绝对值不等式的性质

a+b b a O （3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得： |a+b|=|a|+|b|
x
定理1
这个不等式称为绝 如果a, b是实数，则
对值三角不等式。
|a+b|≤|a|+|b|
当且仅当ab≥0时，等号成立。
探究： 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
解析：(1)当x≤1时， f(x)＝－(x－1)－(x－2)＝－2x＋3， 当1<x≤2时，f(x)＝(x－1)－(x－2)＝1， 当x>2时，f(x)＝(x－1)＋(x－2)＝2x－3， －2x＋3 x≤1， 所以f(x)＝1 1<x≤2， 2x－3 x>2. 图象如图所示：
A(a) B(b)
x
问题1：从“运算”的角度|a|,|b|,|a+b|具 有怎样的关系？
分ab>0、ab<0和ab=0三种情形讨论： （1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b| O a b a+b x
a+b
b
a
O
x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b| b a a+b O 如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b| x
(2)由 |a＋b|＋ |a－b|≥|a|f(x)， |a＋ b|＋ |a－b| 得 ≥f(x)． |a| |a＋ b|＋ |a－b| |a＋ b＋a－b| 又因为 ≥ ＝2， |a| |a| 则有2≥f(x)，解不等式2≥|x－1|＋ |x－2|， 1 5 得 ≤x≤ . 2 2
补充练习: ab ab 1.已知 a b , m ,n , 则m , n之间的 ab ab 大小关系是( D ) A.m n B.m n C.m n D.m n
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
例 : 若 x m , y m , 下列不等式中一定成立 的是( B ) A. x - y C . x y 2 B . x y 2 D. x y
当ab 0时，ab ab,| a b | (a b) 2 a 2 2ab b 2 | a |2 2 | ab | | b |2 | a | 2 | ab | | b | (| a | | b |) | a | | b |,
2 2 2
所以 | a b || a | | b |, 当且仅当ab 0时，等号成立。

2.如果实数x , y满足 cos x cos y cos x cos y , 且x ( , ), 2 则 (cos x cos y )2 可写成( C ) A.cosx - cosy C . cos y cos x B. cosx cos y D. cos y cos x
问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下 |a|，|b|，|a-b|，|a+b|,之间的关系吗？
|a|-|b|≤|a+b|,
|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
例1 已知ε >0，|x-a|<ε ,|y-b|<ε ，求证：
【点评】 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|是直接证明含有 绝对值不等式的重要依据，有些情况下，需将绝对值运 算符号去掉，将问题转化后解决．条件|x－a|＜1在本题 的求解过程中的运用也是本题的一个特色．
例4．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立， 求实数x的取值范围．
11 11 5 5 【例2 】 ， yy 满足： |x|＋ y|< ， |2 xx － yy |< ，求证： |y |< .. 2 】 已知实数 已知实数xx ， 满足： x＋ y|< ， |2 － |< ，求证： |y |< 18 33 66 18 [证明] 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)| ≤2|x＋y|＋|2x－y|， 1 1 由题设知|x＋y|<3，|2x－y|<6， 2 1 5 5 从而3|y|<3＋6＝6，所以|y|<18.
绝对值不等式性质及解法
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴 上坐标为a的点A到原点的距离： |a|=-a(a<0) |a|=a(a>0) x A(a) A(a) O
任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B， 那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。 |a-b|
|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
定理2
如果a, b, c是实数，那么
3.设m, 0, x a 求证 xy ab m

2
, y b

2
, a m, y m,
小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：
|a+b||a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成 立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。
a 满足 |x－a|＜1，求 证 ：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
【思路】变形使其能运用绝对值不等式证明．
【解答】∵f(x)＝x2－x＋1， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a| ＝|x－a|· |x＋a－1|， ∵|x－a|＜1， ∴|f(x) － f(a)| ＝ |x － a|· |x ＋ a － 1|<|x ＋ a － 1| ＝ |(x － a) ＋2a－1<1＋ x － a ＋2a－1)|≤ 2a＋1＝2(a＋1).
变式训练 |a＋b| |a| |b| 2．若a，b∈R，求证： ≤ ＋ . 1＋|a＋b| 1＋|a| 1＋|b| 证明：当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时， 1 1 由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒ ≥ ， |a＋b| |a|＋|b| |a＋b| |a|＋|b| 1 1 |a| |b| 所以 ＝ 1 ≤ ＝ ≤ ＋ . 1 1＋|a＋b| 1＋|a|＋|b| 1＋|a| 1＋|b| ＋1 1＋ |a＋b| |a|＋|b|
例 3 (1)若|a|<1，|b|<1，比较|a＋b|＋|a－b|与 2 的大小， 并说明理由； (2)设 m 是|a|，|b|和 1 中最大的一个，当|x|>m 时，求证： a b ＋ 2<2. x x
【解答】 (1)不妨设|a|≥|b|，则(|a＋b|＋|a－b|)2＝2(a2 ＋b2)＋2|a2－b2|＝4a2<4， 所以|a＋b|＋|a－b|<2. a b a b a b a b (2)x＋x2≤x＋x2<m＋m2<m＋m<2.
y
ab
a
O
b
当向量a, b共线时， 有怎样的结论？
x
定理1的代数证明：
证明：当ab 0时，ab | ab |,| a b | (a b)2 a 2 2ab b2 | a |2 2 | ab | | b |2 (| a | | b |) 2 | a | | b |
【点评】 |a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个不等式 放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接 用，也可利用它消去变量求最值．本题是绝对值不等式 性质的简单应用．绝对值三角不等式是证明与绝对值有 关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形 使其符合绝对值不等式的条件．
变式题
[2009· 靖江模 拟] 设 f(x)＝x2－x＋1，实数