{高中试卷}高三数学一轮复习：不等式性质及解法练习题3[仅供参考]

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高三数学试题不等式专题练习及答案(可编辑修改word版)

ab -1高考数学试题分类汇编——不等式1.（上海理 15）若 a , b ∈ R ，且 ab > 0 ，则下列不等式中，恒成立的是A. a 2 + b 2 > 2abB. a + b ≥ 2 C ．D 1 + 1 > a b1 + 4 b + a ≥2 D ． a b 2. 已知 a ＞0，b ＞0，a+b=2，则 y= a b 的最小值是 7 A ． 2 B ．4 C ．92 D ．53、（江西理数）3.不等式> x - 2 x 的解集是（） A. (0，2) B. (-∞，0) C. (2，+ ∞) D.（- ∞，0）⋃ (0，+ ∞)x - 2【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. x 得 A 。

或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。

4、（2010 全国卷 1 文数）（10）设 a = log 3 2, b = ln 2, c = 5 2 则 < 0 ，解（A ） a < b < c （B ） b < c < a x 2 - x - 6(C) c < a < b (D) c < b < a5、(全国卷 2）不等式 x -1＞0 的解集为（）（A ）{x x ＜- 2,或x ＞3} （C ） {x -2＜x ＜1，或x ＞3} （B ）{x x ＜- 2，或1＜x ＜3} （D ）{x -2＜x ＜1，或1＜x ＜3}【答案】C 【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1 或 x ＞3，故选 C⎧21- x , x ≤ 1 f (x ) = ⎨6.（辽宁）设函数 ⎩1 - log 2 x , x > 1，则满足 f (x ) ≤ 2 的 x 的取值范围是（A ）[-1 ，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+ ∞ ）（D ）[0，+ ∞ ）【答案】Dabx - 2 x6 ≤ x - y ≤ 9 ⎧3 ≤ 2x + y ≤ 9 ⎨ 7.（全国新课标）若变量 x ，y 满足约束条件⎩ ，则．【答案】-6 z = x + 2 y 的最小值是 8. 不等式 x +1 < 3 x的解为。

高三第一轮复习：《不等式》综合检测试题

第二章《不等式》检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．设,,Ra b c ∈,且a b>,则（） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >2、设01a b <<<，则下列不等式成立的是A ．33a b >B ．11ab< C ．1b a >D ．lg 0b a -<() 3、若122=+y x ,则yx +的取值范围是（） A ．]2,0[ B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞4、设变量x , y满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（） A ．-7 B ．-4 C ．1D ．25、已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是A.14B.18C. 4D. 86．已知向量a ＝(1，)，b ＝(x －1,1)，则＋的最小值是( )A ．1 D ．2 7、已知向量，(),1x z -()2,y z +且a ⊥b ，若变量,x y 满足约束条件1325x y xx y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.48．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．19、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 m .10、已知01a <<，01x y <<≤，且·，那么xy 的取值范围是A ．(20a ⎤⎦，B ．(]0a ，C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．210a ⎛⎤⎥⎝⎦， 11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 12．定义在,,f Mm n p，其中M 是ABC 内一点，m 、n 、p 分别是MBC、MCA、MAB的面积，已知中，()23,30AB AC BAC f N ⋅=∠==若1,,2x y ⎛⎫⎪⎝⎭，则14x y的最小值是 A.8 B.9 C.16 D.18二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若变量满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则的最大值为14、已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =.15、已知向量，其中x ，y 都是正实数，若，则y x t 2+=的最小值是.16、若21,x x 是函数)(2)(2R m mx x x f ∈-+=的两个零点，且21x x <，则12x x -的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分12分)已知a 是实数，试解关于x 的不等式：122---≥x a x x x⊿( ) ( )1 , ,2 , y b x a = - = b a ⊥18、(本小题满分10分)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为多少元？19．(本小题满分12分)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时,它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行. (1)求k 的值;(2)求该轮船航行100海里的总费用W (燃料费+航行运作费用)的最小值.20．(本小题满分12分)记c bx ax x f +-=2)(，若不等式0)(>x f 的解集为（1，3），试解关于t 的不等式)2()8|(|2t f t f +<+.21．(本小题满分12分) 、已知集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q（1）若φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

