江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

溧阳市2020~2021学年度第一学期期末质量调研测试高一数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{0,1,2}A =，1{1,}B x=，若A B B =，则实数x 的值为（ ）A. 12B. 0C. 1D. 2A由A B B =，得到12x=，即可求解. 由题意，集合{0,1,2}A =，1{1,}B x=，因为A B B =，所以12x =，可得12x =.故选：A.2. 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( ) A. 135平方米 B. 270平方米 C. 540平方米 D. 1080平方米B直接利用扇形面积计算得到答案.根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.故选：B. 本题考查了扇形面积，属于简单题.3. 已知tan 2α=，则sin cos αα的值是（ ）A. 25-B.25 C. 85-D.85B利用22sin cos 1αα+=，得到2222222sin cos sin cos tan cos sin cos sin cos sin cos tan 1cos αααααααααααααα===+++，代入即可求解.解：22222222sin cos sin cos tan 22cos sin cos sin cos sin cos tan 1215cos αααααααααααααα=====++++.故选：B .4. 已知m 是函数()22x f x x =-+的零点，则实数m ∈（ ） A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4B将条件转化为y x =与22x y =-的交点的横坐标，作图观察，得答案.函数()22xf x x =-+的零点，等价于y x =与22x y =-的交点的横坐标，作图可知两函数的交点横坐标的范围在()1,2故选：B本题考查函数零点问题，常见于转化为两基本函数的交点的横坐标处理，属于中档题. 5. 已知角α的终边经过点13(3,4tan ),4P π-则sin α的值为（ ） A. 35B.35 C. 45-D.45D先根据诱导公式求出P 点的坐标，再根据三角函数的定义即可求出sin α的值. 解：134tan4tan 34tan 4444ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ()3,4P ∴-，根据三角函数的定义得到：()22345r =-+=，4sin 5α∴=.故选：D . 6. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（ ） A. 60万元 B. 160万元C. 200万元D. 240万元D根据题意可得到一年的总运费与总存储费用和的表达式，再根据基本不等式即可求出. 解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用和为：6003600360064424240x x x x x x⨯+=+≥⋅=(万元)， 当且仅当“36004x x=”即“30x =”时取等号.故选：D . 7. 在平面直角坐标系中，AB 是单位圆上的一段弧(如右图)，点P 是圆弧AB 上的动点，角α以Ox 为始边，OP 为终边．以下结论正确的是（ ）A. tan α<cos α<sin αB. cos α<tan α<sin αC. sin α<cos α<tan αD. 以上答案都不对D根据三者的符号可得sin cos ,sin tan αααα>>，利用作差法可得tan ,cos αα大小关系不确定，从而可得正确的选项.由题设可得AB 上的动点P 的坐标为()cos ,sin αα且()()1122cos ,sin ,cos ,sin A B θθθθ， 其中122πθαθπ<<<<，12324ππθθπ<<<<， 注意到当13,4παθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，tan 1α≤-，故按如下分类讨论：若1324ππθα<<≤，则sin 0,cos 1,tan 1ααα>>-≤-， 故sin cos tan ααα>>. 若234παθ<≤，则sin 0,cos 0,tan 0ααα><<，且220sin sin 2θα<≤< 所以222221sin sin 1sin sin 1θθαα-+-≤+-<，因为234πθπ<<，故20sin 2θ<<，故22211sin sin 12θθ-<+-<， 所以222sin sin 1θθ+-有正有负，所以2sin sin 1αα+-有正有负，而2sin sin 1tan cos cos ααααα+--=，cos 0α<，故tan cos αα-有正有负，故tan ,cos αα大小关系不确定.故选：D.方法点睛：三角函数式的大小比较，可先依据终边的位置判断出它们的符号，也可以利用作差作商法来讨论，注意根据三角函数值的范围确定代数式的符号.8. 已知定义在R 上的函数y =f (x )对任意的x 都满足f (x +2)=f (x )，当-1≤x <1时，2()f x x =．若函数g (x )=f (x )-a |x |有5个不同零点，则a 的取值范围是（ ）A. 103⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 113⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. 113⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 112⎛⎫⎪⎝⎭， B问题转化为()f x 的图象与y a x =的图象有5个交点，y a x =是偶函数，()f x 是周期为2的周期函数，作出()f x 的图象与y a x =的图象，由观察图象可得不等关系得结论． 由题意()()g x f x a x =-有5个解，即函数()y f x =和y a x =的图象有5个交点， 因为f (x +2)=f (x )，所以()f x 是周期为2的周期函数， 当-1≤x <1时，2()f x x =，图象关于y 轴对称，过原点， 当1≤x <3时，()2()2f x x =-，y a x =是偶函数，图象关于y 轴对称，过原点，作出()y f x =和y a x =的图象，如图，它们有5个交点时，0a >， 根据对称性，可知，0x >时两个图象要有两个交点，y ax =直线在OA OB 、之间，即在(1,1)A 点下方，在(3,1)B 点上方，则131a a <⎧⎨>⎩，解得113a <<，故选：B .