杆件的扭转理论天-
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《杆件的扭转理论天》课件
解析法适用于简单杆件的简单边界条 件，通过数学推导得到精确解。
边界元法是一种与有限元法类似的数 值方法，适用于具有复杂边界条件的 杆件扭转问题。
03
杆件扭转的实验研究
实验设备与材料
扭矩计
用于测量杆件在扭转过程中的扭矩。
不同直径和材料的杆件
用于研究不同参数对杆件扭转的影响。
杠杆
用于固定和支撑杆件，确保其稳定。
采矿工程
矿山的支架、提升机等设备需要考虑杆件扭转问 题，以确保矿山的安全生产和正常运行。
水利工程
大坝、水闸等水利设施需要考虑杆件扭转问题， 以确保水利设施的正常运行和安全性。
05
杆件扭转的研究展望
新型材料的杆件扭转性能研究
总结词
随着新材料技术的不断发展，新型材料的杆件在扭转性能方面具有广阔的研究前景。
全性。
高层建筑
高层建筑的柱、梁等结构部件在风 力、地震等外力作用下，容易发生 杆件扭转，影响建筑物的安全性能 。
建筑加固
对于已经存在的建筑物，如果存在 杆件扭转问题，需要进行加固处理 ，以增强其承载能力和稳定性。
机械系统中的杆件扭转问题
01悬挂系 统等部位需要考虑杆件扭 转问题，以确保车辆的正 常运行和安全性。
通过引入传感器、智能算法和机器学习等技 术，可以实现杆件的智能化监测、控制和优 化设计。例如，利用传感器监测杆件的扭转 状态，通过智能算法分析其力学性能和稳定 性，并根据分析结果进行优化设计。未来研 究可以进一步探索智能化技术在杆件扭转领 域的应用，以提高杆件的设计水平和应用范
围。
THANKS
感谢观看
详细描述
新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等具有轻质、高强度等优点，在杆件扭转性能方面表现出 优异的力学性能。未来研究可以探索这些新型材料的杆件在复杂环境下的扭转性能，以及如何 优化设计以提高其扭转刚度和稳定性。
杆件的扭转理论
杆件在扭矩Mt作用下发生自由扭转，此时，
断面中每一段的剪流
f 常t 数 的结论
仍然成立。下面计算这个剪力流大小。
f1 O
f2
B
D C
将其分为两区：
左边ABC为 f2
方向如图，于是两个区公共壁（即CF ）中的剪流为（方向向上）
f3 f1 f2
f2
ds
式中
t1
为FABC段的壁厚；
t
为CF
3
段的壁厚。
同理对第 区有： 2
1 2GA2
CDEF
f2 ds t2
FC
f1
t3
f2
ds
式中t 2 为CDEF段的壁厚
令 1 2 ， 可得：
1
A1
FABC
f1 ds t1
对于直径为D1，壁厚为t的圆管，由（3-16）得
J0
4 π4D1
2
π D1 t
π4 D13t
对于宽为a ，高为b，厚度为t 的盒形薄壁断面,由（3-16） 式得：
t
b
J0
4ab2
2a 2b
2a 2b 2t ab
(3-17)
tt
a
A
F
E
左图为双闭室断面。设此双闭室断面的薄壁
开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比 例,因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即 开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄 壁增加，抗扭能力大大增加。
：
➢闭口薄壁杆件的自由扭转
其主要特征是：
杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。
《材料力学》课件3-5等直圆杆扭转时的变形.刚度条
3
在不同扭矩作用下，杆的变形表现出非线性特征， 这表明我们需要考虑非线性效应对杆刚度的影响。
研究不足与展望
01
虽然我们得到了杆在扭矩作用下的变形公式，但该公式是在一定假设条件下得 到的，可能存在一定的误差。未来可以通过更精确的实验和数值模拟方法来验 证和修正该公式。
02
目前的研究主要集中在等直圆杆的扭转问题上，对于其他形状的杆或复杂结构 的研究尚不够充分。未来可以进一步拓展研究范围，探究不同形状和结构的杆 在扭矩作用下的变形和刚度问题。