高三数学不等式的性质试题答案及解析

高三数学不等式的性质试题答案及解析1.已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a【答案】D【解析】∵a<0，－1<b<0，∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.∴ab>ab2>a.也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.故应选D.2.已知－3<b<a<－1，－2<c<－1，则(a－b)c2的取值范围是________．【答案】(0,8)【解析】依题意0<a－b<2,1<c2<4，所以0<(a－b)c2<8.3.已知实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b2<1<b，产生矛盾，所以a>0，则b2>1>b，解得b∈(－∞，－1)．4.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|【答案】C【解析】因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由，可得xy>xz，故选C.5. [2014·西安模拟]设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是()A．(0，)B．(－，)C．(0，π)D．(－，π)【答案】D【解析】由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.6.(2014·十堰模拟)若不等式-a<x-1<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.【答案】a≥3【解析】设A={x|-a<x-1<a}={x|1-a<x<1+a},B={x|0<x<4},依题意知B⊆A,因此解得a≥3. 7.已知a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①>；②a cloga(b－c)；④b a－c>a b－c．其中所有正确结论的序号是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解析】a>b>1⇒，又c<0，故>，故①正确；由c<0知，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，故a cb－c>1．故logb (a－c)>logb(b－c)．由a>b>1得0<loga (b－c)<logb(b－c)，故logb (a－c)>loga(b－c)．故③正确．8.若P=+,Q=+(a≥0),则P、Q的大小关系是() A．P>Q B．P=QC．P<Q D．由a的取值确定【答案】C【解析】要证P<Q,只需证P2<Q2,即证2a+7+2<2a+7+2,只需证a2+7a<a2+7a+12,只需证0<12成立,∵0<12成立,∴P<Q成立.故选C.9.设a、b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.10.>1的一个充分不必要条件是()A．x>y B．x>y>0C．x<y D．y<x<0【答案】B【解析】若x>y>0时>1,但>1时>0,不一定有x>y>0.故选B.11.观察下列不等式：1＋>1，1＋＋…＋>，1＋＋…＋>2，1＋＋…＋>，…，照此规律，第6个不等式_________________．【答案】1＋＋…＋>【解析】观察不等式：1＋＋>1＝；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；……所以由此猜测第6个不等式为1＋＋…＋>.12.设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．【答案】27【解析】根据不等式的基本性质求解. 2∈[16,81]，∈，＝2·∈[2,27]，的最大值是27.13.已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式序号为________．【答案】①②③【解析】因为a＞b＞0⇒a2＞b2，故①正确；a＞b＞0⇒a＞b－1⇒2a＞2b－1，故②正确；因为a＞b＞0⇒ab＞b2＞0⇒＞b＞0，而()2－(－)2＝a－b－a－b＋2 ＝2(－b)＞0，所以③正确；因为当a＝3，b＝2时，a3＋b3＝35＜2a2b＝36，故④不正确．14.已知函数.（Ⅰ）若，使得不等式成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式成立的的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据=求出的最小值，从而求得得不等式成立的的取值范围．（Ⅱ）由=，可知当且仅当时有，从而成立.解不等式由此求得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由= 3分使得不等式成立的的取值范围是 5分（Ⅱ）由= 7分所以，当且仅当时取等 9分所以的取值范围是 10分【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．15.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．16.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．17.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则无意义，则A不正确；当时，，当时，，故B不正确；令，则，故C不正确；时，则，故D正确.【考点】不等式的运算.18.已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以．【考点】1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.19.设函数（1）若的最小值为3，求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力以及计算能力.第一问，利用不等式的性质，得出的最小值，列出等式，解出的值；第二问，解含参绝对值不等式，用零点分段法去掉绝对值，由于已知中有和4的大小，所以直接解不等式即可，最后综合上述所得不等式的解集.试题解析：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求. 4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为 10分【考点】1.不等式的性质；2.绝对值不等式的解法.20.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是( )A．,B．,C．,D．,【答案】B【解析】从集合的定义，可三个不等式，也可得三个不等式，组合之后可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是不一定成立，也不一定成立，故A，C，D都不能选，只能选B．【考点】不等关系．21.已知且，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】只有当时，选项A，B正确；要使，必须，所以选项C错误；当时，，所以D正确，故选D．【考点】不等式的性质．22.已知x、y、z∈R,且，则的最小值为 .【答案】【解析】由柯西不等式，，因为.所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.【考点】柯西不等式23.若是任意实数，，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】当时，，可排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ．【考点】不等式性质．24.若a，b R＋，a＋b＝1，则ab＋的最小值为 .【答案】【解析】由a，b R＋，a＋b＝1得 ab，a=b时取等号，ab＋=ab+=ab+=ab+=2+ab4+ab4+=，a=b时取等号.【考点】基本不等式的性质的应用.25.当时，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】取得，，故，故选Ｃ．【考点】比较大小．26.已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】不等式基本性质.27.设为正实数，满足，则的最小值是．【答案】3【解析】由已知得，∵，∴，即，两边同时平方得，.【考点】1、不等式的性质；2、基本不等式.28.已知正数满足则的取值范围是 .【答案】【解析】.由得：.所以，当时取等号.又当时，，所以.【考点】不等式的应用.29.已知函数（1）试求使等式成立的x的取值范围；（2）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设=，利用零点分段法，将和写成分段函数的形式，然后观察=时自变量的取值范围即可；（2）这是不等式的有解问题，利用绝对值三角不等式求的最小值，.试题解析：（1）由=，又=，故使等式成立的x的取值范围为；（2）.【考点】1、零点分段法去绝对号；2、绝对值三角不等式；3、不等式有解问题.30.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处【答案】A【解析】设仓库到车站的距离是千米，那么有，，将，，分别代入两个式子，可得，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处.【考点】基本不等式及其应用31.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.选B.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.32.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.33.设为实数，若，则的最大值是。

