行列式经典例题
行列式练习题及答案
一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 0000000010020001000 -= （ ）.（A ）!n （B ）!)1(2)1(n n n -- （C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式：1． 各项以行标为标准顺序排列；2． 各项以列标为标准顺序排列；3． 各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1．8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．ab b babb b a D n=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x D---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n 。
行列式练习题及答案
第1章行列式(作业1)一、填空题1. 设自然数从小到大为标准次序，则排列 1 3...(2n 1) 2 4 排列1 3 (2)1) (2n) (2n2)…2的逆序数为2. 在6阶行列式中， 3•所有n 元排列中， 二、选择题1. 由定义计算行列式三、请按下列不同要求准确写出1.各项以行标为标准顺序排列; n 阶行列式D det(a j )定义式:四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n 2 n ，则此行列式的值等于多少？说明理由2 各项以列标为标准顺序排列；(A ) n! (B ) n 1 0 n(n1) 0n! 2.在函数 f (x) 中, (C) n (n 1)(n 2) (1) 2 33的系数是( n!(D ) (1)n(n°n! 1 (B ) 1 -1(A ) 1 3•四阶行列式的展开式中含有因子 (A ) 4;( B ) 2;(C ) 2 (D ) a 32的项，共有( (C ) 6;( D)8.)个. (2n)的逆序数为 _________823842831 a 56aga 65这项的符号为奇排列的个数共第1章行列式（作业2）1 1 12 x 2 23 2 32 3 151 9 x2、计算题2 13 4a1 0 0 1 .4 1 9162 .1 b 1 030 15 45 600 1 c1117 1 81 d3. D n、填空题 a 12 a 13 a 22 a 23a 32a 33a ii1 .右 D= a 2i a 314an2an 3a 12 a 134a 21 2a 21 3a 22 a 234a 31 2a 313a 32a 331,则 D i2.方程=0的根为X a ia2a n i i a i X a2 a n i i4. D n i a ia2X a n i ia ia2a3 X ia i a2a3 a n i5.计算n阶行列式D nx1 1 x1 2x2 1 x2 2X i nX2 n(n 2)。
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n nD n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是 =所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k x x x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n xa + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4． 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋ 解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ． 方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 0000000100200100-= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2)1(n n n -- （C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x x x f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式：1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题1．8171160451530169144312----- 2．dc b a10011001101---3．abbba b bbaD n=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a xa a a a x a a a a x D---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n。
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式解方法1由题设知， an =0,a 〔2 1 , L,a1nn 1丄故0 1L n 10 1 L n 11L n2rir 111 L1D nMOi n ,n1,L ,2MOn 1 n2 L 011 L1n 1 n L L n 12L L1C j CnM O OL ( 1)n 12* 2(n 1)j 1,L ,n 1M0 2L 01其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行•第二步用的每列加第n 列.的充要条件是 a + b + c =0.证明：考察德蒙行列式=(a 一对o—1 L n 111 L 1 1 0L n 2r i r i 1 1 1 L 1 MOi 1,2,L ,n 1M On 1n 2 Ln 1n 2 L方法2 D n10 L 0 Cj G 12 L0 j 2,L ,nM On 12n 3 Ln 11)n 12n 2(n 1) =(例 2.