方法点睛：本题考查函数零点个数问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，然后作出两个函数的图象，由图象观察所需同条件求得结论．考查了数形结合思想．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9. 下列命题中的真命题是（ ） A. 1,20x x R -∀∈>B. *2,(1)0x N x ∀∈->C. lg 2x R x ∃∈<，D. ,tan 2x R x ∃∈=ACD对A ，D ，可由对应的函数进行判断；对B ，C ，可由特殊值进行判断. 解：对A ，1x R -∈，根据指数函数的值域为()0,∞+， 即120x y -=>，故A 正确；对B ，当1x =时，2(1)0x -=，故B 错误； 对C ，当10x =时，lg1012=<，故C 正确； 对D ，tan y x =的值域为(),-∞+∞，故,tan 2x R x ∃∈=，D 正确.故选：ACD.10. 已知函数()2sin(4),4f x x π=+将()f x 的图像向右平移16π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则下列命题正确的是（ ） A. ()y g x =是偶函数B. 函数()g x 的单调递减区间为3[,]()44k k k Z ππππ++∈ C. 直线()4x k k Z ππ=+∈是函数()g x 的图象的对称轴 D. 函数()g x 在5[0,]8π上的最小值为2- BD先根据图像的平移变换以及伸缩变换求出()g x ，对A ，利用函数奇偶性的定义即可证明；对B ，根据sin y x =的单调性，整体代入即可求出()g x 的单调递减区间；对C ，根据sin y x =的对称轴，整体代入即可求出()g x 的对称轴；对D ，根据5[0,]8x π∈以及sin y x =的值域即可求出()g x 在5[0,]8π上的最小值. 解：将()f x 的图像向右平移16π个单位长度得到2sin 42sin(4)164x x ππ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 再把得到的曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到2sin2x ， 故()()2sin 2g x x =，对A ，()()2sin 2g x x =的定义域为R 关于原点对称， 且()()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-， 故()y g x =是奇函数，即A 错误； 对B ，令()3222,22k x k k z ππππ+≤≤+∈， 解得：()3,44k x k k z ππππ+≤≤+∈， 故()g x 的单调递减区间为3[,]()44k k k Z ππππ++∈，即B 正确； 对C ，令()2,2x k k z ππ=+∈， 解得：(),42k x k z ππ=+∈， 故()g x 的对称轴为：(),42k x k z ππ=+∈，即C 错误； 对D ，当5[0,]8x π∈时，520,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()2sin 2g x x ⎡⎤=∈⎣⎦，故()g x 在5[0,]8π上的最小值为D 正确.故选：BD. 11. 设a >1，b >1，且ab -(a +b )=2，那么（ ）A. a +b 有最小值1)B. a +b 有最小值21)C. ab 有最小值4+D. ab 有最大值4+AC利用基本不等式构建关于+a b 的不等式后可求+a b 的最小值和ab 的最小值. 因为()2ab a b -+=，故()2ab a b =++且()()224a b a b +++≤，整理得到()()2480a b a b +-+-≥，故2a b +≥+或2a b +≤-，当且仅当1a b ==+故+a b 有最小值2+，所以ab 有最小值4+，故选：AC.12. 函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利､欧拉等人的改译，1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数，德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”．下列对应法则f 满足函数定义的有（ ） A. f (2x -)=x B. 2(sin )2cos 1f x x =- C. f (sin x )=x D. 2(2)|1|f x x x +=+BD根据题设中函数的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，令2t x =-，可得2x t =±，则()2f t t =±，所以不满足函数的定义，所以A 不正确；对于B 中，令sin t x =，则22cos 1x t =-，则22()2(1)112f t t t =--=-，满足函数的定义，所以B 正确；对于C 中，对于每一个sin x 的值都有多个x 值与之相对应，所以()sin f x x =不满足函数的定义，所以C 不正确；对于D 中，由于函数222(1)1y x x x =+=+-中的每一个值，都有唯一的一个1x +与之对应，所以2(2)|1|f x x x +=+满足函数的定义，所以D 正确.故选：BD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡指定位置上． 13. 函数2()log (21)f x x =+的定义域是____________．．要使函数有意义需满足210x +>，解得12x >-，故函数()()2log 21f x x =+的定义域是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，故答案为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.14. 已知正数x ，y 满足1x y +=，则11x y+的最小值为_____． 4由1x y +=，知()12111y xx y x x x y y y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式即可求解.解：1x y +=，()1122112141y x y x y xx y x x y y x y x y x y ⎛⎫∴+=+⋅+=+++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当“y x x y =”，即“12x y ==”时取等号.