积分环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一次积分成比例的环节，又称为I调节 器。
运动方程为 xo (t) T xi (t)dt 因此传递函数为：G(s)=T/S
例4 右图为一齿轮齿条传动机构。n(t) n(t) D
为输入转速， xo(t)为线位移。求
xo(t)
该传动机构的传递函数。
解：根据传动关系有
k m
k m
s
2
k m
{n
k m
c
2 mk
上例中，如果输入量
Xo(t)
为外力f (t),则系统的
f (t)
固有频率和阻尼系数
为多少
m
d 2 xo dt2
c dxo dt
kxo
f (t)
ms 2 X o (s) csX o (s) kXo (s) F (s)
2
G(s)
1
1 k
ms2 cs k s2 2 c
③ 传递函数可以有量纲，也可以无量纲；
④ 传递函数是s的有理分式；
3. 典型环节传递函数
系统总是由各种元件组成，不管这些元件的属性如何，只要其动 态性能相似，就可以用相同的传递函数来表达。如果把系统的元 件按其运动方程的形式来分类，就得到各种不同的动态环节。
这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的环节组成，从而方 便地建立整个系统的数学模型。