第三讲 函数的奇偶性(教师版)
第3讲函数的奇偶性与单调性
第3讲函数的奇偶性与单调性考点梳理一．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．二．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．(3)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.但f(0)＝0不能说f(x)为奇函数。
(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．考点自测1．(2012·海安中学)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋b(b为常数)，则f(－1)的值是________．解析由f(0)＝0，得b＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.答案－32．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故a＋b＝1 3.答案1 33．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23三．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在区间D 上是增函数； ②若f (x 1)＞f (x 2)，则f (x )在区间D 上是减函数． (2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．四. 函数单调性的四种判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：（复合函数中）同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．（高二内容） (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．考点自测1．(2013·南京鼓楼模拟)函数f (x )＝1＋x －1－x 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm ＝________.解析 由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x ≥0得－1≤x ≤1.因为f (x )在[－1,1]上是单调增函数，所以M＝f (1)＝2，m ＝f (－1)＝－2，所以Mm ＝－1. 答案 －12．(2012·连云港模拟)已知函数f (x )＝x －kx (k >0，x >0)，则f (x 2＋1)与f (x )的大小关系是________．解析 因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 2＋1≥2x >x (x >0)，所以f (x 2＋1)>f (x )． 答案 f (x 2＋1)>f (x )3．(2013·济南外国语学校检测)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0,1]考向一 函数单调性的判断【例1】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 审题视点 可利用定义或导数法讨论函数的单调性． 解 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．[方法总结] 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．【训练1】 已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )， ∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.考向二 函数单调性的应用【例2】 (2013·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x ＜－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.[方法总结] 函数单调性的应用，主要有两个方面，即应用单调性求字母取值范围，二是应用单调性比较数值大小或解函数不等式．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，若f (1－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2－axa －1(a ≠1)是区间(0,1]上的减函数，则实数a 的取值范围为________．解析 (1)画图象或求导，可知函数f (x )是R 上的增函数，于是由f (1－a 2)>f (a )，得1－a 2>a ，即a 2＋a －1<0，解得－1－52<a <－1＋52. (2)由题意，当x ＝1时，2－ax ＝2－a ≥0，所以a ≤2且a ≠1，a ≠0. 若a <0，则2－ax 是增函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1<0，即a <1.所以a <0.若a >0，则2－ax 是减函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1>0，即a >1.所以1<a ≤2.综上，得a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,2]． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－52，－1＋52 (2)(－∞，0)∪(1,2]高考经典题组训练1．(2012·陕西卷改编)下列函数：①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1x ；④y ＝x |x |，其中既是奇函数又是增函数的序号是________．解析 y ＝－x 3；y ＝1x ，y ＝x |x |是奇函数，仅y ＝x |x |是增函数． 答案 ④3．(2012·上海卷)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析 因为y ＝e x 是增函数，所以由题意，y ＝|x －a |在区间[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1. 答案 (－∞，1]4．(2010·天津卷改编)设f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x－1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．解 由题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．因为y ＝－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，所以当x ＝32时，y min ＝－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2013·南京金陵中学检测)下列函数中：①f (x )＝1x ；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；满足“对任意x 1x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的函数序号是________．解析 由题意，即判断哪些函数是(0，＋∞)内的减函数．仅f (x )＝1x 符合题意． 答案 ①2．下列函数中：①y ＝－x ＋1；②y ＝x ；③y ＝x 2－4x ＋5；④y ＝2x ，在区间(0,2)上为增函数的是________(填所有正确的编号)．解析 y ＝－x ＋1在R 上递减；y ＝x 在R ＋上递增；y ＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y ＝2x 在R ＋上递减． 答案 ②3．(2012·镇江调研)若函数f (x )＝x 2＋(a 2－4a ＋1)x ＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析 因为f (x )是二次函数且开口向上， 所以要使f (x )在(－∞，1]上是单调递减函数，则必有－a 2－4a ＋12≥1，即a 2－4a ＋3≤0，解得1≤a ≤3.答案 [1,3]4．(2011·新课标全国卷)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝ 2－|x |.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析 y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上是减函数． 答案 ②5．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________． 解析 由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0， 得f (1－x )＜－f (1－x 2)， 所以f (1－x )＜f (x 2－1)．又因为f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以⎩⎨⎧－1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.1－x ＞x 2－1.故原不等式的解集为(0,1)． 答案 (0,1)6．(2012·南师附中检测)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)． 解析 由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的． 答案 ①二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明 法一 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 法二 因为f (x )＝1a －1x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x ′＝1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)解 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，故a ＝25.8．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明法一因为函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上为减函数．(2)解因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.。
函数的奇偶性数学课件
函数的奇偶性数学课件函数奇偶性是研究函数的一个重要策略，因此成为函数的重要性质之一，它的研究为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起到了铺垫作用. 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育都起到非常重要的作用，因此本节课充满数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现. 下面是函数的奇偶性数学课件，欢迎阅读了解。