刚度条件的数学表达
刚度条件的数学表
达式
根据材料力学和弹性力学的基本 理论，等直圆杆扭转时的刚度条 件可以用数学表达式表示。
刚度常数
在数学表达式中，涉及到一些与 杆件材料、截面尺寸等有关的常 数，这些常数称为刚度常数。
刚度常数的意义
刚度常数是衡量杆件刚度的具体 数值，可以通过试验和计算获得， 是杆件设计和选用的重要依据。
ERA
刚度条件的定义与意义
刚度条件定义
在等直圆杆扭转时，杆件抵抗扭转变 形的能力称为刚度条件。
刚度条件的物理意义
刚度条件的意义
在工程实际中，刚度条件是设计、制 造和选用杆件的重要依据，满足刚度 条件的杆件才能保证结构的稳定性和 安全性。
它反映了杆件在承受扭矩作用时，抵 抗扭转变形的能力，是衡量杆件扭转 变形能力的重要参数。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
3-5等直圆杆扭转时的变形
与刚度条件
• 等直圆杆扭转时的基本概念 • 等直圆杆扭转时的变形分析 • 等直圆杆扭转时的刚度条件 • 等直圆杆扭转时的工程应用 • 结论与展望
目录
CONTENTS
杆的扭转定理和公式定理
圆截面杆的扭转外力与内力|| 圆杆扭转切应力与强度条件|| 圆杆扭转变形与刚度条件|| 圆杆的非弹性扭转1.外力与内力杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图2·2-1a），其变形特点是在任意两个截面绕轴线发生相对转动。
轴类构件常有扭转变形发生。
作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n(r/min)来计算。
当N的单位为千瓦（kW）时当N的单位为马力（HP）时扭转时的内力为扭矩T，用截面法求得。
画出的内力图称为扭矩图（或T图），如图2·2-1b所示图2·2-1 圆杆的扭转2.圆杆扭转切应力与强度条件当应力不超过材料的剪切比例极限r p时，某横截面上任意C点（图2·2-2）的切应力公式为式中T——C 点所在横截面上的扭矩p——C点至圆心的距离L p——横截面对圆心的极惯性矩，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。
图2·2-2 切应力分布圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性分布，其方向垂直于半径（图2·3-2）。
模截面上的最大切应力在圆周各点上，其计算公式为等截面杆的最大切应力发生在T max截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上。
其强度条件为式中，[τ]为许用扭转切应力，与许用拉应力[σ]的关系为：[τ]=（0.5～0.6）[σ] (塑性材料)或[τ]=（0.5～0.6）[σ]（脆性材料）3.圆杆扭转变形与刚度条件在比弹性范围内，圆杆在扭矩T作用下，相中为L的两截面间相对扭转角为或式中G——材料的切变模量单位扭转角公式为或式中GL p——抗扭刚度圆杆上与杆轴距离为p外（图2·2-2）的切应变r为圆杆表面处的最大切应变为式中,r——圆杆的半径等截面圆杆的最大单位扭转角，发生在T max一段内，其刚度条件为式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角（°）/m4.圆杆的非弹性扭转讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。
7章杆件的扭转
画扭矩图
M2
1 1
M3
2 2
M1
3
3
M4
B
C
A
D 6.37
4.78 9.56 T (kN· m) Tmax = 9.56 kN· , 位于 CA段上. m
第7章 杆件的扭转
画扭矩图
M2
1
M3
2
M4
3
M1
B
1
C
2
A
3
D
4.78 9.56
T (kN· m)
Tmax = 15.9 kN· , 位于 AD段上. m
解:
T 1. 实心圆轴的最大切应力.
