相似三角形专题动点问题

相似三角形应用专题（二）

动态几何中的相似三角形

例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点

M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段

CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）

． （1）当MN AB ∥时，求t 的值；

（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．

变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当

3

1

=

∆∆ABC

BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，

求出AP 的长；若不能，请说明理由。

N

C

M

B

变式练习1-2：如图，已知直线l的函数表达式为

4

8

3

y x

=-+，且l与x轴，y轴分别交于A B

，两点，

动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q P

，移动的时间为t秒．

（1）求出点A B

，的坐标；

（2）当t为何值时，APQ

△与AOB

△相似？

（3）求出（2）中当APQ

△与AOB

△相似时，线段PQ所在直线的函数表达式．

图-2

A

D O B

C 2 1

M

N

图-1

A

D B

M N

1 2 图-3

A

D O B

C 2

1

M

N O

例题讲解二：在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；

（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图3，求AC

BD

的值．

变式练习2-1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90 当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN＝3PM．（不需证明）

当PC＝2P A，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．

变式练习2-2：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2＋CE2=DE2.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

例题讲解三：如图１，PMN Rt △中，90P ∠=，PM PN =，8MN =cm ，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上．令PMN Rt △不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图２）

，直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与PMN △重叠部分的面积为y 2

cm ．求y 与x 之间的函数关系式．

A

B D

P

N

２ ２

图２

图１

A B D

P

N

C (M ) ２ ２

图２

图１

变式练习3-1：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，45A =∠，10cm AB =，4cm CD =．等腰直角三角形PMN 的斜边10cm MN =，A 点与N 点重合，MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形

ABCD 不动，等腰直角三角形PMN 沿AB 所在直线以1cm/s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重

合为止．

（1）等腰直角三角形PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状由形变化为形； （2）设当等腰直角三角形PMN 移动(s)x 时，等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为2

(cm )y ，求y 与x 之间的函数关系式；

（3）当4(s)x =时，求等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积．

A （N ）

M

P

A

N

M

P

B

A （N ）

M

P

A N

M P

B