一、教学目标（一）通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象概括能力.（二）理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性.（三）在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的.二、任务分析这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y=kx,反比例函数，（k工0）,二次函数y=ax ■ ,（a z 0）,故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，便于学生理解. 在引入概念时始终结合具体函数的图像，增强直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔. 对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于有定义域奇函数y=f (x), —定有f (0) =0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f (x) =0, x€ R.在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念——非奇非偶函数. 关于单调性与奇偶性关系,引导学生拓展延伸,可以取得理想的效果.三、教学设计(一)问题情景1. 观察如下两图(图略),思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图像有什么共同特征？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？可以看到两个函数的图像都关于y轴对称.从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同.2. 观察函数f (x)=x和f (x)二的图像，并完成下面的两个函数值对应表,然后说出这两个函数有什么共同特征.可以看到两个函数的图像都关于原点对称. 函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f (x)也是一对相反数，即对任一x€ R都有f (-X ) =-f (x). 此时，称函数y=f (x)为奇函数.(二)建立模型由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义.1. 奇、偶函数的定义.如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-X ) =-f (x),那么函数f (x)就叫做奇函数.如果对于函数f (X)的定义域内任意一个X,都有f (-X ) =f (x)，那么函数f (X)就叫做偶函数.2. 提出问题，组织学生讨论.(1)如果定义在R上的函数f (x)满足f (-2) =f (2),那么f (x)是偶函数吗？(f (X)不一定是偶函数)(2)奇、偶函数的图像有什么特征？(奇、偶函数的图像分别关于原点、y 轴对称)(3)奇、偶函数的定义域有什么特征？ (奇、偶函数的定义域关于原点对称)(三)解释应用[ 例题]1. 判断下列函数的奇偶性.注：①规范解题格式；②对于(5)要注意定义域x €(-1 , 1].2. 已知：定义在R上的函数f (x)是奇函数，当x>0时，f (x) =x(1+x),求f (x)的表达式.解：(1)任取xO,「.f (-x ) =-x (1-x )，而f (x)是奇函数，f (-x ) =-f (x),「. f (x) =x (1-x ).(2)当x=0 时，f (-0) =-f (0),二f (0) =-f (0),故f0)=0.3. 已知：函数f (x)是偶函数，且在(-0, 0)上是减函数，判断f (x)在(0, +0)内是增函数，还是减函数，并证明你的结论.解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f(x) 在(0, +0)内是增函数,证明如下：••• f (乂)在(0, +0)上是增函数. 思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？［练习］1. 已知：函数f (x)是奇函数，在［a , b］上是增函数(b>a>0), 问f (x )在［-b , -a］上的单调性如何.4. 设f (x) , g (x)分别是R上的奇函数和偶函数，并且f (x) +g (x) =x (x+1)，求f (x) , g (x)的解析式.(四)拓展延伸1. 有既是奇函数,又是偶函数的函数吗？若有,有多少个？2. 设f (x), g (x)分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：(1) F (x) =f (x)・g (x)的奇偶性.(2)G(x) =|f (x) |+g (x)的奇偶性.3. 已知a€ R, f (x) =a-，试确定a的值，使f (x)是奇函数.4. 一个定义在R上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？。
第二章第3讲函数的奇偶性及周期性(教师版)
第3讲 函数的奇偶性及周期性1．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x[答案] D2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13B ．13C ．12D ．－12B [解析] 因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13.又f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以a ＋b ＝13. 3. 已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a <b <0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3B [解析] 法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知选B.法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]，由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4，所以－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B.4. 函数f (x )的定义域为R ，且对于x ∈R ，恒有f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－2x ，则f (2 017)＝________．[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )，知f (x )是周期T ＝2的周期函数．因为当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－2x ， 所以f (2 017)＝f (1 007×2＋3)＝f (3)＝32－2×3＝3，即f (2 017)＝3.[答案] 35. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．[解析] 当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，所以f (x )＝x (1－x )．[答案] x (1－x )函数的奇偶性(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．(2)判断下列函数的奇偶性．①f (x )＝x 3－1x ；②f (x )＝x 2－1＋1－x 2；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x ＜0.[解] (1)因为 f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.故填1.(2)①原函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x 都有f (－x )＝(－x )3－1－x＝－⎝⎛⎭⎫x 3－1x ＝－f (x )，从而函数f (x )为奇函数． ②f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数．③f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x ＜0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )． 故该函数为奇函数．[通关练习]1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x D [解析] A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋（－x ）2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1e x －x ，所以是非奇非偶函数．2．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2B [解析] 设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.函数的周期性已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2【解析】 当x >0时，x ＋12>12，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12，即f (x ＋1)＝f (x )， 所以f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)＝－f (－1)＝2.【答案】 D若将本例中“f (－x )＝－f (x )”改为“f (－x )＝f (x )”，其他条件不变，求f (6)的值．[解] 由－1≤x ≤1时，f (－x )＝f (x )可知，f (x )为偶函数．又x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12， 即f (x ＋1)＝f (x )，故f (x )的周期为1.所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝－2.[通关练习]1．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫52的值为( )A ．12B ．14C ．－14D ．－12A [解析] 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋2＝f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12⎝⎛⎭⎫1－12＝12. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2（1－x ），0≤x ≤1x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …f,\s \do 4( ,n 个)) (x )]}，那么f 2 017(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [解析] 因为f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，所以f n (2)的值具有周期性，且周期为3，所以f 2 017(2)＝f 3×672＋1(2)＝f 1(2)＝1，故选B.函数性质的综合问题(高频考点)(1)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝__________． 【解析】 (1)因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3.(2)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x )＝－f (－x )，f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (1－x )，令x ＝0，得f (1)＝－f (1)，所以f (1)＝0.f ⎝⎛⎭⎫－52＝f (－2－12)＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2.