Wt
d
3
16
d
max
T Wt
16T
d
3
2. 空心圆轴的最大切应力. T
d1 d1 2 1 W1t 16 d1
3 4
d1/ 2 d1
1max
T W1t
16T 1 d1 1 2
( )
d dx
r
max
圆轴横截面上的切应变沿半径ρ方向线性变化， 在圆心处为零，在外表面达到最大值。
第7章 杆件的扭转
(2)物理关系 已知
剪切胡克定律
G
d dx
d dx
G G
O
第7章 杆件的扭转
物理关系
G G
15.9
第7章 杆件的扭转
7.3 切应力互等定理、剪切胡克定律
1. 薄壁圆管的扭转 薄壁圆管
R—平均半径
M2
1 1
M3
2 2
M1
3
3
M4
B
C
A
D 6.37
4.78 9.56 T (kN· m) Tmax = 9.56 kN· , 位于 CA段上. m
第7章 杆件的扭转
画扭矩图
M2
1
M3
2
M4
3
M1
B
1
C
2
A
3
D
4.78 9.56
T (kN· m)
Tmax = 15.9 kN· , 位于 AD段上. m
解:
T 1. 实心圆轴的最大切应力.
Wt
d
3
16
d
max
T Wt
16T
d
3
2. 空心圆轴的最大切应力. T
d1 d1 2 1 W1t 16 d1
3 4
d1/ 2 d1
1max
T W1t
16T 1 d1 1 2
( )
d dx
r
max
圆轴横截面上的切应变沿半径ρ方向线性变化， 在圆心处为零，在外表面达到最大值。
第7章 杆件的扭转
(2)物理关系 已知
剪切胡克定律
G
d dx
d dx
G G
O
第7章 杆件的扭转
物理关系
G G
15.9
第7章 杆件的扭转
7.3 切应力互等定理、剪切胡克定律
1. 薄壁圆管的扭转 薄壁圆管
R—平均半径
弹性力学课件07-杆件的扭转
15
x 0
三、位移分量：
u x x v y y
x 0
不计刚体位移
y 0
z 0
xy 0
zy
zx
1 G x
u yz v zx
为单位长度的相对扭转角
z
w z
v u x y w v y z u w z x
2
弹性解：
x y z t xy 0
Mx t zy Ip
t zx
My Ip
(1 ) t zx
2
2 0 zx
2 2 2 2 2 2 2 x y z
4
2. 应变分量： x y z t xy 0
A
3
用应力表示的相容方程：
2 (1 ) x 0 2 x 2 2 (1 ) y 0 2 y 2 2 (1 ) z 0 2 z 2 2 (1 ) t xy 0 xy 2 (1 ) 2t yz 0 yz
12
2 2 2 2 2 2 2 x y z
边界条件：
侧面：
l dy dx ,m ,n 0 ds ds
o
dx dy ds
x
l x mt yx nt zx 0 lt xy m y nt zy 0 lt xz mt yz n z 0
l x m t yx nt zx Fx lt xy m y nt zy F y lt xz m t yz n z Fz
A A
侧面： 端面：
x y l ,m ,n 0 R R
l 0, m 0, n 1
x 0
三、位移分量：
u x x v y y
x 0
不计刚体位移
y 0
z 0
xy 0
zy
zx
1 G x
u yz v zx
为单位长度的相对扭转角
z
w z
v u x y w v y z u w z x
2
弹性解：
x y z t xy 0
Mx t zy Ip
t zx
My Ip
(1 ) t zx
2
2 0 zx
2 2 2 2 2 2 2 x y z
4
2. 应变分量： x y z t xy 0
A
3
用应力表示的相容方程：
2 (1 ) x 0 2 x 2 2 (1 ) y 0 2 y 2 2 (1 ) z 0 2 z 2 2 (1 ) t xy 0 xy 2 (1 ) 2t yz 0 yz
12
2 2 2 2 2 2 2 x y z
边界条件：
侧面：
l dy dx ,m ,n 0 ds ds
o
dx dy ds
x
l x mt yx nt zx 0 lt xy m y nt zy 0 lt xz mt yz n z 0
l x m t yx nt zx Fx lt xy m y nt zy F y lt xz m t yz n z Fz
A A
侧面： 端面：
x y l ,m ,n 0 R R
l 0, m 0, n 1
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
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但翘曲是自由的 在自由扭转条件下，因杆扭转不受阻碍，所以各段面 的翘
曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且 仍为直线。
②应力分布不同
狭长矩形断面的变形及应力分布
尺度比：
如图：狭长矩形断面（矩形段面长边或高度h 与短边或高度t之比为大于5）的扭率：
