2-2-1 平面杆件体系基本组成规律--例题分析
二章平面体系的几何组成分析
对结构进行几何组成分析的目的： （1）判断某一体系是否几何不变，从而确定它能否 作为结构，以保证结构的几何不变性。 （2）根据体系的几何组成，确定结构是静定结构的
（3）通过几何组成分析，明确结构各部分在几何组 成上的相互关系，从而选择简便合理的计算顺序。
再见
（图中虚线所示），依次去掉二元体（DG、FG）、 （EF、CF），对余下部分，将折 杆ADE、杆BE和基础分别看 作刚片，它们通过不共线 的三个铰A、E、B两两相连 故为无多余约束的几何不 变体系。
图2.12
例4 试对图2.13所示体系进行几何组成分析。 解:体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不完
相当于2（n-1）个约束。
(e)复刚结
相当于3（n-1）个约束。
图2.3
（2）支座约束 （a）辊轴支座 相当于一个约束。 （b）铰支座 相当于一个约束。 （c）固定支座 相当于一个约束。
2.2.3必要约束和多余约束
必要约束 体系中能限制体系自由度的约束； 多余约束 对限制体系自由度不起作用的约束。
成的，但并非杆系任意组成都能作为工程结构使用。如 图所示。
图a
图b
由上图可以看出，平面杆件体系可以分为两类： （1）几何不变体系 在不考虑材料应变的假定下，
其几何形状和位置保持不变的体系，如图(b)。 （2）几何可变体系 在不考虑材料应变的假定下，
其几何形状和位置可以改变的体系，如图(a)。
2.1.2 几何组成分析的目的
推论： 两刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相 连，则组成无多余约束的几何不变体系。
规则三：三刚片规则
三刚片用三个不共线的铰两两相连，组成无多余约 束的几何不变体系。
2平面体系的几何构造分析解析
.
(2,3)
1
2
3
5 4
6
试分析下图示各体系的几何构造
无多余约束的几何不变体系
瞬变体系
无多余约束的几何不变体系
内部几何不变，无多余约束
无多余约束的几何不变体系
内部几何不变，无多余约束
无多余约束的几何不变体系
有一个多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
§2-4 平面杆件体系的计算自由度
称刚片。刚片可以等效替代。
2.自由度
确定物体位置时所需要的独立坐标的数目。 体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
y
A
x y
x
点的自由度
y φ
x y
x
刚片自由度
3.约束
体系中能减少自由度的装置就称为约束。 装置能减少多少个自由度，就相当于多少个约束。
3.约束
1）链杆 单链杆：仅连结两个结点的杆件称为单链杆，一根单链
I
G
H
L J
K
A
B C DE F
.(1,2)
L J (2,3) I
(1,3)
G
H
K
无多余约束的几何不变体系
1
2
3
5 4
6
(1,2)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
瞬变体系
1
2
第二章 平面杆件体系的几何组成分析
的直杆称为链杆。
一根链杆相当于一个约束。
O
一个固定铰支座相当于二个约束
I AA C
x
图2.4
一个固定端支座相当于三个约束。
连接两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当于两 个约束［图2.4(c)］ 一个铰同时连接两个以上刚片时，这种铰称为复 铰 图 2.4(d)连 接 n个 刚片 的 复 铰 ， 其 作 用相 当 于 （n1）个单铰
A
A
(a)
(b)
图2.6
四、平面体系的自由度计算
1. 计算公式 W=3m2hr W——体系的计算自由度；
m——刚片数；
h——单铰数；
W=2jbr
r——支座链杆数 j——铰结点数；
b——链杆数；
r——支座链杆数。
V=3m2h3 V ——体系内部的计算自由
V=2jb3
度(当体系不与基础相连时 )
【例2.5】 试对图2.17所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
W=3m2hr =3×42×36=0 2)几何组成分析。
图2.17
A II
A
Ⅲ
B
I
B
C CⅣ
D
E
D
E
A
B
C
D
E
Ⅴ
该体系是无多余约束的几何不变体系
【例2.6】试对图2.18所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
余约束的数目n，称为超静定次数。
静定结构
一次超静定结构
对静定结构进行内力分析时，只需考虑静 力平衡条件；而对超静定结构进行内力分析时， 除了考虑静力平衡条件外，还需考虑变形条件。
第五节 平面杆件结构的分类
平面杆件结构按其受力特征可分为以下几 种类型： （1） 梁
平面杆件体系的几何组成分析
