2020年全国中考数学试题分类汇编————压轴题
2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(二)四边形中的计算和证明综合(解析版)
2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编二、四边形中的计算和证明综合题1.（2020安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的长；（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=√2AG．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC，（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴AEDC =AF DF，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得a=1+√52或1−√52（舍去），∴AE=1+√5 2．（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠P AG＝∠P AD+∠DAG＝∠P AD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△P AG为等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG=√2AG．2.（2020黑龙江七台河）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝45°，∴∠EAN＝∠MAC＝45°，同理∠NAG＝45°，∴∠EAN＝∠NAG，∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，∴AE＝AB＝AC＝AG，∴EN＝GN．（2）如图1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立．理由：过点E 作EP ⊥AN 交AN 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，∵四边形ABDE 是正方形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAM ＝180°﹣90°＝90°，∵AM ⊥BC ，∴∠ABM +∠BAM ＝90°，∴∠ABM ＝∠EAP ，在△ABM 和△EAP 中，{∠ABM =∠EAP∠AMB =∠P =90°AB =AE，∴△ABM ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AM ，同理可得：GQ ＝AM ，∴EP ＝GQ ，在△EPN 和△GQN 中，{∠P =∠NQG∠ENP =∠GNQ EP =GQ，∴△EPN ≌△GQN （AAS ），∴EN ＝NG ．如图2，∠BAC ≠90°时，（1）中结论成立．理由：过点E 作EP ⊥AN 交AN 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，∵四边形ABDE 是正方形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAM ＝180°﹣90°＝90°，∵AM ⊥BC ，∴∠ABM +∠BAM ＝90°，∴∠ABM ＝∠EAP ，在△ABM 和△EAP 中，{∠ABM =∠EAP∠AMB =∠P =90°AB =AE，∴△ABM ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AM ，同理可得：GQ ＝AM ，∴EP ＝GQ ，在△EPN 和△GQN 中，{∠P =∠NQG∠ENP =∠GNQ EP =GQ，∴△EPN ≌△GQN （AAS ），∴EN ＝NG ．3.（2020黑龙江绥化）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ，连接BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，BG BC =k ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）求证：tan α＝k •tan β；（3）若点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AED ＝∠BF A ＝90°，∴∠ADE +∠DAE ＝90°，∵∠BAF +∠DAE ＝90°，∴∠ADE ＝∠BAF ，∴△ABF ≌△DAE （AAS ），∴AE ＝BF ；（2）在Rt △DEF 和Rt △EFB 中，tan α=EF DE ，tan β=EF BF ，∴tanαtanβ=EF DE ⋅BF EF =BF DE ．由①可知∠ADE ＝∠BAG ，∠AED ＝∠GBA ＝90°，∴△AED ∽△GBA ，∴AE GB =DE AB ，由①可知，AE ＝BF ，∴BF GB=DE AB ， ∴BF DE=GB AB ， ∵BG BC=k ，AB ＝BC ， ∴BF DE =BG AB =BG BC =k ，∴tanαtanβ=k ．∴tan α＝k tan β．（3）∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AED ＝∠BF A ＝90°，∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图．∵AB＝AD＝4，∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB=14×4×4＝4．4.（2020湖南长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠F AE＝β，求tanα+tanβ的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF ∽△FCE ．（2）设EC ＝x ，由翻折可知，AD ＝AF ＝4，∴BF =√AF 2−AB 2=√16−12=2，∴CF ＝BC ﹣BF ＝2，∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF =BF EC ，∴2√32=2x， ∴x =2√33，∴EC =2√33． （3）∵△ABF ∽△FCE ，∴AF EF =AB CF ，∴tan α+tan β=BF AB +EF AF =BF AB +CF AB =BF+CF AB =BC AB ， 设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝x ，∴AE ＝DE +2CE ＝x +2（a ﹣x ）＝2a ﹣x ，∵AD ＝AF ＝b ，DE ＝EF ＝x ，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴BF =√b 2−a 2，CF =√x 2−(a −x)2=√2ax −a 2，∵AD 2+DE 2＝AE 2，∴b 2+x 2＝（2a ﹣x ）2，∴a 2﹣ax =14b 2，∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF =BF EC， ∴22=√b 2−a 2a−x ，∴a 2﹣ax =√b 2−a 2•√2ax −a 2，∴14b 2=√b 2−a 2•√a 2−12b 2， 整理得，16a 4﹣24a 2b 2+9b 4＝0，∴（4a 2﹣3b 2）2＝0，∴b a =2√33， ∴tan α+tan β=BC AB =2√33．5.（2020江苏连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若BE ＝2，PF ＝6，△AEP 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2，则S 1+S 2＝ 12 ；（2）如图2，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PFCG 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD 的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（3）如图3，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作EF ∥AD ，HG ∥AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PGCF 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、BĈ围成的封闭图形的面积为S1，P A、PD、AD̂围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△P AC 的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）．【解答】解：（1）如图1中，过点P作PM⊥AD于M，交BC于N．∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC，∴四边形AEPM，四边形MPFD，四边形BNPE，四边形PNCF都是矩形，∴BE＝PN＝CF＝2，S△PFC=12×PF×CF＝6，S△AEP＝S△APM，S△PEB＝S△PBN，S△PDM＝S△PFD，S△PCN＝S△PCF，S△ABD＝S△BCD，∴S矩形AEPM＝S矩形PNCF，∴S1＝S2＝6，∴S1+S2＝12，故答案为12．（2）如图2中，连接P A，PC，在△APB中，∵点E是AB的中点，∴可设S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF＝d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝a+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDG＝a+b+c+d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝S四边形PEBF+S四边形PHDG＝S1+S2，∴S△ABD=12S平行四边形ABCD＝S1+S2，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1．（3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，∴S四边形EBGP＝2S△EBP，S四边形HPFD＝2S△HPD，∴S△ABD=12S平行四边形ABCD=12（S1+S2+2S△EBP+2S△HPD）=12（S1+S2）+S△EBP+S△HPD，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△EBP+S△HPD）=12（S2﹣S1）．（4）如图4﹣1中，结论：S2﹣S1＝S3+S4．理由：设线段PB，线段P A，弧AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y．由题意：S1+x+S4＝S1+y+S3，∴x﹣y＝S3﹣S4，∵S1+S2+x+y＝2（S1+x+S4），∴S2﹣S1＝x﹣y+2S4＝S3+S4．同法可证：图4﹣2中，有结论：S1﹣S2=S3+S4．图4﹣3中和图4﹣4中，有结论：|S1﹣S2|＝|S3﹣S4|．6.（2020江苏苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，P A＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，P A＝PD，∠APD＝90°．求AB+CD的值．BC【解答】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP +∠APB ＝90°，∠APB +∠DPC ＝90°，∴∠BAP ＝∠DPC ，又P A ＝PD ，∠B ＝∠C ＝90°，∴△BAP ≌△CPD （AAS ），∴BP ＝CD ，AB ＝PC ，∴BC ＝BP +PC ＝AB +CD ；（2）如图2，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，由（1）可知，EF ＝AE +DF ，∵∠B ＝∠C ＝45°，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠B ＝∠BAE ＝45°，∠C ＝∠CDF ＝45°，∴BE ＝AE ，CF ＝DF ，AB =√2AE ，CD =√2DF ，∴BC ＝BE +EF +CF ＝2（AE +DF ），∴AB+CD BC =√2(AE+DF)=√22． 7.（2020江苏泰州）如图，正方形ABCD 的边长为6，M 为AB 的中点，△MBE 为等边三角形，过点E 作ME 的垂线分别与边AD 、BC 相交于点F 、G ，点P 、Q 分别在线段EF 、BC 上运动，且满足∠PMQ ＝60°，连接PQ ．（1）求证：△MEP ≌△MBQ ．（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，AM＝BM＝3，∵△MBE是等边三角形，∴MB＝ME＝BE，∠BME＝∠PMQ＝60°，∴∠BMQ＝∠PME，又∵∠ABC＝∠MEP＝90°，∴△MBQ≌△MEP（ASA）；（2）PF+GQ的值不变，理由如下：如图1，连接MG，过点F作FH⊥BC于H，∵ME＝MB，MG＝MG，∴Rt△MBG≌Rt△MEG（HL），∴BG＝GE，∠BMG＝∠EMG＝30°，∠BGM＝∠EGM，∴MB=√3BG＝3，∠BGM＝∠EGM＝60°，∴GE=√3，∠FGH＝60°，∵FH⊥BC，∠C＝∠D＝90°，∴四边形DCHF是矩形，∴FH＝CD＝6，∵sin∠FGH=FHGF=√32=6FG，∴FG＝4√3，∵△MBQ≌△MEP，∴BQ＝PE，∴PE＝BQ＝BG+GQ，∵FG＝EG+PE+FP＝EG+BG+GQ+PF＝2√3+GQ+PF，∴GQ+PF＝2√3；（3）如图2，当点B'落在PQ上时，∵△MBQ≌△MEP，∴MQ＝MP，∵∠QMP＝60°，∴△MPQ是等边三角形，当点B'落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B'，∴△MBQ≌△MB'Q，∴∠MBQ＝∠MB'Q＝90°∴∠QME＝30°∴点B'与点E重合，点Q与点G重合，∴∠QMB＝∠QMB'＝α＝30°，如图3，当点B'落在MP上时，同理可求：∠QMB＝∠QMB'＝α＝60°，∴当30°＜α＜60°时，点B'落在△MPQ的内部．8.（2020江苏无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形P ADE的面积为S．（1）若DE=√33，求S的值；（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．【解答】解：（1）当DE=√3 3，∵AD＝1，∴tan∠AED=√3，AE=2√3 3，∴∠AED＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAE＝60°，∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，∴∠AEC＝∠AEM，∵∠PEC＝∠DEM，∴∠AEP＝∠AED＝60°，∴△APE为等边三角形，∴S=√34×（2√33）2+12×√33×1=√32；（2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PEA，∴AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a=x2+1 2x，∴S=12⋅x×1+12×x2+12x×1=12x+x2+14x．9.（2020辽宁营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是AF＝AE；（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．【解答】解：（1）AE＝AF．∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB＝∠F AD，∴△EAB≌△F AD（AAS），∴AF＝AE；故答案为：AF＝AE．（2）AF＝kAE．