变形
φ' M t GJ
称为断面的“扭转惯性矩”
Mt
Mt
x
dx
l
断面最大剪应力为：
m ax
Mtr J
（3-1）
式中 M t 为扭矩，r d / 2为
断面半径，Jd4 / 32为
断面的“极惯性矩”
max
设 为杆的扭角，则单位长
度的扭角d / dx 即扭矩为：
d Mt
dx
GJ
（3-2）
如图：内径为和外径为 d=2r 和 D=2R的空心圆 断面
时可以自由变形。翘曲一致。
非自由扭转 如果杆在受到扭矩作用后，由于支座 或其他约束存在使它在扭转时不能自
（约束扭转）：由变形 。翘曲不一致
（2）按杆件断面形状划分为：
圆断面杆的扭转、非圆断面杆的扭转
薄壁杆件扭转
开口、闭口薄壁杆件扭转
圆断面杆的自由扭转
研究杆件的扭转问题就是在给定的扭矩下求出杆件的扭转应力与变 形（扭角）。满足刚周边假定条件。如下图：最简单的等断面圆杆
在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一 刚体一样发生平面运动，断面在扭转时各组成部分的扭角相同。
，
工字形断面在扭转后的变形情况:
φ'1 φ'2 φ'3
截面的变形条件
整个工字形断面的扭矩满足力的平衡条件
M t1M t2M t3M t 截面的力平衡条件
截面的力平衡条件
M t1M t2M t3M t
f t
如图：一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩 轴为型心轴。
z
Mt o
x
y
ds dx
Mt x
M t作用而发生扭转。X
fdx
fds
f f dxds x
f
f s
剪流为： 式中 A D12 / 4
t Mt D1t Mt J 2 2A
为薄壁管壁中心线所包围的面积
（3-4）
非圆断面的自由扭转
与圆截面自由扭转的最大区别：
①翘曲问题
如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征 有所不同，其主 要差别在扭转时段面不在保持 平面而发生“翘曲”(warping)
应力分布及最大剪应力
J 1 ht3 3
断面在长边周界中点的剪应力最大，为：
τ max
M tt J
3M t ht2
§3-2 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件的定义
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
薄壁杆件的划分： ①开口薄壁杆件
②闭口薄壁杆件
本章学习的目的：
求解位移及应力
开口薄壁杆件的自由扭转
一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转。 在自由扭转时，杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图（a）：工字 形梁扭转时的变形情况。
§3-1 直杆的扭转
基本概念 （1）何谓直杆扭转 直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向相 反的力矩（扭矩）作用，则发生扭转。 （2） 一般直杆扭转变形的特点
① 截面发生扭转变形
② 截面有可能发生翘曲
（3） 直杆扭转划分
（1）按翘曲变形是否受约束划分：
自由扭转与非自由扭转
自由扭转 如果一等断面杆仅在两端受到扭矩作 （纯扭转）： 用，并不受其他任何约束，杆在扭转
Mt1
M t J1 J
Mt2
MtJ2 J
Mt3
MtJ3 J
M t1M t2M t3M t
M JtJ1M JtJ2M JtJ3Mt
截面的总扭转惯性矩
J J 1 J 2 J 31 3 h 1 t1 3 1 3 h 2 t2 3 1 3 h 3 t3 3
推广到一般（n个狭长矩形）：考虑到实际中 薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过圆 角连成一体，因此刚度略为增加，所以惯性 矩一般公式为：
变形条件
Mt1 Mt2 Mt3 Mt GJ1 GJ2 GJ3 GJ
每个狭长矩形承担的扭矩
Mt1
J1Mt J
Mti
JiMt J
式中：
J1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3
h1
t，13
J2
1 3
h，2 t 23
J3
1 3；h3
t
3 3
提示: 截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进行分配， 刚度较大的矩形，承受较大的扭矩。
右图为工字形断面在自由扭转时的 剪应力分布情况
其分布规律为： 沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线 处为零。
任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作 是狭长矩 形断面组合的结果（图a），故其扭转惯性矩亦可用公式 （3-9）推广得到：
t
J 1 sl t 3ds
30
s1
式中s为沿薄壁断面中心线的坐标;s1为薄壁断面的 长度。
开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比 例,因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即 开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄 壁增加，抗扭能力大大增加。
：
闭口薄壁杆件的自由扭转
其主要特征是：
杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。 用 f 表示。
t 因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，
极惯性矩为： 内径及外径处的 剪应力分别为：
J D4d4 32
r
Mtr J
及RM JtR
如图可见断面剪力分布
对于薄壁杆件， r 与R相差不大，可近似认为 r 与 R差不多相等
由此：
J D4d4 32
4D13t
（3-3）
式中 D 1(Dd)/2为薄壁管壁厚中心线的直径；t(Dd)/2 为壁厚
J
a 3
n i1
hi
t
3 i
(3-9)
hi与ti分别为第个狭长矩形断面的长边与短 边的长度，系数 与型钢断面形状有关
截面上的应力分布：
max1
Mt1t1 J1
J1M t J
t1 J1
M t t1 J
maxi
Mtiti Ji
Mtti J
截面上最大应力出现在厚度最大的矩形的长边中点处。
可见梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为 平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。
变形的基本假定条件
刚周边假定： 薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但(b在) 小变
形情况下可以假定杆件扭转后在其原来平面中的投影 形状与原断面形状相同，即 “刚周边假定”。
假定条件对分析产生的影响：
曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且 仍为直线。
②应力分布不同
狭长矩形断面的变形及应力分布
尺度比：
如图：狭长矩形断面（矩形段面长边或高度h 与短边或高度t之比为大于5）的扭率：
变形
φ' M t GJ
称为断面的“扭转惯性矩”
Mt
Mt
x
dx
l
断面最大剪应力为：
m ax
Mtr J
（3-1）
式中 M t 为扭矩，r d / 2为
断面半径，Jd4 / 32为
断面的“极惯性矩”
max
设 为杆的扭角，则单位长
度的扭角d / dx 即扭矩为：
d Mt
dx
GJ
（3-2）
如图：内径为和外径为 d=2r 和 D=2R的空心圆 断面
时可以自由变形。翘曲一致。
非自由扭转 如果杆在受到扭矩作用后，由于支座 或其他约束存在使它在扭转时不能自
（约束扭转）：由变形 。翘曲不一致
（2）按杆件断面形状划分为：
圆断面杆的扭转、非圆断面杆的扭转
薄壁杆件扭转
开口、闭口薄壁杆件扭转
圆断面杆的自由扭转
研究杆件的扭转问题就是在给定的扭矩下求出杆件的扭转应力与变 形（扭角）。满足刚周边假定条件。如下图：最简单的等断面圆杆
在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一 刚体一样发生平面运动，断面在扭转时各组成部分的扭角相同。
，
工字形断面在扭转后的变形情况:
φ'1 φ'2 φ'3
截面的变形条件
整个工字形断面的扭矩满足力的平衡条件
M t1M t2M t3M t 截面的力平衡条件
截面的力平衡条件
M t1M t2M t3M t
f t
如图：一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩 轴为型心轴。
z
Mt o
x
y
ds dx
Mt x
M t作用而发生扭转。X
fdx
fds
f f dxds x
f
f s
剪流为： 式中 A D12 / 4
t Mt D1t Mt J 2 2A
为薄壁管壁中心线所包围的面积
（3-4）
非圆断面的自由扭转
与圆截面自由扭转的最大区别：
①翘曲问题
如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征 有所不同，其主 要差别在扭转时段面不在保持 平面而发生“翘曲”(warping)
应力分布及最大剪应力
J 1 ht3 3
断面在长边周界中点的剪应力最大，为：
τ max
M tt J
3M t ht2
§3-2 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件的定义
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
薄壁杆件的划分： ①开口薄壁杆件
②闭口薄壁杆件
本章学习的目的：
求解位移及应力
开口薄壁杆件的自由扭转
一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转。 在自由扭转时，杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图（a）：工字 形梁扭转时的变形情况。
§3-1 直杆的扭转
基本概念 （1）何谓直杆扭转 直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向相 反的力矩（扭矩）作用，则发生扭转。 （2） 一般直杆扭转变形的特点
① 截面发生扭转变形
② 截面有可能发生翘曲
（3） 直杆扭转划分
（1）按翘曲变形是否受约束划分：
自由扭转与非自由扭转
自由扭转 如果一等断面杆仅在两端受到扭矩作 （纯扭转）： 用，并不受其他任何约束，杆在扭转
Mt1
M t J1 J
Mt2
MtJ2 J
Mt3
MtJ3 J
M t1M t2M t3M t
M JtJ1M JtJ2M JtJ3Mt
截面的总扭转惯性矩
J J 1 J 2 J 31 3 h 1 t1 3 1 3 h 2 t2 3 1 3 h 3 t3 3
推广到一般（n个狭长矩形）：考虑到实际中 薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过圆 角连成一体，因此刚度略为增加，所以惯性 矩一般公式为：
变形条件
Mt1 Mt2 Mt3 Mt GJ1 GJ2 GJ3 GJ
每个狭长矩形承担的扭矩
Mt1
J1Mt J
Mti
JiMt J
式中：
J1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3
h1
t，13
J2
1 3
h，2 t 23
J3
1 3；h3
t
3 3
提示: 截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进行分配， 刚度较大的矩形，承受较大的扭矩。
右图为工字形断面在自由扭转时的 剪应力分布情况
其分布规律为： 沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线 处为零。
任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作 是狭长矩 形断面组合的结果（图a），故其扭转惯性矩亦可用公式 （3-9）推广得到：
t
J 1 sl t 3ds
30
s1
式中s为沿薄壁断面中心线的坐标;s1为薄壁断面的 长度。
开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比 例,因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即 开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄 壁增加，抗扭能力大大增加。
：
闭口薄壁杆件的自由扭转
其主要特征是：
杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。 用 f 表示。
t 因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，
极惯性矩为： 内径及外径处的 剪应力分别为：
J D4d4 32
r
Mtr J
及RM JtR
如图可见断面剪力分布
对于薄壁杆件， r 与R相差不大，可近似认为 r 与 R差不多相等
由此：
J D4d4 32
4D13t
（3-3）
式中 D 1(Dd)/2为薄壁管壁厚中心线的直径；t(Dd)/2 为壁厚
J
a 3
n i1
hi
t
3 i
(3-9)
hi与ti分别为第个狭长矩形断面的长边与短 边的长度，系数 与型钢断面形状有关
截面上的应力分布：
max1
Mt1t1 J1
J1M t J
t1 J1
M t t1 J
maxi
Mtiti Ji
Mtti J
截面上最大应力出现在厚度最大的矩形的长边中点处。
可见梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为 平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。
变形的基本假定条件
刚周边假定： 薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但(b在) 小变
形情况下可以假定杆件扭转后在其原来平面中的投影 形状与原断面形状相同，即 “刚周边假定”。
假定条件对分析产生的影响：