设a , b , c 是互异的实数,证明:1 x行列式即为y 2前的系数•于是所以的充要条件是a + b + c = 0.x 10 K 0 x 1 K MM Ma na n 1a n 2K例3计算D n = 递推法按第 1 0 0 M x a i解：方法1列展开,D n = x D n 1 + (-1) a n =x D n 1+ a n 由于 D 1 = x + a 1, D 2 a 2a 1 2 1+ a n =x(x D n 2 +a n 1)+ a n =x D n 2 + n 1 n 2 a n 1x + a n = L = x D 1 + a 2 x + n n 1 + a n 1 x + a n = x a 1 x a n 1 x a n，第n 列的x n 1倍分别加到第1列上 01 0K C 1 XC 22 x x1 K D n0 0 x KMMMa n xa n 1a n 1a n 2K方法2第2列的x 倍，第3列的x 2倍, 0 0 0M x a 11 0 0 K 2C 1xC30 x 1 0K3 x 0 x 1 KMMMM2 a n xa n 1x a n 2a n 1a n 2a n 3K0 0 0 M x a 10 1x 1 O OfO按r n 展开1)n11 x 1x O Oxna 〔xa n 1x a n方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.1 c Gx 1c 3c2Xx 0 0x 0 0 MM0 0 x M-Cn a na n 1a na n 2a n 1按Cn 展开““ a n 1n 1 dnx k n = x ( —^7 +xa n 1 x0 0 0 M k na 2 + +a 1 +x)x按r n 展开1 方法4D n( 1)n1a nAMX0 K 0 0n 21 K0 0(1) a n1+M MM MK X 1X 1 K0 02 n0 X K0 0+ ( 1) (a 1 x)M M M M 0 0 L 0 X n 1 n=a n a n 1X L a 1X x=(-1) n 1 (- 1) n 1a n + (- 1) 0 K1 K 0+MM M0 KX1X1 K 0 0+ ( 1)2n 1a 20 X K 0 0M MM M0 K1(-1 ) n 2 a n 1X+ (-1) 2n 1(一 1) a 22 + (— 1) 2nn 1(a 1+x) xa n a n 1X L n 1 n a 1x x 例4.计算n 阶行列式: a Ea 2L a n D nqa 2b 2L a n M M Ma 1 a 2L a nb n(解 采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素bbL b n 0)a 1,a 2,L , a * ,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化 简后出现大量的零元素.1aa 2 La n1 a 1 a2 L a n 升阶0 a 1a 2 L a n2 r 13 r 11 bi 0 L 0 D n0 aa 2b 2 La n Lrn 1r11 0 b2 L 0 M MMMM M MMaa 2La nb n10 0Lb n彳a1La 1L1 —a 1a 2 a n 1bib 1q — C jb j i0 bi 0 L 0a 1a nj 2丄，n 1L=d b ? L b n (1Ln0 b 2 0b nMM MM0 0 Lb n例5.计算n 阶“三对角”行列式K 0 01K 0 0D n =0 1 + K 0 0M M MMM0 00 K 1解方法1递推法K 0 0按q 展开D n（)D n 1 ―1K 0M M MM MK 1(n 1)按口展开()D n 1 —D n 2即有递推关系式D n=( )D n1 — D n2(n 3)故D nD n1 =(D n 1D n 2 )可作为公式记下来.递推得到D n D n 1 = (D ni2D n 2)= ( D n 2 D n 3)a 1 x a 2D na 1 a 2 xM Ma 1 a 2L a nL a n n 1 /n =x (x ajMi 1 L an X这个题的特殊情形是n 2八=L= (D 2 D i )方法3在方法1中得递推公式D n = () D n 1 — Dn 22 2又因为当时 D 1= = ------------D nD n1n(2.1)由递推公式得D n D n 1 0 = ( D n 2n1)n2 .=aD n 2 +n 1nD 2=(而D 1 (D 2=ap a + B代入得D nD n 1(n当a B 时 当a=B 时1K K 0 0 0 0D n = 01 +K0 0+M M MMMK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 MM MMM0 0 0 KK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 M M MMM0 0 0 KK10 0 K0 010 K0 0c aq 11K0 0 n =B i 2,L ,nM M MM M 10 0 K1n 1方法2把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式上式右端第一个行列式等于aD n 1，而第二个行列式于是得递推公式 D n D n 1 n ，已与(2.1)式相)2n 1 n 1于是猜想D n ------------------ ，下面用数学归纳法证明. 当n=1时，等式成立，假设当 n k 时成立. 当n=k+1是，由递推公式得D k 1 = () D k — Dk 1=(所以对于n N ，等式都成立例6.计算n 阶行列式:D na n其中a n 0 .