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，∴∠F AD+∠F AB＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB+∠F AB＝90°，∴∠EAB＝∠F AD，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠ADF．∴△ABE∽△ADF，∴AB AD =AE AF ，∵AD ＝kAB ，∴AB AD=1k ， ∴AE AF =1k， ∴AF ＝kAE ．（3）解：①如图1，当点F 在DA 上时，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵AD ＝2AB ＝4，∴AB ＝2，∴CD ＝2，∵CF ＝1，∴DF ＝CD ﹣CF ＝2﹣1＝1．在Rt △ADF 中，∠ADF ＝90°，∴AF =√AD 2+DF 2=√42+12=√17，∵DF ∥AB ，∴∠GDF ＝∠GBA ，∠GFD ＝∠GAB ，∴△GDF ∽△GBA ，∴GF GA =DF BA =12，∵AF ＝GF +AG ，∴AG =23AF =23√17．∵△ABE ∽△ADF ，∴AE AF =AB AD =24=12， ∴AE =12AF =12×√17=√172．在Rt △EAG 中，∠EAG ＝90°，∴EG =√AE 2+AG 2=(172)2+(2173)2=5√176， ②如图2，当点F 在DC 的延长线上时，DF ＝CD +CF ＝2+1＝3，在Rt △ADF 中，∠ADF ＝90°，∴AF =√AD 2+DF 2=√42+32=5．∵DF ∥AB ，∵∠GAB ＝∠GFD ，∠GBA ＝∠GDF ，∴△AGB ∽△FGD ，∴AG FG =AB FD =23，∵GF +AG ＝AF ＝5，∴AG ＝2，∵△ABE ∽△ADF ，∴AE AF =AB AD =24=12， ∴AE =12AF =12×5=52，在Rt △EAG 中，∠EAG＝90°， ∴EG =√AE 2+AG 2=√(52)2+22=√412．综上所述，EG 的长为5√176或√412． 10.（2020山东菏泽）如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD +CD ．（1）过点A 作AE ∥DC 交BD 于点E ，求证：AE ＝BE ；（2）如图2，将△ABD 沿AB 翻折得到△ABD '．①求证：BD '∥CD ；②若AD '∥BC ，求证：CD 2＝2OD •BD ．【解答】（1）证明：∵AE ∥DC ，∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，又∵OA＝OC，∴△AOE≌△COD（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，∴BE＝CD，∴AE＝BE；（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠AEB，∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，∴∠ABD'＝∠ABD，∴∠ABD'＝∠BAE，∴BD'∥AE，又∵AE∥CD∴BD'∥CD．②证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，∵AD '∥BC ，BD '∥AE ，∴四边形AD 'BF 为平行四边形．∴∠D '＝∠AFB ，∵将△ABD 沿AB 翻折得到△ABD '．∴∠D '＝∠ADB ，∴∠AFB ＝∠ADB ，又∵∠AED ＝∠BEF ，∴△AED ∽△BEF ，∴AE DE =BE EF ，∵AE ＝CD ，∴CD DE =BE EF ，∵EF ∥CD ，∴△BEF ∽△BDC ，∴BE EF=BD DC ， ∴CD DE =BD CD ，∴CD 2＝DE •BD ，∵△AOE ≌△COD ，∴OD ＝OE ，∴DE ＝2OD ，∴CD 2＝2OD •BD ．11.（2020山东济宁）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E ，F ，G 分别在边BC ，CD 上，BE ＝CG ，AF 平分∠EAG ，点H 是线段AF 上一动点（与点A 不重合）．（1）求证：△AEH ≌△AGH ；（2）当AB ＝12，BE ＝4时．①求△DGH 周长的最小值；②若点O 是AC 的中点，是否存在直线OH 将△ACE 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请求出AH AF 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD=12∠BCD＝60°＝∠ABC，∵BE＝CG，∴△ABE≌△ACG（SAS），∴AE＝AG，∵AF平分∠EAG，∴∠EAF＝∠GAF，∵AH＝AH，∴△AEH≌△AGH（SAS）；（2）①如图1，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于M，连接DE，∵AB＝12，BE＝4，∴CG＝4，∴CE＝DG＝12﹣4＝8，由（1）知，△AEH≌△AGH，∴EH＝HG，∴l△DGH＝DH+GH+DG＝DH+HE+8，要是△AEH的周长最小，则EH+DH最小，最小为DE，在Rt △DCM 中，∠DCM ＝180°﹣120°＝60°，CD ＝AB ＝12，∴CM ＝6，∴DM =√3CM ＝6√3，在Rt △DME 中，EM ＝CE +CM ＝14，根据勾股定理得，DE =√EM 2+DM 2=√142+(6√3)2=2√51，∴△DGH 周长的最小值为2√51+8；②Ⅰ、当OH 与线段AE 相交时，交点记作点N ，如图2，连接CN ，∴点O 是AC 的中点，∴S △AON ＝S △CON =12S △ACN ，∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴S △AONS △AEC =14， ∴S △CEN ＝S △ACN ，∴AN ＝EN ，∵点O 是AC 的中点，∴ON ∥CE ，∴AH AF =12；Ⅱ、当OH 与线段CE 相交时，交点记作Q ，如图3，连接AQ ，FG ，∵点O 是AC 的中点，∴S △AOQ ＝S △COQ =12S △ACQ ，∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴S △COQS △ACE =14，∴S △AEQ ＝S △ACQ ，∴CQ ＝EQ =12CE =12（12﹣4）＝4，∵点O 是AC 的中点，∴OQ ∥AE ，设FQ ＝x ，∴EF ＝EQ +FQ ＝4+x ，CF ＝CQ ﹣FQ ＝4﹣x ，由（1）知，AE ＝AG ，∵AF 是∠EAG 的角平分线，∴∠EAF ＝∠GAF ，∵AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴FG ＝EF ＝4+x ，过点G 作GP ⊥BC 交BC 的延长线于P ，在Rt △CPG 中，∠PCG ＝60°，CG ＝4，∴CP =12CG ＝2，PG =√3CP ＝2√3，∴PF ＝CF +CP ＝4﹣x +2＝6﹣x ，在Rt △FPG 中，根据勾股定理得，PF 2+PG 2＝FG 2，∴（6﹣x ）2+（2√3）2＝（4+x ）2，∴x =85，∴FQ =85，EF ＝4+85=285， ∵OQ ∥AE ，∴AH AF=EQ EF =4285=57， 即AH AF 的值为12或57．12.（2020四川南充）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点K 在AD 上，连接BK ，过点A ，C 作BK 的垂线，垂足分别为M ，N ，点O 是正方形ABCD 的中心，连接OM ，ON ．（1）求证：AM ＝BN ．（2）请判定△OMN 的形状，并说明理由．（3）若点K 在线段AD 上运动（不包括端点），设AK ＝x ，△OMN 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（写出x 的范围）；若点K 在射线AD 上运动，且△OMN 的面积为110，请直接写出AK 长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBM＝90°，∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠CBM，∴△ABM≌△BCN（AAS），∴AM＝BN；（2）△OMN是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接OB，∵点O是正方形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，∵∠MAB＝∠CBM，∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，∴∠MAO＝∠NBO，又∵AM＝BN，OA＝OB，∴△AOM≌△BON（SAS），∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，∵∠AON+∠BON＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，∴∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形；（3）在Rt△ABK中，BK=√AK2+AB2=√x2+1，∵S△ABK=12×AK×AB=12×BK×AM，∴AM=AK⋅ABBK=x√x2+1，∴BN＝AM=x√x2+1，∵cos∠ABK=BMAB=ABBK，∴BM=AB⋅ABBK=1√x2+1，∴MN＝BM﹣BN=x2+1∵S△OMN=14MN2=(1−x)24x2+4，∴y=x2−2x+14x2+4（0＜x＜1）；当点K 在线段AD 上时，则110=x 2−2x+14x 2+4， 解得：x 1＝3（不合题意舍去），x 2=13，当点K 在线段AD 的延长线时，同理可求y =x 2−2x+14x 2+4（x ＞1）， ∴110=x 2−2x+14x 2+4， 解得：x 1＝3，x 2=13（不合题意舍去），综上所述：AK 的值为3或13时，△OMN 的面积为110．13.（2020浙江杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设CE EB =λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长．（2）连接EG ，若EG ⊥AF ，①求证：点G 为CD 边的中点．②求λ的值．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠F ，又∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAG ＝∠EAG ，∴∠EAG ＝∠F ，∴EA ＝EF ，∵AB ＝2，∠B ＝90°，点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ＝1，∴AE =√AB 2+BE 2=√5，∴EF =√5，∴CF ＝EF ﹣EC =√5−1；（2）①证明：∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝FG ，在△ADG 和△FCG 中{∠D =∠GCF ∠AGD =∠FGC AG =FG，∴△ADG ≌△FCG （AAS ），∴DG ＝CG ，即点G 为CD 的中点；②设CD ＝2a ，则CG ＝a ，由①知，CF ＝DA ＝2a ，∵EG ⊥AF ，∠GDF ＝90°，∴∠EGC +∠CGF ＝90°，∠F +∠CGF ＝90°，∠ECG ＝∠GCF ＝90°，∴∠EGC ＝∠F ，∴△EGC ∽△GFC ，∴EC GC =GC FC ，∵GC ＝a ，FC ＝2a ，∴GC FC=12， ∴EC GC =12，∴EC =12a ，BE ＝BC ﹣EC ＝2a −12a =32a ，∴λ=CE EB =12a 32a =13．14.（2020浙江金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB ，OC 的中点D ，E 作AE ，AD 的平行线，相交于点F ，已知OB ＝8．（1）求证：四边形AEFD 为菱形．（2）求四边形AEFD 的面积．（3）若点P 在x 轴正半轴上（异于点D ），点Q 在y 轴上，平面内是否存在点G ，使得以点A ，P ，Q ，G 为顶点的四边形与四边形AEFD 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE∥DF，AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，∵E，D分别是OC，OB的中点，∴CE＝BD，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形．（2）解：如图1中，连接DE．∵S△ADB＝S△ACE=12×8×4＝16，S△EOD=12×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，∴KE＝KD，∴OK＝KE＝KD＝2√2，∵AO＝8√2，∴AK＝6√2，∴AK＝3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t．∵菱形P AQG∽菱形ADFE，∴PH＝3AH，∵HN∥OQ，QH＝HP，∴ON＝NP，∴HN是△PQO的中位线，∴ON＝PN＝8﹣t，∵∠MAH ＝∠PHN ＝90°﹣∠AHM ，∠PNH ＝∠AMH ＝90°，∴△HMA ∽△PNH ，∴AM NH =MH PN =AH PH =13，∴HN ＝3AM ＝3t ，∴MH ＝MN ﹣NH ＝8﹣3t ，∵PN ＝3MH ，∴8﹣t ＝3（8﹣3t ），∴t ＝2，∴OP ＝2ON ＝2（8﹣t ）＝12，∴P （12，0）．如图3中，过点H 作HI ⊥y 轴于I ，过点P 作PN ⊥x 轴交IH 于N ，延长BA 交IN 于M ．同法可证：△AMH ∽△HNP ，∴AM HN =MH PN =AH HP =13，设MH ＝t ，∴PN ＝3MH ＝3t ，∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，∵HI是△OPQ的中位线，∴OP＝2IH，∴HIHN，∴8+t＝9t﹣24，∴t＝4，∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，∴P（24，0）．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N．∵MH是△QAC的中位线，∴MH=12AC＝4，同法可得：△HPN∽△QHM，∴NPHM =HNMQ=PHQH=13，∴PN=13HM=43，∴OM ＝PN =43，设HN ＝t ，则MQ ＝3t ， ∵MQ ＝MC ，∴3t ＝8−43，∴t =209， ∴OP ＝MN ＝4+t =569，∴点P 的坐标为（569，0）．如图5中，QH ＝3PH ，过点H 作HM ⊥x 轴于M 交AC 于I ，过点Q 作QN ⊥HM 于N ．∵IH 是△ACQ 的中位线，∴CQ ＝2HI ，NQ ＝CI ＝4，同法可得：△PMH ∽△HNQ ，∴MH NQ =PM HN =PH HQ =13，则MH =13NQ =43， 设PM ＝t ，则HN ＝3t ，∵HN ＝HI ，∴3t ＝8+43，∴t =289， ∴OP ＝OM ﹣PM ＝QN ﹣PM ＝4﹣t =89，∴P （89，0）． ③如图6中，当AP 为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点H 作HM ⊥y 轴于于点M ，交AB 于I ，过点P 作PN ⊥HM 于N ．∵HI ∥x 轴，AH ＝HP ，∴AI ＝IB ＝4，∴PN ＝IB ＝4，同法可得：△PNH ∽△HMQ ，∴PN HM =HN MQ =PH HQ =13，∴MH ＝3PN ＝12，HI ＝MH ﹣MI ＝4，∵HI 是△ABP 的中位线，∴BP ＝2IH ＝8，∴OP ＝OB +BP ＝16，∴P （16，0），综上所述，满足条件的点P 的坐标为（12，0）或（24，0）或（569，0）或（89，0）或（16，0）．15.（2020浙江宁波）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF =12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．【解答】解：（1）证明：∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC =AC AB ，∴AC 2＝AD •AB ．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，又∵∠BFE ＝∠A ，∴∠BFE ＝∠C ，又∵∠FBE ＝∠CBF ，∴△BFE ∽△BCF ，∴BF BC =BE BF ，∴BF 2＝BE •BC ，∴BC =BF 2BE =423=163，∴AD =163．（3）如图，分别延长EF ，DC 相交于点G ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，∠BAC =12∠BAD ，∵AC ∥EF ，∴四边形AEGC 为平行四边形，∴AC ＝EG ，CG ＝AE ，∠EAC ＝∠G ，∵∠EDF =12∠BAD ， ∴∠EDF ＝∠BAC ， ∴∠EDF ＝∠G ，又∵∠DEF ＝∠GED ， ∴△EDF ∽△EGD ， ∴ED EG =EF DE ， ∴DE 2＝EF •EG ， 又∵EG ＝AC ＝2EF ， ∴DE 2＝2EF 2， ∴DE =√2EF ，又∵DG DF =DE EF ， ∴DG =√2DF =5√2， ∴DC ＝DG ﹣CG ＝5√2−2．。