所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 【答案】 (1)(－1，3) (2)－2[题点通关]角度一 函数的奇偶性与单调性相结合1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，12)∪(32，＋∞)C ．(12，32)D ．(32，＋∞) C [解析] 由f (x )是偶函数得f (－2)＝f (2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反，得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以由2|a －1|＜2，得|a －1|＜12，即12＜a ＜32. 角度二 函数的奇偶性与周期性相结合2．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0，1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0152＝( )A ．3＋1B ．3－1C ．－3－1D ．－3＋1D [解析] 因为f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0152＝f ⎝⎛⎭⎫1 006＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当x ∈(0，1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，f ⎝⎛⎭⎫2 0152＝1－ 3. 角度三 函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)D [解析] 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．——函数的新定义问题如果定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝e x ＋1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0. 以上函数是“H 函数”的是________．(填上所有正确的序号)【解析】 若函数f (x )为“H 函数”，则有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，x 1·[f (x 1)－f (x 2)]>x 2[f (x 1)－f (x 2)]，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.所以“H 函数”f (x )就是R 上的单调递增函数．①y ′＝－3x 2＋1，由y ′>0，解得－33<x <33，所以该函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－33，33， 而在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递减，显然在R 上不是单调递增函数，即不是“H 函数”． ②y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.因为sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－1，1]，所以y ′＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥3－22>0，故该函数在R 上是单调递增函数，即“H 函数”．③因为函数y ＝e x 在R 上是单调递增函数，所以y ＝e x ＋1在R 上也是单调递增函数，即“H 函数”．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ln （－x ），x <0，0，x ＝0.故该函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以在R 上不是单调递增函数，即不是“H 函数”．综上，填②③.【答案】 ②③设函数f (x )的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对任意的x ∈D ，都有f (x ＋T )＝T ·f (x )，则称函数f (x )是“似周期函数”，非零常数T 为函数f (x )的“似周期”．现有四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”f (x )的“似周期”为－1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f (x )＝x 是“似周期函数”；③函数f (x )＝2－x 是“似周期函数”；④如果函数f (x )＝cos ωx 是“似周期函数”，那么“ω＝k π，k ∈Z ”．其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)[解析] 对于①，如果“似周期函数”f (x )的“似周期”为－1，则f (x －1)＝－f (x )，所以f (x －1)＝－f (x )＝－[－f (x ＋1)]＝f (x ＋1)，故它是周期为2的周期函数，故①正确；对于②，若函数f (x )＝x 是“似周期函数”，则存在非零常数T ，对任意的x ∈R ，都有f (x ＋T )＝T ·f (x )，即x ＋T ＝Tx ，即(1－T )x ＋T ＝0对任意的x ∈R 恒成立，显然不成立，故②不正确；对于③，若函数f (x )＝2－x 是“似周期函数”，则存在非零常数T ，对任意的x ∈R ，都有2－x －T ＝T ·2－x ，即(T －2－T )·2－x ＝0对任意的x ∈R 恒成立，则T －2－T ＝0，由函数y ＝x －12x 的单调性可知，存在T ＞0，使得T －2－T ＝0，故函数f (x )＝2－x 是“似周期函数”，故③正确；对于④，若函数f (x )＝cos ωx 是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使得cos[ ω(x ＋T )]＝cos(ωx ＋ωT )＝T ·cos ωx ，故T ＝1或T ＝－1，且ωT ＝k π，k ∈Z ，故ω＝k π，k ∈Z ，故④正确．[答案] ①③④1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝ln x 2C ．y ＝cos x xD ．y ＝－x 2 D [解析] 由函数的奇偶性排除A 、C ，由函数的单调性排除B ，由y ＝－x 2的图象可知当x >0时此函数为减函数，又该函数为偶函数，故选D.2．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝( ) A ．0 B ．1 C ．12D ．－1 D [解析] 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1，故选D.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98B [解析] 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.4．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2A [解析] 设g (x )＝f (x ＋1)，因为f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)， 因为f (x )是奇函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，所以f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.5．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f （x ），若f (x )在[－1，0]上是减函数，那么f (x )在[2，3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数A [解析] 由题意知f (x ＋2)＝1f （x ＋1）＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1，0]上是减函数，则f (x )在[0，1]上是增函数，所以f (x )在[2，3]上是增函数．6．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)C [解析] f (x )的图象如图．当x ∈[－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)；当x ∈[0，1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈[1，3]时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)．故x ∈(－1，0)∪(1，3)．7．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________．[解析] 因为f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，所以当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.[答案] －－x －18．若偶函数y ＝f (x )为R 上周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．[解析] 因为y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，所以f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ，1－a ＝0.所以a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.[答案] －19．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________．[解析] 由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝e －x －x ②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1. [答案] 110．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________． [解析] 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝21－1＋21－1＋20－1＝ 2.[答案] 211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．12．设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________． [解析] f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1.设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－g (x )， 所以g (x )是奇函数．由奇函数的图象可知g (x )max ＋g (x )min ＝0，所以M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.[答案] 213．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．[解] (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. 14．已知函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．[解] (1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， 所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．所以0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.所以x 的取值范围是(－15，1)∪(1，17)．。