高中数学不等式练习题及参考答案2023

高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。

为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。

1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。

2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。

【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。

因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。

3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。

【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。

解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。

4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。

所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

2025年高考数学一轮复习-1.3-不等式及其性质-专项训练【含答案】

所以＝ <0，即 < ，故 B 正确；
对于 C，
＝
，因为 c>b>a>0，所以 c－a>0，c－b>0，a－b<0，
所以
＝
<0，
即 < ，故 C 错误；
对于 D，因为
鶠＝
鶠
鶠
鶠＝
鶠
鶠，又因为 a>b>c>0，所以 a－b>0，b
＋c>0，所以 >0，即 > 鶠，故 D 正确．故选 BD.]
鶠
鶠
e π
π
e
<1，
即eeπe··πππe<1，即 eπ·πe<ee·ππ.
故选 C.]
7．D [因为 1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，
所以 2≤2(a－b)≤6，9≤3(a＋b)≤21，
则 5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)∈[11，27].故选 D.]
8．D [对选项 A，
＝，因为 a<b<0，所以 ab>0，b－a>0，即 >0，
取 a＝3>b＝2>c＝1>0，则 a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故 B 错误；
由 a>b>c>0 可知，a－c>b－c>0，
∴ < ，(a－c)3>(b－c)3，故 C 错误，D 正确．故选 D.]
6．C
[eeπe··πππe
＝
eπ ππ
e
e＝
e π
π
e
，
又 0<e<1，0<π－e<1，
π
∴0＜
3．D [因为 ≤b≤2a，所以 ≤a＋b≤3a，即 ≤c≤3a，因为 6<a<10，所以

高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题(含答案)

