第四章可测函数
实变函数课件第四章可测函数 (2)
E Ei上,且f x在每个Ei上都可测,则f x在E上也可测.
i 1
定义3 设f x的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1，E2， ，Es ，E Ei ,使f x在每个Ei上等于常数ci，
i 1
则称f x为简单函数.
定理4 设f x ,g x 在E上可测,则下列函数( 假定它们在
作业：13
定理2 设f (x)是E R上a.e.有限的可测函数,则对任意的 0, 存在闭集F E及整个R上的连续函数g(x)(F及g(x)依赖于 )， 使得在F上g(x) f (x)，且m(E \ F) .此外还可要求
sup g(x) sup f (x) 及inf g(x) inf f (x).
注：一个函数在其定义域中的每一个孤立点都是 连续的.
定理2 可测集E Rn上的连续函数都是可测函数.
例1 区间[a,b]上的连续函数和单调函数都是可测函数.
定理3 (1)设f x是可测集E上的可测函数,而E1 E为E的 可测子集,则f x 看作定义在E1上的函数时,它是E1上的可
测函数;
(2)设f x定义在有限个可测集Ei(i 1, 2, , s)的并集
R
F
R
F
作业：P51,1，P52,2
第4节 依测度收敛
定义 设{ fn}是E Rq上的一列a.e.有限的可测函数，若 有E上的a.e.有限的可测函数f (x)满足下列关系：
对任意
0,有lim mE[| n
fn
f
| ] 0，
则称函数列{ fn}以测度收敛于f ，或度量收敛于f ，
记为fn (x) f .
(4) 对任意有限实数a,b(a b), E[a f b] 都可测(但充要性要假定f (x)是有限函数).
第四章可测函数
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测，特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时，
它也在可测。
4、简单函数及其性质
（1）定义：设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ，使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ，则称 f (x)
则称 fn在E上几乎一致收敛于 f ，记为 fn f a.u.于E
注：1°”一致收敛”强于“收敛”， “收敛”强于“几乎处处收敛” 2°叶果洛夫定理得逆命题就是若 fn f a.u.于E ，则 fn f a.e.于E 3°叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系， 根据这个定理，对于任意几乎处处收敛的可测函数列，都可在E的一 个子集 上E当 作一致收敛的函数列来处理。
黎斯条件下的子列在叶果洛 夫条件下
（3）著名的勒贝格微分定理：若 f (x) 是[a,b]上的单调函数，则 f (x) 在[a,b]上几乎处处可导。 （4）[0,1]上的狄利克雷函数 D(x) 0 a.e.于 [0,1]
性质：
（1）1 a.e.于E
且 2
a.e.于E
，则 1
或 2
a.e.于E
，
且
1
2
a.e.于E
.
（2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函
1 f (x), f (x) g(x),(g(x) 0 集中在零测集上）可测集。
可 测
定理 5：设 fn(x) 是E上一列（或有限个）可测函数，则
函 数
(x) inf n
fn (x)与
可测函数的定义及其简单性质
可测函数是指函数的值对应的集合在 测度空间中是可测的。
实值函数的可测性
实值可测函数
如果对于每个 $x$，集合 ${y: f(x)=y}$ 是可测的，则称 $f$ 是实值可测函数。
解释
实值可测函数是指函数的值域在实数轴上对应的集合是可测的。
函数可测的充要条件
充要条件
如果 $f$ 是从 $(X,Sigma,mu)$ 到 $(Y,Gamma)$ 的函数，则 $f$ 是可测的充 要条件是对于每个 $y in Y$，集合 ${x: f(x)=y}$ 是可测的。
重要性及应用领域
可测函数在实变函数理论中占据重要 地位，它是研究积分、微分等数学概 念的基础。
可测函数的应用领域非常广泛，包括 概率论、统计学、微分方程、积分方 程等领域，是现代数学的重要分支之 一。
02 可测函数定义
定义
定义
如果对于每个 $x$，集合 $A_x$ 是可 测的，则称 $f$ 是可测函数。
未来可测函数的研究将更加注重与其他数学分支的交叉融合，
03
如分析、几何、拓扑等，以推动数学学科的发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
可测函数在研究函数的可导性方面也有着重要的应 用，例如在研究函数的导数和极值时。
动态系统的行为
可测函数在研究动态系统的行为方面也有着 重要的应用，例如在研究系统的稳定性时。
05 结论
可测函数的重要性和意义
1
可测函数是概率论和统计学中的基本概念，它对 于描述随机现象和预测未来事件具有重要意义。
2
