(3) 第一部分 行列式及矩阵运算——典型例题

列
（A的迹）
( A∗ )2 = kA∗ 例39 设A为3阶矩阵，R(A)=2，证明
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⎛ 1 1/ 2 1/ 3 ⎞ 例38 设 A = ⎜ 2 1 2 / 3 ⎟ , 求 An ⎜ ⎟ ⎜3 3/ 2 1 ⎟ ⎝ ⎠
(k为常数)
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思路 通过分解化繁为简
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分解1： = kE + B , 且 B n易求 A
A = ( kE + B ) = k E + C k
n n n 1 n
n −1
B+
+C B
n n
n
⎛k 1 0⎞ 例37 设 A = ⎜ 0 k 1 ⎟ , ⎜0 0 k⎟ ⎝ ⎠
4
例31 设A,B为n阶正交阵，且 A + B = 0, 则
A+ B =
例 设 A = (aij )3×3 , Aij = aij ( i , j = 1, 2, 3), a11 ≠ 0 则 A= 例35 已知α1 , α 2 为2维列向量, A = (α 1 , α 2 ), B = (2α1 + α2 , α1 −α2 ), 若 B = 6, 则 A = (06)
⎛ 1 0 0⎞ 例44 已知 A = ⎜ 2 1 0 ⎟ , B = ( A + E )−1 ( A − E ), ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ −1 则 ( E + B) =
⎛ 1/2 1 1 ⎞ 例45 设 C = ⎜ 0 1/2 1 ⎟ , A, B为3阶矩阵， 且 ⎜ 0 0 1/2 ⎟ ⎝ ⎠ AC = CA, A( B + C ) = E , A( B − C )( B + C ) = C ,
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四 判断(证明)矩阵可逆及求逆
(01)
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例47 设A为n阶非零实矩阵， A* = AT ，证明A可逆. (94) 例46 已知A, B, A+B都可逆，证明 A−1 + B −1 可逆. 例48 设A为n阶可逆阵， α 为n维列向量,b为常数， (97) 0⎞ ⎛ E ⎛ A α⎞ P=⎜ T * ⎟ , Q = ⎜αT b ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −α A A ⎠
0 1 0 −3 0 0 1 0
⎛1 0 例26 设A∗ = ⎜ 1 ⎜ ⎜0 ⎝
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0⎞ 0 ⎟ ,且ABA−1 = BA−1 + 3 E , 则 B= 0⎟ 8⎟ ⎠
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二 求抽象矩阵的行列式
1 −1 例28 设A为3阶矩阵，A = 1 / 8, 则 ( A) − (2 A)∗ = 3
⎛ 1 0 1⎞ 例34 设 A = ⎜ 0 2 0 ⎟ , A2 B − A − B = E , 则 B = ⎜ −2 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ (03)
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三 求方阵的高次幂
⎛ 1 0 1⎞ 例36 设 A = ⎜ 0 2 0 ⎟ , 求 A n − 2 A n − 1 ⎜ 1 0 1⎟ ⎝ ⎠
(1)求PQ;
⇔ b − α T A−1α ≠ 0 (2)证明Q可逆
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⎛ 2 0 2⎞ ⎜ 0 4 0 ⎟ , 则 ( A − E ) −1 = 例43 设AB=2A+B，B = ⎜ 2 0 2⎟ (03) ⎝ ⎠
例29 设A、B为n阶方阵， A = 2, B = −3, 则
A−1 B ∗ − A∗ B −1 =
例30 设A为3阶正交阵， A < 0, B为3阶方阵， E − ABT = B − A = 4, 则
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一 解矩阵方程
⎛ 1 −1 0 0 ⎞ ⎛ 2 1 3 4⎞ ⎜ 0 1 −1 0 ⎟ 例25 已知 B = ⎜ , C = ⎜ 0 2 1 3⎟ , ⎜ 0 0 2 1⎟ 0 0 1 −1 ⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 矩阵 A 满足 A( E − C −1 B )T C T = E , 则 A=
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分解3：A = P −1 BP , 且 B n 易求
A =P B P
n −1 n
(特别地，B =Λ)
⎛ 0 −1 0 ⎞ 例40 设 A = ⎜ 1 0 0 ⎟ , B = P −1 AP , 则 ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎝ ⎠
B 2012 − 2 A2 =
⎛ 2 0 0⎞ ⎛ −1 ⎞ 例41 设 A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , B = ⎜ −2 ⎟ , 且 ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
则 B −1 =
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分解2：A = αβ T , α , β ——列向量
An = ( β T α ) n −1 A
( β T α ——数）
何时可以分解？A = αβ T ⇔ R( A) = 1 第 （各行(列)成比例） 如何分解？ 一 （列比例系数）
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第一部分
行列式及矩阵的运算 ——典型例题
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⎛ 0 1 1⎞ ⎛1 0 0⎞ 例24 已知 A = ⎜ 1 1 0 ⎟ , B = ⎜ 1 0 1 ⎟ , 矩阵 X 满足 ⎜ 1 1 0⎟ ⎜1 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ AXA + BXB = AXB + BXA + E , 则 X=
AX − BA = 0, 则 X n =
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思路：1) 定义 A =E 2) A ≠ 0 5) 列(行)向量组线性无关 3) A满秩 6) A无零特征值 4) Ax=0只有零解 7) A正定(若A正定，则A可逆) 例42 设 A2 + A − 4 E = 0, 证明A－E可逆. 例49 已知 A2 = E , 则有（ ） (B) A − E 可逆 (A) A + E 可逆 A (C) 当 A ≠ E 时， + E 可逆 (A) 当A ≠ E 时，A + E 不可逆
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⎛ 2 1 0⎞ 例32 设 A = ⎜ 1 2 0 ⎟ , ABA∗ = 2 BA∗ + E , 则 B = ⎜ 0 0 1⎟ (04) ⎝ ⎠
例33 设A,B为3阶矩阵,且 A = −2, A3 − ABA + 2 E = 0, 则 A− B =