高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（） A ．21ab a b <，那么下列不等式中，一定成立的是（） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（） A ．若a >b ，则11a b b ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．若a >b ，c >d ，则下列不等式中一定正确的是（） A ．a d b c +>+ B ．a d b c ->- C ．ad bc >D ．a b d c> 5．若,R a b ∈，下列命题正确的是（） A ．若a b >，则22a b > B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc > C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b <6．已知,a b R ∈且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]7．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a bC ．()20a b c -≥D ．b c ba c a+>+ 8．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（） A ．22a b C ．11a b a>- D ．2ab b >9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．设0a b <<，给出下列四个结论：①a b ab +<；②23a b <；③22a b <；④a a b b <.其中正确的结论的序号为（） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②③11．若向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最大的是（） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定12．已知0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（） A ．n 0()l a b ->B2C ．a b b a >D ．114a b+>二、填空题13．已知25,21a b a b ≤+≤-≤-≤，则3a b -的取值范围是___________.14．若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____． 15．已知12,03a b ≤≤≤≤，则2+a b 的取值范围为__________． 16．若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．三、解答题17．比较（x －2）（x －4）与（x －1）（x －5）的大小关系．18．求解下列问题：(1)已知a ∈R ，比较()()37a a ++和()()46a a ++的大小； (2)已知0x y <<，比较1x与1y 的大小.19．（1）已知022a b <-<，123a b <+<，求a b +的取值范围；（2）已知x ，y ，z 都是正数，求证：222x y z xy xz yz ++≥++．20．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(),m n 是(),p q 的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a b a d 、、、均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序列”，试判断a c a c b d b d ++、、之间的大小关系．21．请选择适当的方法证明. (1)已知0a >，0b >，且ab ，证明：3322a b a b ab +>+；(2)已知x ∈R ，22a x =-，23b x =-+，证明：a ，b 中至少有一个不小于0.22．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．23．求证下列问题：(1)已知a b c ，，均为正数，求证:bc ac aba b c++a b c ≥++. (2)已知0xy >，求证: 11x y>的充要条件是x y <.24．已知定义在R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3x f x g x +=． (1)求(),()f x g x ，并证明：22()()(2)f x g x f x +=；(2)若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2(2)2()10f x ag x ++≤成立，求实数a 的取值范围。