2020全国各地中考数学压轴题精选汇编
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2020年中考数学压轴题(含答案)
2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长AC到D，使CD＝BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC＝（）A．145°B．135°C．120°D．105°2．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD＝45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时．设AF＝x，DE＝y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题3．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0）、（﹣3m，0）（m≠0），对称轴为直线x＝1，则该二次函数的最小值为．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①4a+2b+c＜0；②a＜﹣1；③b2+8a＞4ac；④2a﹣b＜0．其中结论正确的有．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）三、解答题5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB．AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A．P，Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）当QP⊥BD时，求t的值．6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（﹣4，0），B（0，3），动点P从点O出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，过点P作PC⊥AB于点C，连接PQ，CQ，以PQ，CQ为邻边构造平行四边形PQCD，设点P运动的时间为t秒．（1）当点Q在线段OB上时，用含t的代数式表示PC，AC的长；（2）在运动过程中．①当点D落在x轴上时，求出满足条件的t的值；②若点D落在△ABO内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围；（3）作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′，在运动过程中，是否存在某时刻使过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】已知P为△ABD的内心，则P点必在∠BAC的角平分线上，由于AB＝AC，根据等腰三角形的性质可知：P点必在BC的垂直平分线上，即BP＝PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC的度数．等腰△ABC中，已知了顶角∠A的度数，可求得∠ABC、∠ACB的度数；由于CB＝CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度数；由于P是△ABD的内心，则PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD的度数，根据∠PBC＝∠PBD﹣∠CBD可求出∠PBC的度数，由此得解．【解答】解：△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°；∴∠ABC＝∠ACB＝70°；∵P是△ABD的内心，∴P点必在等腰△ABC底边BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∠BPC＝180°﹣2∠PBC；在△CBD中，CB＝CD，∴∠CBD＝∠D＝∠ACB＝35°；∵P是△ABD的内心，∴PB平分∠ABD，∴∠PBD＝∠ABD＝（∠ABC+∠CBD）＝52.5°，∴∠PBC＝∠PBD﹣∠CBD＝52.5°﹣35°＝17.5°；∴∠BPC＝180°﹣2∠PBC＝145°．故选：A．2．【分析】本题考查动点函数图象的问题．【解答】解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小，当C与O重合时，y有最大值，∵x＝0，y＝ABx＝AB﹣AB时，DE过点O，此时：DE＝ABx＝AB，y＝AB所以，随着x的增大，y先增后降，类抛物线故选：A．二、填空题3．【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的对称性得到x＝﹣m＝1，解得m＝﹣1，则抛物线与x轴两交点的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），根据抛物线的交点式得到y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，然后根据抛物线的最值问题求解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0）、（﹣3m，0）（m≠0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣m＝1，解得m＝﹣1，∴抛物线与x轴两交点的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴x＝1时，y的最小值为﹣4．故答案为﹣4．4．【分析】由抛物线可知当x＝2时y＜0，x＝﹣1时y＜0，则有4a+2b+c＜0，a﹣b+c＜0；由抛物线过（1，2）可得a+b+c＝2；由抛物线的开口方向可得a＜0；由抛物线的顶点位置和对称轴位置可得，＞0；然后进行推理，即可对各个结论作出判断．【解答】解：由二次函数的图象可得：当x＝2时y＜0，则有4a+2b+c＜0（1），故①正确；∵二次函数的图象经过点（1，2），∴a+b+c＝2（2），由二次函数的图象可得：当x＝﹣1时，y＜0，则有a﹣b+c＜0（3），把（2）代入（1）得到2+3a+b＜0，则有a＜，把（2）代入（3）得到2﹣2b＜0，则有b＞1，则a＜﹣1，故②正确；由二次函数的图象中顶点的位置，可得：＞2（4），由抛物线开口向下，可得：a＜0，则由（4）可得4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③正确；由抛物线的对称轴的位置，可得＞0，则b＞0，又由a＜0，则有2a﹣b＜0，故④正确；故答案为：①②③④．三、解答题5．【分析】（1）如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题；（2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA＝90°，∠QPN+∠PQN＝90°，推出∠QPN＝∠DBA，推出tan∠QPN＝＝，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，∴CD＝BH＝8，DH＝BC＝6，∴AH＝AB﹣BH＝8，AD＝＝10，BD＝＝10，由题意AP＝AD﹣DP＝10﹣2t．（2）当以点A．P，Q为顶点的三角形与△ABD相似时，∴或，∴＝或，解得：t＝或t＝，∴当t＝或t＝时，当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）过P作PN⊥AB于N，当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA＝90°，∵∠QPN+∠PQN＝90°，∴∠QPN＝∠DBA，∴tan∠QPN＝＝，∴＝，解得t＝，经检验：t＝是分式方程的解，∴当t＝s时，PQ⊥BD．6．【分析】（1）利用三角函数sin∠OAB＝＝，cos∠OAB＝＝，列出关系式即可解决问题．（2）①当D在x轴上时，如图2中，由QC∥OA，得＝，由此即可解决问题．②当点D在AB上时，如图3中，由PQ∥AB，得＝，求出时间t，求出①②两种情形时的△POQ的面积即可解决问题．（3）如图4中，当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，首先证明QB＝QC，作QN∠BC 于N，根据cos∠ABO＝＝，列出方程即可解决问题，当CQ′是⊙M切线时，方法类似，t＝0时，也符合题意；【解答】解：（1）如图1中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，在Rt△ACP中，P A＝4﹣t，∵sin∠OAB＝＝，∴PC＝（4﹣t），∵cos∠OAB＝＝，∴AC＝（4﹣t）．（2）①当D在x轴上时，如图2中，∵QC∥OA，∴＝，∴＝，解得t＝．∴t＝s时，点D在x轴上，②如图3中，∵PQ∥AB，∴＝，∴＝，∴t＝，综上所述，当＜t＜时，点D落在△ABO内部（不包括边界）．（3）如图4中，作QN⊥BC于N，∵Q（0，3﹣2t），Q′（0，2t﹣3），当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，∴∠QCM＝90°，∴∠QCP+∠PCM＝90°，∵∠QCP+∠QCB＝90°，∴∠BCQ＝∠PCM＝∠CPM，∵∠CPM+∠P AC＝90°，∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠APC＝∠OBA，∴∠QBC＝∠QCB，∴BQ＝CQ，∵cos∠ABO＝＝，∴＝，解得t＝，当CQ′是⊙M切线时，同法可得＝，解得t＝，t＝0时，⊙M与QQ′相切∴t＝0s或s或时，过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，菱形AOBC的顶点A在x轴上，反比例函数kyx=(0,0k x>>)的图像经过顶点B，和边AC的中点D.若6OA=，则k的值为A. 5B. 25C. 45D.852．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣1二、填空题3．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝度．第3题第4题4．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是．三、解答题5．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB 的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝的图象上．P A的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．（1）求∠P的度数及点P的坐标；（2）求△OCD的面积；（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．6．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P 从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题 1．【分析】如图，延长CB 交y 轴于点E ，设出D 点坐标，表示出C ，B 的坐标，因为B ，D 在反比例函数图像上，利用反比例函数积为定值，从而构造出方程，进而解决问题. 【解答】延长CB 交y 轴于点E ，设D （a ，k a ），所以C （2a －6, 2k a ），B （2a －12, 2ka ）因为，B （2a －12,2k a ）在反比例函数y=kx上， 所以，（2a －12）·2ka =k ，解得a =8 所以B （4, k4）所以BE =4，因为BO =6，在直角三角形BEO 中，由勾股定理得EO =2 5 所以k =4×2 5 =8 5 故选D2．【分析】如图，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°得到线段OT ，连接AT ，GT ，OP ．则AO ＝OT ＝1，AT ＝，利用相似三角形的性质求出GT ，再根据三角形的三边关系解决问题即可，【解答】解：如图，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°得到线段OT ，连接AT ，GT ，OP ．则AO ＝OT ＝1，AT ＝，∵△AOT ，△APG 都是顶角为120°的等腰三角形， ∴∠OAT ＝∠P AG ＝30°，E∴∠OAP＝∠TAG，＝＝∴＝，∴△OAP∽△TAG，∴＝＝，∵OP＝2，∴TG＝2，∵OG≤OT+GT，∴OG≤1+2，∴OG的最大值为1+2，故选：B．二、填空题3．【分析】由折叠的性质得：FE＝BE，∠F AE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，求出∠BAE＝∠F AE＝36°，由直角三角形的性质得出∠AEF＝∠AEB＝54°，求出∠CEF＝72°，求出FE＝CE，由等腰三角形的性质求出∠ECF＝54°，即可得出∠DCF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠BCD＝90°，由折叠的性质得：FE＝BE，∠F AE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，∵∠DAF＝18°，∴∠BAE＝∠F AE＝（90°﹣18°）＝36°，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣36°＝54°，∴∠CEF＝180°﹣2×54°＝72°，∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∴FE＝CE，∴∠ECF＝（180°﹣72°）＝54°，∴∠DCF＝90°﹣∠ECF＝36°；故答案为：36．4．【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．【解答】解：连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段P A的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC＝＝5，∴BP′＝5+2＝7，∴线段OQ的最大值是．三、解答题5．【分析】（1）如图，作PM⊥OAYM，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，利用勾股定理求出a，b 之间的关系，求出OC，OD即可解决问题．（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，可得AB＝6﹣a﹣b，推出OA+OB+AB＝6，可得a+b+＝6，利用基本不等式即可解决问题．【解答】解：（1）如图，作PM⊥OAYM，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．∴∠PMA＝∠PHA＝90°，∵∠P AM＝∠P AH，P A＝P A，∴△P AM≌△P AH（AAS），∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，同理可证：△BPN≌△BPH，∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形，∴∠MPN＝90°，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝（∠MPH+∠NPH）＝45°，∵PM＝PN，∴可以假设P（m，m），∵P（m，m）在y＝上，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3，∴P（3，3）．