【典型题】高三数学上期末试题带答案

【典型题】高三数学上期末试题带答案

一、选择题

1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：

①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当

0a >且1a ≠时，1

1b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

正确的个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1

142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

，若对任意*N n ∈，都有

()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）

A ．()2,3

B ．[]2,3

C ．92,2

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．92,2⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

3．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3

A b π

==ABC ∆

则a 的值为（ ） A ．2

B

C

D ．1

4．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2

39522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )

A ．

12

B ．2 C

D

5．设,x y 满足约束条件300

2x y x y x -+≥⎧⎪

+≥⎨⎪≤⎩

, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-

B ．4

C ．3-

D ．11

6．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩

，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则

14

a b

+的最小值为（ ） A ．3

B ．

32

C ．2

D ．

52

7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则

cos2A =（ ）

A ．

78

B ．

18

C ．78

-

D ．18

-

8．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪

+-≥⎨⎪--≤⎩

则2z x y =+的最大值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．12

D ．13

9．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪

≤⎨⎪>-⎩

，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A ．

32

2

B ．5

C ．5

D ．

92

10．已知x 、y 满足约束条件50

{03

x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）

A ．6-

B ．5

C ．10

D ．10-

11．已知x ，y 均为正实数，且111226

x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20

B ．24

C ．28

D ．32

12．在R 上定义运算

：A

()1B A B =-，若不等式()

x a -()1x a +<对任意的

实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<

B ．02a <<

C ．1322

a -

<< D ．31

22

a -

<< 二、填空题

13．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合

{}53,23,19,37,82--中，则6q = .

14．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，2

1313S a =，则{a n }的首项的所

有可能值为______

15．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()

*

12n n n a a n N +=∈，则20a =________．

16．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．

17．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝

2sinC ，则边c 的值为_______．

18．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前

n 项和为n T ，则使不等式11

2020|1|13n n

T a -->成立的最大正整数n 的值是__________．

19．设122012(1)(1)(1)n n

n x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且

2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____

20．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为

1

3

的等比数列．设13521T n n a a a a L -=++++，则lim n n T →∞

=__________．(*n ∈N ) 三、解答题

21．设数列{}n a 满足()*16

4

n n n a a n a +-=

∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫

-⎨

⎬-⎩⎭

是等比数列； （Ⅱ）令1

12

n n b a =-

-，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.

22．设}{

n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.

（2）设11a =，*2()n

a n

b n N =∈，数列}{

n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有

20n T ≤，求d 的取值范围.

23．已知函数()()2

2f x x x a x R =++∈

（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；

（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。

24．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；

（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，证明：4n

T <． 26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．

（1）求cos B 的值；

（2）若

2CA CB -=u u u v u u u v ，ABC ∆

的面积为b ．

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