高中数学函数的奇偶性(解析版)
1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。
函数的奇偶性教案
函数的奇偶性教案函数的奇偶性教案函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
而函数的奇偶性则是函数的一个性质，它能够帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
在本篇文章中，我们将介绍函数的奇偶性，并提供一份教案，帮助学生更好地掌握这一概念。
一、函数的奇偶性是什么？函数的奇偶性是指函数在定义域内的某个点上，函数值的正负关系。
如果函数在某个点上的函数值与该点关于原点对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数在某个点上的函数值与该点关于原点对称并且函数值的符号相反，那么这个函数就是奇函数。
二、奇偶函数的性质1. 偶函数的性质：- 偶函数的定义域关于原点对称。
- 偶函数的图像关于y轴对称。
- 偶函数的奇数次幂项系数为0。
2. 奇函数的性质：- 奇函数的定义域关于原点对称。
- 奇函数的图像关于原点对称。
- 奇函数的偶数次幂项系数为0。
三、奇偶函数的判断方法1. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的对称性来判断函数的奇偶性。
如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果图像关于原点对称，则函数为奇函数。
2. 代数法：通过代数运算来判断函数的奇偶性。
对于一个函数f(x)，如果满足f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
四、教案设计1. 教学目标：- 了解函数的奇偶性的概念和性质。
- 学会通过函数的图像和代数运算来判断函数的奇偶性。
- 能够应用奇偶性来解决实际问题。
2. 教学步骤：（1）引入：通过一个生活中的例子，如对称的花朵、对称的蝴蝶等，引导学生思考对称性的概念，并与函数的奇偶性进行关联。
（2）概念讲解：讲解函数的奇偶性的定义和性质，并通过一些简单的例子来说明。
（3）图像判断：给学生一些函数的图像，让他们观察图像的对称性，并判断函数的奇偶性。
（4）代数判断：给学生一些函数的表达式，让他们通过代数运算来判断函数的奇偶性。
（5）练习：让学生做一些奇偶性的练习题，加深对奇偶性的理解。
2022届新高考一轮复习 第三章 函数的概念及基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性 教案
1．理解函数奇偶性的定义，以及几何意义．2．能够准确的判断函数的奇偶性，并能利用函数奇偶性求函数解析式，函数值等．1．奇函数、偶函数的代数特征（1）一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫做奇函数；（2）一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫做偶函数． 2．奇函数、偶函数的几何特征 （1）奇函数图象关于原点成中心对称； （2）偶函数图象关于y 轴成轴对称． 注意：1．具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称． 2．若奇函数()f x 在原点处有定义，则()00f =．3．既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x D ∈，其中定义域D 是关于原点对称的集合．【例1】（1）已知下面四个函数中：①412x x y +=，②(ln 2y x =，③2ln 2x y x -=+，④()x xy x e e -=-，是奇函数的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【解析】对①，函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()411412222x x xx x x f x f x --++-==+==，故函数为偶函数；对②，20x >恒成立，故函数定义域为R ，关于原点对称， 且()(22ln 2x x f x x --=-=(()lnln 2x f x ==-=-，故函数为奇函数；对③，由202xx->+可解得22x -<<，即函数定义域为()2,2-，关于原点对称， 且()()22lnln 22+--==-=--+x xf x f x x x，故函数为奇函数； 对④，函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()x x x xf x x e e x e e f x ---=--=-=，故函数为偶函数，综上，②③为奇函数，故选B ． （2）下列函数中：①2y x =，②21(1)y x =+，③21y x =+，④1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩偶函数的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】①2y x=，定义域是{|0}x x ≠，满足()()f x f x -=-，所以是奇函数； ②21(1)y x =+，定义域是{|1}x x ≠-，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；③21y x =+，定义域是R ，满足()()f x f x -=，所以是偶函数；④1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，定义域是{|0}x x ≠，当0x <时，()1()1()f x x x f x -=--=+=； 当0x >时，()1()1()f x x x f x -=+-=-=，满足()()f x f x -=，所以是偶函数， 故选C ．（3）判断下列函数的奇偶性．（1）()f x =（2）()22,0,0x x x f x x x x ⎧+>=⎨-<⎩；（3）()22f x x x a =--+．【答案】（1）函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；（2）函数是偶函数；（3）答案见解析．【解析】（1）因为函数()f x =32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不关于坐标原点对称，所以函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）易知函数的定义域为()(),00,-∞+∞，关于原点对称，又当0x >时，()2f x x x =+，则当0x <时，0x ->，故()()2f x x x f x -=-=； 当0x <时，()2f x x x =-，则当0x >时，0x -<，()()2f x x x f x -=+=，故原函数是偶函数．（3）函数()f x 的定义域为R ，当0a =时，()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数．当0a ≠时，()22f a a =+，()222f a a a -=-+，()()f a f a ≠-，且()()()2217222022f a f a a a a ⎛⎫+-=-+=-+≠ ⎪⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数．【变式1．1】（多选）下列函数是奇函数的是（）A ．()cos f x x x =B ．()21x xf x x -=-C ．()lg f x x =D ．()x xf x e e -=-【答案】AD【解析】对于A ，定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，()f x 是奇函数； 对于B ，定义域为()(),11,-∞+∞，不关于原点对称，()f x 是非奇非偶函数；对于C ，定义域为()(),00,-∞+∞，()()lg lg f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数；对于D ，定义域为R ，()()()x x x xf x e e e e f x ---=-=--=-，()f x 是奇函数，故选AD ．【变式1．2】（多选）下列函数中，是奇函数且在()0,1上单调递减的函数是（） A ．1112x y e =-+B ．3sin 3sin y x x =+C ．1lg1xy x-=+D ．1,00,01,0x x y x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-->⎩【答案】ACD【解析】对于A ，设()1112xy f x e ==-+，该函数的定义域为R ， 且()()111121210x x f x f x e e --+=-+-=++，所以该函数为奇函数， 又函数10x y e =+>在()0,1上恒成立且单调递增， 所以函数1112x y e =-+在()0,1上单调递减，故A 正确； 对于B ，设()3sin 3sin y g x x x ==+，该函数的定义域为R ，且()()()()33sin 3sin sin 3sin g x x x x x g x -=-+-=--=-，所以该函数为奇函数，又sin y x =在()0,1上单调递增，所以函数3sin 3sin y x x =+在()0,1上单调递增，故B 错误；对于C ，设()1lg1xy h x x-==+，该函数的定义域为()1,1-， 且()()11lglg 11x xh x h x x x+--==-=--+，所以该函数为奇函数， 又12111x y x x-==-+++在()0,1上单调递减， 所以函数1lg1xy x-=+在()0,1单调递减，故C 正确； 对于D ，设()1,00,01,0x x y p x x x x -+<⎧⎪===⎨⎪-->⎩，定义域为R ， 且当0x >时，()()1p x x p x -=+=-；当0x <时，()()1p x x p x -=-=-， 所以该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()1p x x =--，单调递减，故D 正确， 故选ACD ．1．函数奇偶性的判断方法 （1）定义法①判断函数的定义域是否关于原点对称 ②计算()f x -③判断()f x -与()f x 的关系：当()()f x f x -=或()()0f x f x --=时，()f x 为偶函数； 当()()f x f x -=-或()()0f x f x -+=时，()f x 为奇函数； 当()()f x f x -≠或()()0f x f x --≠时，()f x 为非奇非偶函数． （2）奇偶性的“运算”①奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数②奇函数⨯奇函数=偶函数，奇函数⨯偶函数=奇函数，偶函数⨯偶函数=偶函数 2．常见的奇偶性模型①()x x f x a a -=+()0,1a a >≠且为偶函数； ②()x x f x a a -=-()0,1a a >≠且为奇函数；③()x xx x a a f x a a ---=+()0,1a a >≠且为奇函数；④()log a b xf x b x-=+()0,1,0a a b >≠≠且为奇函数；⑤())log af x x=()0,1a a >≠且为奇函数；⑥类似于()432f x ax bx cx dx e =++++这种由幂函数乘以一个系数再相加形式的函数， 当()f x 为奇函数时，偶次项系数都为0，即0,0,0a c e ===； 当()f x 为偶函数时，奇次项系数都为0，即0,0b d ==． 3．分段函数的奇偶性判断判断分段函数的奇偶性，应判断每段期间上()f x 与()f x -的关系，只有每段函数都满足相同的奇偶关系，我们才能说函数具有奇偶性．【例2】已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22xf x =+，则()1f =（）A ．4-B ．52-C ．4D ．52【答案】B【解析】由题设知：15(1)(1)(22)2f f -=--=-+=-，故选B ．