（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∵AB2＝OA2+OB2，∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，可得ab＝18﹣6a﹣6b，∴9﹣3a﹣3b＝ab，∵PM∥OC，∴＝，∴＝，∴OC＝，同法可得OD＝，∴S△COD＝•OC•DO＝＝＝＝6．（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∴OA+OB+AB＝6，∴a+b+＝6，∴2+≤6，∴（2+）≤6，∴≤3（2﹣），∴ab≤54﹣36，∴S△AOB＝ab≤27﹣18，∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．6．【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC＝10，①当AP＝PO＝t，如图1，过P 作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP＝t＝，②当AP＝AO＝t＝5，于是得到结论；（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE＝PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF 的面积．（3）根据题意列方程得到t＝，t＝0，（不合题意，舍去），于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM＝DN＝，根据勾股定理得到ON＝OM＝＝，由三角形的面积公式得到OP＝5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10，①当AP＝PO＝t，如图1，过P作PM⊥AO，∴AM＝AO＝，∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠P AM＝∠CAD，∴△APM∽△ACD，∴，∴AP＝t＝，②当AP＝AO＝t＝5，∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH＝CD＝AB＝3cm．由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又得∠DOP＝∠BOE，∴△DOP≌BOE，∴BE＝PD＝8﹣t，则S△BOE＝BE•OH＝×3（8﹣t）＝12﹣t．∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，相似比为＝，∴＝∵S△DOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12cm2，∴S△DFQ＝12×＝∴S五边形OECQF＝S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ＝×6×8﹣（12﹣t）﹣＝﹣t2+t+12；∴S与t的函数关系式为S＝﹣t2+t+12；（3）存在，∵S△ACD＝×6×8＝24，∴S五边形OECQF：S△ACD＝（﹣t2+t+12）：24＝9：16，解得t＝3，或t＝，∴t＝3或时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD＝9：16；（4）如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，∵∠POD＝∠COD，∴DM＝DN＝，∴ON＝OM＝＝，∵OP•DM＝3PD，∴OP＝5﹣t，∴PM＝﹣t，∵PD2＝PM2+DM2，∴（8﹣t）2＝（﹣t）2+（）2，解得：t＝16（不合题意，舍去），t＝，∴当t＝时，OD平分∠COP．2020年中考数学压轴题一、选择题1．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣＝﹣3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（）A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣22．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，点P是⊙O的直径AB的延长线上一点，过点P作直线交⊙O于C、D两点．若AB＝6，BP＝2，则tan∠P AC•tan∠P AD＝．第3题第4题4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持ED⊥FD，连接DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，有下列结论：①AE＝CF；②EF最大值为2；③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中结论正确的有（把所有正确答案的序号都填写在横线上）三、解答题5．阅读下列材料，解答下列问题材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝．（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值．6．如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组无解确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有正整数解确定出a的值，即可求出所求．【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5＝﹣3x+15，即（a+3）x＝10，由分式方程有正整数解，得到x＝，即a+3＝1，2，10，解得：a＝﹣2，2，7，综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为﹣4，故选：B．2．【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝S△ABC＝，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S△ODE＝OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE，∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××42＝，所以③正确；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以④正确．故选：C．二、填空题3．【分析】连接BC、BD．因为AB是直径，推出∠ACB＝∠ADB＝90°，可得tan∠P AC•tan ∠P AD＝•＝•，利用相似三角形的性质转化即可解决问题；【解答】解：连接BC、BD．∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴tan∠P AC•tan∠P AD＝•＝•，∵△PCB∽△P AD，∴＝，∵△PBD∽△PCA，∴＝，∴tan∠P AC•tan∠P AD＝•＝＝，故答案为．4．【分析】①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，即可证得AE ＝CF；②根据AE＝CF，设CE＝x，用含x的式子表示出CF的长，根据勾股定理，即可表示出EF的长，根据二次函数的增减性，表示出EF的最小值；③由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；④由①可知，DE＝EF，可得△DEF是等腰直角三角形，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．【解答】解：如图，连接CD．∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠1+∠2＝90°，∵ED⊥FD，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF；故①正确；（2）设CE＝x，则CF＝AE＝4﹣x，在Rt△CEF中，，∵2（x﹣2）2+8有最小值，最小值为8，∴EF有最小值，最小值为．故②错误；③由①知，△ADE≌△CDF，∴S四边形EDFC＝S△EDC+S△FDC＝S△EDC+S△ADE＝S△ADC，∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．故③正确；④由①可知，△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴，当EF∥AB时，∵AE＝CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值＝，∵CE＝CF＝2，∴此时点C到线段EF的最大距离为．故④正确．故答案为：①③④．三、解答题5．【分析】（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），则n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可证明；（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分别求出相应的G（t）值即可．【解答】解：（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），∴m、a、k、h都是整数，∴91m+91n+h+k为整数，∴任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵1≤a≤5，0≤b≤5，∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，∴2a﹣2b+1＝0或11，∴a＝5，b＝0，∴t＝1642，G（1642）＝17.25；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵6≤a≤7，0≤b≤5，∴3≤2a﹣2b+1≤15，∴2a﹣2b+1＝11，∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，∴t＝2742或3842，∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，∴G（t）的最大值39．6．【分析】（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．【解答】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y＝ax2+bx+c，得方程组解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1＝AD＝4，∴P1（﹣1，4）若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD＝4，∵△ABO为等腰三角形，∴△ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合，∴P2（1，2）综上所述，点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）；（3）不存在．理由：如答图2，设点E（x，y），则S△ADE＝①当P1（﹣1，4）时，S四边形AP1CE＝S△ACP1+S△ACE＝＝4+|y| ∴2|y|＝4+|y|，∴|y|＝4∵点E在x轴下方，∴y＝﹣4，代入得：x2﹣4x+3＝﹣4，即x2﹣4x+7＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×7＝﹣12＜0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE＝S△ACP2+S△ACE＝＝2+|y|，∴2|y|＝2+|y|，∴|y|＝2∵点E在x轴下方，∴y＝﹣2，代入得：x2﹣4x+3＝﹣2，即x2﹣4x+5＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第9个图案中共有（）和黑子．A．37 B．42 C．73 D．1212．如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题3．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，将纸片折叠，折痕的一个端点F在边AD上，另一个端点G在边BC上，若顶点B的对应点E落在长方形内部，E到AD的距离为1，BG＝5，则AF的长为．第3题第4题4．如图，射线OP过Rt△ABC的边AC、AB的中点M、N，AC＝4cm，BC＝4cm，OM ＝3cm．射线OP上有一动点Q从点O出发，沿射线OP以每秒1cm的速度向右移动，以Q为圆心，QM为半径的圆，经过t秒与BC、AB中的一边所在的直线相切，请写出t的所有可能值（单位：秒）三、解答题5．△ABC内接⊙O，AD⊥BC与D，连接OA．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，作BE⊥AC交CA延长线于E交⊙O于F，延长AD交⊙O于G，连接AF，求证：AD+AF＝DG；（3）在第（2）问的条件下，如图3，OA交BC于点T，CA＝CT，AD＝2AF，AB＝4，求DT长．6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC如图放置，点C（0，4），点A，B 在x轴上，且OB＝4OA，tan∠CBO＝．（1）求过点A、C直线解析式；（2）如图2，点M为线段BC上任意一点，点D在OC上，且CD＝DM，设M的横坐标为t，△CDM的面积为S，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，如图3，在OB上取点N，过N作NF⊥DM，垂足为点F，连接CF，AF，∠DCF+∠AFN＝60°，NF＝BO时，求点D的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【分析】观察图象得到第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6＝13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6＝37个，…，据此规律可得．【解答】解：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6＝13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6＝37个，第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6＝73个，第9、10图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6+8×6＝121个，故选：D．2．【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【解答】解：设∠AOM＝α，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S＝＝a2•cosα•sinα•t2，由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A．二、填空题3．【分析】设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，∵E到AD的距离为1，∴EM＝1，EN＝4﹣1＝3，在Rt△ENG中，GN＝＝＝4，∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，∴∠KEM＝∠NGE，又∵∠ENG＝∠KME＝90°，∴△GEN∽△EKM，∴＝＝，即＝＝，解得EK＝，KM＝，∴KH＝EH﹣EK＝4﹣＝，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴＝，即＝，解得FH＝，∴AF＝FH＝．故答案为．4．【分析】如图，作OG⊥AB于G，由题意OG＝ON＝＞3，所以⊙Q在AC的左边不可能与AB相切．接下来分三种情形讨论求解即可．【解答】解：如图，作OG⊥AB于G，由题意OG＝ON＝＞3，所以⊙Q在AC的左边不可能与AB相切．相切有三种可能：当⊙Q与BC相切时，MQ＝2，∴|t﹣3|＝2，∴t＝1或5．当⊙Q与AB相切时，设切点为H，连接QH．易知QN＝2QH，∴2﹣（t﹣3）＝2（t﹣3），解得t＝，综上所述，t＝1s或5s或（）s时，⊙Q与BC/AB相切．