大学物理第一章质点运动学(1)

v2 KK
由图中的几何关系，知：
vx

v1 KK
10(m /
s)
y(北)
vy

(vK2 K

v1 KK
)tg
45
v
45
15 10 5(m / s)
10ms-1 15ms-1 x(东)
O
风速的大小：
v 102 52 11.2(m / s)
风速的方向：
2q
由υy=0有 得射高
t v0 sin q g
ym

v02 sin 2 2g
q
讨论：抛射初速度大小v0一定的情况下，抛射角q = 45o 时， 射程最大，q = 90o 时，射高最大。
抛体在任意时刻的运动方程
v dr dt
r tvdt 0
y
v0t
1 gt2 2

t 0
任意时刻速度分量为
y
v x v0 cosq v y v0 sinq gt v0y
积分可得运动方程
v v0
g
θ
x v0 cosq t
y

v0
sinq

t

1 2
gt
2
o
v0 x
x
消去t 得轨迹方程
y

x
t
anq

2v
2 0
g cos2
q
x2
由y =0得射程
xm

v02
sin g
(
x2 h2 u) u
x
x2
h2 dx x2 h2 dt


u2h2 x3
即
a

axi


u2h2 x3
i
(船的加速度方向沿x 轴负向)
例 路灯距地面高度h，身高为l 的人以速度v0 在路上匀速行走。 求 人影头部的移动速度。
解 设v为人影头部的移动速度
v dx2
h
dt
1. 第一类问题
已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速 度和加速度。——微分法
r rt
v dr dt
a

dv dt

d 2 r dt 2
只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、 速度和加速度。
从运动方程中消去时间参数t，还可得质点运动的轨迹方程。
例
式中g为重力加速度，B为常量。
求 石子的速度和运动方程。
解 选向下为x轴正向
（1）a dv g Bv dt
分离变量并两边积分
v
dv
t
dt
0 g - Bv 0
（2）由 v d求x 运动方程 dt
v g (1 eBt ) B
x
t
0 dx 0vdt
x
t g (1 eBt )dt 0B
s 2 (2t t 2 )dt 3 (t 2 2t)dt 8 m
0
2
3
例 一质点沿x轴作直线运动，已知其加速度 a 3 4x (ms-2 )
初始条件为x0 = 0, v0 = 0。 求 质点的速度。
解
a dv 3 4x
dt
v，t，x 均为变量，作恒等变换
• 1-3 • 1-5

g B
t

g B2
(1
eBt
)
讨论：石子下落速度随时间增长按指数规律变化，t →时, v→g/B(常量)，达到最大速度，称为收尾速度或终极速度。
解题思路 1.运动学的第一类问题，用微分法。 ①根据已知条件在选定的坐标系中写出运动方程。 ②用求导数的方法求出速度和加速度。 ③要注意描述质点运动的几个物理量的矢量表示方法，分
得有南风，当其速率为15ms-1时，又觉得有东南风，
试求风速度。
y(北)
解：取风为研究对象，
v
骑车人和地面作为两
45
个相对运动的参考系。
作图
O
10ms-1 15ms-1 x(东)
根据速度变换公式得到：
v

vA K

v1 AK
v1 KK
v

vA K

v 2 AK
分离变量
d x (2t t2 )dt
v 2t t 2
两边积分
x
dx
t (2t t 2 )d t
0
0
质点的运动方程
x t 2 1t3（m） 3
(3) 质点在前三秒内经历的路程
s
3
v dt
3 2t t 2 dt
0
0
令 v =2t-t 2 =0 ，得 t =2
vt)

vK

v
vK vK v 伽利略速度变换
在直角坐标系中写成分量形式
vK x vK x v vK y vK y vK z vK z
vAK vAK vKK
绝对 速度
相对 速度
牵连 速度
3.
加速度变换
设K‘系相对于K系作匀加速直线运动,加速度 a0
v

dr

dx
i

dh
j
dt dt dt

dx dt
i

v
xi
u
h r
qC C'
Dx
O
x
h
r
q x
y
任意时刻小船到岸边的距离x 都满t

d dt
r2 h2
r dr r 2 h2 dt
按题意 u 是dr人收绳的速率，因为绳长r 随时间在缩短，故 dt
(v0

gt)dt

v0t

1 2
gt
2
r

v0t

1 2
gt
2
o
x
抛体运动可以看作沿初速度方向的匀速直线运动和沿竖直 方向的自由落体运动的叠加 —— 归结为直线运动的叠加。
1.6 运动描述的相对性 伽利略坐标变换
1. 伽利略坐标变换
不同参考系对同一个运动描述的结果不同，其
结果之间是否有某种联系呢？
dr 0 dt
则有
vx
r u r2 h2
x2 h2 u x
v
x2 h2 ui
x
（船速方向沿x 轴负向）
船靠岸的速率为 船的加速度为
v v
u x
u u cos θ
x2 h2
a

dv

dv
x
i
dt dt
ax

dv x dt

d dt
R
y
y'
成立的条件:绝对时空观！
空间绝对性:空间两点距离的
测量与坐标系无关。

OP r
时间绝对性:时间的测量
与坐标系无关。
z
r o o'
R
z'
t t
v
P
r
x x'
因此r， 满r足经R典时 空r 观v的t 条件时
t t
y
y'
P点在K系和K'系的空间坐标、
时间坐标的对应关系为：
x x vt
y y z z
r o o'
R
t t
z
z'
伽利略坐标变换式
v
P
r
x x'
vK2、. 速vK度分变别换表示质点r在 两r个坐R标系 中r 的v速t 度
即vvKK ddvrtK
d(r v dt
已知一质点的运动方程为： r

a
cos
2πti

b sin
2πtj
式中a, b均为正常数。
求 质点的加速度。
证 本题属于运动学第一类问题:
v

d
r

2πa
sin
2πti

2πb
cos
2πtj
dt
a

dv

4π2a
cos
2πti

4π2b sin
2πtj
d
t

4π2
(a
cos
2πti

b
sin
2πtj )
4π2r
加速度矢量 a与位矢 方r 向相反，说明加速度恒指向椭圆中
心。
例 在离水面高为h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变 的速率u 收绳。
求 当船在离岸距离为x时的速度和加速度。
解 任意时刻船的位矢
r

xi

hj
设船靠岸的速度为 v
由几何关系 x2 x1 x2
lh
o
(h l)x2 hx1
l x1
x2 x
两边求导 (h l) dx2 h dx1 dt dt v hv0 hl
dx1 dt

v0
2. 第二类问题
已知质点运动的速度或加速度，并附以初始条件（即t=0时，
质点的位置 r0和速度v0），求质点的运动方程。——积分法
arctg 5 2634
10
为东偏北2634'
知识点
• 质点运动学（速度、加速度、位移、路程 概念分析、圆周运动）；
• 伽利略变换 • 质点的相对运动
精品课件！
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思考
• 1.（1）匀加速运动是否一定是直线运动？ （2）匀速圆周运动是不是匀加速运动？