【变式2．1】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，并且当()0,x ∈+∞时，()2xf x =，那么21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】5-【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2211log log 055f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2log 5221log log 5=255f f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，故答案为5-．【例3】已知3()1f x ax bx =++，且()57f =，则()5f -的值是（） A ．－5 B ．－7 C ．5 D ．7【答案】A【解析】因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+，则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-， 所以()()551615f g -=-+=-+=-，故选A ．【变式3．1】已知()()tan 6x xe f x x e -=⋅++，()8f t =，则 ()f t -=______．【答案】4【解析】∵()()6tan x xe f x x e --=⋅+，∴()()()6tan()tan ()[()6]x x x x e f x x ex e f e x ------=-⋅+=-⋅+=--， 即()6f x -为奇函数，∴()6()6f t f t --=-+，故()12()1284f t f t -=-=-=， 故答案为4．【变式3．2】已知函数()22421x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于___________． 【答案】8 【解析】()2244244212121x xx xx x x xf x +++⋅++===++++，()21x xg x =+， 因为()()2121xxx x g x g x ---==-=-++，所以函数()21xx g x =+是奇函数，因此()min max ()0g x g x +=，因此max min ()4()48M m g x g x +=+++=， 故答案为8．【变式3．3】已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=__________．【答案】32-【解析】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=， 即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-， 故答案为32-．【变式3．4】已知3sin x x m +=，311sin 288y y m +=-，且π,4π,,4x y m ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭R ，则πtan 23x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭_________．【解析】设3()sin f x x x =+，因为()()()33()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以3()sin f x x x =+是奇函数，又331(2)8sin 28sin 28f y y y y y m ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，()(2)0f x f y m m ∴+=-=，20x y ∴+=，tan 2ππtan33x y ⎛⎫∴++== ⎪⎝⎭【例4】已知函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，()()23x f x g x +=⋅，则函数()f x =__________． 【答案】33x x -+【解析】因为()()23x f x g x +=⋅，所以()()23x f x g x --+-=⋅， 又(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=-=-；所以()()()()23xf xg x f x g x --+-=-=⋅，则()()()()2323xx f x g x f x g x -⎧+=⋅⎪⎨-=⋅⎪⎩， 两式相加得()22323x x f x -=⋅+⋅，所以()33x xf x -=+，故答案为33x x -+．【变式4．1】已知函数)(f x 是定义在R 上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当)(,0x ∈-∞时，)(f x =_________． 【答案】21x x --+【解析】函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()()()2211f x x x x x -=----=+-，故()()21f x f x x x =--=--+，故答案为21x x --+．【例5】已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23f x x x =--，则当0x <时，()f x =_________． 【答案】23x x -【解析】当0x ≥时，()23f x x x =--，当0x <时，则0x ->，∴()()()2233f x x x x x -=----=-+， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则当0x <时，()22()()33x x x x f x f x =--=--+=-，故答案为23x x -．【变式5．1】定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()f x g x +=432421x x x +-+，若()2522f x a a ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．31,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．31,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．13,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()432421f x g x x x x +=+-+，所以()()()()432432421421f x g x x x x f x g x x x x ⎧+=+-+⎪⎨-+-=--+⎪⎩， 所以()()()()432432421421f xg x x x x f x g x x x x ⎧+=+-+⎪⎨-=--+⎪⎩，所以()42421f x x x =-+， 因为x ∈R ，所以20x ≥，令2t x =，则0t ≥，()()2421f x h t t t ==-+，由二次函数的性质知()h t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()211134214444h t h ⎛⎫⎛⎫≥=⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 因为()2522f x a a ≥-恒成立，所以253224a a -≤，解得1342a -≤≤，所以实数a 的取值范围为13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ．【例6】已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且()3f a -=，则a =（） A ．12B ．12-C ．2log 3D ．2【答案】B【解析】函数()f x 为奇函数，(3)(3)f f a ∴-=-=．又2()log (1)f x x ax =++，则2(3)log 43f a a =+=-，解得12a =-，故选B ．【变式6．1】已知()g x 是定义在R 上的奇函数，()()2f xg x x =+，若()2f a =，2(2)f a a -=+，则a =（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．2或1【答案】C【解析】()g x 是奇函数，()()0g x g x ∴+-=，2()()2f x f x x ∴+-=， 而()2f a =，2(2)f a a -=+，所以2422a a +=，解得2a =或1-， 故选C ．【例7】已知函数()()x xf x e ae a -=+∈R 的图象关于原点对称，则()f a =（）A ．1e e-B ．1C ．1e e -D ．1e e+【答案】A【解析】函数()()x xf x e ae a -=+∈R 的图象关于原点对称，可得()f x 在定义域R 上为奇函数， 根据奇函数性质()()f x f x -=-， 令0x =，可得()00f =， 又()0000f e ae =+=，1a ∴=-，()x x f x e e -∴=-，故()()1111f e e a f e e--==-=-，故选A ．【变式7．1】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()log (2)f x x t =++，()6f -=__________． 【答案】2- 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，又当0x ≥时，2()log (2)f x x t =++，()2log (02)00f t =∴++=，1t ∴=-，∴当0x ≥时，2()log (2)1f x x =+-，()()[]()322log (626)1log 2621f f +-=-∴-=-=--=-， 故答案为2-．【例8】已知函数()()222f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式()()20x f x -<的解集为（）A．(()2,+∞B．()+∞C ．()2,+∞D．()2【答案】A【解析】因为函数()()222f x ax a x a =+++为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()()222222ax a x a ax a x a -++=+++，所以2(2)0a x +=，所以20a +=，得2a =-，所以()224f x x =-+，所以不等式()()20x f x -<可转化为20()0x f x -<⎧⎨>⎩或20()0x f x ->⎧⎨<⎩，即22240x x <⎧⎨-+>⎩或22240x x >⎧⎨-+<⎩，解得x <<或2x >，故原不等式的解集为(()2,+∞，故选A ．【变式8．1】已知函数()22x xa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于__________． 【答案】13-或3【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即2222x xx xa a a a ----=-++， 212212212212x x x x x x xx a a a a a a ⋅--⋅-∴==⋅++⋅+，整理可得222222x x x x a a -⋅=⋅-， 21a ∴=，解得1a =±．当1a =时，()1212xx f x -=+，()()1211123f a f -∴===-+； 当1a =-时，()1212x xf x +=-，()()11213112f a f +∴=-==-， 综上所述：()13f a =-或3，故答案为13-或3．【变式8．2】已知函数())lnf x x =是奇函数，则a =_________．【答案】1【解析】函数())lnf x x =是奇函数，()()f x f x ∴-=-，))lnln x x ∴=-，即))ln ln 0x x +=， )ln 0x x =，)1x x ∴=，1a ，故答案为1．