故答案为：4.15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t (单位：年)的衰变规律满足．5730002(tN N N -=⋅表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至1,2据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到_____年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48) (1).12(2). 6876把5730t =代入573002t N N -=⋅，即可求出；再令3573072t ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出t 的范围． ∵573002t N N -=⋅，∴当5730t =时，100122N N N -=⋅=， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12， 由题意可知：5730327t ->， 两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->， ∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2t -->=≈-， 6876t ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间． 故答案为：12；6876． 关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由5730327t ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lg lg3lg 775730lg 2lg 2t -->=，属于中档题.16. 如图，直线l 是函数y x =的图象，曲线C 是函数12log y x =图象，1P 为曲线C 上纵坐标为1的点．过1P 作y 轴的平行线交l 于2,Q 过2Q 作y 轴的垂线交曲线C 于2P ；再过2P 作y 轴的平行线交l 于点Q 3，过Q 3作y 轴的垂线交曲线C 于3P ；…设点123,,,,P P P n P 的横坐标分别为123,,,,.n x x x x 若201812log ,x a =则2020x =_____(用a 表示)12a⎛⎫ ⎪⎝⎭设()n n n P x y ，，过n P 作y 轴的平行线交l 于1,n Q +则()1n n n x Q x +，，过1n Q +作y 轴的垂线交曲线C于1n P +，则()11n n n x P x ++，，所以12+1log n n x x =，即+112nx n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由201812log ,x a =则21log 201912ax a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而可得答案.1P 为曲线C 上纵坐标为1的点，则11,12P ⎛⎫⎪⎝⎭过1P 作y 轴的平行线交l 于2,Q 则21122Q ⎛⎫⎪⎝⎭，过2Q 作y 轴的垂线交曲线C 于2P ，设2212P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则1221log 2x =，则12212x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1221122P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 过2P 作y 轴的平行线交l 于3,Q 则112231122Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 过3Q 作y 轴的垂线交曲线C 于3P ，设123312P x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则121321log 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1212312x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设()n n n P x y ，，过n P 作y 轴的平行线交l 于1,n Q +则()1n n n x Q x +，过1n Q +作y 轴的垂线交曲线C 于1n P +，则()11n n n x P x ++，， 所以12+1log n n x x =，即+112nx n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭由201812log ,x a =则21log 201912ax a ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以201920201122a ax ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：12a⎛⎫⎪⎝⎭关键点睛：本题考查数列的递推公式的推导，解答本题的关键是先计算出点123,,,P P P 的坐标得出一般的处理方法，再设()n n n P x y ，，过n P 作y 轴的平行线交l 于1,n Q +则()1n n n x Q x +，过1n Q +作y 轴的垂线交曲线C 于1n P +，则()11n n n x P x ++，，所以12+1log n n x x =，即+112nx n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，属于中档题.四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. （13,=求1a a -+的值： （2）计算：2552lg 4lg log 5log 4.8++⋅（1）7； （2）3. （13=，平方即可求得1a a -+的值； （2）由对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解. （13=，平方可得2129a a -=++=，解得17a a -+=. （2）由对数运算法则，可得22525552lg 4lg log 5log 4(lg 4lg )log 5log 488++⋅=++⋅2222log 45lg(16)log 5lg10log 41238log 5=⨯+⋅=+=+=.18. 