高三一轮复习基本不等式练习题加答案

基本不等式例1、若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；解：当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.例2、已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；解：∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4x －2的最小值为6.变式、已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．答案：23例3、已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝）（yx 91+(x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.例4、已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．解析：y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x3y，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1y 的最小值为23＋23.答案：23＋23例5、若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.答案：27例6、已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B. 答案：B作业1：1、设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82解析：∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 2．下列结论正确的是（）A ．当0<x 2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5 D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92对于选项B ，当2x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但2x >，等号取不到，因此1x x+的最小值不是2，故B 错误；对于选项C ，因为54x <，所以540x ->，则114254324554y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-⨯ ⎪--⎝⎭31=，当且仅当15454x x-=-，即1x =时取等号，故C 错误；对于选项D ，因为0x >，0y >，则()141141419552222y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即24,33x y ==时，等号成立，故D 正确. 故选：D.3．已知0,0x y >>，若3xy =，则x y +的最小值为（）A ．3B ．2C ．D ．1由于0,0x y >>，3xy =，所以x y +≥=x y ==.所以x y +的最小值为故选：C ．4．已知正实数x ，y 满足22x y xy +=.则x y +的最小值为（）A ．4B C D 32解：由22x y xy +=，得1112x y+=，因为x ，y 为正实数，所以11133()()122222x y x y x y x y y x +=++=+++≥=，当且仅当2y x x y =，即21,22x y ==时取等号，所以x y +32，故选：D5．若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（） A ．52 B ．3C ．72D ．4当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6、若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0，∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C. 答案：C7．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（）A ．BC ．1D ．2【答案】D 【解析】【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.8、已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析：由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12. 答案：B9、已知x >0，则f (x )＝12x ＋3x 的最小值是：解：∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12.10、设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值是：解：∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. 11、设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，则x ＋y 的最小值．解析：方法一由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8，∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )）（yx 28+ ＝8y x ＋2xy＋10≥2 8y x ·2x y ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 答案：1812、已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.则1x ＋1y 的最小值为．解析：∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 答案：7＋2102013．若x y ∈R 、且满足32x y +=，则327x y +的最小值是____. 【答案】6 【解析】【分析】本题首先可以根据基本不等式得出327x y +≥，然后代入32x y +=，即可得出结果. 【详解】332733x y x y +=+≥=，因为32x y +=，所以3276x y +≥=，故答案为：6. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，主要考查通过基本不等式求和的最小值，考查幂的运算，考查计算能力，是简单题.14．已知0x >，0y >且32x y xy +=，不等式23x y+的最小值为________. 【答案】4 【解析】【分析】由题意得231x y+=，则232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪，再根据基本不等式即可求出最小值．【详解】解：，0x >，0y >且32x y xy +=，∴231x y+=，∴232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪231132y x x y =+++23232y x x y =++24≥+=，当且仅当2332y xx y=即4,6x y ==时，等号成立，故答案为：4．【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查“1”的代换，属于基础题．选：B15、设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为 8 ．解析：正实数a ，b 满足a +b ＝1，则＝+＝++4≥2+4＝8，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时等号成立；∴的最小值为8．故答案为：8．答案：89、已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式2x ＋m ＋8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1>－m －2，因为x >1，所以2(x －1)＋8x －1≥22（x －1）·8x －1＝8，当且仅当x ＝3时取等号．因为不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，所以－m －2<8.解得m >－10. 答案：(－10，＋∞)16．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264a a =，31a =，则2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a 的最小值为______，【答案】8 【解析】【分析】根据等比数列的性质可得42a =，由此可求得n a ，n S ，从而表示出2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a ，再根据基本不等式求解即可．【详解】解：∵264a a =，且0n a >，∴42a =，∴公比432a q a ==， ∴43222n n n a --=⋅=，2222212124n n n S ----==--，∴()2222922422n n n n S a --⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=224242n n --=++48≥=，当且仅当224222n n --==，即3n =时等号成立，故答案为：8．17．设ABC中，()cos cos cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c .（1）求角B 的大小；（2）若2248a c +=，求ABC 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值. 解：（1）∵()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B +=π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵sin 0A >，0πB <<， ∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =；（2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=， ∴ABC 面积S且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =18．已知函数()|2||3|f x x x =++-.（1）解不等式()7≤f x ；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求1123a b+的最小值. （1）当2x <-时，237x x ---+≤，解得32x -≤<-；当23x -≤≤时，237x x +-+≤恒成立；当3x >时，237x x ++-≤，解得34x <≤.故所求不等式的解集为[3,4]-. （2）因为()|2||3|(2)(3)5f x x x x x =++-≥+--=，所以()f x 最小值为M =5，即235(0,0)a b a b +=>>，则1111113214()(23)(11)(22352352355b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=，当且仅当5322b a ==时取等号，故1123a b +的最小值为45.作业2：一、单选题1．