平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系是一种复杂的结构，它由许多杆件组成，而每一种杆件的几何组成都是关键因素，如果要正确地分析平面杆件体系的结构及其性能，就必须对其几何组成进行分析。
二、杆件的几何组成1.杆件的长度所有杆件的长度都受到几何限制，它们必须符合系统的几何特征。
对于构件来说，长度是其基本组成特征，它是决定构件在结构中执行何种功能的重要因素。
因此，在分析平面杆件体系的几何组成时，必须准确测量杆件的长度，并计算它们的变化范围等。
2.杆件的相对位置杆件的相对位置也是重要的几何特征，它决定了杆件之间的关系，也影响了杆件的功能表现。
一般来说，当分析杆件间的几何组成时，必须正确测量杆件间的间距及其尺寸比例，以确定杆件间的相对位置。
3.杆件的角度角度是杆件或构件之间的重要几何参数，它影响着构件间的连接及它们的力学性能。
因此，在研究平面杆件体系的几何组成时，也必须对不同杆件的角度进行测量，并进一步计算出各杆件之间的角度关系。
三、杆件的几何组成分析1.力学分析力学分析是研究杆件几何组成的重要方法，它可以从多个维度来研究构件的性能，并从力学角度来分析平面杆件体系的组成及其性能。
例如，可以通过力密度法对平面杆件体系的几何组成进行分析，以确定某一构件在结构中所承受的载荷情况，以及各构件之间的荷载传递情况。
2.静力学分析静力学是研究杆件几何组成的另一种重要方法。
它可以通过计算构件的力学参数，如构件的弹性模量、强度及抗剪模量等，从而确定平面构件体系的几何组成情况以及它们的力学特性。
3.拓扑分析拓扑分析是研究杆件几何组成的一种特殊方法，它旨在通过测量某一构件的几何组成参数，如构件的节点数、轴线关系、长度比例等，来确定平面杆件体系的几何组成，以及它们在结构中的作用及其性能。
四、总结平面杆件体系是一种复杂的结构，它由许多杆件组成，而杆件的几何组成则是研究平面杆件体系结构及性能的重要因素。
本文从三个方面介绍了杆件几何组成分析的方法：即力学分析、静力学分析和拓扑分析。
02平面杆件体系的几何组成分析
平面杆件体系的几何组成分析
第2章
平面杆件体系的几何组成分析
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2.1
第2章
平面杆件体系的几何组成分析
本章内容
•平面杆件体系几何组成的分类
•无多余约束的平面几何不变体系简单组成规则 •平面杆系几何组成分析举例 •习 题
2.2
第2章
平面杆件体系的几何组成分析
教学要求：本章要求学生了解平面杆系的分类，掌握平面几何不 变体系的组成规则、构造特点，理解工程中所用结构必须为几何不变 体系。能利用几何不变体系的组成规则对简单平面杆系进行几何组成 分析。
几何组成结果不变。也就是说，原来几何不变体系加上或者拆去二元体后依然几何不变。当我
们对一个复杂体系作几何组成分析时，可以逐步拆去二元体再进行分析，问题就会变得简单一 面杆件体系的几何组成分析
无多余约束的平面几何不变体 系简单组成规则
二、两刚片规则
两刚片用一个单铰和一根不通过该铰的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。由于 两根链杆相当于一个单铰，两刚片规则也可以表述为：两刚片用三根不交于一点且不完全平行 的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系，如图2.5所示。
是几何可变体系的特殊情况，为了明确起见，几何可变体系可以进一步区分为瞬变体系和常变
体系。如果一个几何可变体系可以发生较大位移，则该体系为常变体系，如图2.2所示。
2.6
第2章
平面杆件体系的几何组成分析
平面杆件体系几何组成的分类
显然，几何可变体系是不能用来作为结构的，因为在建筑工程结构中，要求在任意荷载作
第2章
平面杆件体系的几何组成分析
平面杆系几何组成分析举例
【例2.1】 分析图2.7所示体系的几何组成。 解 根据二元体规则，由固定点E、F出发，增加一个二元体固定点C 。再从C、F出发分别 增加二元体固定点D、A ；最后从固定点D、A 出发增加二元体固定点B 。因此，整个体系是几 何不变无多余约束的体系。 说明：本题也可用拆二元体的方法，从B点开始进行分析。当然，所得结果与前面相同。 【例2.2】 分析图2.8所示体系的几何组成。 解 铰结三角形ADE、BCF 是一个刚片，可作为刚片Ⅰ，铰结三角形BCE是一个刚片，可 作为刚片Ⅱ，杆FG作为刚片Ⅲ，刚片Ⅰ与刚片Ⅱ通过铰E相连，刚片Ⅰ与刚片Ⅲ通过AF、DG
平面杆件体系的几何组成分析典型例题(附详细解题过程)
平面杆件体系的几何组成分析典型例题【例1】对如图1(a)示体系作几何组成分析。
图1【解】（1）对如图1(a)所示体系依次拆除二元体后如图1(b)所示。
（2）选取三个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，它们由三个虚铰O1、O2、O3两两相连，其中虚铰O1、O3的连线与形成无穷远虚铰O2的两平行链杆不平行。