故答案为1s或5s或（）s三、解答题5．△ABC内接⊙O，AD⊥BC与D，连接OA．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，作BE⊥AC交CA延长线于E交⊙O于F，延长AD交⊙O于G，连接AF，求证：AD+AF＝DG；（3）在第（2）问的条件下，如图3，OA交BC于点T，CA＝CT，AD＝2AF，AB＝4，求DT长．【分析】（1）延长AO交圆于点M，连结BM，由∠M+∠BAM＝90°，∠C+∠CAD＝90°，结论可得证；（2）分别延长DA、BE交于点H，连结BG，可证得△AFM和△BGM是等腰三角形，由等腰三角形的性质可证出结论；（3）连GO并延长GO交AB于点N，连BG，由CA＝CT可得∠TAC＝∠ATC，证得AG ＝BG，得出AN长，证出△BAD∽△GAN，由比例线段可求出AD长，BD长，再证明△ADT∽△BDA，得AD2＝DT•BD，则DT长可求．【解答】（1）证明：如图1，延长AO交圆于点M，连结BM，∵AM是圆的直径，∴∠ABM＝90°，∴∠M+∠BAM＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∵∠M＝∠C，∴∠BAO＝∠CAD；（2）证明：如图2，分别延长DA、BE交于点H，连结BG，∵AE⊥BE，AD⊥DC，∴∠EAH+∠H＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∵∠DAC＝∠EAH，∴∠H＝∠C，∵四边形AFBC是圆内接四边形，∴∠EF A＝∠C，∴∠EF A＝∠H，∴AF＝AH，又∵∠C＝∠BGH，∴∠H＝∠BGH，∵BD⊥GH，∴DG＝DM＝AD+AH＝AD+AF；（3）解：如图3，连GO并延长GO交AB于点N，连BG，∵CT＝AC，∴∠TAC＝∠ATC，∵∠TAC＝∠TAD+∠DAC，∠ATC＝∠TBA+∠BAT，∠DAC＝∠BAT，∴∠TAD＝∠TBA，又∵∠GBC＝∠DAC＝∠BAO，∴AG＝BG，由轴对称性质可知NG⊥AB，∴∠GNA＝∠BDA＝90°，AN＝BN＝2，∵∠NAG＝∠BAD∴△BAD∽△GAN，∴，∵AD+AF＝DG，AD＝2AF，∴，∴，设AD＝x，则AG＝，∴，解得：x＝4，即AD＝4，∴＝＝8，在△ADT和△BDA中，∠TAD＝∠DBA，∠TDA＝∠BDA＝90°，∴△ADT∽△BDA，∴，∴，∴DT＝2．6．【分析】（1）由锐角三角函数可求点A坐标，由待定系数法可求解析式；（2）过点M作MH⊥OC于H，由锐角三角函数可求∴∠BCO＝30°，由直角三角形的性质可求CD的长，由三角形面积公式可求解；（3）作FE⊥OB于E，CP⊥EF于P，FK⊥OC于K．则四边形CPEO是矩形，设PC＝OE＝m．只要证明△PCF∽△EF A，可得，由此构建方程求出m即可解决问题．【解答】解：（1）∵点C（0，4），∴OC＝4，∵tan∠CBO＝＝，∴OB＝4，∵OB＝4OA，∴OA＝1，∴点A（﹣1，0）设过点A、C直线解析式为：y＝kx+4，∴0＝﹣k+4，∴k＝4，∴过点A、C直线解析式为：y＝4x+4；（2）如图2，过点M作MH⊥OC于H，∵M的横坐标为t，∴MH＝t，∵tan∠BCO＝＝＝，∴∠BCO＝30°，∵CD＝DM，∴∠DCM＝∠CMD＝30°，∴∠MDH＝60°，且MH⊥OC，∴DH＝t，DM＝2DH＝t＝CD，∴△CDM的面积为S＝×t×t＝t2，（0＜t≤4）（3）作FE⊥OB于E，CP⊥EF于P，FK⊥OC于K．则四边形CPEO是矩形，∴CP＝OE，CO＝PE＝4，设PC＝OE＝m．∵∠DON+∠DFN+∠ODF+∠ONF＝360°，∴∠FNO＝120°，∴∠FNE＝60°，且EF⊥BO，FN＝OB＝4，∴EF＝2，∴PF＝2∵∠DCF+∠AFN＝60°，∠DCF+∠DFC＝60°，∴∠DFC＝∠AFN，∴∠CF A＝∠DFN＝90°，∴∠FCP+∠PFC＝90°，∠PFC+∠AFE＝90°，∴∠PCF＝∠AFE，且∠P＝∠AEF＝90°，∴△PCF∽△EF A，∴，∴∴m＝3或﹣4（舍弃），∴F（3，2），在Rt△DEK中，∵∠DFK＝30°，FK＝3，∴DK＝，∴OD＝3，∴D（0，3）．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC 的面积s的取值范围是（）A．≤s≤B．＜s≤C．≤s≤D．＜s＜2．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F 为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30，下列结论：①EF⊥AC；②AD＝AE；③AD＝4AG；④记△ABC的面积为S1，四边形FBCE的面积为S2，则S1：S2＝2：3．其中正确的结论的序号是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④二、填空题3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，其中AB是⊙O的直径，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，点E在AD延长线上，BE与⊙O相切于点B，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BD＝3，AE＝10，则线段EF的长为．4．已知关于x的方程x2﹣4x+t﹣2＝0（t为实数）两非负实数根a，b，则（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是．三、解答题5．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据题意，得四边形AODC的最小面积即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．要求三角形AOC的面积，作CD⊥AO于D．根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得CD＝，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形DOC的面积，即是，则最大面积是．【解答】解：根据题意，得四边形AODC的面积最小即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．作CH⊥AO于H，∵△AOC为等边三角形∴CH＝∴S△AOC＝；当OD⊥OC时面积最大，∴S△OCD＝，则最大面积是+＝∴四边形AODC的面积s的取值范围是＜s≤．故选：B．2．【分析】根据直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可得①正确；根据等边三角形的性质和直角三角形的斜边与直角边不相等，可得②不正确；根据等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，可得③正确；根据直角三角形的性质、三角形面积、梯形面积公式，可得④正确．【解答】证明：如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD 和等边△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30，下列结论：①EF。
2020年中考数学压轴题真题汇编(含答案)
2020年中考数学压轴题真题汇编(真题试卷+详细解析答案，值得下载)1.（2019年四川省攀枝花市）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点B，与x轴交于点C，点A在y轴上，满足条件：CA⊥CB，且CA＝CB，点C的坐标为（﹣3，0），cos∠ACO＝．（1）求反比例函数的表达式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b＜的解集．【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，证明△AOC≌△CDB得到BD与CD的长度，便可求得B点的坐标，进而求得反比例函数解析式；（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x的取值范围便是结果．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，∵CA⊥CB，∴∠BCD+∠ACO＝∠BCD+CBD＝90°，∴∠ACO＝∠CBD，∵∠BDC＝∠AOC＝90°，AC＝BC，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴OC＝DB＝3，CD＝AO，∵cos∠ACO＝．∴AC＝，∴CD＝AO＝，∴OD＝OC+CD＝3+6＝9，∴B（﹣9，3），把B（﹣9，3）代入反比例函数y＝中，得m＝﹣27，∴反比例函数为；（2）当x＜0时，由图象可知一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝图象的下方时，自变量x的取值范围是﹣9＜x＜0，∴当x＜0时，kx+b＜的解集为﹣9＜x＜0．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．2.（2019年四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．【分析】（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）由得，∴A（﹣2，4），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数的表达式是y＝﹣；（2）解得或，∴B（﹣8，1），由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键．3.（2019年四川省资阳市）如图，直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，且OA＝，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求直线BC的解析式及k的值；（2）连结OB、AB，求△OAB的面积．【分析】（1）根据平移的性质即可求得直线BC的解析式，由直线y＝x和OA＝即可求得A的坐标，然后代入双曲线y＝（x＞0）求得k的值；（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，联立方程求得B点的坐标，然后根据S△AOB＝S梯+S△BOF﹣S△AOE＝S梯形AEFB，求得即可．形AEFB【解答】解：（1）根据平移的性质，将直线y＝x向左平移一个单位后得到y＝x+1，∴直线BC的解析式为y＝x+1，∵直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，∴A点的横坐标和纵坐标相等，∵OA＝，∴A（1，1），k＝1×1＝1；（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，解得或∴B（，），∵S△AOB＝S梯形AEFB+S△BOF﹣S△AOE＝S梯形AEFB，∴S△AOB＝S梯形AEFB＝（1+）（1﹣）＝2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．4.（2019年甘肃省天水市）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x的范围即可；（3）将△AOB的面积转化为S△AON﹣S△BON的面积即可．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝上，∴＝4，解得m＝1，∴点A的坐标为（1，4），又∵点B也在反比例函数y＝上，∴＝n，解得n＝2，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6．（2）根据图象得：kx+b﹣＞0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；（3）∵直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N，∴点N的坐标为（3，0），S△AOB＝S△AON﹣S△BON＝×3×4﹣×3×2＝3．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5.（2019年四川省宜宾市）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP 的面积为1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．【分析】（1）根据系数k的几何意义即可求得k，进而求得P（1，2），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，求出点C、D的坐标，然后联立方程求得P、M的坐标，最后根据S五边形＝S△COD﹣S△APD﹣S△BCM，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；【解答】解：（1）∵过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．∴S△OP A＝|k|＝1，∴|k|＝2，∵在第一象限，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点P（1，m），∴m＝＝2，∴P（1，2），∵次函数y＝﹣x+b的图象过点P（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，∴C（3，0），D（0，3），解得或，∴P（1，2），M（2，1），∴P A＝1，AD＝3﹣2＝1，BM＝1，BC＝3﹣2＝1，∴五边形OAPMB的面积为：S△COD﹣S△BCM﹣S△ADP＝×3×3﹣×1×1﹣×1×1＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系数k的几何意义，求得交点坐标是解题的关键．6.（2019年四川省巴中市）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．①求一次函数与反比例函数的解析式．②根据图象说明，当x为何值时，k1x+b﹣＜0．【分析】①把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；②直接由A、B的坐标可求得答案．【解答】解：①把点B（4，2）代入反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）得，k2＝4×2＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝，将点A（m，8）代入y2得，8＝，解得m＝1，∴A（1，8），将A、B的坐标代入y1＝k1x+b（k1、b为常数，k1≠0）得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝﹣2x+10；②由图象可知：当0＜x＜1或x＞4时，y1＜y2，即k1x+b﹣＜0．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．7.（2019年江苏省宿迁市）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数表达式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先求OD的长，根据面积和可得结论．【解答】解：（1）把A（﹣1．m），B（n，﹣1）代入y＝﹣，得m＝5，n＝5，∴A（﹣1，5），B（5，﹣1），把A（﹣1，5），B（5，﹣1）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；（2）x＝0时，y＝4，∴OD＝4，∴△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD＝×4×1+＝12．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式．8.（2019年浙江省丽水市）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．