可测函数的定义基于可测集的概念，通过将样本 空间划分为可测集，可以更好地理解随机现象的 内在规律和性质。
详细描述
(完整版)《实变函数》第四章可测函数
第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构。
§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数， 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近， 这是可测函数的构造性特征。
本节难点 可测函数与简单函数的关系。
授课时数 4学时———---—-——-——-—-—--——-——————-—1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数（可取±∞）,若[],f a a R E>∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数。
2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2 简单函数是可测函数若1nii E E ==⋃ （iE 可测且两两不交），()f x 在每个iE 上取常值ic ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0ii E i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f OE Oδεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续lim ()()x x f x f x →=若0,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x Of x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x f OOδεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续）证明:任取[]x E f a ∈>， 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,xf x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f OE Oa δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a OE Eδ>⋂⊂。
第四章习题解答可测函数
第四章习题解答1、证明：()f x 在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ，集[]E f r >可测，如果集[]E f r =可测，问()f x 是否可测？证明：必要性显然。
因为()f x 在E 上为可测函数，故对任意实数1a R ∈有[]E f a >可测，当然有对任一有理数r ，集[]E f r >是可测集。
充分性：若对任意有理数r ，集[]E f r >可测，则对任一实数a ，{},,()n n n r r a r a n ∃>→→∞使，于是1[][]n n E f a E f r ∞=>=>∑。
事实上，若[](),,(),[]n n n x E f a f x a r a r f x x E f r ∈>⇒>∃<<∈>所以使即。
故 1[][]n n E f a E f r ∞=>⊆>∑ 若1[]n i x E f r ∞=∈>∑，则存在0n ，使0[]n x E f r ∈>，所以0()n f x r a >>，[]x E f a ∈>。
1[][]n n E f a E f r ∞=>⊇>∑，由此有1[][]n n E f a E f r ∞=>=>∑，而每一个[]n E f r >可测从而： []E f a >可测。
2、设()f x ，()(1,2,)n f x n = 是定义在区间[,]a b 上的实函数，k 为正整数，试证：11lim [||]n n k E f f k ∞→∞=-< 是E 中使()n f x 收敛于()f x 的点集。
证明： 11111lim [||][|()()|].n n n k k N n N E f f E f x f x k k ∞∞∞∞→∞====-<=-<由()()n f x f x →()n →∞的定义，⇔1,N kε∀=∃，使得当n N ≥时有 1|()()|n f x f x k-<，由该定义反分析回去即为：1|()()|n f x f x k -<⇔1[|()()|]n x E f x f x k∈-<； 对一切n N ≥，有1|()()|n f x f x k -<⇔1[|()()|]n n N x E f x f x k ∞=∈-< ；N ∃，当n N ≥时，1|()()|n f x f x k -<⇔11[|()()|]n N n Nx E f x f x k ∞∞==∈-<对1,N k ε∀=∃，使得n N ≥时，1|()()|n f x f x k-< ⇔111[|()()|]n k N n Nx E f x f x k ∞∞∞===∈-< ，因此有：111[][|()()|]n n k N n NE f f E f x f x k ∞∞∞→===→=-< 。