（3）结论：无多余约束的几何不变体系。
【例2】对如图2(a)所示体系作几何组成分析。
图2【解】（1）根据二元体规则先将结点G固定在基础上，选扩大的基础作为刚片Ⅰ，如图2-(b)所示。
（2）选折杆AF为刚片Ⅱ，两刚片由三根链杆（DE、FG及A处支座链杆）相连，且不交于一点也不互相平行，满足两刚片规则。
（3）结论：无多余约束的几何不变体系。
【例3】对如图3(a)所示体系作几何组成分析。
图3【解】（1）对如图3(a)所示体系依次拆除二元体后如图3(b)所示。
（2）选取三个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，它们由三个铰O1、O2、O3两两相连，其中铰O1、O2的连线与形成无穷远虚铰O3的两平行链杆不平行。
（3）结论：无多余约束的几何不变体系。
【例4】对如图4所示体系作几何组成分析。
图4【解】对如图4(a)体系进行几何组成分析如下：（1）选取如图4(a)所示的两个刚片Ⅰ、Ⅱ，它们由三根链杆AC、EF及BD相连，且这三根链杆不交于一点也不互相平行，满足两刚片规则，因此上部体系是没有多余约束的几何不变部分。
（2）上部体系与基础间由四根支座链杆相连接。
（3）结论：有一个多余约束的几何不变体系（四根支座链杆中任一根均可看作多余约束）。
对如图4(b)体系进行几何组成分析如下：（1）先根据两刚片规则将杆123及结点7固定在基础上，再根据二元体规则依次固定结点4、5，扩大的基础刚片即刚片Ⅰ。
（2）固定结点6时，由于结点5、6、7共线，结论：几何瞬变体系。
【例5】对如图5(a)所示体系作几何组成分析。
图5【解】选取三个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，如图5(b)所示，它们由三个铰O1、O2、O3两两相连，其中铰O1、O2的连线与形成无穷远虚铰O3的两平行杆不平行。
平面杆件体系的基本组成规律
平面杆件体系的基本组成规律1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊平面杆件体系，这听起来可能有点复杂，但别急，我们一步一步来解读。
平面杆件体系其实就是那些在二维平面上工作的结构，比如说桥梁或者高楼的骨架。
咱们就像揭开神秘面纱一样，来看看它的基本组成规律。
2. 平面杆件的定义2.1 什么是杆件？杆件就是那些细长的、受力的构件。
你可以把它想象成骨头，整个结构的稳定性都靠它来撑起来。
比如木架子上的木条，它们就是杆件。
简单来说，杆件的主要作用就是支撑和传递力。
2.2 平面杆件的特点平面杆件就是在一个平面上工作的杆件，大家可以把它想象成在纸上画的图形。
它们不会有太多的高度变化，完全是在一个平面里活动。
这种结构的好处是计算起来相对简单，容易理解。
3. 平面杆件体系的组成3.1 节点节点就是杆件之间相交的地方，像是骨头的关节。
一个稳固的结构得靠这些节点来固定和传递力量。
如果节点设计得不好，就像关节不灵活，整个结构的稳定性也会大打折扣。
3.2 杆件杆件是构成平面杆件体系的主要部分，它们有不同的种类，比如拉杆和压杆。
拉杆受拉力，压杆受压力，就像弹簧和杠杆一样，分别处理不同的力。
这些杆件之间的配合，就像编织一张网，形成稳定的结构。
4. 平面杆件体系的类型4.1 三角形结构三角形是非常稳固的形状，因为它的角度固定，不容易变形。
这就像我们用三根竹子搭一个三脚架，无论怎么用力，它都不会散架。
三角形结构在平面杆件体系中非常常见，比如桥梁上的支撑部分。
4.2 网架结构网架结构是把杆件连接成网状的形态，这样可以大大分担力量，增加结构的稳定性。
就像是网球场上的网，不管用多大的力去撞它，它都能把力均匀地分摊开。
网架结构非常适合用于大型建筑，比如展览馆的顶棚。
5. 设计与应用5.1 设计原则设计平面杆件体系时，要考虑到力的传递、材料的选择和结构的稳定性。
就像做菜一样，调料的配比、火候的掌控都很重要。
合理的设计可以让结构既美观又实用，不容易出问题。
第2章 杆件结构的几何组成分析
• 几何组成分析的依据是前述三个觃则, 分析时可将基 础(或大地)视为一刚片，也可把体系中的一根梁、一链杆 或某些几何不变部分视为一刚片，特别是根据觃则三可 先将体系中的二元体逐一撤除以使分析简化。 • 下面提出几个组成分析的途径，可视具体情况灵活 运用。
（1） 当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其上的 二元体，再对余下的部分迚行分析。凡本身几何不变且无 多余约束的部分，可看为一个刚片（有时也将地基看作一 个刚片）。 如图2.8所示体系。
三、几何组成分析的目的
在进行几何组成分析时，由于不考虑材 料的应变，因而体系中的某一杆件或已经 判明是几何不变的部分，均可视为刚体。 平面内的刚体又称刚片。
2-1 几何组成分析的几个概念
一、自由度