【分析】（1过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为x﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q；（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；【解答】解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG＝，∴P（2，），∵P在反比例函数y＝上，∴k＝2，∴y＝，由正六边形的性质，A（1，2），∴点A在反比例函数图象上；（2）D（3，0），E（4，），设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，联立方程解得x＝，∴Q点横坐标为；（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．9.（2019年四川省南充市）双曲线y＝（k为常数，且k≠0）与直线y＝﹣2x+b，交于A（﹣m，m﹣2），B（1，n）两点．（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．【分析】（1）将A、B两点的坐标代入一次函数解析式可得b和n的值，则求出点B（1，﹣2），代入反比例函数解析式可求出k的值．（2）先求出点C、D两点的坐标，再求出E点坐标，则S△BOE＝S△ODE+S△ODB＝，可求出△BOE的面积．【解答】解：（1）∵点A（﹣m，m﹣2），B（1，n）在直线y＝﹣2x+b上，∴，解得：，∴B（1，﹣2），代入反比例函数解析式，∴，∴k＝﹣2．（2）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0，解得y＝﹣2，令y＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），D（0，﹣2），∵点E为CD的中点，∴E（），∴S△BOE＝S△ODE+S△ODB＝＝＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．10.（2019年四川省绵阳市）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE＝4CD．（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．【分析】（1）将点A（4，1）代入y＝，即可求出m的值，进一步可求出反比例函数解析式；（2）先证△CDB∽△CEA，由CE＝4CD可求出BD的长度，可进一步求出点B的坐标，以及直线AC的解析式，直线AC与坐标轴交点的坐标，可证直线AC与坐标轴所围成和三角形为等腰直角三角形，利用垂线段最短可求出OM长度的最小值．【解答】解：（1）将点A（4，1）代入y＝，得，m2﹣3m＝4，解得，m1＝4，m2＝﹣1，∴m的值为4或﹣1；反比例函数解析式为：y＝；（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，∴∠CDB＝∠CEA＝90°，∴△CDB∽△CEA，∴，∵CE＝4CD，∴AE＝4BD，∵A（4，1），∴AE＝4，∴BD＝1，∴x B＝1，∴y B＝＝4，∴B（1，4），将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣1，b＝5，∴y AB＝﹣x+5，设直线AB与x轴交点为F，当x＝0时，y＝5；当y＝0时x＝5，∴C（0，5），F（5，0），则OC＝OF＝5，∴△OCF为等腰直角三角形，∴CF＝OC＝5，则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，即OM＝CF＝．【点评】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质，垂线段最短等定理，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质．11.（2019年甘肃省）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．12.（2019年江苏省盐城市）如图，一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）根据一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2），可以求得点B的坐标，进而求得反比例函数的解析式；（2）根据题目中一次函数的解析式可以求得点A的坐标，再根据（1）中求得的点B的坐标，即可求得△AOB的面积．【解答】解：（1）∵点B（m，2）在直线y＝x+1上，∴2＝m+1，得m＝1，∴点B的坐标为（1，2），∵点B（1，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴2＝，得k＝2，即反比例函数的表达式是y＝；（2）将x＝0代入y＝x+1，得y＝1，则点A的坐标为（0，1），∵点B的坐标为（1，2），∴△AOB的面积是；．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13.（2019年江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．（1）k＝﹣6，b＝5；（2）求点D的坐标；（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（﹣1，6）代入y＝可求出k的值；（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可推出，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出DM＝4，即为点D的纵坐标，把y＝4代入y＝﹣x+5中，可求出点D坐标；（3）过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，由题意可知，OD'＝OD＝＝，由旋转可知S△ODC＝S△OD'C'，可求出C'G＝，在Rt△OC'G中，通过勾股定理求出OG的长度，即可写出点C'的坐标，将其坐标代入y＝﹣可知没有落在函数y＝（x＜0）的图象上．【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b，得，6＝1+b，∴b＝5，将A（﹣1，6）代入y＝，得，6＝，∴k＝﹣6，故答案为：﹣6，5；（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，∵，∴，又∵点A的坐标为（﹣1，6），∴AN＝6，∴DM＝4，即点D的纵坐标为4，把y＝4代入y＝﹣x+5中，得，x＝1，∴D（1，4）；（3）由题意可知，OD'＝OD＝＝，如图2，过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，∵S△ODC＝S△OD'C'，∴OC•DM＝OD'•C'G，即5×4＝C'G，∴C'G＝，在Rt△OC'G中，∵OG＝＝＝，∴C'的坐标为（﹣，），∵（﹣）×≠﹣6，∴点C'不在函数y＝﹣的图象上．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．14.（2019年浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，OC＝OB，∵B（4，0），∴OB＝OA＝4，∴OC＝2，AC＝2．把点A（2，2）代入y＝，得k＝4．∴反比例函数的解析式为y＝；（2）分两种情况讨论：①点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．由题意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE＝，B′E＝1．∴O′E＝3，把y＝代入y＝，得x＝4，∴OE＝4，∴a＝OO′＝1；②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．由题意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝1．把y＝代入y＝，得x＝4，∴OH＝4，∴a＝OO′＝3，综上所述，a的值为1或3．。
2020年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编专题2：函数问题.doc
2020年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题2：函数问题35. （2020吉林长春10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+42交x 轴与点A,交直线y=x 于点B,抛物线2y=ax 2x+c -分别交线段AB 、OB 于点C 、D ，点C 和点D 的横坐标分别为16和4，点P 在这条抛物线上． （1）求点C 、D 的纵坐标． （2）求a 、c 的值．（3）若Q 为线段OB 上一点，且P 、Q 两点的纵坐标都为5，求线段PQ 的长．（4）若Q 为线段OB 或线段AB 上的一点，PQ ⊥x 轴，设P 、Q 两点之间的距离为d （d ＞0），点Q 的横坐标为m ，直接写出d 随m 的增大而减小时m 的取值范围．（参考公式：二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠图像的顶点坐标为2b 4ac b 2a 4a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，）【答案】解：（1）∵点C 在直线AB ：y=－2x+42上，且C 点的横坐标为16，∴y=－2×16+42=10，即点C 的纵坐标为10。
∵D 点在直线OB ：y=x 上，且D 点的横坐标为4，∴点D 的纵坐标为4。
（2）由（1）知点C 的坐标为（16，10），点D 的坐标为（4，4），∵抛物线2y=ax 2x+c -经过C 、D 两点，∴256a 32c 1016a 8c 4-+=⎧⎨-+=⎩，解得：1a 8c 10⎧=⎪⎨⎪=⎩。
∴抛物线的解析式为21y=x 2x+108-。
（3）∵P 为线段OB 上一点，纵坐标为5，∴P 点的横坐标也为5。
∵点Q 在抛物线上，纵坐标为5，∴215=x 2x+108-，解得12x 8x 8=+=-当点Q的坐标为（8+5），点P 的坐标为（5，5），线段PQ 的长为3；当点Q 的坐标为（8-，5），点P 的坐标为（5，5），线段PQ 的长为3。
所以线段PQ 的长为3或3-。
（4）当0≤m ＜4或12≤m ＜16时，d 随m 的增大而减小。
2020年中考数学压轴题(含答案)
2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0,3），点B坐标（4,0），将点O沿直线34y x b=-+对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O’处，则b的值为（）A.12B.65C.98D.1516二、填空题3．如图，在Rt△ABC中BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，AD的长为．第3题第4题4.如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上一点，MN ⊥CD 于N ，连接CM ，则CM －MN 的最大值为 ． 三、解答题5.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径， ⌒ BD ＝ ⌒AD ，DE ⊥BC ，垂足为E ． （1）求证：CD 平分∠ACE ；（2）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若CE =2，AC ＝8，阴影部分的面积为 ．6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0，a 、b 、c 为常数）与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，A （﹣6，0），C （1，0），B （0，）．（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB 的函数关系式；（2）已知点M （m ，0）是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l ，分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE 恰妤是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M ′，将OM ′绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0°到90°之间）；i ：探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O 、B 重合），无论ON 如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标：若不存在，请说明理由；ii ：试求出此旋转过程中，（NA +NB ）的最小值．EO CBA【答案与解析】一、选择题1．A2．D二、填空题3．【分析】由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AB＝4，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD ＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝2，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD ＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝2．【解答】解：Rt△ABC中，BC＝AC＝4，∴AB＝4，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，∵∠B ＝45°， ∴A ′C ⊥AB ， ∴BH ＝BC ＝2，DH ＝A ′D ＝x ，∴x +x +2＝4，∴x ＝4﹣4， ∴AD ＝4﹣4；②如图2，当A ′D ∥AC ，∵把△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A ′处， ∴AD ＝A ′D ，AC ＝A ′C ，∠ACD ＝∠A ′CD ， ∵∠A ′DC ＝∠ACD ， ∴∠A ′DC ＝∠A ′CD ， ∴A ′D ＝A ′C ， ∴AD ＝AC ＝4， 综上所述：AD 的长为：4﹣4或4．4. 2 三、解答题 5、（1）,BD AD BAD ACD =∴=∠∠°+180ABCD O BAD BCD ∴=四边形内接于圆，∠∠°+180BCD DCE =又∠∠,DCE BAD ∴=∠∠ACD DCE ∴=∠∠即CD 平分∠ACE（2）直线ED 与⊙O 相切。
2020年全国各地中考数学压轴题按题型分类汇编平移旋转对称三大变换(解析版)