4-1可测函数及其性质
E上的连续函数． 这就是说，同一个函数，将其看作
定义在某个集E 上的函数可能是连续的,若将其看作 定义在另一个集E上的函数，则可能是不连续的．
2019年2月4日6时6分
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定理 2 可测集 E R 上的连续函数 f 是可测函数． 证 对任何实数 a ，要证E [ f > a ] 是可测集．
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⑶
1 E[ f 0] E[ f a ], a 0, 1 E[ a ] E[ f 0] \ E[ f ] a 0, f 1 E[ f 0] E[ f ], a 0. a
设有理数全体为：r1 , r2 , . . . , rn , . . . ，于是有
E[ f g] ( E[ f rn ] E[ g rn ]) ,
n 1
所以E [ f > g ] 是可测集． 因为E [ f g ] = E － E [ f < g ] ， 所以E [ f g ] 是可测集．
{ x [a, b] | f ( x ) c }
必定是下述三种情况之一：区间、单点集或空集． 从而可知
{ x [a, b] | f ( x ) c }
是可测集，所以 f 是可测函数．
2019年2月4日6时6分
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定义 2 设f 在 E R 上有定义，x0 ∈E ，若对任给 ε> 0，存在 δ> 0，使得当 x ∈ U(x0 ,δ) E 时，
2019年2月4日6时6分
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若f 在 E 的每一点都连续, 则称 f 在 E 上连续．
4.4. 依测度收敛
例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在 E上的连续函数列{fi(x)}使fi(x)→f(x) a.e.于E
证明：由鲁津定理的推论知
1 , 闭集F n E，及E上的连续函数 n ( x) g n 使在Fn上g n ( x) f ( x)且m( E Fn )
由g nk g于E , 知存在{g nk }的子列{g nk }，使 g nk g a.e.于E
i i ij ij
从而 f nk g nk fg a.e.于E，
ij ij
再由 Lebesgue 定理（ mE ）得f nk g nk fg 于E， ,
ij ij
这与（*）式矛盾，所以 f n gn f g于E
证明：假设 f n gn f g于E 不成立，则
0, 0, N 0, n N , 使E[| fn gn fg| ]
故 0, 0, 和一自然数列{nk }, 使E[| fn gn
k k
fg | ]
*） （
由f nk f于E, 知存在 f nk }的子列 f nki }，使f nki f a.e.于E { {
f n2 不依测度收敛于f 2于R 但
x gn ( x) n , g ( x) 0 注：令
n
，则 gn不依测度收敛于g
n
对0 1, 有 lim mE[| gn g | ] lim m(n， )
依测度收敛的等价描述
令mE<+∞，则 f n f于E 对{fn} 的任意子列 {fnk} ,存在{fnk}的子列 {fnki} ，使得 f 来自 f a.e.于Eki
证明：（必要性）任取 {fn}的子列 {fnk} ，
4.2-4实变函数与泛函分析 可测函数
进一步 f(x)在
E ( E E ) ( En )
n 1
上可测。
第四章 可测函数
第四节 可测函数的收敛性 依测度收敛
子列 Riesz定理
f n f a.e.于E
叶果洛夫 逆定理
叶果洛夫定理 mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞ f n f于E
子列
f n f a.u.于E
1 n
， 存在闭集
En E
1 m ( E E ) 使 且 n n f(x)在En 连续，当
令E En， 然 f(x)在 En上可测， n1
从而m( E E) 0
则m( E E) m( E En ) 1 n 0(n )
从而 f(x)在 E E 上可测，
若f n f a.e.于E ，则f n f 于E
Riesz定理
若 f n f于E 于E,则必有{fn}的子列 {fnk} ，使得 f nk f a.e.于E
子列 Riesz定理
f n f a.e.于E
叶果洛夫 逆定理 叶果洛夫定理 mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞
f n f于E
1
一致收敛是函数列很重要的性质, 能保证极限过程和一些运 算的可交换性。但一般而言，收敛的函数列不一定一致收敛, 然而是基本上(a.e.)一致收敛的（叶果洛夫定理） 。
几乎处处收敛与一致收敛（叶果洛夫定理）
Th:设mE<+∞，fn在E上可测，f几乎处处有限，
若f n f a.e.于E ，则fn在E上a.e.一致收敛于f.