所谓自由度是指确定体系位置所必需的独立坐标的个数； 也可以说是一个体系运动时，可以独立改变其位置的坐标 的个数。 确定一个刚片在平面内 平面内的一个点，要确定它的位 的位置则需要有三个独立 置，需要有x，y两个独立的坐标 的几何参变量。如图(b)所 （图(a))，因此，一个点在平面内 示。 有两个自由度。
C
C
Ⅱ
A
Ⅲ
Ⅱ
B A
Ⅰ
C
Ⅰ
C
B
A B
A
B
条件不满足时的五种情况 C
Ⅱ
A
Ⅰ
B
Δ
C A B
α1 α2 α3
平行不等长
平行等长
瞬变体系
常变体系
二、三刚片规则—— 平面内三个刚片的联结方式
A
II B
III
C
I
规律II ：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一 直线上，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。
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§2-2 构造分析方法与例题-1 1. 教学要求
熟练掌握几何构造分析的各种方法。
2. 本节目录
•1. 基本分析方法(1)
•2. 基本分析方法(2)
•3. 约束等效代换
•4. 考虑体系与地基关系的方法
•5. 复杂体系(1)
•6. 复杂体系(2)
•7. 复杂体系(3)
•8. 思考与讨论
3. 参考章节
1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp. 22-28。
2. §2-3 几何不变体系的组成规律
2.2.1 基本分析方法
一. 先找第一个不变单元，逐步组装
1. 先从地基开始逐步组装
例1图2-17a，图2-17b
图2-17a图2-17b 2. 先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装
例2图2-18a，图2-18b
图2-18a图2-18b
∆ADF和∆BEG通过较C
和不过该铰的链杆DE相连
组成几何不变且无多余约束的体系∆BCF和∆DAE通过连杆CD,AB,EF 相连，三杆不共点，组成几何不变且无多余约束体系。
二. 去除二元体（拆）
例3图2-19a，图2-19b、2-19c
图2-19a图2-19b 例3：
图2-19c
分析：
对象：杆1、2和杆3、4和杆5、6和杆7、8和杆9、10和杆11、12和杆13、14；
联系：二元体；去掉二元体，剩下大地――几何不变无多余约束
2.2.2 约束等效代换
1. 曲(折)链杆等效为直链杆
2. 联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰
例4
分析:
1.折链杆AC 与DB 用直杆2、3代替；
2.刚片ECD 通过支杆1与地基相连。
结论：若杆1、2、3交于一点，则
整个体系几何瞬变有多余约束；
若杆1、2、3不交于一点，则
整个体系几何不变无多余约束。
图2-20a
例5
分析:
1.刚片Ⅰ、Ⅰ、地基Ⅰ由铰A 与瞬铰B、C 相连。
2.A、B、C 不共线。
结论：整个体系几何不变无多余约束。
图2-20b
分析：图2-20c中（a）等效图2-20c中(b)
对象：大地与刚片（1）和（2）；
联系：大地与刚片（1）：虚铰B；大地与刚片（2）：虚铰C；刚片（1）与刚片（2）：虚铰A；三铰不共线――几何不变无多余约束
2.2.3 考虑体系与地基关系的方法
1. 体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内部再
与地基一起分析。
（图2-18b）
图2-18b图2-20b具体分析方法见例2。
2. 体系与地基连接多于3支杆则应与地基一起分析。
（图2-20b）
2.2.4 复杂体系
1.通常要运用瞬铰并使对象拉开距离
例6：如图分析结构的几何构造。
解：
分析：
1.体系W = 0 。
2.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由1、2杆连于瞬铰O1３。
4.刚片Ⅱ、Ⅲ由3、4杆连于瞬铰O２３。
5.刚片Ⅰ、Ⅱ由5、6杆连于铰D。
结论：体系几何不变,无多余约束。
图2-22
“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。
下面两种做法均未能使刚片拉开距离，也就没能允分利用链杆，而是以实铰连接，不能正确分析此题。
三角形ADE和BEF为刚片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。
形成实铰A、E。
Ⅰ、Ⅱ及Ⅰ、Ⅲ均未拉开距离三角形ADE和杆CD分别为刚片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ形成实
铰A、D。
Ⅰ、Ⅱ未拉开距离
图2-22b图2-22c
例7
分析：杆件AH和三角形BEG和三角形CFD分别为刚片
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ则：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连；
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连；
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰OⅠ、Ⅲ,无穷远)相连。
结论: A、B、OⅠ、Ⅲ三瞬铰不共线,体系几何不变无多余
约束。
图2-23
2．三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
１．一个虚铰在无穷远处
若组成虚铰的两平行链杆与另两铰（实铰或虚铰）的连线不平行（下图
ａ），则体系几何不变；若平行则为瞬变（下图ｂ）；若平行且等长则为常变。
（下图ｃ）
2.两虚铰在无穷远处
三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。
若组成两无穷远处的两瞬铰在不同方向（四连杆相互平行但不等长），则体系几何不变(a)；若此二虚铰的四根连杆互相平行但不等长，则为瞬变体系(b)；若此而虚铰的四根连杆均平行且等长，则体系是几何可变体系(c)。
图2-28a图2-28b2-28ｃ
例8
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰B)相连。
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由铰A相连。
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰C)相连。
4.内部几何不变组成大刚片再与地基相连。
结论:几何不变无多余约束。
图2-29
例9
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连。
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连。
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C)相连。
4.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成大刚片，再与地基相连。
结论:几何不变无多余约束。
图2-30
３. 三个虚铰在无穷远处
三刚片用三对互不平行链杆相连，且不至少有一对自身不等长（ａ），则体系瞬
变；若三对平行链杆又各自等长，则为常变体系（ｂ）。
因为此时体系产生微小变形
后，三个虚铰仍然在无穷远处，体系可连续产生变形。
图2-31a 几何可变(瞬变)
无穷远处所有点均在一无穷远直线上
图2-31ｂ
曲率k = 1/R
R—> ∞
k—> 0直线
三角形３４７和三角形５６８和杆件１２分别
看成是刚片Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ，两两刚片相交的瞬铰都在将１、２，３、６，５、７，分别看成刚片Ⅰ、Ⅰ、
无穷远形成几何可变体系。
Ⅰ两两刚片所形成的瞬铰相交于一点形成几何可变
体系。
图2-31b 几何可变(常变)图2-31c 几何可变(瞬变)注意：以上所有W = 0且几何可变(瞬变或常变)的体系均存在多余约束。
2.2.5 思考与讨论
(1)分析平面体系的几何构造时，运用基本构造单元按照搭积木和拆积木的方式是
两种相逆的方法，很多体系可以用这两种方法进行分析，参考图5-1a、图5-1b和图
5-3a、图5-3b。
(2)在几何构造分析中可以进行哪些等效变换，如何保证变换的等效性？
为了便于分析，表２－１给出三刚片有三个铰连接的各种形式及相应的结论。
三、典型习题
几何不变且无多余约束
无多余约束的几何变不变体系
共线则为瞬变体系，否则为无多余约束的几何不变体系
去除二元体后剩下的体系为瞬变体系
无多余约束的几何不变体系
（在此基础上增加左侧二元体不断增加后形成）无多余约束的几何不变体系
（14、36等效为链杆、）几何瞬变体系瞬变体系（两刚片规则）
几何瞬变体系
有三个多余约束的几何不变体系几何瞬变体系
复杂体系（找准对象，拉开距离）
1、试分析图（a）中所示结构的几何可变性。
(a)（b）
(c)
解：如图（a）所示体系减去二元体如图（b）所示。
因为1-2-4、2-3-5是明显的刚片，如果以它们和大地作为三刚片，则大地与1-2-4在1处有一个实铰，1-2-4和2-3-5在2处有个实铰相连，而2-3-5刚片和大地只在3处有一个杆相连，此处再就找不到直接联系的杆件，分析无法进行下去。
选择2-3-5、4-7和大地视为三个刚片（图c）：
2-3-5与大地间由1处和2处的支座链杆相联系，虚铰在3处。
4-7和大地之间由1-4杆和7处支座杆相联系，虚铰在无穷远。
4-7和2-3-5间由2-4和5-7相联系，虚铰在无穷远。
两个无穷远的瞬铰和3处的虚铰不共线，此体系是几何不变且无多余约束的体系。