方法2升阶(或加边)法D 3 =)(=()3-2(4 4a 2解这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式其中b 1i 2 3i1 a 1 1L1&1c1 丁 C jb1 L1r i r 1a 1a 2aj0 a 22,L ,nM Oj 2,L ,nMOa 1a na n1n1na 1 1于是D na 〔 a ? a n 1i 1a ia ii 1D n. i n0 0方法 由于 因此 升阶D n1c1cj 1aj1,2,L ,n 1递推法.a11r i「11 a 1 1 1 a 11 D n = a n D n 1a ja 2 M2,3,L , n 1a 10 M a 2 Ma 1a na na 2a n1 3ia 11 L 1 01 1 a2 L1 0M MM11L1 a n1 a 11 L 11 a 11 L 01 1 a 2L11 1 a2 L+MMM AM MM 1 1L111La nD n 改写为按c n 拆开L a 2 D na 2 M a^L a n 1 a 11 r i 「na 2M i 1L ，n 1111 L1L 3卫2 L L按c n 展开a n 1a n1为递推公式, a nD n 1而D 1D n =a nD n 1a 1 a 2 L a n 1=a 1a 2L a nD n 1a 1a 2La n 1D n 2=a 1a 2 L a na 1a 2L a n 2a n 1—=L L a nD1 1 1 11 1 =a〔a2 L 3n L = a〔a2 L a n 1 La1 a2 a n a1 a2 a n a〔a?。
行列式典型例题
目录
• 计算行列式 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的应用 • 特殊行列式
01
计算行列式
二阶行列式
总结词：二阶行列式是2x2矩阵的行列 式值，计算方法为对角线元素乘积减去 副对角线元素乘积。
|3 4|
示例：对于行列式|1 2|，其值为1*32*4=-5。
详细描述：对于二阶行列式，其一般形式 为|a b|，计算公式为a*c-b*d，其中a、b、 c、d分别代表矩阵中的元素。
行列式与矩阵的逆和转置有关， 它们都可以通过行列式进行计算 或判断。
行列式有一些重要的性质，如交 换律、结合律、分配律等，这些 性质在矩阵运算中非常重要。
05
特殊行列式
对角线型行列式
总结词
对角线型行列式是指除了主对角线上 的元素外，其他元素都为零的行列式。
详细描述
对角线型行列式的值就是主对角线上 的元素乘积，计算过程相对简单，因 为除了主对角线元素外，其他元素都 为零，所以可以直接将主对角线上的 元素相乘得到结果。
04
行列式的应用
行列式在几何中的应用
线性变换
行列式可以表示线性变换前后的面积比，用于研 究几何图形的变换性质。
Hale Waihona Puke 定向行列式可以用来确定定向，即方向和旋转顺序， 对于三维空间中的向量场和曲线非常重要。
体积
行列式可以用来计算多面体的体积，特别是平行 六面体的体积。
行列式在代数方程组中的应用
线性方程组
行列式的加法性质
总结词
行列式的加法满足分配律
详细描述
对于任何两个n阶方阵A和B，以及任意的常数c和d，有|cA + dB| = c|A| + d|B|。
行列式经典例题
线性代数大学-----行列式经典例题例1 计算元素为 aij = | i－j|的n 阶行列式.解方法1 由题设知，a=0，a12 1，,a1n n 1, ，故110 1 n 1 0 1 n 1Dn1 0 n2 r r i i1i n,n 1, ,21 1 1 n 1 n2 0 1 1 1 n 1 n n 1c cj nj 1, ,n 10 2 1n 1 n 2( 1) 2 (n 1)0 20 0 0 1其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．0 1 n 1 1 1 1方法 2 Dn1 0 n2 r ri i1i 1,2, ,n 11 1 1 n 1 n2 0 n 1 n 2 01 0 0c cj 1j 2, ,n1 2 0= n n n1 2( 1) 2 ( 1) n 1 2n 3 n 1例2. 设a, b, c 是互异的实数, 证明:的充要条件是 a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:内部资料个人复习资料线性代数=行列式 即为 y2前的系数 . 于是=所以 的充要条件是 a + b + c = 0.x 1 0 0 例 3 计算 D n =0 x1aaax ann 1n 21解： 方法 1 递推法 按第 1 列展开，有1 x1n 1D n = x D n 1+（－1）= x D n 1+ a na nx 1x1n 1由于 D 1= x + a 1 ，D 2x1 ax a21，于是 D n = x D n 1 + a n =x （x D n 2 +a n 1）+ a n =x 2 Dn +2a n 1x + a n = = x n 1 D 1 + a n 2 + + a 2 xn 1 D 1 + a n2 + + an x + a n = 1nn 1 x a x a x a 1 n 1 n 方法 2 第 2 列的 x 倍，第 3 列的 x2 倍， ，第 n 列的 x n 1倍分别加到第 1 列上 01 0 0 c xc122xx 1 0Dnxaxaaax ann 1n 1n 21内部资料个人复习资料线性代数0 1 0 0 02c x c1 30 x 1 0 03x 0x 1 02a xa x a a a a x a n n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 10 1x 11 按展开rn ( 1)n1 fn 1 f1x1= = x=f xx 1n 1n n 1x a x a x a1 n 1 n方法 3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n1c c2 1x1c c3 2xx 0 0 00 x 0 00 0 x 01c cn nx1a a an n 1 na a a kn n n n1 2 2x x x按c 展开nx n 1 k n = x n (1annx1+axnn12+ +a2x+a1 +x)= n 1 na a x a x xn n 1 11 0 0 0 按r 展开nn( 1) 1anx 1 0 0D 方法 4+ n0 0 x 1x 0 0 0 x 1 0 0n ( 1) 2an10 1 0 0+ + 2 1n a( 1)20 x 0 00 0 x 1 0 0 0 1x 1 0 0+ ( 1) ( )2n a x10 x 0 00 0 0 xn 1 n 1 n 2 n 2（－1）（－1）=（－1）a n +（－1）a n 1x内部资料个人复习资料线性代数+ +（－1）2n（－1）a1 2 xn 2 +（－1）2n( a1 +x) x1 +x) xn 1= n 1 na a x a x xn n 1 1例4．