高三年级第五次月考数学试题(理科)
2023届广西玉林市北流市高三下学期5月教学质量检测数学(理)试题(PDF版)
北流市2023届高三下学期5月教学质量检测数学试题（理科）注意事项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3{|1A x Z x =∈-≤≤，2{|}30B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}|03x x <<C ．{}1,2,3D ．{}2,32．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a =（ ） A ．3B ．13 C ．3-D ．13-3．已知平面向量()1,3a =，2b =，且||10a b -=，(2)()a b a b +-=（ ）A ．14B ．1C ．D 4．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则这个数列的第20项为（ ） A ．204B ．202C ．200D ．1985．已知抛物线C ：()²20y px p =>焦点为F ，准线为l ，点(A 在C 上，直线AF 与l 交于点B ，则AF BF=（ ）A ．BC ．2D ．16．执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ）A ．0B ．1-C ．12D ．12-7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别为所在棱的中点，P 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ）A ．平面1EFC ⊥平面11AAC CB ．1MP AC ∥ C ．1MP CD ⊥D ．EF ∥平面11AD B8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若3564a a =，且5628a a +=，则6S =（ ） A ．125B ．126C ．127D ．1289．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球面O 上，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面PAD ⊥面ABCD ，且PA PD ==，则球面O 的表面积为（ ）A ．41πB ．39πC ．40πD ．42π10．为弘扬传统文化，某校进行了书法大赛，同学们踊跃报名，在成绩公布之前，可以确定甲、乙、丙、丁、戊5名从小就练习书法的同学锁定了第1至5名．甲和乙去询问成绩，组委会对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是五人中最差的．”则最终丙和丁获得前两名的概率为（ ） A ．29B ．49C ．827D ．42711．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和虚轴的一个端点分别为F ，A ，点P 为C 右支上一动点，若APF △周长的最小值为4b ，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()12f x g x -+=，()()32f x g x +-=，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()g x 为奇函数C ．201()40k f k ==∑D ．201()40k g k ==∑第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2022年卡塔尔世界杯期间，3男3女共6位球迷赛后在比赛场地站成一排合影留念，则男、女球迷相间排列的概率为________．14．写出一个半径为1且与圆O ：221x y +=及直线l ：1x =-都相切的圆的方程________．15．已知()s i n (3)(||)2f x x πϕϕ=+<为奇函数，若对任意2,99ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在,9a πβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()0()f f αβ+=，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数()22ln f x x ax x =-+（a 为常数）有两个极值点：1x ，()212x x x <，若()12f x mx >恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=． （1）求角A 的值；（2）已知D 在边BC 上，且3BD DC =，3AD =，求ABC △的面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，AD BC ∥，AB BC ⊥，且222PC AD AB BC ====，平面PAD ⊥底面ABCD ．（1）证明：AB ⊥平面PAD ；（2）点M 为棱PC 的中点，求二面角M AB P --的正弦值．19．（12分）随着蓉城生态公园绿道全环贯通，环城绿道骑行成为最热门的户外休闲方式之一．环城绿道全程约100公里，不仅可以绕蓉城一圈，更能360度无死角欣赏蓉城这座城市的发展与魅力．某位同学近半年来骑行了5次，各次骑行期间的身体综合指标评分x 与对应用时y （单位：小时）如下表：（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的回归方程． 参考数据和参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-84≈． 20．（12分）已知椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，1F 、2F 分别是其左、右焦点，若P 是椭圆上的右顶点，且121PF PF ⋅=． （1）求椭圆的方程；（2）设直线1x ky =-与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M （M 与B 不重合），问直线MB 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()()ln ()1f x x a x a =+≤，2()e xg x x -=，且曲线()y f x =在点()(),x f x 处的切线斜率均不小于2． （1）求a 的值；（2）求证：函数()()()h x f x g x =-在区间()1,2内存在唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），在极坐标系中，曲线2C 是以1,2π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心且过极点O 的圆． （1）分别写出曲线1C 普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）直线l ：()4R πθρ=∈与曲线1C 、2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），求MN ． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()f x x t x t =-++，t R ∈． （1）若1t =，求不等式()28f x x ≤-的解集；（2）已知4m n +=，若对任意x R ∈，都存在0m >，0n >使得24()m nf x mn+=，求实数t 的取值范围．北流市2023届高三下学期5月教学质量检测数学参考答案（理科）1-5：ACACD 6-10：CCBAD11-12：BD13．【答案】11014．【答案】22(2)1x y +-=，22(2)1x y ++=，22(2)1x y ++= （答案不唯一，写出一个即可）． 15．【答案】,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．【答案】(],3-∞-17．（12分）解：（1）在ABC △中因为cos cos 2cos b A a B c A +=， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 1分所以sin()2sin cos A B C A +=2分因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=．故sin 2sin cos C C A = 3分 又C 是ABC △的内角，所以sin 0C ≠．从而1cos 2A =． 4分 而A 为ABC △的内角，所以3A π=． 5分（2）因为3BC DC =，所以3()AD AB AC AD -=-所以1344AD AB AC =+ 6分 从而22221931939916168161616AB AC AB AC c b bc =++⋅⇒=++8分由基本不等式可得：339981616bc bc bc ≥+=， 9分16bc ∴≤， 10分当且仅当3b =，c = 11分故ABC △的面积的最大值为1162⨯= 12分 18．解：（1）AD BC ∥，AB BC ⊥，AD AB ∴⊥，1分又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，3分AB ∴⊥平面PAD （4分）（2）取AD 的中点O ，连接OC ，OP ，PAD △为等边三角形，且O 是AD 的中点， PO AD ∴⊥sin 60PO AP ∴=︒=又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，112AO AD BC ===，AO BC ∥，AB BC ⊥∴四边形ABCO 为矩形，又PO ⊥平面ABCD PO ∴，OD ，OC 两两垂直，故以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，6分(0,1,0)A -，(1,1,0)B -，(1,0,0)C，P ，1,0,22M ⎛ ⎝⎭， 则(1,0,0)AB=，12BM ⎛=-⎝⎭，AP =． 设平面ABM 的法向量为()111,,n x yz =11110102n AB x n BM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令12z =，得(0,3,2)n =-9分设平面ABP 的法向量为()222,,m x y z =，则22200m AB x m AP y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21z =，得(0,m = 10分设二面角M AB P --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则|||0cos 14||n m n m θ⋅⨯===‖ 11分sin 14θ∴==∴二面角M AB P --的正弦值为． 12分19．解：（1）1234535x ++++==，9.58.67.87 6.17.85y ++++==， 2分()52110ii x x =-=∑，()5217.06i i y y =-=∑，()()518.4i i i x x y y =--=-∑，4分()()51iix x y y r --∴==≈-∑，6分相关系数近似为1-，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；7分（2）由（1）中数据，()()()1218.4ˆ0.8410niii nii x x y y bx x ==---===--∑∑， 9分ˆˆ7.8(0.843)10.32ay bx =-=--⨯=， 11分 y∴关于x 的回归方程为ˆ0.8410.32yx =-+．12分20．解：设椭圆的焦距为2c ，因为椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，所以c e a ==2243c a =， 1分因为(,0)P a ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，1(,0)PF c a =--，2(,0)PF c a =- 2分所以22121PF PF a c ⋅=-=，因为222b c a +=，所以，21b =，23c =，24a =．3分所以，椭圆的方程为2214x y += 4分【2】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,M x y -，所以，联立方程22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230k y ky +--=，216480k ∆=+>， 所以12224k y y k +=+，12234y y k -=+， 6分因为直线1x ky =-与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M 与B 不重合， 所以，0k ≠，即12x x ≠， 所以，2121MB y y k x x +=-，直线MB 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，7分令0y =得()221211222121y x x x y x y x x y y y y -+=-=++， 8分又因为111x ky =-，221x ky =-，所以()()2121221121221121223211241131424k y ky ky y x y x y ky y k x k y y y y y y k -⋅-+-++===-=-=--=-++++11分所以，直线MB 与x 轴交于点(4,0)-12分21．【1】()()ln (1)f x x a x a =+≤，则()ln 1(0)af x x x x'=++>， 1分因为曲线()y f x =在(,())x f x 处的切线斜率均不小于2， 所以()ln 12af x x x'=++≥， 2分得ln a x x x ≥-，设()ln (0)u x x x x x =->），则()ln u x x '=-，令()001u x x '>⇒<<，令()01u x x '<⇒>， 4分 所以函数()u x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1u x u ==，所以1a ≥，又1a ≤，所以1a =；5分【2】由（1）知，()(1)ln f x x x =+，所以2()()()(1)ln ex x h x f x g x x x =-=+-，则1(2)()ln 1(12)e x x x h x x x x -'=+++<<．6分 设1()ln 1(12)F x x x x =+-<<，则22111()0x F x x x x-'=-=>在(1,2)上恒成立，所以函数()F x 在(1,2)上单调递增，得()(1)0F x F >=，即1ln 10x x +->在(1,2)上恒成立，即1ln 1x x +>在(1,2)上恒成立， 所以1ln 12x x++>．① 9分设()e 1x G x x =--，则()e 10xG x '=->在(1,2)上恒成立， 所以函数()G x 在(1,2)上单调递增，得()(1)e 20G x G >=->， 即e 1xx >+，得11e 1x x <+， 当(1,2)x ∈时，(2)0x x -<，所以(2)(2)e 1xx x x x x -->+②． 11分由①②得，21(2)(2)2()ln 120e 11xx x x x x h x x x x x --+'=+++>+=>++在()1,2上恒成立， 则函数()h x 在(1,2)上单调递增． 又1(1)0e h =-<，2244(2)3ln 2ln80e eh =-=->， 得(1)(2)0h h <，所以函数()h x 在(1,2)内有唯一的零点．即证．12分22．（1）由曲线1C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈，消去参数θ，得2222(2)4cos 4sin 4x y θθ-+=+=1分所以曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4(02)x y y -+=≤≤ 3分（不写出y 具体范围，扣1分）因为曲线2C 是以1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心的圆，且过极点O ，所以圆心为()0,1，半径为1， 故2C 的直角坐标方程为：22(1)1x y +-=，4分 即2220x y y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得：圆2C 的极坐标方程为2sin ρθ= 5分 （2）因为曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4(02)x y y -+=≤≤．即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简可得1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以1C 的极坐标方程为4cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭； 6分 2C 的极坐标方程为2sin ρθ=；7分 因为M 、N 是直线l ：(R)4πθρ=∈与曲线1C 、2C 的两个交点， 不妨设1,4M πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4N πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由于1C ：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2C ：2sin ρθ=，所以14cos4πρ==22sin 4πρ== 9分从而12||MN ρρ=-=10分 23．（1）解：当1t =时，2(1)()|1||1|2(11)2(1)x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-<-⎩1分2()8f x x ≤- 当1x ≥时，即2281x x x ⎧≤-⎨≥⎩， 12x ∴≤≤； 2分当11x -≤<时，即22811x x ⎧≤-⎨-≤<⎩，11x ∴-≤<； 3分当1x <-时，即2281x x x ⎧-≤-⎨<-⎩，21x ∴-≤<-， 4分综上可得不等式的解集为[]2,2-． 5分（2）解：()|||||()()|2||f x x t x t x t x t t =-++≥--+=， 当且仅当()()0x t x t -+≤时取等号，min ()2||f x t ∴= 6分又0m >，0n >且4m n +=，2441419444m n m m m n mn n m n m ++∴=+=+≥+=8分 当且仅当44m nn m =，即45m =，165n =时等号成立，9分 所以249,4m nmn +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ 10分．。
重庆市巫溪中学高2015级高三第五次月考数学(理科)试题
重庆市巫溪中学高2015级高三第五次月考数学（理科）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合{|(2)0}A x x x =->，{||1|2}B x x =+<，则=B A （A ）(3,2)- （B ）(3,0)- （C ）(0,2)（D ）(1,2)2．已知是虚数单位，则复数1iz i-=的虚部是 （A ） （B ） （C ）1- （D ）i -3．下列函数中既是偶函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （A ）1y x =+ （B ）3y x = （C ）ln xy x=（D ）2xy -=4．如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 （A ）8 （B ）5 （C ）3（D ）25．命题“(0,)x ∀∈+∞，44x x+≥”的否定为 （A ）(0,)x ∃∈+∞，44x x +≤ （B ）(0,)x ∃∈+∞，44x x +< （C ）(0,)x ∀∈+∞，44x x +≤ （D ）(0,)x ∀∈+∞，44x x+<6．已知,a b ∈{}1,2,3，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率（A ）127（B ）527 （C ）19 （D ）597．如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点,M N ，,AB mAM AC nAN ==，则m n += （A ）2 （B ）5 （C ）3 （D ）48．若sin(20)cos(10)cos(10)x x x +︒=+︒+-︒，则tan x =（A）2- （B ） （C（D）9．已知抛物线22y x =的焦点是F ，准线是，点(2,)M m 是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与相切的圆的不同情况种数是 （A ）种 （B ）2种 （C ）3种 （D ）4种ONMCBA第7题图第4题图10．已知方程sin x k x=在(0,)+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则下列结论正确的是（A ）2sin 22cos ααα= （B ）2cos 22sin ααα= （C ）2sin 22cos βββ= （D ）2cos 22sin βββ=二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．）11．已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())4f f = ．12．已知6(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于160，则实数=a ．13．若函数2()2(,0)f x x x a a R x =++∈<图象上两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x <）处的切线相互垂直，则21x x -的最小值为 ．考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14. 如图，割线PBC 经过圆心O ，1PB OB ==，OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ，连结PD 交圆O 于点E ，则PE = ．15．在平面直角坐标系xOy 中，直线的方程为40x y -+=，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则曲线C 上的一个动点Q 到直线的距离的最小值为 ．16．若关于x 的不等式2121()x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）第14题图P已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，设x α=时()f x 取到最大值． （Ⅰ）求()f x 的最大值及α的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．19．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）某公司要招聘一个部门经理，笔试环节设置为：从10个备选测试题目中随机抽取4个，只有选中的4个题目均测试合格，笔试环节才算通过．已知甲对10个测试题目测试合格的概率均为45；乙对其中8个测试题目完全有合格把握，而另2个测试题目却根本不会． （Ⅰ）求甲恰好有2个测试题目合格的概率；（Ⅱ）记乙的测试题目合格数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ． 20．（本题共12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）已知函数2()ln ()f x x ax x a R =+-∈． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）令2()()g x f x x =-，若函数()g x 在(0,]x e ∈的最小值为3，求实数a 的值．21．（本题共12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点相同，且椭圆C 上一点与椭圆C的左右焦点12,F F构成三角形的周长为2+． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(,)l y kx m k m R =+∈：与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，AOB ∆的重心G 满足：1259F G F G ⋅=-，求实数m 的取值范围．22．（本题共12分，第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)22n n n n S na -=+-(2,*)n n N ≥∈，14a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足：14b =，且21(1)2(*)n n n b b n b n N +=---∈， （1） 求证：n n b a >(2,*)n n N ≥∈； （2）求证：23344511111(1)(1)(1)(1)n n b b b b b b b b ++⋅+⋅+⋅⋅+<(2,*)n n N ≥∈．高2015级高三（上）第五次月考数学试题（理）参考答案一、选择题：【7】解：【法一：共线定理】()1222m nAO AB AC AM AN =+=+， 由M 、O 、N 三点共线得：122m n+=，∴2m n +=．【法二:几何法，特殊化】令1=2m ，则如图，作//BQ AC ，可得AB BM =，由OB OC =，可得22AN BQ CN ==，所以3==2AC n AN ，则2m n += 【法三】直线MON 是ABC 的割线，由梅涅劳斯定理得：1AM BO CN MB OC NA =，即111n m-=-，∴2m n +=．【法四】,B M 重合，N,C 合【8】解：由）（）（）（10cos 10cos 20sin -++=+x x x ，得： 10cos cos 220sin cos 20cos sin x x x =+， 等式两边同时除以x cos ，得：2cos10sin 20tan cos 20x ︒-︒=︒2cos(3020)sin 20cos 20︒-︒-︒==︒.【或从选项入手】 【9】解：因为点(2,)M m 在抛物线22y x =上，所以2m =±，即(2,2)M ±。
数学理卷·2014届安徽省望江中学高三上学期第五次月考(2013.12)
∴
f
(x)
在
x
=
1 e
处取得极小值，极小值为
f
1 e
=
−
1 e
(2) Q2 f ( x) ≥ −x2 + mx − 3
…………………..6 分
即 mx ≤ 2x ⋅ ln x + x2 + 3 ，又 x > 0 ∴m ≤ 2x ⋅ ln x + x2 + 3 x
分
…………………..8
令 h ( x) = 2x ⋅ ln x + x2 + 3
由正弦定理得： BC = AB sin ∠BAC sin ∠BCA
∴ AB = a sin(90o + β ) = a cos β sin(α − β ) sin(α − β )
则 h = AB ⋅ sinα − a = a cos β sinα − a = a ⋅ cosα sin β
x
( ) ( ) h '( x) =
2x ⋅ ln x + x2 + 3
'⋅ x − x2
2x ⋅ ln x + x2 + 3
⋅x' =
2x + x2 − 3 x2
分
令 h '( x) = 0 ，解得 x = 1 或 x = −3 （舍）
………………….10
当 x ∈(0,1) 时， h '( x) < 0 ，函数 h ( x) 在 (0,1) 上递减
的取值范围?
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20. （本小题 13 分） 如图，山顶有一座石塔 BC ，已知石塔的高度为 a . （Ⅰ）若以 B,C 为观测点，在塔顶 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 为 β ，用 a,α , β 表示山的高度 h ； （Ⅱ）若将观测点选在地面的直线 AD 上，其中 D 是塔顶 B 在地面上的射影. 已知石塔高 度 a = 20 , 当观测点 E 在 AD 上满足 DE = 60 10 时看 BC 的视角(即 ∠BEC )最大，求山的高度 h.
天津市第一中学2024届高三第五次月考数学试卷(含答案与解析)_1189
天津一中2024届高三年级第五次月考试卷数 学本试卷总分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,52. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 96. 在一段时间内，分5次测得某种商品价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（ ）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A283B.323C. 14D. 188. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）的的.A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______．11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______．13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______．14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =， （ⅰ）求a 值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值．17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离．18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． （1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m->-．参考答案一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,5【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再根据并集运算求解.【详解】由题意可得：{}3,4,5U A =ð，所以()U B A ⋃=ð{}1,0,2,3,4,5-. 故选：C.2. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“22n n ≥”，不能推出3n =，例如2n =，即充分性不成立； 若“3n =”，则29,28n n ==，可得22n n ≥，即必要性成立；综上所述：“22n n ≥”是“3n =”的必要不充分条件. 故选：B.3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式计算a ，利用指数函数单调性判断b ，c 即可得答案.【详解】因为242log 21log 2log 42a ===，e 2111224b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102ππ1c =>=， 所以c a b >>. 故选：D4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断. 【详解】由题意可知：()f x 的定义域为{}|0x x ≠，故B 错误； 当0x >，()f x 先正后负，则有：对于C ：因为2e 1e ,20x x x -<<+>，则e e 0x x --<，可知()220e e x xx f x -+=<-，故C 错误；对于D ：因为e 1x>，则e 10e 1x x +>-，但cos x 的符号周期性变化，故D 错误；故选：A.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9【答案】A 【解析】【分析】由对数运算可知2112n n n a a -+=，分析可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列，利用分组求和以及等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为2111lg lg lg lg 2n n n n n a a a a -+++==，可得2112n n n a a -+=，则21122n n n a a +++=，可得24n na a +=， 可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列， 且数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且122a a =，可得22a =，所以()()()459135792468214145111414S a a a a a a a a a --=++++++++=+=--.故选：A.6. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t【答案】D 【解析】【分析】由散点图判断A ，根据回归直线方程判断B ，求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心点求出m ，令 1.9x =求出 y ，即可判断D.【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A 错误；由经验回归方程ˆ28.111.5yx =-，可知y 与x 具有线性相关关系，故A 错误； 又 1.4 1.6 1.82 2.2 1.85x ++++==，1210733255m my +++++==，又经验回归直线方程ˆ28.111.5yx =-必过样本中心点(),x y ， 则3228.111.5 1.85m+=-⨯，解得5m =，故C 错误； 当 1.9x =时， 28.111.5 1.9 6.25y =-⨯=，所以价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t ，故D 正确． 故选：D ．7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A.283B.323C. 14D. 18【答案】B 【解析】【分析】由题意可得：圆台的高124O O =，可证CD ⊥平面2O AB ，结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为12,O O ，为如图所示：可知圆台的高124O O ==，因为12,O O CD AB CD ⊥⊥，且121O O AB O =I ，12,O O AB ⊂平面2O AB ， 可知CD ⊥平面2O AB ，所以三棱锥A BCD -的体积为1132824323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件探求出12PF F △的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得2c a =，结合124F F =求,,a b c ，即可得方程.【详解】设双曲线22221x y a b-=半焦距为c ，则12(,0),(,0)F c F c -，由对称性不妨令与l 平行的渐近线为by x a=， 直线l 方程为：()by x c a=-，即0bx ay bc --=， 设12PF F △的内切圆O '与12PF F △三边相切的切点分别为0(,0)A x ，B，C ， 如图所示，的则1212||||||||(||||)PF PF PC CF PB BF -=+-+()()1200022AF AF x c c x x a =-=+--==， 即0x a =，而AO x '⊥轴，圆O '半径为3b ，则(,)3b O a '-， 点O '到直线l3b =，整理得|43|a c c -=， 且c a >，解得2c a =，又因为1224F F c ==，可得2221,2,3a c b c a ===-=，所以双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及()00f >求出a ，由π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值，再根据周期确定ω的值，即可得到函数解析式，即可判断A ，根据图象变换结合奇偶性判断B ；根据题意以π23x +为整体，结合正弦函数性质分析判断CD.【详解】因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，2=，且0a >，解得a =则()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭， 又因为πππ2sin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ1sin 432ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 结合图象可知ππ5π2π,436k k ω+=+∈Z ，解得28,k k ω=+∈Z ， 且π,024T ω>>，则2ππ2ω>，解得04ω<<，所以0,2k ω==，可知a ω=，故A 正确； 所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 对于选项B ：πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故B 正确； 对于选项C ：因为(]0,x m ∈，则πππ2,2333x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 由题意可得：π24π3m +≥，解得11π6m ≥，故C 正确； 对于选项D ：因为ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭内不单调，所以()f x 在区间ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误； 故选：D.【点睛】方法点睛：函数()sin y A x ωϕ=+的解析式的确定： （1）A 由最值确定； （2）ω由周期确定；（3）ϕ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求ϕ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______． 【答案】i - 【解析】【分析】根据题意结合复数的除法运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()21i 1ii 1i 1i 1i --==-++-. 故答案为：i -.11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．【答案】15 【解析】【分析】根据二项式定理可得通项为36216C rr Tx-+=，令3632r -=，运算求解即可.【详解】因为6x ⎛+ ⎝的展开式通项为3662166C C ,0,1,2,,6rr r r r r T x x r --+===⋅⋅⋅， 令3632r -=，解得2r =， 所以3x 项的系数为2615C =. 故答案为：15.12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】由题意可得：24y x =，设切线方程()21x m y =-+，结合相切可得1m =，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可.【详解】因为抛物线()220y px p =>过点()1,2，则24p =，可得24y x =，显然切线斜率不为0，设切线方程为()2112x m y my m =-+=+-，联立方程2124x my m y x=+-⎧⎨=⎩，消去x 得()244210y my m -+-=，则()21616210m m ∆=--=，解得1m =，可得切线方程为1x y =-，即10x y -+=，又因为圆()()22:40C x a y a -+=>的圆心(),0C a ，半径2r =，则圆心(),0C a 到直线10x y -+=的距离d =，由题意可得：2222+=，解得1a =.故答案为：1.13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______． 【答案】 ①. 0.85##1720 ②. 0.255##51200【解析】【分析】设相应事件，结合全概率公式求此产品为正品概率；并结合独立重复性事件的概率公式求恰有一个是正品的概率.【详解】记任取一件，此产品由甲、乙、丙三个厂商供应分别为事件123,,A A A ，此产品为正品为事件B ， 由题意可知：()()()()()()1231230.2,0.3,0.5,|0.9,|0.9,|0.8P A P A P A P B A P B A P B A ======， 可得()()()()()()()112233|||0.85P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=， 所以此产品为正品的概率为0.85；的这两件产品中恰有一个是正品的概率为()20.8510.850.255⨯⨯-=. 故答案为：0.85；0.255. 14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．【答案】 ①. 2139a b + ②. 14-##0.25-【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算出AH，利用余弦定理求出BC ，即可得到AB BC ⊥，设D 为AB 的中点，则()21PE PF PA PD =+⋅- ，再求出min PD ，即可得解.【详解】依题意()1133AH AB BH AB BM AB AM AB =+=+=+-2133AB AM =+21121213333939AB AC AB AC a b =+⨯=+=+ ；因为2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理BC ===， 所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，则四边形PEBF 为矩形，则PE PF PB +=，设D 为AB 的中点，则()()()PB PD P D E PF P P B DA A PA D +⋅⋅⋅==++()()2221PD DB D PD PD D DB P B =⋅+-=-=- ，当PD AC ⊥时PD取得最小值，且最小值为sin AD BAC ∠=，所以221114PD -≥-=- ， 即()PE PF PA +⋅ 的最小值是14-.故答案为：2139a b + ；14-15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）【答案】2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】把方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，根据函数单调性，分类讨论分别求出最值求解即可.【详解】因为方程0x x a k -+=，即x x a k -=-在区间[]0,2上有解，设函数()22,,x ax x af x x x a x ax x a⎧-≥=-=⎨-+<⎩，则函数()f x 的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点．因为44a -+≤<，所以0222a<-+≤<， 所以函数()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在(),a ∞+上单调递增． 当24a ≤<时，在区间[]0,2上，()2max24a af x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()min 00f x f ==，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤．当42a -+≤<时，因为()()00f f a ==，224a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()242f a =-．令2424a a =-，解得4a =-±，又42a -+≤<，所以2424a a ≥-，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤，综上，实数k 的取值范围为2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，分类讨论得到()f x 的最值，即可求出k 的取值范围.三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =，（ⅰ）求a 的值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值． 【答案】（1）1cos 3A =或cos 0A =（2）（ⅰ）3；【解析】【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解； （2）（ⅰ）由题意可知：1cos 3A =，利用余弦定理分析求解；（ⅱ）由1cos 3A =结合倍角公式求sin2,cos 2A A ，利用正弦定理可得sin C =，结合两角和差公式运算求解.【小问1详解】由题可得()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=， 解得1cos 3A =或cos 0A =. 【小问2详解】因为△ABC 为锐角三角形，则1cos 3A =， 由余弦定理可得22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即3a =；因为1cos 3A =，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A ==，可得227sin22sin cos 2cos sin 9A A A A A A ===-=-由正弦定理可得sin sin a c A C =，则sin sin c A C a ==，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7cos 9C ==，所以()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C -=-=. 17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）首先取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建系，再利用向量法证明即可；（2）求出平面1ABB 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值； （3）利用空间向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB . 因为120ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以AC ==，BO AC ⊥，又因为1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，11////DO AA CC ， 所以DO ⊥平面ABC ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,A ，()1,0,0B ，()11,0,2B，()10,4A，()1C ，()12AB =，()112A B =-，()110,3A C =-.设平面111A B C 的法向量(),,n x y z = ，则1111=0=0n A B n A C ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2030x z z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令y =，得()2n = ， 所以1//n AB ，又1AB ⊄平面111A B C ，所以1AB ⊥平面111A B C ； 【小问2详解】因为()1=AC，()1=2AB ，()1=0,0,2BB，设平面1ABB 的法向量(),,m a b c = ，则11=0=0m AB m BB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2020a c c ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1b =，得()m = ，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，则11sin AC m AC m θ⋅===⋅ ， 所以直线1AC 与平面1ABB. 【小问3详解】因为平面111A B C的法向量为()2n =，()10,0,4AA = ，所以点A 到平面111A B C的距离1n AA d n ⋅===.18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程． 【答案】（1（2）250x y -+= 【解析】【分析】（1）根据题意可得相应坐标，结合长度关系可得249b a =，即可得离心率；（2）设()0000,,0,0D x y x y ，分析可知直线l 的方程为00194x x y y+=，求相应点的坐标，结合面积关系列式求解即可. 【小问1详解】由题意可知：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，(),0B a ，则2ABAF ==，整理得249b a =，所以椭圆的离心率c e a ===. 【小问2详解】 由（1）可知：c =，则13BF a c a =+=+=，解得3,2a c b ===， 可知椭圆方程为22194x y +=，直线:132x y AB +=，设()0000,,0,0D x y x y ，则2200194x y +=，对于直线00194x x y y+=，可知点()00,D x y 在该直线上， 联立方程0022194194x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得00x x y y =⎧⎨=⎩， 可知直线00194x x y y +=与椭圆切于点()00,D x y ，即直线l 的方程为00194x x y y+=， 令0x =，解得04y y =，即040,M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 令0y =，解得09x x =，即090,E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程00132194x yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得()()000000363234323y x x y x y x y ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，即()()()00000000036343363,,,0232323y x y H H x y x y x y ⎛⎫⎛⎫---⎪⎪---⎝⎝'⎭⎭， 可得()()0000000012333323423x y x HH x y MO x y y -'--==-， 且()()0000000000043431121121123332232223DHB BEH BEDx x S S S y y x x y x x x y ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3DHB HH S MO '=可得()()0000000004333112322323x y x y x x y x y ⎛⎫--⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理得20000344120y x y x -+-=，则()()20003441y x y -=+，又因为220194x y +=，即()()222020414161y y y -+=+， 整理得()()()2202204441y y y -=-+， 且002y <<，则()2200441y y -=-，整理得200580y y -=，解得085y =或00y =（舍去）， 代入2200194x y +=，解得095x =-或095x =（舍去）， 所以直线l 的方程为2155x y -+=，即250x y -+=. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 通项公式；（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 【答案】（1）21n a n =+；2nn b =的（2）353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）证明见详解 【解析】【分析】（1）根据题意列式求得132a d =⎧⎨=⎩，即可得数列{}n a 的通项公式；根据n S 与nb 之间的关系分析可知{}n b 为等比数列，即可得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知：212ni i a n n ==+∑，设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解，结合数列{}n c 的单调性分析求解； （3）根据等比数列求和可得()28413kk T =-，分析可知23118424k k kT <≤⨯⨯，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：53251242516a a d a a a d -==⎧⎨+=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()32121n a n n =+-=+； 又因为22=-n n S b ，若1n =，可得1122b b =-，解得12b =； 若2n ≥，可得1122--=-n n S b ，两式相减得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=；可知数列{}n b 是以首项12b =，公比2q =的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=.【小问2详解】 由（1）可知：()2132122ni i n n a n n =++==+∑，若1nn i i b a λ=<∑，即222nn n λ<+，可得222nn nλ+<， 设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解， 令()()()()2211112131120222n nn n n n n n n n n c c ++++++-++-=-=≤， 当且仅当1n =时，等号成立， 可得1234c c c c =>>>⋅⋅⋅，且45335,232c c ==，则353322λ≤<， 所以实数λ的取值范围为353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由题意可知：12,2,n n n n b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则2221212222k k k k k c c +-+=+=，则()()3521212212814822241143k k kkk k Tc c c c +--=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+==--，因为*k ∈N ，则0248k≤⨯-，即()064841kk<⨯≤-，可得()213124841k k k T =≤⨯-，则1121111111184112464614n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭≤==-<⎪⨯⎝⎭-∑∑； 又因*k ∈N ，则0414kk<-<，可得()213384841k k k T =>⨯-，则1123111311132418488414n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎝⎭>==-⨯⨯-∑∑；综上所述：12111118846nn k kT =-⨯<<∑. 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． 为（1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m ->-．【答案】（1）1m =（2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）证明见详解 【解析】【分析】（1）求得，利用导数分析可知()f x 的最小值为1ln m f m -⎛⎫⎪⎝⎭，结合题意列式求解； （2）根据（1）结合导数的几何意义可得01m <<.（ⅰ）求得，结合导数判断原函数单调性结合零点存在性定理分析证明；（ⅱ）由（i ）可得要证()11mmg x m m->-，即证()111mmg xmm->-，先证明()12ln m g x m>，再构造函数()()12ln 0H x x x x x =-+>，利用导数判断出函数的单调性，从而可得出结论.【小问1详解】因为()1emx f x x -=-，则()1e 1mx f x m -'=-，且0m >， 令()0f x ¢>，解得1ln m x m ->；令()0f x '<，解得1ln mx m-<； 可知()f x 在1ln ,m m -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在1ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 则()f x 的最小值为1ln ln 0m mf m m -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1m =. 【小问2详解】由（1）可知：()1emx f x x -=-，()1e 1mx f x m -'=-， 可得()11e1m f -=-，()11e 1m f m -'=-，即切点坐标为()11,e1m --，斜率1e 1m k m -=-，则切线方程为()()()11e1e 11m m y m x ----=--，令0x =，可得()11e m y m -=-，由题意可得：()110em m ->-，且0m >，解得01m <<；（i ）因为()()()1ln 1ln 1e 01mx x x g xf x x m m m-++=-+=-<<， 可知()g x 的定义域为()0,∞+，()2111e 1e mx mx m x g x m mx mx---=-='， 设()()21e10mx h x m x x -=->，则()()211e 0mx h x m mx -=+>'在()0,∞+内恒成立，可知函数()h x 在()0,∞+上递增， 由（1）可知：当1m =时，()1e0x f x x -=-≥，即1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，则3211333322222211e 1111m m h m m m m m m m -⎛⎫ ⎪+----- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-≥+⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得3332222110h m m m m m ---⎛⎫+>⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，又因()01h =-，由零点的存在性定理可得，存在3210,1x m -⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，即1111e mx mx m -=，（*）当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()0g x '>，()g x 为增函数， 又因为01m <<，()111e m g m-=-， 设()()11e01x G x x x -=-<<，则()()121e 001x G x x x-'=+><<， 所以函数()G x 在()0,1上递增， 所以()()10G x G <=，即()111e 0m g m-=-<，因为()1e0x x x -≥>，所以1ln x x -≥1-≥2ln x ≥，则()g x mx mx ≥>-所以44440g m m m ⎛⎫>⋅= ⎪⎝⎭，且241m>，当01m <<时，1111e1mx mx m-=>， 所以由()x ϕ的单调性可知11mx >，且111x m>>， 所以当()11,x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间441,m ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 11ee1ln 11e e e 0e m mg m--+⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，且11e <， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 所以函数()g x 恰有两个零点， （ii ）因为1111emx mx m-=，即112ln ln 10m x mx ++-=， 则11ln 12ln 2x m mx +=--+，所以()1111121ln 112ln 2emx x m g x x m m x m m-+=-=++-， 有基本不等式可得()112112ln 22ln 22ln m m mg x x m x m m m m m=++-≥-=， 当且仅当1211x m x =，即11x m=时，取等号，由1111emx mx m-=，由11x m =可得1m =，这与01m <<矛盾，所以11x m ≠，所以()()12ln mg x g x m≥>， 要证()11mmg x m m ->-，即证()111mmg xmm->-，设()()12ln 0H x x x x x=-+>，则()22211110H x x x x ⎛⎫=--=--≤ ⎪⎝⎭'所以函数()H x 在()0,∞+上递减， 所以当01x <<时，()()10H x H >=， 因为01m <<，所以101m m <<，所以1112ln 2ln m m mm m m m m-=>-，又()()12ln m g x g x m≥>，所以()11m m g x m m ->-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
湖南省长郡中学2011届高三第五次月考试卷数学试题(理科)
湖南省长郡中学20 11届高三第五次月考试卷数学试题（理科）时量：120分钟 2011-1-4上午一、选择题（每小题5分共50分） 1、不等式xx 1log 2-≥1的解集为( )A ．(]1,-∞-B ．[)∞+-,1C ．[)0,1-D ．(]()∞+-∞-,01, 2、在(2x －x2)5的展开式中x1的系数等于（ ）A ．10B ．－10C ．20D ．－203、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色 （允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂 色方式种数为（ ）.A 、24；B 、36；C 、72；D 、84.4、1-=a 是直线03301)12(=++=+-+ay x y a ax 和直线垂直的 （ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要的条件5、定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是: （ ）（1） （2） （3） （4） （A ） （B ） A .D A D B **, B .C A D B **, C .D A C B **, D . D A D C **,6、 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)，()sin f x x=，则8()3f π的值为A B CD( )A.2 B. 2- C. 12 D. 12-7、 一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么 （ ）A ．人可在7米内追上汽车B ．人可在10米内追上汽车C ．人追不上汽车,其间距离最近为5米D ．人追不上汽车,其间距离最近为7米 8、已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线 m 、n ，有下列四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n②若βαβα//,,则⊥⊥m m③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα 其中正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9、如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则⊿ABC 的边长是 （ ）A ．．364 C D 10、甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为 （ ）A ．4437B ．4425 C ．4435 D ．449 二、填空题（每小题5分共25分）11、0)3)(2)(1(,)65()32()21(=---++=t t t x t xxx的方程则关于设 的所有实数解之和为 .12. 在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图所示的 规则练习数数，数到2007时对应的指头是___________. (填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、 无名指、小指). 13．要得到cos(2)4y x π=-的图象,且使平移的距离最短，则需将sin 2y x =的图象向左平移 ____个单位．14、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .15、设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34AD AB =, 25AP AD BC =+，则APD ABC S S =△△ ____________。
湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学(理)试题(PDF高清扫描版)
学!号!
密!!封!!线!!内!!不!!要!!答!!题
姓!名!
第二象限 * ) 第四象限 ,) # " $ " " $
" #
则 " 的数学期望$ " .
" %
班!级!
% * ) # +) ,) () # # # 已知 % 是定义在 % 上的奇函数 当 &#$ 时 则函数 ! & & .& !& %
# 对于三次函数%! " % 给出定义# 设% 是函 " $ ! &" . 0 & / 1 & / 2 &/ 3! 0) $ 4! &" 数(. 的导数% 是% 的导数 % 若方程 % 5! 4! 5! &" &" &" &" .$ 有实数解 %! %
则称点! " 为函数(.%! 的* 拐点 + 某同学经过探究发现# & & & &" ! %! $% $% $" 任何一个三次函数都有* 拐点+ , 任何一个三次函数都有对称中心% 且* 拐 " - " # % 则 " 就是对称中心 ! 设函数'! 点+ &" . & ! & /&! % / ' # " # #$ " %
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海南省海南中学2016届高三上学期第5次月考数学(理科)试卷 含答案
海南中学2016届高三第五次月考理科数学命题:王青俊 杨菲(考试用时为120分钟，满分分值为150分.）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将答案填到答题卡，答在本试题上无效. 1. 已知集合}022|{},32|{2≤+-=--==x x x B x x y x A ，则=B A ( ）A 。
]1,2(--B. ]1,2[--C. ]3,2[D.]2,2(-2。
已知复数ai z +=1()0,>∈a R a ，且2z =,则复数z 的虚部为 （ ）A. 3B.1 C 。
i 3D. i3。
已知两条不同直线m 、l ,两个不同平面α、β，在下列条件中,可得出αβ⊥的是( ）A ．m l ⊥,//l α,//l βB ．m l ⊥,l αβ=,m α⊂C ．//m l ，m α⊥，l β⊥D ．//m l ，l β⊥，m α⊂ 4。
已知122,,,8a a --成等差数列，8,,,,2321b b b 成等比数列,则212aa b -=（ )A. 14B 。
12C.12-D. 12或12-5。
下列说法正确的是（ ) A. 命题“x R ∃∈，使得22x x>”的否定是“R x ∈∃，使得22x x ≤"B. “若()0,1a ∈，则关于x 的不等式2210axax ++>解集为R ”的逆命题为真C. “若a b ，不都是偶数,则+a b 不是偶数”的否命题为假D. “已知R a b ∈，,若+3a b ≠，则2a ≠或1b ≠”的逆否命题为真6. 由曲线y x=,直线2y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 （ ) A 。
103B.223C 。
163D. 67. 已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为( ）A ．8-B ．6-C ．8D ．68. 底面是正方形的四棱锥的三视图如下图所示，则该四棱锥中，面积最大的侧面的面积为 （ ）A.2B.5 C6 D 。
三亚市第一中学2013届高三第五次月考数学试题
三亚市第一中学2013届高三第五次月考试题数学理科一．选择题（每小题5分，共12小题）1.下列函数既是奇函数，且在)1,0(上是增函数的是 A ．|1|+=x yB ．x y 2tan =C ．2sinx y = D ．x y 2log =2.在以下关于向量的命题中，不正确的是A.若向量),(y x a =→，向量),(x y b -=→ )0,(≠y x ，则→→⊥b a B.四边形ABCD 是菱形的充要条件是=DC ，且||=|| C.点G 是△ABC 的重心，则→→→→=++0GC GB GAD. 若//,//a b b c ，则//a c3.设椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆上的一点，且012=⋅→→AF AF , 原点O 到 直线1AF 的距离为||211OF ，则椭圆的离心率为 A.31B. 13-C.22D. 12-4.已知26)4sin(22cos =-αα，则α2sin = A ．23 B ．43 C ．22 D ．215. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A.283π-B. 83π- C.π28- D.23π6.已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且||||,NF MN NMF =∠则等于 A ．30B ．45C ．60D ．907.已知函数x x f πsin )(=的图像的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的函数解析式为A ．1(2)2y f x =-B ．(21)y f x =-C ．(1)2x y f =-D ．1()22x y f =-8.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为4，动点E 、F 在棱AB 上，且EF=2，动点Q 在棱11C D 上，则三棱锥EFQ A -1的体积 A ．与点E 、F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E 、F 、Q 位置都有关D ．与点E 、F 、Q 位置都无关，是定值9.已知向量→→→⋅+=j i a αcos 32,→→⋅+⋅=j i b ααsin 2sin 2，其中i 、j 为互相垂直的单位向量，若3=⋅→→b a ，则α2tan 的值为3.A 3.B 22.C 4.D10.三棱锥ABC P -的三条侧棱PC PB PA ,,两两垂直，且2,2,1===PC PB PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为 A ．π38B ．π35C ．π3D ．π911. 已知抛物线22x y =上两点),(),,(2211y x B y x A 关于m x y +=对称,且2121-=x x ，那 么m 的值等于A .25 B .23C .2D .3 12.函数)(x f ＝⎩⎨⎧=≠)0(1)0(||lg x x x 若关于x 的方程0)()]([2=+⋅+c x f b x f 恰有5个不同的实数解54321,,,,x x x x x ，则54321x x x x x ++++等于A ．0 B.1 C.lg2 D.3二．填空题（每小题5分，共4小题）13.若一个圆的圆心在抛物线2201x y =的焦点处，且此圆与双曲线191622=-y x 的渐近线相切，则这个圆的方程为________________．14．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、 乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种.(用数字作答)15.若正方形ABCD 边长为1，点P 在对角线线段AC 上运动，则)(→→→+∙PD PB AB 的取值范围是_____16. 已知函数3)(x ax x f -=，对区间（0，1）上的任意21,x x ，且21x x <，都有1212)()(x x x f x f -≥-成立，则a 的取值范围为_____________.三．解答题（共6小题，其中22题10分，其余每小题12分） 17.已知函数)2sin()3sin(3)(ππ++-=x x x f（I ）求)(x f 单调递减区间；（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f （C ）=2,c=3, A B sin 2sin =， 求△ABC 的面积。
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河南省郑州四中-高三年级第五次月考数学试题（理科）.12.23一．选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．复数1i-的虚部是A．i-B．-1 C．1 D．i2．集合QPxyyQRaaaxxP则},2|{},,23|{2-==∈+-===A．),0[+∞B．),41[+∞-C．),2[+∞D．φ3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是A．4 B．5 C．6 D．74．函数)10(||<<=axxayx的图象的大致形状是5．圆2422=-+=+yxyx上到直线的距离等于1的点的个数为A．3B．2C．1D．06．函数y =)a x a≥的反函数是A．y＝(x－a)2－a (x≥a) B．y＝(x－a)2＋a (x≥a) C．y＝(x－a)2－a (x≤a) D．y＝(x－a)2＋a (x≤a)7．已知m∈R，函数3()f x x mx=-在[1，+∞）上是单调增函数，则m的最大值是A．0 B．1 C．2 D．38．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若9S=18，nS=240，4na-=30，则n的值为A．18 B．17 C．16 D．15 9．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是A．3387C CB．48CC．486C-D．4812C-1222=-yxA ．23±=x B ．25±=x C ．334±=x D ．554±=x 11．下列四个命题中，不正确的是A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=B ．若函数()f x 、()g x 满足lim[()()]0x f x g x →∞-=，则lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞=C ．函数()f x =239x x +-的不连续点是x =3和x =-3D ．2111lim1=--→x x x12．已知偶函数]0,1[)(-=在x f y 上为增函数，又βα，为锐角三角形的两内角，则必须 A ．)(cos )(sin βαf f > B ．)(cos )(sin βαf f < C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．61)x 的展开式中的常数项为 ．(用数字做答) 14．已知直线l 的斜率为k ，且过点P (,)-20，抛物线C y x :()241=+，直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,则k 的取值范围是 ．15．若x 、y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+009382y x y x y x ，，，则y x z 2+=的最大值为________．16．半径为25的球面上有A 、B 、C 三点，AB=6，BC=8，AC=10，则球心到平面ABC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知向量3(sin ,),(cos ,1).2a x b x ==-（1）当//a b 时，求22cos sin 2x x -的值； （2）求函数x f •+=)()(当∈x ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时的值域．18．（本小题满分12分）有一个4×5×6的长方体, 它的六个面上均涂上颜色．现将这个长方体锯成120个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个．（1）设小正方体涂上颜色的面数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）如每次从中任取一个小正方体，确定涂色的面数后，再放回，连续抽取6次，设恰好取到两面涂有颜色的小正方体次数为η．求η的数学期望．19．（本小题满分12分）如图：正三棱柱ABC—A1B1C1中，D 是BC 的中点，AA1=AB=1． （1）求证：A1C//平面AB1D ；（2）求二面角B—AB1—D 的大小； （3）求点C 到平面AB1D 的距离．20．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且1345,15a a S +==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设25log 2n nb a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）比较（2）中n T 与312(1,2,3)2n n +=⋅⋅⋅的大小，并说明理由．21．（本小题满分12分）设P(x,y)为椭圆xayb22221+=上任一点，F c1(,)-，F c2(,)为焦点，∠=PF F12α，∠=PF F21β．（1）求证:离心率e=+-coscosαβαβ22；（2）求tg tgαβ22的值；（3）求|||PF PF1323+的最值．22．（本小题满分12分）已知函数32()f x ax bx cx=++在点x处取得极小值－4，使其导数'()0f x>的x的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x的解析式；（2）若过点(1,)P m-可作曲线()y f x=的三条切线，求实数m的取值范围．河南省郑州四中2007-2008学年高三年级第五次月考 数学试题（理科）参考答案一．选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BACBADDDDDBB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13． 15 ．14．()()1,00,1⋃-． 15． 16 ． 16． 5 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）（1）||a b ，∈3cos sin 02x x +=，∈3tan 2x =-222222cos 2sin cos 22tan 202cos sin 2sin cos 1tan 13x x x x x x x x ---===++（5分）（2）2()()sin(2)24f x a b b x π=+⋅=+∈02x π-≤≤，∈32444x πππ-≤+≤，∈21sin(2)42x π-≤+≤ ∈21()22f x -≤≤（10分）18．（本小题满分12分） （1ξ0 1 2 3p51 3013 103 151E ξ=0×51+1×3013+2×103+3×151=3037 （2）易知η～B(6, 103), ∈ E η=6×103=1．819．（本小题满分12分）（1）连接A1B ，设A1B∩AB1=E ，连结DE ， ∈ABC—A1B1C 是正三棱柱且AA1=AB ，∈四边形A1ABB1是正方形，∈E 是A1B 的中点，（2）在平面ABC 内作DF∈AB 于点F ，在平面A1ABB1内作FG∈AB1于点G ，连结DG 。
∈平面A1ABB1∈平面ABC ，∈DF∈平面A1ABB1，FG 是DG 在平面A1ABB1上的射影，∈FG∈AB1， ∈DG∈AB1， ∈∈FGD 是二面角B—AB1—D 的平面角 ……6分∈A1A=AB=1，在正∈ABC 中，43=DF ，在∈ABE 中，FG=82343=BE在Rt∈DFG 中，36tan ==∠FG DF FGD ，∈二面角B—AB1—D 的大小为36arctan……………………8分（3）∈平面B1BC1∈平面ABC 且AD∈BC ，∈AD∈平面B1BCC1， 又AD ⊂平面AB1D ，∈平面B1BCC1∈平面AB1D ，在平面B1BCC1内作CH∈B1D 交B1D 的延长线于点H ，则 CH 的长度就是点C 到平面ABCD 的距离由∈CDH∈∈B1DB 得：5511=⋅=D B CD BB CH ，即点C 到平面AB1D 的距离是55……………………………………12分20．（本小题满分12分） （1）设数列{}n a 的公比为q ，则2213111(1)5a a a a q a q +=+=+=2413241()(1)10S a a a a a q q -+=+=+=∈12,1q a ==则12n n a -= （2）由（1）可知2553log (1)222n n b a n n =+=+-=+所以数列{}n b 是一个以52为首项，1为公差的等差数列∈153()()(4)22222n n n n n b b n n T ++++===（3）∈332111(2)(44)(1)(2)(2)222n n T n n n n n n +-=--+=--+ ∈当1,2n =时，1(1)(2)(2)02n n n --+=，即3122n T n =+ 当3n ≥时，1(1)(2)(2)02n n n --+>，即3122n T n <+综上可知：1,2n =时，3122n T n =+；3n ≥时，3122n T n <+21．（本小题满分12分） （1）设||PF r 11=，|PF r 22=，由正弦定理得r r c 122sin sin sin()αβαβ==+,r r c122++=+sin sin sin()αβαβ 2cos 2cos)22sin()22sin(2cos 2sin2sin sin )sin(βαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--++-++++=++==a c e（2）e =-+cos cos sin sincos cos sin sinαβαβαβαβ22222222， 采用合分比定理得e e +-=-112222cos cos sinsinαβαβ，即tgtge e αβ2211=-+．（3）()()a ex a ex a ae x ++-=+3332226． 当x =0时，最小值是23a ；当a x ±=时，最大值是26323a e a +． 22．（本小题满分12分）（1）由题意得：2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--< ∈在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x <因此()f x 在01x =处取得极小值4-∈4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③由①②③联立得：169a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∈32()69f x x x x =-+- （7分）（2）设切点Q (,())t f t ，,()()()y f t f t x t -=- 232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+- 222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-=令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=， 求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。