全国各地中考压轴题（选择、填空）按题型整理：七、平移旋转对称三大变换1.（2019•宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2+）B．（﹣，3）C．（﹣，2+）D．（﹣3，）解：如图，作B′H⊥y轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，∴OH＝3，∴B′（﹣，3），故选：B．2.（2019•邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED 等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．∵AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴∠ADF＝∠ADC＝72°，∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．故选：B．3.（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，则∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，则α＝45°，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，故答案为1.5．4.（2019•邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．解：作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．5.（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（）A．6B．8C．10D．12解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，∴AO'＝AC+O'C＝6，∴AB'＝＝＝10；故选：C．6.（2019•无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为，则△ABC的周长为．解：如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM ⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，∴△EFG∽△ACB，∴EF：FG：EG＝AC：BC：AB＝5：12：13，设EF＝5k，FG＝12k，∵×5k×12k＝，∴k＝或﹣（舍弃），∴EF＝，∵四边形EKJF是矩形，∴KJ＝EF＝，设AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m，∵∠ACH＝∠AMH＝90°，∠HAC＝∠HAM，AH＝AH，∴△HAC≌△HAM（AAS），∴AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM中，则有x2+（8m）2＝（12m﹣x）2，∴x＝m，∵EK∥CH，∴＝，∴＝，∴AK＝，∴AC＝AK+KJ+CJ＝++1＝，∴BC＝××12＝10，AB＝××13＝，∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝+10+＝25，故答案为25．7.（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．解：如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又∵H为AB的中点，∴AH＝BH，∴AH＝PH＝BH，∴∠HAP＝∠HP A，∠HBP＝∠HPB，又∵∠HAP+∠HP A+∠HBP+∠HPB＝180°，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠HEB＝90°，∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，∴tan∠HAP＝，故答案为：．8.（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是y＝x﹣1．解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，∴A（，0），B（0，﹣1），∴OA＝，OB＝1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO+∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△AFE（AAS），∴AE＝OB＝1，EF＝OA＝，∴F（，﹣），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，∴，∴，∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣1，故答案为：y＝x﹣1．9.（2019•镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝﹣1．（结果保留根号）解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFDE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣1．故答案为﹣1．10.（2019•扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为32πcm2．解：由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积＝＝32π；故答案为：32π．11.（2019•枣庄）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．解：∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2＝，即（）2＝，解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），故选：B．12.（2019•济宁）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（）A．9B．12C．15D．18解：作A′H⊥y轴于H．∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠A′BH，∵BA＝BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA＝BH，OB＝A′H，∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），∴OA＝2，OB＝6，∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，∴OH＝4，∴A′（6，4），∵BD＝A′D，∴D（3，5），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝15．故选：C．13.（2019•潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE＝＝，设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣∵AE2+AD2＝DE2，∴（）2+22＝（x+x﹣）2，解得，x1＝（负值舍去），x2＝，故答案为：．14.（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为6﹣cm．解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣．故答案为6﹣．15.（2019•聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF＝BC D．S四边形AEOF＝S△ABC解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC ＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，选项D正确．故选：C．16.（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．17.（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是（）．解：如图，∵△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，∴CH＝1，∴AH＝，∵∠ABO＝∠DCH＝30°，∴DH＝AO＝，∴OD＝﹣﹣＝，∴点D的坐标是（，0）．故答案为：（，0）．18.（2019•自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A．B．C．D．解：连接AC，设正方形的边长为a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC为圆的直径，∴AC＝AB＝a，则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：＝≈，故选：C．19.（2019•乐山）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G．则CG等于（）A．B．1C．D．解：在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝，∴BE＝．根据折叠性质可得BF＝2BE＝3．∴CF＝3﹣．∵AD∥CF，∴△ADG∽△FCG．∴．设CG＝x，则，解得x＝﹣1．故选：A．20.（2019•绵阳）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝．解：如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2，∴AB＝BC＝2，BD＝BE＝2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90′，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝BE′＝，在Rt△BCH中，CH＝＝，∴CE′＝+，故答案为：．21.（2019•南充）如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合，以下结论错误的是（）A．AB2＝10+2B．＝C．BC2＝CD•EH D．sin∠AHD＝解：在Rt△AEB中，AB＝＝＝，∵AB∥DH，BH∥AD，∴四边形ABHD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABHD是菱形，∴AD＝AB＝，∴CD＝AD＝AD＝﹣1，∴＝，故选项B正确，∵BC2＝4，CD•EH＝（﹣1）（+1）＝4，∴BC2＝CD•EH，故选项C正确，∵四边形ABHD是菱形，∴∠AHD＝∠AHB，∴sin∠AHD＝sin∠AHB＝＝＝，故选项D正确，故选：A．22.（2019•资阳）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝．解：如图，作CH⊥AB于H．由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACE′，∵CE′∥AB，∴∠ACE′＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴DC＝DA，∵AD＝DB，∴DC＝DA＝DB，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝5，∵•AB•CH＝•AC•BC，∴CH＝，∴AH＝＝，∵CE∥AB，∴∠E′CH+∠AHC＝180°，∵∠AHC＝90°，∴∠E′CH＝90°，∴四边形AHCE′是矩形，∴CE′＝AH＝，故答案为．23.（2019•巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16．解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16故答案为：24+1624.（2019•绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变解：连接DE，∵，，∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．故选：D．25.（2019•湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A．2B．C．D．解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM＝PB，∴PM＝AB，∵PM＝＝，∴AB＝，故选：D．26.（2019•温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F 为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．解：如图，连接ALGL，PF．由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PH＝，∵点A，L，G在同一直线上，AM∥GN，∴△AML∽△GNL，∴＝，∴＝，整理得a＝3b，∴＝＝＝，故选：C．27.（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．28.（2019•金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）A．B．﹣1C．D．解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，∴正方形EFGH的边长GF＝＝∴HF＝GF＝∴MF＝PH＝＝a∴＝a÷＝故选：A．29.（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于2（5+3）．解：∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴＝，∴＝，∴x2＝4a2，∴x＝2a或﹣2a（舍弃），∴P A′＝PD′＝2a，∵•a•2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．故答案为2（5+3）30.（2019•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为12+8cm．解：如图所示，连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI＝2，∵三个菱形全等，∴CO＝HO，∠AOH＝∠BOC，又∵∠AOB＝∠AOH+∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOC+∠BOH＝90°，即△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝∠CHO＝45°＝∠HOG＝∠COK，∴∠CKO＝90°，即CK⊥IO，设CK＝OK＝x，则CO＝IO＝x，IK＝x﹣x，∵Rt△CIK中，（x﹣x）2+x2＝22，解得x2＝2+，又∵S菱形BCOI＝IO×CK＝IC×BO，∴x2＝×2×BO，∴BO＝2+2，∴BE＝2BO＝4+4，AB＝AE＝BO＝4+2，∴△ABE的周长＝4+4+2（4+2）＝12+8，故答案为：12+8．31.（2019•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是4．解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．在Rt△EMG中，∵GM＝4，EM＝2+2+4+4＝12，∴EG＝＝＝4，∴EH＝＝4，故答案为4．32.（2019•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．解：如图所示：图1的周长为1+2+3+2＝6+2；图2的周长为1+4+1+4＝10；图3的周长为3+5++＝8+2．故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．故答案为：6+2或10或8+2．。
2020年全国中考数学压轴题精选(3)(含答案)