计算n 阶行列式：a b a a1 12 nDn a a b a1 2 2 n ( b1b2 b n 0)a a a b1 2 n n解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a a a ，可在保持1, 2, , n原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1 a a a1 2 n 1 a a a1 2 n升阶0 a b a a1 12 nr r2 1r r3 11 b 0 01D 0 a a b an 1 2 2 n r rn 1 1 1 0 b 020 a a a b1 2 n n 1 0 0 bn1c c 1jbj 1j 2, ,n 1 1a a1 1b b1 1b 010 b2a a a1 2 n= b b b1 2 na a1 n(1 )b b1 n0 0 0 bn这个题的特殊情形是a x a a1 2 nDn a a x a1 2 n =nn 1x ( x a )ii 1a a a x1 2 n可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式0 0 01 0 0D n = 0 1 0 0＋0 0 0 1内部资料个人复习资料线性代数解方法 1 递推法．0 0 0 0D n 按c 展开1 ( ) Dn 1 —10 00 0 0 1(n 1)按r 展开1( ) D n 1 － D n 2即有递推关系式 Dn= ( ) D n 1 － D n 2 (n 3)故D D ＝(D n 1 D n 2 )n n 1递推得到 D D ＝(D n 1 D n 2 ) ＝n n 1 2(D n D n )2 3＝＝( )n 2 D D2 1而D1 ( ) ，D2 ＝α+1βαβ＝αβ+2 2，代入得 1D Dn nnnD D （2.1）n n 1由递推公式得n D D ＝n n 1n 1 n ( D )n 2＝α 2 D n＋2 n 1 n＝n n 1 n 1 n ＝＋＋＋＝nβ(n1 n－αβ－αn1)α11，当，当αβ时α＝β时方法 2 把D n 按第 1 列拆成 2 个n 阶行列式D n =0 0 01 0 00 1 0 0＋＋0 0 01 0 00 1 0 0 0 0 0 10 0 00 0 0 1上式右端第一个行列式等于αD n ，而第二个行列式1内部资料个人复习资料线性代数0 0 01 0 00 1 0 0 c aci i1i 2, ,n0 0 0 01 0 0 00 1 0 0n=β0 0 00 0 0 10 0 0 1于是得递推公式nD D ，已与（ 2.1）式相同．n n 1方法 3 在方法 1 中得递推公式D n = ( ) D n 1 － D n 22 2又因为当时 D 1 = =3 3D =2 12( ) =2 2= 0D 3 =1=3( ) -2 ( )0 14 4= ( ) 2 2( ) =n 1 n 1于是猜想D，下面用数学归纳法证明．n当n=1 时，等式成立，假设当n k 时成立．当n=k+1 是，由递推公式得D k 1 = ( ) D k － D k 1k 1 k 1 k k k 2 k 2= ( )—=所以对于n N ，等式都成立例6．计算n阶行列式：1 a 1 11Dn 1 1 a 121 1 1 an内部资料个人复习资料线性代数其中a1a2 a n 0 ．解这道题有多种解法．方法 1 化为上三角行列式Dnr ri 1i 2, ,n1 a 1 11a a1 2ac c11 jajj 2, ,nb1 1a2a a1 n0 a n其中b 1 a a1 1n1ai 2 ia11n1ai i1，于是 Dna a a1 2 n1n1ai 1 i．方法 2 升阶（或加边）法1 1 1 1 1 1 1 10 1 a 1 11升阶r r1i 1 a 0 01D 0 1 1 a 1n 2 i 2,3, ,n 1 1 0 a 020 1 1 1 an1 0 0 a nn11 1 1 1i 1 j1a c c1 j 1a na 1 j1a a a 11 2 nj 1,2, ,n 1 a ai i12an方法 3 递推法．将D改写为n1 a 1 1 01Dn1 1 a 1 021 1 1 an1 a 1 111 a 1 01按c 拆开n 1 1 a 12 +1 1 a 021 1 1 1 1 a n1 a 1 11 a 1由于1 1 a 12r ri ni 1, ,n 1a2 a a a1 2 n 1 1 1 1 1 1 1内部资料个人复习资料线性代数1a10111a02按c展开na Dn n111a n因此D=a n D n1a1a2a n1为递推公式，而D11a1，于是nD=a n D n1a1a2a n1=a1a2a n nD1n1a a a a 12n1n=a1a2a nD11n2a a a a a12n2n1n==a1a2a n D111a a a12n=a1a2a n1111a a a12n内部资料个人复习资料。
行列式典型例题
下面讨论行列式的计算方法: 行列式计算的基本方法是利用行列式的性质,将行列式化成特殊的行列式,再 求值.常用方法有:降阶法、递推法、折项法、加边法等. 1 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 2 ri r2 2 2 2 2 i2 例6 2 2 3 2 0 0 1 0 2 2 2 n 0 0 0 0 n2
1
-2
.