已知集合{|1216},x A x =≤≤{}|2B x m x m =≤≤+． （1）若3m =，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求m 的取值范围． （1）{}05A B x x ⋃=≤≤；（2）[]0,2（1）先求出集合,A B ，再根据集合间的基本运算即可求出A B ；（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，得到B A ⊆，再根据集合间的包含关系求解即可. 解：（1）由1216x ≤≤， 得04222x ≤≤， 解得：04x ≤≤， 故{|04}A x x =≤≤，当3m =时，{}|35B x x =≤≤，{}05A B x x ∴⋃=≤≤；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 即B A ⊆， 由题意知：B ≠∅， 故{024m m ≥+≤，解得：02m ≤≤， 故[]0,2m ∈.19. 已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 的图象可由4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为.2π（1）请写出满足()f x 的这两个条件序号，并说明理由； （2）求出()f x 的解析式；（3）求方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和．（1）满足①③，理由见解析；（2）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）23π.（1）根据条件②得出函数()f x 的最大值以及该函数图象的相邻对称轴之间的距离，进而可得出结论；（2）根据条件①求得A 的值，根据条件②可求得ω的值，由此可确定函数()f x 的解析式； （3）由x ππ-≤≤，可得11132666x πππ-≤+≤，再由()10f x +=可得出1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可解得该方程在区间[],ππ-上的所有解，由此可得出结果. （1）若满足条件②，则函数()f x ，①不满足， 函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为22ππ=，②不满足. 因此，函数()f x 满足条件的序号为①③；（2）由（1）可知，()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⨯=，22Tπω∴==， 所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）由()12sin 2106f x x π⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，可得1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. x ππ-≤≤，则11132666x πππ-≤+≤， 所以，5266x ππ+=-或ππ266x 或7266x ππ+=或11266x ππ+=，解得2x π=-或6x π=-或2x π=或56x π=，因此，方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和为5226263πππππ--++=. 方法点睛：通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是()0,π，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．20. 已知函数2()21x x af x +=+为奇函数．（1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）解关于m 的不等式2(2)(3)0.f m f m +-≥（1）1a =-；（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析；（3）[)3,1,2m ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦（1）根据()f x 为R 上的奇函数，即可求出a ，再代入验证即可； （2）利用函数单调性的定义即可证明；（3）根据()f x 为奇函数且在R 单调递增即可解出不等式的解集. 解：（1）2()21x x af x +=+的定义域为R 且为奇函数，()002100212a af ++∴===+，解得：1a =-，此时，()2121x x f x -=+，经检验，()()12211221221122xx x x x xxx f x f x ------====-+++为奇函数， 故1a =-；（2）设任意的12,x x R ∈，且12x x <， 则()()12f x f x -121221212121x x x x --=-++ ()()()()()()121212212121212121x x x x x x -⋅+-+⋅-=+⋅+()()()()1212122112222122212121x x x x x x x x x x +---+--=+⋅+()()121222222121x x x x ⨯-⨯=+⋅+()()()12122222121x x x x ⨯-=+⋅+ ，12x x <，1222x x ∴<，即12220x x -<，()()1221210x x+⋅+>，即()()()121222202121x x x x ⨯-<+⋅+，即()()120f x f x -<，()()12f x f x <，即对任意的12x x <，都有()()12f x f x <， 故()f x 在R 上单调递增； （3）2(2)(3)0f m f m +-≥，即2(2)(3)f m f m ≥--， 又()f x 为奇函数，()()33f m f m ∴--=-， 即2(2)(3)f m f m ≥-， 又()f x 在R 上单调递增，223m m ∴≥-，即 2230m m +-≥，解得：32m ≤-或m 1≥，即原不等式的解集为：[)3,1,2m ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <，2.作差：计算()()12f x f x -，3.定号：确定()()12f x f x -的正负，4.得出结论：根据同增异减得出结论.21. 