【例9】已知()21f x ax bx =-+是定义域为[],1a a +的偶函数，则2b a a -=（）A ．0B ．34CD ．4【答案】B【解析】∵()21f x ax bx =-+在[],1a a +上是偶函数，∴1a a -=+，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()2112f x x bx =--+，∵()f x 在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以有1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，代入解析式可解得0b =， ∴213144b a a -=-=，故选B ． 【变式9．1】已知函数()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，则a =（） A ．1- B ．12C ．12- D ．1【答案】D【解析】函数的定义域为{1x x ≠-且}x a ≠， 因为()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，所以定义域关于原点对称，则1a =，所以()()()2sin sin 111x xx x x f x ==+--，因为()22sin()sin ()()11x xf x x x f x --===-----，满足()f x 为奇函数，故选D ．【变式9．2】设函数()f x ，()g x 均是定义在241,22m m m --++⎡⎤⎣⎦上的偶函数和奇函数，且满足()()2221x f x g x x +=++，则()f m 的值为（）A ．12 B ．32C ．134D ．174【答案】D【解析】∵函数()f x ，()g x 均是定义域为241,22m m m --++⎡⎤⎣⎦的偶函数和奇函数，即有24122m m m +=++，解得1m =，∵()()()()()22221221x xf xg x x f x g x x -⎧+=++⎪⎨-+-=+-+⎪⎩， ∴有()()()()22221221x x f x g x x f x g x x -⎧+=++⎪⎨-=++⎪⎩，解得()()2122212x x f x x -=+++， ()()1714f m f ∴==，故选D ． 【例10】已知奇函数()22,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩，则不等式()13x f x ++≤的解集为________． 【答案】(],1-∞【解析】因为()f x 是奇函数且()10f =，所以()10f -=，所以1a =-，所以不等式()13x f x ++≤等价于()()210113x x x x +≥⎧⎪⎨++-+≤⎪⎩或()()210113x x x x +<⎧⎪⎨-+-+≤⎪⎩，所以1x ≤，所以不等式()13x f x ++≤的解集为(],1-∞，故答案为(],1-∞．【变式10．1】已知函数22sin ,0(),[0,2π)3cos(),π0x x x f x x x x αα⎧⎛⎫++>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪-++<⎩是奇函数， 则α=__________． 【答案】7π6【解析】函数22sin ,0(),[0,2π)3cos(),π0x x x f x x x x αα⎧⎛⎫++>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪-++<⎩是奇函数， 设0x <，则0x ->，()2sin(π)3x f x x +-+-=，()()2sin(π)3f x x f x x -=--∴=--+，即22cos()sin()3πx x x x α---++=-+，πcos()sin()sin()π32x x x αα∴+=-=++，故π2ππ23x x k α-=+++，5π2π,6k k α∴=--∈Z ， 当1k =-时，满足7π6α=， 故答案为7π6．1．利用函数的奇偶性求参数值的方法（1）若函数定义域含有参数，则可以利用奇（偶）函数定义域关于原点对称的性质求解；（2）若函数解析式含参数①对于在0x =处有定义的奇函数，利用()00f =求解； ②可以利用奇（偶）函数()f x 与()f x -的关系求解．一、选择题．1．若函数()2f x x =，()cosg x x x =，则（）A ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数B ．()f x 与()g x 均为偶函数C ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数D ．()f x 与()g x 均为奇函数【答案】C【解析】22()()()f x x x f x -=-==且定义域为R ，则()f x 为偶函数；()()cos()cos ()g x x x x x g x -=--=-=-且定义域为R ，则()g x 为奇函数， 故选C ． 2．设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数， 故选B ．3．已知函数()1lg 1x f x x +=-，()(),11,x ∞∞∈--+，()f a b =，则()f a -=（）A ．bB ．b -C ．1bD ．1b-【答案】B【解析】由题得()(),11,x ∞∞∈--+，()111lglg lg ()111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-，所以函数()f x 是奇函数，所以()()f a f a b -=-=-，故选B ． 4．若函数()(1)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．1-【答案】A【解析】因为函数()(1)()xf x x x a =+-为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，由题意得100x x a +≠⎧⎨-≠⎩，即1x x a ≠-⎧⎨≠⎩，所以1a =，又当1a =时，2()(1)(1)1x xf x x x x ==+--，满足()()f x f x =--，函数()f x 是奇函数，所以1a =成立， 故选A ．5．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1xf x e =-，则当0x <时，()f x =（）A ．1x e +B ．1x e -C ．1x e -+D ．1x e --+【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，()1x f x e -∴-=-，设()f x 为奇函数，()1x f x e -∴-=-，即()1x f x e -=-+，故选D ．6．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，1()3x f x a +=-（a 为常数）则(1)f -的值为（） A ．6- B ．3-C ．2-D ．6【答案】A【解析】由题意知：(0)0f =，即30a -=，则3a =， ∴0x ≥时，1()33x f x +=-，由奇函数对称性知：2(1)(1)(33)6f f -=-=--=-，故选A ． 二、填空题．7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)2f =，(1)3f =．写出()f x 的一个解析式为__________．【答案】2()2f x x =+（答案不唯一）【解析】二次函数2()f x ax b =+，显然满足()()f x f x -=，所以该函数是偶函数， 由(0)22f b =⇒=，由(1)3231f a a =⇒+=⇒=，所以2()2f x x =+， 故答案为2()2f x x =+． 8．函数2()21xxf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________． 【答案】1【解析】因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 222121x x x x ax ax ---=+--，222121x x a a ---=+--，222202121xxx a ⨯+-=--， 即22a =，所以实数1a =， 故答案为1．9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12xx a x f =+-，则()()3f f =________． 【答案】11【解析】()010f a =-=，1a =，当0x <时，0x ->，()()12xx f f x x -=-+-=--，即()12xf x x -=-+，()12,00,012,0x x x x f x x x x -⎧+->⎪==⎨⎪-+<⎩， ()34234f =-=-，()414521f =-+=-，()()311f f =， 故答案为11．10．函数22(1)22()1x xx f x x -++-=+在区间[2021,2021]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=___________．【答案】2【解析】222(1)22222()111x x x xx x f x x x --++-+-==+++， 设2222()1x x x g x x -+-=+，则()2222()1x xx g x g x x --+-==-+-，则()g x 为奇函数， ∴函数()f x 的最大值为1T +，最小值为1T -+，则1M T =+，1m T =-+，2M m ∴+=， 故答案为2．11．函数()()()2x a bx a f x -=+（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为[)10,-+∞，则该函数的解析式()f x =__________． 【答案】2210x -【解析】()()()()22222x a bx a bx a b x a f x -+=-=+-，定义域为R ，()()2222bx a f b x a x -=---，因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()20a b -=，即0a =或2b =．当0a =时，()2f x bx =，值域不是[)10,-+∞，舍去； 当2b =时，()222222f x a x a =-≥-，所以2210a -=-，则()2210f x x =-，故答案为2210x -． 三、解答题．12．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-． （1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式； （2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．【答案】（1）2()2f x x x =+；（2）1或1 【解析】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+．（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =1m =-．13．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时，()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-，()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-．【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦． 所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩． （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+， 所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-， 由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-，()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-．。