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于（）A ．6B ．C ．3+D ．4+()212333y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥= ⎪⎝⎭,故选C. 2．设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．2 B ．4C ．8D ．16由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，故4a ≤，也即a 的最大值为4. 故选B.3．已知1x >，1y >，且lg lg 4x y +=，则lg lg x y ⋅的最大值是( )A ．4B ．2C ．1D ．14因为1x >，1y >，所以lg 0x >，lg 0>y ；又lg lg 4x y +=，所以2lg lg lg lg 42+⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭x y x y ，当且仅当lg lg 2==x y ，即100x y ==时，等号成立. 故选：A4．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）A ．30B ．36C ．40D ．50设矩形的长为()x m ，则宽为100()m x ，设所用篱笆的长为()y m ，所以有10022y x x=+⋅，根据基本不等式可知：1002240y x x =+⋅≥=，（当且仅当10022x x =⋅时，等号成立，即10x =时，取等号）故本题选C.5、若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.答案：C6．若实数a b 、满足2a b +=，则33a b +的最小值是（）A ．18B ．C ．D ．6【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】∵实数a b 、满足2a b +=，∴336a b +≥==，当且仅当33a b =即1a b ==时取等号，∴33a b +的最小值为6故选：D7．下列不等式恒成立的是（）A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确；C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确.8．已知0,0,22x y x y >>+=,则xy 的最大值为（）A ．12B ．1C ．2D ．14【答案】A解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +y =2，∴xy =12（2x •y ）≤12（22x y +）2=12，当且仅当x =12，y =1时取等号，故则xy 的最大值为12，故选A9、(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析：选B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．答案：B10．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a b ab+的最小值是（） A ．10B ．9C ．8D ．【答案】B【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b 1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b 2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即13 43a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛，本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件11．若关于x 的方程()94340x xa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（） A ．(,8][0,)-∞-+∞ B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-【答案】D【解析】【分析】可将9x 看成3x 的平方，等式两边同时除以3x ，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可【详解】由9(4)340x x a ++⋅+=，得443(4)0,(4)3433x x x xa a +++=∴-+=+≥（当且仅当32x =时等号成立），解得8a ≤- 故选D二、填空题12、已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．解：∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.答案：3＋2213．已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值是：解：∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.14、已知0x >，0y >2x 与4y 的等比中项，则1x x y+的最小值为__________．由题得2242,22,21x y x y x y +⋅=∴=∴+=.所以1x x y +=22111x y x y x x y x y ++=++≥+=+.当且仅当21,2x y -==时取等.所以1x x y+的最小值为.故答案为15、已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy ．所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2．当且仅当x ＝y ＝1时右边等号成立．所以x ＋y 的最大值为2．答案：216、已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－y y ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．答案：26－317、若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是________．解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1)恒成立，∵x ∈(0,1)，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴a ≤2.答案：(－∞，2]四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知：2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. （1）求B ；（2）若ABC ABC 的周长的最小值.（1）2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 2sin cos cos sin 66b C C ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin cos C b C =-由正弦定理得：sin sin sin sin cos C A B C B C -=- ∵sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+∴①式可化为：sin cos sin sin C B C B C -= ∵(0,)C π∈∴sin 0C ≠cos 1B B += 即1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，(0,)B π∈ ∴66B ππ+=或56π∴0B =（舍）或23π（2）11sin 22S ac B ac ==∴4ac =∴4a c +≥=22222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a c =等号成立∴4l a b c =++≥+【点睛】本题考查了均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换112x y+=是解题的关键.19．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34120a a ⋅=，2522a a +=．（1）求通项n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且n n S b n c=+，求非零常数c ；（3）在（2）的条件下，求()*1()(36)n n b f n n n b +=∈+⋅N 的最大值．【答案】（1）24n a n =+；（2）5c =；（3）149【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式，由253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，即可求得首项与公差，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由n a ，可求得n S ，从而得n b ，再利用{}n b 是等差数列由2132b b b =+，即可求得c 的值；（3）由（2）求得n b ，于是1()(36)n n b f n n b +=+⋅，利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】（1）由题知253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，所以，4312,10a a ==或4310,12a a ==所以公差2d =或2d =-，又因为0d >所以2d =，又310a =，因此16a =，所以24n a n =+.（2）由（1）知，21(1)52n n n S na d n n -=+=+，所以25n n S n n b n c n c+==++，12361424,,123b b b c c c ===+++ 由{}n b 是等差数列得，2132b b b =+，即146242213c c c⨯=++++ 解得: 5c =，或0c(其中0c ≠舍去)，此时255n n S n n b n n c n +===++，1(1)1n n b b n n +-=+-=，{}n b 是公差为1等差数列，所以5c =.（3）由（2）知2+55n b n n n n ==+ 111()36(36)(36)(1)4937n n b n f n n b n n n n+∴===≤+⋅++++ 当且仅当36n n =，即6n =时取得等号，即()f n 的最大值为149. 20．已知x ∈R ，0y >，2x y xy +=.（1）若0x >，求证：1xy ≥；（2）若0x ≠，求2y x x+的最小值.【答案】（1）见解析（2）32【解析】【分析】（1）直接利用均值不等式计算得到答案.（2）变换得到112x y+=，故1112x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入不等式，整理化简利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立.（2）由2x y xy +=得112x y+=. 2111223222222x x x y y y x x x x y x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭. 当且仅当22x y y x=，且0x <时，两个等号同时成立. 即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32.。

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20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：第7章第1节一、选择题1．(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x|x>1}B ．{x|x≥1}C ．{x|x≥1且x ＝－2}D ．{x|x≥1或x ＝－2}[答案] D[解析] 不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0， ∴x≥1或x ＝－2，故选D.(理)(20XX·天津文，7)设集合A ＝{x|x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a|0≤a≤6}B ．{a|≤2，或a≥4}C ．{a|a≤0，或a≥6}D ．{a|2≤a≤4}[答案] C[解析] |x －a|<1⇒a －1<x<a ＋1，又∵A∩B ＝∅，∴a ＋1≤1或a －1≥5，∴a≤0或a≥6.2．(20XX·湖南株洲二中)已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表．f ′(x)为f(x)的导函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a 满足f(2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( )x－2 0 4 f(x) 1 －1 1A.⎝⎛⎭⎫0，32B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫12，72D.⎝⎛⎭⎫－32，32 [答案] D[解析] 由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a ＋1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32<a<32.3．已知函数f(x)＝12x3－x2－72x ，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为( )A ．f(－a2)≤f(－1)B ．f(－a2)<f(－1)C ．f(－a2)≥f(－1)D ．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定[答案] A[分析] 比较函数值的大小，一般可考虑应用函数的单调性，故可先用导数研究f(x)的单调性，再在单调区间内比较大小．[解析] 由题意可得f ′(x)＝32x2－2x －72.由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<73时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在⎝⎛⎦⎤－∞，73上的最大值，又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．4．(20XX·河北唐山)若a2＋b2>1，则下列不等式成立的是( )A ．|a|＋|b|>1B ．|a ＋b|>1C ．|ab|>1D ．|a|>1且|b|>1[答案] A[解析] 取a ＝0，b ＝2，排除C 、D ；取a ＝－1，b ＝1，排除B ，故选A.5．(20XX·重庆南开中学)已知实数x 满足x2＋x<0，则x2，x ，－x 的大小关系是() A ．－x<x<x2 B ．x<－x<x2C ．x2<x<－xD ．x<x2<－x[答案] D[解析] ∵x2＋x<0，∴－1<x<0，∴0<x2<1,0<－x<1，又x2－(－x)＝x2＋x<0，∴x2<－x ，故x<x2<－x.[点评] 可取特值检验，由x2＋x<0得－1<x<0，取x ＝－13知，x<x2<－x.6．(文)(20XX·河南南阳市调研)不等式⎪⎪⎪⎪x1－x >x 1－x 的解集为( )A ．{x|0<x<1}B ．{x|x<0或x>1}C ．{x|x>0}D ．{x|x<1}[答案] B[解析] ∵⎪⎪⎪⎪x1－x >x 1－x ，∴x1－x <0，∴x(x －1)>0，∴x<0或x>1.(理)(20XX·重庆市)不等式⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x 的解集是( )A ．{x|0<x<2}B ．{x|0<x<12}C ．{x|1<x<2}D ．{x|x>12}[答案] B[解析] ⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x ，即⎪⎪⎪⎪2－1x >2－1x ， ∴2－1x <0，∴0<x<12.[点评] a≥0时，|a|＝a ；a <0时，|a|＝－a>a.由1x >2不要仅得出x<12，应注意1x >2隐含x>0.7．(20XX·金华十校)已知f(x)＝⎩⎨⎧ ln 1x x>01x x<0，则f(x)>－1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，e)B ．(－∞，－1)∪(e ，＋∞)C ．(－1,0)∪(e ，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，e)[答案] A[解析] 不等式f(x)>－1化为⎩⎪⎨⎪⎧ x>0ln 1x >－1或⎩⎪⎨⎪⎧x<01x>－1， ∴1x >1e 或x<－1，∴0<x<e 或x<－1. 8．(文)(20XX·山东肥城联考)已知不等式x2－2x －3<0的解集为A ，不等式x2＋x －6<0的解集是B ，不等式x2＋ax ＋b<0的解集是A∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3[答案] A[解析]由题意：A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，A∩B＝{x|－1<x<2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，选A.