2020年全国中考数学压轴题精选精析（三）25.（2020江西南昌）24．如图，抛物线2212191128y ax ax P y ax ax ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭经过点且与抛物线，，相交于A B ，两点．（1）求a 值；（2）设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点(0)Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C ，D 两点，试问当x为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？（2020江西南昌24题解析）24．解：（1）Q 点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，1191428a a ∴-++=， ·············································································· 2分 解得12a =． ···························································································· 3分（2）由（1）知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--． ······ 5分当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =． Q 点M 在点N 的左边，2M x ∴=-，1N x =． ·········· 6分当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． Q 点E 在点F 的左边，1E x ∴=-，2F x =． ················································ 7分0M F x x +=Q ，0N E x x +=，∴点M 与点F 对称，点N 与点E 对称． ······················································ 8分（3）102a =>Q ．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． ·············· 9分根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ········································ 11分A B x x x Q ≤≤，∴当0x =时，CD 有最大值2． ········································ 12分说明：第（2）问中，结论写成“M N ，，E F ，四点横坐标的代数和为0”或“MN EF =”均得1分．26.（2020江西南昌）25．如图1，正方形ABCD 和正三角形EFG 的边长都为1，点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动，设点G 到CD 的距离为x ，到BC 的距离为y ，记HEF ∠为α（当点E F ，分别与B A ，重合时，记0α=o ）．（1）当0α=o时（如图2所示），求x y ，的值（结果保留根号）；（2）当α为何值时，点G 落在对角形AC 上？请说出你的理由，并求出此时x y ，的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：（4）若将“点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动”改为“点E F ，分别在正方形ABCD 边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G 运动所形成的大致图形．1.732sin150.259sin750.96644==o o，≈，≈．）（2020江西南昌25题解析）25．解：（1）过G作MNAB⊥于M交CD于N，GK BC⊥于K．60ABG∠=oQ，1BG=，MG∴=，12BM=．··········································································2分1x∴=12y=．·············································································3分（2）当45α=o时，点G在对角线AC上，其理由是：····································4分过G作IQ BC∥交AB CD，于I Q，，过G作JP AB∥交AD BC，于J P，．ACQ平分BCD∠，GP GQ∴=，GI GJ∴=．GE GF=Q，Rt RtGEI GFJ∴△≌△，GEI GFJ∴∠=∠．60GEF GFE∠=∠=oQ，AEF AFE∴∠=∠．90EAF∠=oQ，45AEF AFE∴∠=∠=o．即45α=o时，点G落在对角线AC上． ·······················································6分（以下给出两种求x y，的解法）方法一：4560105AEG∠=+=o o oQ，75GEI∴∠=o．在Rt GEI△中，sin75GI GE==og，图1 图2B(EA(F D图3HDACB图4B(EA(FKDQ6214GQ IQ GI +∴=-=-． ································································ 7分 6214x y +∴==-． ············································································ 8分 方法二：当点G 在对角线AC 上时，有13222x ++=， ··············································································· 7分 解得6214x +=-6214x y +∴==-． ············································································ 8分 （3）α0o15o30o45o60o75o90ox0.130.030 0.030.130.29 0.50 y0.50 0.29 0.13 0.03 00.03 0.13······················································· 10分 （4）由点G 所得到的大致图形如图所示： ············································································· 12分说明：1．第（2）问回答正确的得1分，证明正确的得2分，求出x y ，的值各得1分； 2．第（3）问表格数据，每填对其中4空得1分；3．第（4）问图形画得大致正确的得2分，只画出图形一部分的得1分． 27.（2020山东滨州）23、（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.（2）结论应用：①如图2，点M 、N 在反比例函数y=)0(>k xk的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F. 试应用（1）中得到的结论证明：MN ∥EF.H AC DBy xONMF E②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断MN 与E 是否平行.（2020山东滨州23题解析）23．（1）证明：分别过点C 、D 作.CG AB DH AB ⊥⊥、 垂足为G 、H ，则090.CGA DHB ∠=∠=CG DHABC ABD ∴∴∴∴P Q V V P 与的面积相等CG=DH四边形CGHD 为平行四边形AB CD.（2）①证明：连结MF ，NE设点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ， ∵点M ，N 在反比例函数()0ky k x=f 的图象上， ∴11x y k =，22x y k =2,ME y NF x OF x ⊥⊥∴=Q 1轴，轴OE=y112211221122EFM EFN EFM EFN S x y k S x y k S S ∴====∴=V V V V由（1）中的结论可知：MN ∥EF 。
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2020年全国中考数学试题分类汇编————压轴题1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y =241x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上.(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时.① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值.A BCDPE2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．COABD N MP xyRH3.如图，已知抛物线y ＝－12x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．4.如图，P 为正方形ABCD 的对称中心，A （0，3），B （1，0），直线OP 交AB 于N ，DC 于M ，点H 从原点O 出发沿x 轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R 从O 出发沿OM 方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。
求：（1）C的坐标为；（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。
5．（2010年浙江金华）如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P 从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．请解答下列问题： （1）过A ，B 两点的直线解析式是 ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ；当t ﹦ ，点P 与点E 重合；（3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射BFAPEO xyl线DC 交于点G 。
（1）求DCB ∠的度数;（2）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△F OE '，记直线F E '与射线DC 的交点为H 。
①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG∽△DHE; ②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标。
7.△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB =23．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点B 在第一象限，纵坐标是62时，求点B 的横y xCDAO BE GF（图1）xCD AO BEGHF F 'y （图2）xCDAO BEy （图3）O y x CBA11 -1-1坐标；(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你 探究： ① 当54a =，12b =-，355c =-时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 设b =-2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．8．如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A , B ,点A 的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2.（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的 直线为l ,且l 与x 轴交于点N .① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为 (1, 2)，求点N 的横坐标；② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.9．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ； （2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；（3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？DEQBACP H10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB l∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；(2)当△DEG与△AC B相似时，求t的值；(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．3时，连结C′C，设四边形ACC′A ′的面积为S，①当t>5求S关于t的函数关系式；②当线段A ′C ′与射线BB l，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．11．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x－2x，并求出当S=36时点A1的坐标；1（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每y秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．12．如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒23cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒（1）当点P在线段AO上运动时.①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由.13．如图，已知△ABC ∽△111C B A ，相似比为k （1>k ），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （c b a >>），△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。
⑴若1a c =，求证：kc a =；QEO ACD BP⑵若1a c =，试给出符合条件的一对△ABC 和△111C B A ，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 进都是正整数，并加以说明；⑶若1a b =，1b c =，是否存在△ABC 和△111C B A 使得2=k ？请说明理由。
14．如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－433，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′． （1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．解：15．问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。
探究∠DBC与∠ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
(1) 当∠BAC=90︒时，依问题中的条件补全右图。
观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出∠DAC=15︒时，可进一步推出∠DBC的度数为；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；(2) 当∠BAC≠90︒时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
16.如图所示，已知抛物线k x x y +-=241的图象与y 轴相交于点)1,0(B ，点(,)C m n 在该抛物线图象上，且以BC 为直径的⊙M 恰 好经过顶点A . （1）求k 的值; （2）求点C 的坐标；（3）若点P 的纵坐标为t ，且点P 在该抛物线的对称轴l 上运动，试探 索：①当12S S S <<时，求t 的取值范围（其中：S 为△PAB 的面积，1S 为△OAB 的面积，2S 为四边形OACB 的面积）；②当t取何值时，点P在⊙M上.（写出t的值即可）17.如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且54OD=.（1）求直线AC的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得DMC△为等腰三角形？若存在，直接写出．．．．所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）抛物线2y x=-经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上），且ODE△沿DE折叠后点O落在边AB上O′处？18.如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式； （2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）. ① 当t=25时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．19．如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线2y x 上，过点B 作x图2BCOA D E MyxPN· 图1BCO (A )DE Myx轴的垂线，垂足为A ，OA=5。