关于《函数的奇偶性》说课稿
《函数的奇偶性》说课稿关于《函数的奇偶性》说课稿作为一名专为他人授业解惑的人民教师，可能需要进行说课稿编写工作，认真拟定说课稿，怎么样才能写出优秀的说课稿呢？下面是小编为大家整理的关于《函数的奇偶性》说课稿，仅供参考，欢迎大家阅读。
《函数的奇偶性》说课稿1一、教材分析（一）教材特点、教材的地位与作用本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。
函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。
因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
（二）重点、难点1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。
2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。
（三）教学目标1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法；2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中，使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教法、学法分析1.教学方法：启发引导式结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用"引导发现法"进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。
使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性。
2.学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。
让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习。
三、教辅手段以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学四、教学过程为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了五个主要的教学程序：设疑导入，观图激趣。
高一第3讲函数的单调性与奇偶性(教师版)
第3讲 函数的单调性与奇偶性（教师版）.一．学习目标1.了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间， 并能运用函数单调性解决有关问题．2.理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法和图象特征；会利用函数奇偶性分析、探究函数值、性质及图象等问题． 二．重点难点1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式求变量的取值是历年高考考查的热点．2.利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．三．知识梳理1．定义域为I 的函数f (x )的增减性：2．如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果1212()()f x f x x x -->0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果1212()()f x f x x x --<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数． 4. 重点掌握好七类初等函数的图象，用其判断函数单调性。
(1)一次函数y=kx+b(k ≠0)图象为直线，k>0时.在(－∞，＋∞)上为增函数。
K<0时，在(－∞，＋∞)上为减函数。
（2）反比例函数y=k x图象为双曲线，k>0时在（-∞，0），（0，+∞）上为减函数，K<0时， 在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数。
（3）二次函数y=a 2x +bx+c(a ≠0)图象为抛物线，一看开口方向（由a 正负号确定），二看对称轴（即x=-2b a）,再由图象确定单调区间。
（4）耐克函数b y ax x =+（a>0,b>0），（又称为对勾函数），由图象可得其四个单调区间。
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第三讲函数的奇偶性1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b －a )为周期的周期函数．(3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.1．(课本改编题)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是________．①f (x )＝2x 4＋3x 2；②f (x )＝x 3－2x ；③f (x )＝x 2＋1x ；④f (x )＝x 3＋1.3．(2011·广东)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.4．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．5．定义在R 上的函数y ＝f (x )是奇函数，且满足f (1＋x )＝f (1－x )．当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3，则f (2 013)的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )． A.－12 B.－14 C.14 D.127．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x －x 的图象关于( )．A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数10．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析 法一 ∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0. 法二 由f (－1)＝f (1)， 得|a －1|＝|a ＋1|，得a ＝0. 答案011.（2005年北京西城区模拟题）定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为 A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞） C.（－3，0）∪（3，+∞） D.（－∞，－3）∪（0，3）解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案：A12.定义在［－2，2］上的偶函数g （x ），当x ≥0时，g （x ）单调递减，若g （1－m ）＜g （m ），求m 的取值范围________.解：由g （1－m ）＜g （m ）及g （x ）为偶函数，可得g （|1－m |）＜g （|m |）.又g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m |＞|m |，且|1－m |≤2，|m |≤2，解得－1≤m ＜21.题型一 函数奇偶性的判断及奇偶性质的运用 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3. 探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝lg 1－x 1＋x ；(2)f (x )＝(x －1) 2＋x2－x；(3)f (x )＝{ x 2＋x (x >0)， x 2－x (x <0)；(4)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2.例2已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f 是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。
分析：用f(-x)=-f(x) (x ∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，1222)(+-=x x x f例3.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg x+11，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg x-11=lg （1－x ）. 答案：lg （1－x ）例4已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围。
简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在),0[+∞上为减函数，∴由)12()2(2->--a f a a f 有：)12(22-<--a f a a ⎩⎨⎧-<--≥--∴222)12(202a a a a a 解得a ≤-1或a ≥2.例5已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围． 解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2， 解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m ＞m 2－1， 即－2＜m ＜1.②综合①②可知，－1≤m ＜1.题型二 抽象函数的单调性与奇偶性例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x ，y ∈R ，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0①求证：f(0)=1 ②求证：y=f(x)是偶函数 证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f 2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数变式：定义在R 上的函数y=f(x)，对任意x 1，x 2都有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。