(理)(20XX·山东肥城联考)关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是()A．2 B．1C．0 D．－1[答案] C[解析]方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故选C.9．(20XX·浙江杭州质检)设函数f(x)＝ln(x－1)(2－x)的定义域是A，函数g(x)＝ln(ax－2x－1)的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围是()A．a>3 B．a≥3C．a>5D．a≥ 5[答案] B[解析]由(x－1)(2－x)>0得：1<x<2，∴A＝{x|1<x<2}；由ax－2x－1>0得ax－2x>1，∴ax>2x＋1，其解集为B，∴A⊆B，∴a≥3.[点评]显然当0<a<1时，ax>2x＋1在(1,2)上不成立，∴a>1，在同一坐标系中作出y＝ax与y＝2x ＋1的图象，要使A⊆B，须使y＝ax在(1,2)上的图象位于y＝2x＋1的上方，当a＝1时，y＝21＋1＝3，故a≥3.10．(文)(20XX·北京顺义一中月考)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b]，都有|f(x)－g(x)|≤1成立，则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“密切函数”，区间[a ，b]称为“密切区间”．若f(x)＝x2－3x ＋4与g(x)＝2x －3在[a ，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是( )A ．[1,4]B ．[2,4]C ．[3,4]D ．[2,3][答案] D[解析] 对任意x ∈[a ，b]，都有|f(x)－g(x)|＝|x2－3x ＋4－(2x －3)|＝|x2－5x ＋7|＝|(x －52)2＋34|＝(x －52)2＋34≤1成立，∴(x －52)2≤14，∴2≤x≤3，因此选D.(理)已知函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2 x<0－x x≥0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x x≤01＋x x>0，若g[f(x)]≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[0,1]D ．[－1,1][答案] B[解析] ①x≥0时，f(x)＝－x≤0，∴g[f(x)]＝g(－x)＝1－(－x)＝1＋x ；②当x<0时，f(x)＝x2>0，∴g[f(x)]＝g(x2)＝1＋x2；∴g[f(x)]min ＝g[f(0)]＝1，由g[f(x)]≥a 恒成立，得a≤1.二、填空题11．(文)(20XX·芜湖十二中)已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的偶函数，当x<0时，f(x)是单调递增的，则不等式f(x ＋1)>f(1－2x)的解集是________．[答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] ∵f(x)在(－∞，0)上单调增，f(x)是偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调减，∵f(x)为偶函数，∴不等式f(x ＋1)>f(1－2x)化为f(|x ＋1|)>f(|1－2x|)∴|x ＋1|<|1－2x|，∴(x ＋1)2<(1－2x)2，∴x<0或x>2.(理)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 x≥00 x<0，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．[答案] (－∞，1][解析] 原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ≤2x ≥0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x<0 它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]．12．若命题“∃a ∈[1,3]，使ax2＋(a －2)x －2>0”为真命题，则实数x 的取值范围是________．[答案] x<－1或x>23[分析] 本题解题时要注意，“∃a ∈[1,3]，使……为真命题”与“∀a ∈[1,3]，使……为真命题”含义的不同．然后进行等价转化．[解析] 令m(a)＝ax2＋(a －2)x －2＝(x2＋x)a －2x －2，m(a)是关于a 的一次函数，∵命题“∃a ∈[1,3]，使ax2＋(a －2)x －2>0”为真命题，∴m(1)>0或m(3)>0，即x2－x －2>0 ①或3x2＋x －2>0 ②，由①得x<－1或x>2；由②得x<－1或x>23.所以，所求实数x 的取值范围是x<－1或x>23.13．(20XX·湖北黄冈)若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc|，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0的解集为________． [答案] (0,1)∪(1,2)[解析] 据题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x ＝|x －1|， ∴不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0化为log 2|x －1|<0， ∴0<|x －1|<1，∴1<x<2或0<x<1.14．(20XX·上海奉贤区调研)不等式|x|≥a(x ＋1)对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,0][解析] 如图，当直线l 逆时针旋转到与x 轴重合时，直线l 总在y ＝|x|的图象的下方，∴－1≤a≤0.三、解答题15．(文)已知关于x 的不等式：a ＋1x －3x －1<1. (1)当a ＝1时，解该不等式；(2)当a>0时，解该不等式．。