随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难"问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD 的值．(精确到0.1m)(下列数据提供参考：sin 200.3420,cos 200.9397,tan 200.3640︒︒︒===)（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD ，它的宽AD 为1.8米，直线CD 与直角车道的外壁相交于E ､F ．①若小汽车卡在直角车道内(即点A ､B 分别在PE ､PF 上，点O 在CD 上)∠P AB =θ(rad)，求水平截面的长(即AB 的长，用θ表示)②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？ 备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用． 结论1sin cos 2)4πθθθ+=+；结论2若函数f (x )和函数g (x )都在区间I 上单调递增，则函数f (x )+g (x )在区间I 上单调递增． （1）2.8m ；（2）能顺利通过.（1）在Rt ABE △中，求出BE 的值，再得出CE 的值，计算出CD 即可；（2）根据图形，结合三角函数的性质，表示出EF 、DE 与AB 的长，计算AB 的最小值即可判断小汽车是否能通过直角弯道．解：（1）在ABE △中，90ABE ∠=︒，20BAE ∠=︒，tan BEBAE AB∴∠=， 又10AB =，tan 10tan 20 3.640BE AB BAE ∴=⋅∠=︒=m ， 0.6BC =， 3.040CE BE BC ∴=-=m ，在CED 中，CD AE ⊥，20ECD BAE ∠=∠=︒，cos CDECD CE∴∠=， 则cos 3cos20 3.0400.94 2.8576CD CE ECD =⋅∠=︒=⨯=m ， 结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法， ∴限定高度CD 的值约为2.8m ；（2）延长CD 与直角走廊的边相交于E 、F ， 则33cos sin EF OE OF θθ=+=+，其中02πθ<<， ∴ 1.8tan DE θ=， tan 1.8tan CF BC θθ=⋅=， 又()AB DC EF DE CF ==-+，设()AB f θ=，()3311.8(tan )cos sin tan f θθθθθ∴=+-+ (sin cos ) 1.8sin cos θθθθ+-=，其中02πθ<<，设sin cos t θθ+=，则)4t πθ=+，1t <≤21sin cos 2t θθ-∴=，()()2236()6 3.6511t t f g t t t θ--∴===--26616136325()35555t t t t ==---+-- ， (1,2]t ∈，∴163625()3555m t t =--+-单调递增，则()26 3.61t g t t -=-在t ∈上是减函数， ()min 3.6 4.4g t g∴==>，∴小汽车能够顺利通过直角转弯车道.关键点点睛：本题的关键是将实际的问题进行数学建模，写出函数模型，再对其求导，求出最小值，判断小汽车可通过.22. 已知函数2()2(0)g x ax ax b a =-+>在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．函数()().g x f x x= （1）求函数g (x )的解析式；（2）若存在2[,]x e e ∈使得不等式f (ln x )-k ln x ≤0成立，求实数k 的取值范围；（3）若函数3()(|31|)2|31|xxkF x f k =-+--有三个零点，求实数k 的范围． （1）2()21g x x x =-+；（2）()0,∞+；（3）1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）根据函数()g x 的对称轴为1x =，且 0a >，得到()g x 在区间[2，3]上递增求解. （2）由（1）知：()12f x x x=+-，将存在2[,]x e e ∈，使得不等式f (ln x )-k ln x ≤0成立，转化为存在2[,]x e e ∈，使得不等式21121ln ln k x x ⎛⎫⎛⎫≥-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立求解.（3）令|31|0x u =->，将()F x 有三个零点，转化为方程()222130u k u k -+++=，有两根，且1201u u <<<或 1201,1u u <<=，利用根的分布求解.（1）因为函数2()2(0)g x ax ax b a =-+>的对称轴为1x =，且 0a >， 所以()g x 在区间[2，3]上递增，所以当3x =时，()g x 有最大值4，当2x =时，()g x 有最小值1．即(2)441(3)964g a a b g a a b =-+=⎧⎨=-+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以2()21g x x x =-+；（2）由（1）知：()()12g x f x x x x==+-， 因为存在2[,]x e e ∈，使得不等式f (ln x )-k ln x ≤0成立，所以存在2[,]x e e ∈，使得不等式21121ln ln k x x ⎛⎫⎛⎫≥-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，令11,1ln 2t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以()21k t ≥-， 因为()2min10t -=，所以 0k ≥,所以实数k 的取值范围是()0,∞+.（3）令3()(|31|)20|31|xx kF x f k =-+-=-，即 ()2|31|22|31|130x xk k --+-++=，令 |31|0x u =->，则 ()222130u k u k -+++=，因为()F x 有三个零点， 由|31|x u =- 的图象知：则方程()222130u k u k -+++=有两根不等根，且1201u u <<<或 1201,1u u <<=，令()()22213u u k u k ϕ=-+++，则()()()01301122130k k k ϕϕ⎧=+>⎪⎨=-+++<⎪⎩或()()()01301122130011k k k k ϕϕ⎧=+>⎪=-+++=⎨⎪<+<⎩， 解得103k -<<，所以实数k 的取值范围是1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；。