解
方法一:由行列式的定义 f ( x) 2 x ( x) x 2 x 3 x 2 x 2 x3 x
方法二:按第一行展开,得 f ( x) 2 x
【评注】方法一适用简单情形,方法二适用较复杂情形. 1 1 设 1 1 1 1 左边 1 1 1 1 1 x 1 1 1 2 3 2 4 15 1 x 2 x3 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 2 5 1 2 4 8 0 ,求该方程的根. 4 15 0 2 5 12 x 2 x3 1 x x 2 x3 1 8 0 ,即 27 x3
xn
bn
xn
4.与分块矩阵相联系的准三角行列式
Am * O Bn AB Am O * Bn
;
O Bn
Am *
(1) mn A B
* Bn
Am O
.
二. 典型例题
2x 1 2 1 x ,则 x3 的系数是 x
例1
设 f ( x) x x
x 1 2 2 x 4
例5
设 f ( x) 2
,证明 f ( x) 0 有小于 1 的正根.
3 x2 4 x
证 且
方法一: f ( x) 是 x 的多项式,则 f ( x) 在[0，1]上连续,在（0，1）内可导,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.解方法1 由题设知，11a=0，121a=，1,1,na n=-，故011102120nnnDn n--=--1,1,,2i ir ri n n--=-=011111111n----1,,1j nc cj n+=-=1211021(1)2(1)020001n nn n nn------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．方法2011102120nnnDn n--=--11,2,,1111111120i ir ri nn n+-=----=--12,,1001201231jc cj nn n n+=---=---=12(1)2(1)n n n----例2.设a, b, c是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是=所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010nnnx xa a a x a ----+解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n11111n x x x-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211xD a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n == x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=21121010010000n n n n x x x a xa a a xa-----++213c x c += 32121231010000100010n n n n n n x xx a xa x a a a a xa --------+++==111x fx---n r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----=111n n n n x a x a x a --++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c xc c x-+++=11220000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n xa + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x) =111n n n n a a x a x x --++++方法 4 n r nD =按展开1(1)n na +-10001001x x ---+21(1)n n a +--00001001x x--+ +212(1)n a --1000001x x --+21(1)()na x -+1000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x + +（－1）12-n （－1）a 2x 2-n +（－1）n 2( a 1+x) x 1-n = 111n n n n a a x a x x --++++例4． 计算n 阶行列式：11212212nn n n na b a a a a b a D a a a b ++=+ (120n b b b ≠)解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1211212212100nn n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001001n na a ab b b --- 1112,,1jj c c b j n -+=+=11121112100000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)nn na ab b b b b +++这个题的特殊情形是121212nn n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =001000101αβαβαβαβαβαβ+++＋解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)00001001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n DD βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D 2-n ＋1n n αββ-+＝＝nα＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式001001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==0001000010001ββββ=βn于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+其中120n a a a ≠．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111n a a a a a +--112,,j ja c c a j n+==21100nb a a其中11211ni i b a a a ==++∑1111ni i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n na D a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=1211111001001na a a --- 11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n =按c 拆开12111111111a a +++1211011011na a a ++由于12111111111a a ++1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=1211011011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+=12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭=12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭。