变式教学让课堂更精彩

≤ 关 ．
时， 变更概念非本质特征， 变更问题 的条件或结
论， 转换 问题 的形式或 内容， 创设实际应用的各 种环境， 使概念或本质不变的一种教学方式． 我
们在 钻研 教 材 时可 以抓 住 一些 典 型 的 例题 或练
图 １
习进行适当地变式， 课堂上引导学生深入探究问 题， 使学生解决数学 问题的能力一步步地提高． 下面是有关圆锥裁剪问题的思考与变式， 写出来
． ． ’ ．
．
ｏＯ的周 长＝ ２ ｒ ￣３ —１、１） ７ ＝２ （５ ０／０ ＝ ｒ （０—２ ） ， ７ ０ ７ ｒ
． ．
。
而弧ＡＧ的长度
‘
７×１ ｒ ０＝５ｒ ７ ．
．
．
ｏ（ 的周长大于弧 Ａ ＝ ） Ｇ的长度， 能裁出符
合条件 的圆．
图 ４
虽然在 问题三 的长方形 中能裁 出符合条 件 的底面 圆， 但是很 显然材料太浪费 了， 了提高 为
与 读 者一 起 探 讨．
图 ２
分析： 余料中能裁出的最大圆如图２ 所示， 记 作 ｏＯ， 其半径记作 ｒ ．若这个 圆符合条件， 则 ｏＯ的周长大于或等于弧 Ａ Ｃ的长度， 因此解决 问题 的关 键 是 看 弧 Ａ 的 长度 与 ｏ（ 的 周 长 的 二 ） 大小关 系．显然 ｏ（ 与 ｏＢ外切， 二 ） 切点记作 Ｊ， Ｆ ） 则 Ｊ、 （、 Ｅ Ｐ、 ）Ｄ共线， ｝ 二 易得 （ ＝ 、２ 则 ＢＤ ＝ 二 ） Ｄ ／ｒ ／
合 条 件 的底 面 圆？
ｒ＝ （ 一１ ＝ ３～２ ， ）
一 ～， 发 一关 为性 相 一城 瞄 量 系 数 一 是． 重１ ， ＿ ＜ 蔗 一 此 上 一 爱 ｍ ～ 瑚 刻 的 村 一 Ｉ
关于二分变量相关分析 的 系数法， 现在可
以简 单 地 小 结如 下 ：
对这样的探索和建立模型过程， 教师都不能
１ ｒ＋ 、２ ．又因在 Ｒ △Ｂ Ｄ 中，Ｅ ： 、２ ＋ ／ｒ ｔ ＪＤ ｝ ／ ／
故 ＢＤ ＝ １ ｒ＋ 、２ ＋ ／ ｒ＝ 、２ ／ ／，
・
． ．
问题一
有一张边长为 １ 的正方形纸片， 现
在要用它来裁剪一个 圆锥 的侧 面与底面， 若侧面 的裁剪方式如图 １ 所示， 问能否在余料 中裁出符
分析： ｏ（ 的半径 为 ｒ ｏＢ的半径 为 Ｒ， 设 ＝ ） ， 贝 有 、２ ０ ／ ｒ＋ｒ＋ Ｒ ＝ 、２………………………・① ／ ／， ／ ・
２ ｒ ＝ 丌 丌Ｒ ＝ ～Ｒ … … … … … ②
由 ② 有 Ｒ： ４ ， ７ 代入 ① 得 ｒ： — ￣ －２ ’ ５ ｖ
，
纸片的利用率， 从而 引出了问题 四．
问题 四 长 与宽满足怎样 比例 的长方形纸
片刚好能裁出最大侧面积的圆锥， 使纸片的利用
图 ３
率最高？ 分析： 设长方形 的宽 Ａ ＝ １ 长 ＢＣ ＝ ｂ Ｂ ， ， ｏ《 的半径为 ｒ 则 二 ） ，
２ 丌ｒ ＝ 丌 × １＝ ・ ｒ： １ ． １０ ８ ２ 一 ４．
急于 给 结 论 、 方 法 ， 给 学 生 充分 的时 间来 观 给 要
∑
一
一
． 在这个式子
般地有 ＝ ＿ — 一 兰 。
察、 思考， 引导学生 自己体会什么是两个变量的 相关性， 什么是两个变量的不相关； 然后 启发学
生 自己设计数学处理 的方案， 并帮助学生分析他 们的方案， 讨论改进的方法， 最终完善他 们的方
在 Ｒ ＡＢＦＯ中， （０＋ｒ ＝ （０一 ｔ 有 １ ） １ ｒ ） （５ ）， ＋ １ 一ｒ 整理得 ｒ 一７ｒ ２ ０ ＋２ ５＝０ ．
．
．
’
重要的是， 学生从解题 中获得 了愉快的体验， 并 接受到数学文化的熏陶．
问题三 有一张长方形的纸 片， 长为 １ ， ５ 宽 为 １， ０ 现在用它来裁剪一个圆锥 的侧 面与底面， 若侧面的裁剪线如图４ 所示， 问能否在余料中裁 出符合条件的底面圆？ 分析： ｏ０的半径为 ｒ 设 ．如图添 加辅助线， 易 得 （Ｆ ＝ １ ＝ ） ０一ｒ Ｏ ＝ １ ， ， ０＋ ＢＦ ＝ １ ５一ｒ ．
２１ 年第 ５ ０２ 期
’ ． ．
数 学教 学
解得 ｒ＝ ３ １ 、１ ． ５— ０／０
’
５９ －
ｏｆ 的周长 ＝ ２ ｒ＝ ２ （ ２／ ）＝ ＝ ） ７ ｒ ７ ３— ｘ２ ｒ
丌．
６丌 一 ４
弧 的度 丌１ 丌 长 × ， 圭
ｏ《 的周长小于弧 的长度， 二 ） 不能在余 料中裁出符合条件的底 面圆． 既然此种裁剪方案行不通， 么可以把侧面 那 裁得再小一些， 从而引出问题二． 问题二 有一张边长 为 １ 的正方形纸片， 现 在要用它来裁剪一个 圆锥的侧面与底面， 若侧面 的裁剪方式如图 ３ 所示， 问如何裁剪才能使所得 的圆锥 的侧面积最大？
，
即 ＋ （ ＋一 （ ＝ 一 （ ， １ ） １） ｂ）
整 理 得 １ｂ ８ 一 １ ６ ２— ｂ ５＝ ０ ．ｂ ＝ ．
． ．
，
当长方形满足长与宽的比值为 詈 能 时，
得 符合 条 件 的 圆锥 的表 面 展 开 图．
裁 出符合条件的圆锥．
在正方形 纸片上裁 剪最 大侧面积的 圆锥 问 题解决之后， 自然地 又会让人思考： 很 如果是在 长方形纸片上裁剪又当如何呢？ 从而 引出了问题
案．
中，
为变量 Ｙ 的第 ｉ 个条件分 布的众值频 次，
为Ｙ 的边缘分布的众值频次， Ⅳ为总体容量．
这个式子是视 Ｘ 自变量， 为 用对 Ｙ 的预测来
定义消减误差 比例， 以式中 系数记作 ． 所 若
以Ｙ 自变量预测 Ｘ 为 来定义消减误差 比例， 则式 中Ｘ和 Ｙ 须交换位置， 并记 系数 为 ． 一般
三．
结论 ２ 当长方形纸片的长与宽满足长度之 比为 时， 能在此长方形纸片上裁出最大侧面积
的圆锥， 使纸片的利用率最高． 在数学教学 中应用变 式教 学能不断提高 学 生解决 问题的能力和应变能力， 是一种行之有效 的教学方法． 在教师 不断的反思过程中， 变式的 思想就会 自然地走进课堂教学 中， 学生的思维、 洞察力就 能有效地提 升， 课堂教学 自然也会变 大、 变活、 变深， 变得 引人入胜、流连忘返， 更为
≠ ，即 入系 数 具 有 不 对 称 性 ． 当 Ｘ和 Ｙ
参考 文献
［ 王孝玲． １ ］ 教育统计学［ ． Ｍ］上海： 华东师范
大 学 出版 社 ， ０ ７ ２０ ．
［ 张彦． ２ ］ 社会统计学［ ． Ｍ］北京： 高等教育出
版社，０５ ２０ ．
孰 因孰果不 明确 时， 可分别求 出 和 ， 以它
又 ‘ 在 Ｒ △ＢＦ二中有 ． ’ ｔ 《 ）
从 而得 ： — －８ ２ｖ Ｏ ａ
．
（ ＋ｒ ＝ （ 一ｒ （—ｒ。 １ ） １ ）＋ ｂ ），
一
ｒ
结论 ｌ 要在边长为 １ 的正方形纸片上裁 出 个 最 大 侧 面 积 的 圆锥 ，只 要 取 底 面 圆 半 径 为 ５ －２ 母 线 长 为 Ｒ ： — －８ ｖ ￣ ２ｖ ｏ ａ ＝ — 就 可裁
５８ 数 ຫໍສະໝຸດ 数 学 ２１年第 ５ ０２ 期
变式 教学 让课 堂更精 彩
３ １ 浙江省宁波市鄞州区田莘耕 中学 葛琳玲 １５ ５３
变式教学是数学教学的一种常用的手段． 数 学变式教学是指教师在引导学生解答数学问题
～一 一～ 一一 ～ 一 一
一
～
围 滞 变 为 量 灌