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§1 可测函数及其性质 §2 叶果洛夫定理 §3 可测函数的构造 §4 依测度收敛
§1 可测函数及其性质
要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可 测函数是勒贝格积分的基本对象。
记号：一个定义在 E Rn 上的实函数 f (x) 确定了E的一组
子集
E f a x | xE, f (x) a
不是一个函数值，而是一个集合
可测函数等价定义 设f (x)是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数a,b (a b)
f (x) 在E上可测 （1）E f a 都可测。
（2） E f a 都可测。 （3） E f a 都可测。 （4）Ea f b 都可测。
推论：设 f (x)在E上可测，则 E f a 总可测，不论 a 是有 限实数或 即：可测集E上的常值函数是可测函数。
函数 n 的极限函数，其中 1(x) 2(x)
注：1°简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。 2°简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数
可能为 ，然而简单函数一定是可测函数。
5、几乎处处成立
设 是一个与集合E的点 x 有关的命题，如果存在E的子集 M，适合 mM 0 ，使得 在E\M上恒成立，即E\E[ 成 立]=零测度集，则我们称 在E上几乎处处成立， 或说
n
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测，特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时，
它也在可测。
4、简单函数及其性质
（1）定义：设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ，使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ，则称 f (x)
这里 a 取遍一切有限实数，反之，f (x) 本身也由E的这组 子集而完全确定。
类似地，有 E f a, E f a, E f a, Ea f b
1、可测函数定义
设 f (x) 是定义在可测集E Rn的实函数，如果对于任何有限实
数a ，E f a都是可测集，则称 f (x)为定义在E上的可测函数。
fn f a.e.于E
一致收敛：若对于 0，存在自然数N，对 n, m N 及 x E
都有 fn(x) fm(x) ，则称函数列 fn 在E上一致收定理）
设 mE ， fn是E上可测函数列，f 是E上几乎处处有限 的函数， fn在E上几乎处处收敛于 f ，则对任意 0，存 在子集 E E，使 fn在 E 上一致收敛，且 m(E \ E )
例题 1：区间[a,b]上的连续函数与单调函数都是是可测函数。 例题 2：勒贝格零测集上所定义的函数必是可测函数。
问题：连续函数是可测函数吗？ 2、点集上的连续函数定义
定义在 E Rn上的实函数 f (x)，如果 y0 f (x0 )有限，而且对 于 y0 的任一邻域V，存在 x0 的某邻域U，使得f U E V，即 只要 x E且 x U时，便有 f (x) V，则 f (x)在 x0 E 连续。
1 f (x), f (x) g(x),(g(x) 0 集中在零测集上）可测集。
可 测
定理 5：设 fn(x) 是E上一列（或有限个）可测函数，则
函 数
(x) inf n
fn (x)与
(x) sup fn (x) 都在E上可测。
n
列的极限
定理
6：设
fn
(x)
是E上一列可测函数，则
F
(x)
lim
数，则g也是E上的可测函数。
§2 叶果洛夫定理
1、收敛、几乎处处收敛、一致收敛
设 fn是定义于E上的函数列
收敛：若存在E上的函数 f
，对于 x E
，lim n
fn (x)
f (x),
则称函数列 fn在E上收敛， f 为 fn 的极限函数。
几乎处处收敛：若存在 E1 E ，mE1 0 ， fn在 E \ E1 上收 敛于 f ，则称 fn在E上几乎处处收敛于 f ，记为
如果 f (x) 在E中每一点都连续，则称f (x) 在E上连续。
注：这个定义并不要求E是可测集；当E是某个区间时，它与数学分 析中连续的概念相一致。
定理 2：可测集 E Rn 上的连续函数是可测函数。
3、可测函数基本性质
定理 3： （1）设 f (x) 是可测集E上的可测函数，而E1 E 为E的可测子集，则 f (x)看作定义在 E1 上的函数时，它是 E1 上的可测函数； （2）设 f (x)定义在有限个可测集 Ei (i 1, 2,..., s) 的并集 E s Ei
（3）著名的勒贝格微分定理：若 f (x) 是[a,b]上的单调函数，则 f (x) 在[a,b]上几乎处处可导。 （4）[0,1]上的狄利克雷函数 D(x) 0 a.e.于 [0,1]
性质：
（1）1 a.e.于E
且 2
a.e.于E
，则 1
或 2
a.e.于E
，
且
1
2
a.e.于E
.
（2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函
i 1
上，且 f (x)在每个 Ei 上都可测，则 f (x)在E上也可测。
注：并不是可测集的所有子集都是可测的。
引理 ：设 f (x)与g(x) 为 E上的可测函数，则 E[ f g] 与E[ f g] 都是可测集。 定理 4：设f (x) 与 g(x) 为在E上可测，则函数 f (x) g(x), | f (x) |,
i 1
为简单函数。 结论：任何简单函数都是可测的。
例如：在区间[0，1]上的狄利克雷函数是可测的非连续函数。
（2）简单函数与可测函数的关系
定理 7：设 f (x)在E上可测，则 f (x)总可以表示成一列简单函
数 n (x)的极限函数
f
(
x)
lim n
n
(
x)
，而且还可办到
1(x) 2(x)
（3）可得可测函数等价定义 函数f (x) 在E上可测的充要条件是 f (x) 总可以表示成一列简单
a.e.于E成立。
即：如果一个命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立， 是命题不成立的点总包含在某个零测集当中，则说命题S在E上
几乎处处成立。
例题 3 （1）f (x) 与 g(x) 在E上几乎处处相等，指：mM[ f g] 0
（2） f (x) 在E上几乎处处有限，指：mM[| f | ] 0