解：令x 1=x 2=0则f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0令x 1=x x 2= -x 则f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函数例2 定义在(－1,1)上的函数f (x )．(ⅰ)对任意x ，y ∈(－1,1)都有：f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；(ⅱ)当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，回答下列问题． (1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)若f ⎝⎛⎭⎫15＝12，试求f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫111－f ⎝⎛⎭⎫119的值． 探究提高 对于抽象函数单调性和奇偶性的判断一般要紧扣定义．通过赋值要出现：f (x 1)－f (x 2)与0的大小关系，f (x )与f (－x )的关系．就本题来讲要注意运用x <0时f (x )>0的条件．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．题型三 函数的奇偶性与周期性例3 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)．探究提高 判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.【例3】►已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1， (1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．[审题视点] (1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )为周期函数；(2)由f (x )在[0,1]上的解析式及f (x )图象关于x ＝1对称求得f (x )在[1,2]上的解析式； (3)由周期性求和的值．(1)证明 函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．(2)解 当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )＝f (2－x )＝22－x －1，x ∈[1,2]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0， f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1 又f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013) ＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【训练3】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为( )． A ．－1 B ．1 C ．0 D ．无法计算 解析 由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)， ∴f (x )的周期为4，∴f (2 013)＝f (1)，f (2 015)＝f (3)＝f (－1)， 又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0， ∴f (2 013)＋f (2 015)＝0.答案 C 【示例】►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间．第(1)问先求函数f (x )的周期，再求f (π)；第(2)问，推断函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出． [解答示范] (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得， f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，(2分) ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(4分)(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(6分)又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．(8分) 当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则 S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.(10分)(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．(12分)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．【试一试】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)[尝试解答]由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.答案 D方法与技巧1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f(－x) f(x)＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图像的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．失误与防范1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时规范训练 (时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题1．(2011·课标全国)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是 ( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |2．(2011·辽宁)若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( )A.12B.23C.34D ．13．函数f (x )在定义域R 上不是常数函数，且f (x )满足条件：对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，f (1＋x )＝－f (x )，则f (x )( )A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98二、填空题5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________.6．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．7．(2010·山东高考改编)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝______. 三、解答题8．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．32．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤233．定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 二、填空题4．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________．5．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.6．对于函数f (x )＝ax ＋1x －1(其中a 为实数，x ≠1)，给出下列命题：①当a ＝1时，f (x )在定义域上为单调函数； ②f (x )的图像关于点(1，a )对称； ③对任意a ∈R ，f (x )都不是奇函数； ④当a ＝－1时，f (x )为偶函数；⑤当a ＝2时，对于满足条件2<x 1<x 2的所有x 1、x 2总有f (x 1)－f (x 2)<3(x 2－x 1)． 其中正确命题的序号为________． 三、解答题7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．8．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．答案要点梳理1．f (－x )＝f (x ) f (－x )＝－f (x )2．(1)相同 相反 (2)①奇函数 ②偶函数 ③奇函数 3．(1)f (x ) (2)存在一个最小 基础自测 1.132.②③3.－9 4．(－1,0)∪(1，＋∞) 5.C题型分类·深度剖析例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3.∴f (x )的定义域为{－3,3}． 又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＋x ≥01＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x .∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数． 变式训练1 解 (1)由1－x1＋x>0⇒－1<x <1，定义域关于原点对称．又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，故原函数是奇函数．(2)由2＋x 2－x≥0且2－x ≠0⇒－2≤x <2，定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )； 当x <0时，f (x )＝x 2－x ， 则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称， ∴f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2. ∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 例2 解 (1)令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )⇒f (x )在(－1,1)上是奇函数．(2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2， 而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0 ⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0， 即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0,1)上单调递减．(3)由于f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫15＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－15＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－151－12×5＝f ⎝⎛⎭⎫13， 同理，f ⎝⎛⎭⎫13－f ⎝⎛⎭⎫111＝f ⎝⎛⎭⎫14，f ⎝⎛⎭⎫14－f ⎝⎛⎭⎫119＝f ⎝⎛⎭⎫15，∴f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫111－f ⎝⎛⎭⎫119＝2f ⎝⎛⎭⎫15＝2×12＝1. 变式训练2 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)， 则⎩⎨⎧x (x －12)>0x (x －12)<1 即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. 若f [x (x －12)]<0＝f (－1)， 则⎩⎨⎧x (x －12)<0x (x －12)<－1 由x (x －12)<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是{x |12<x <1＋174或1－174<x <0}． 例3 (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝0.变式训练3 2.5课时规范训练A 组1．B 2.A 3.B 4.A5．－1 6.－1 7.－38．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x. 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋1x 1)－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．B 组1．A 2.C 3.B4．①②③ 5．0 6．②③⑤7．(1)证明 由函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.8．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．。