巧用方差解竞赛题
方差练习题及答案
方差练习题及答案在统计学中，方差是用于衡量数据变异程度的重要概念。
为了帮助大家更好地理解和应用方差，下面将为大家提供一些方差练习题及答案。
通过练习，相信大家能够加深对方差的理解，并提升自己的统计学能力。
练习题1：某家电公司对一种新推出的电视机型进行了质量测试。
经过抽取一定数量的样本，得到了以下质量检测结果（单位：小时）：样本A：120, 150, 140, 135, 130样本B：125, 130, 140, 135, 145样本C：130, 135, 125, 140, 130请计算样本A、样本B和样本C的方差，并分析样本数据的变异情况。
答案：首先，我们需要计算每个样本的平均值。
对于样本A，平均值为（120+150+140+135+130）/5 = 135，样本B的平均值为（125+130+140+135+145）/5 = 135，样本C的平均值为（130+135+125+140+130）/5 = 132。
然后，我们计算每个样本数据与平均值的偏差平方，得到如下结果：样本A的偏差平方：(120-135)²，(150-135)²，(140-135)²，(135-135)²，(130-135)²样本B的偏差平方：(125-135)²，(130-135)²，(140-135)²，(135-135)²，(145-135)²样本C的偏差平方：(130-132)²，(135-132)²，(125-132)²，(140-132)²，(130-132)²将每个样本的偏差平方相加，并求平均值，即可得到方差的计算结果：样本A的方差：((120-135)² + (150-135)² + (140-135)² + (135-135)² + (130-135)²)/5 = 112样本B的方差：((125-135)² + (130-135)² + (140-135)² + (135-135)² + (145-135)²)/5 = 100样本C的方差：((130-132)² + (135-132)² + (125-132)² + (140-132)² + (130-132)²)/5 = 17.6通过对样本数据的方差计算，我们可以看出样本A的方差最大，而样本C的方差最小。
巧用方差解竞赛题
所以ｚ 一ｏ ｓ一ｏ 一１ ， ． 所以ｚ＝ ＝ ； 一羔 ＿一１ 亏三 ． ；
又 ｚ — Ｙ — ｚ一 １也 适 合 ③ ．所 以 原 方 程 组 的 解 为
ｆ 一 ｚ １，
读 者可 以看 出 ， 上运 用 方差 特性 ｓ 以 ≥ ０解 题 的 主 要 依 据 是 Ｓ 一 ［ ｚ｝ ｚ； … ＋ ｚ ） （ ＋ ＋ ： 一 （ ｚ ＋ … ＋ ｚ ） ］ ｏ ， ｚ＋ ｚ ≥ 即 （ ｝ ｚ； ｚ＋ ＋
，
① ② ③
【 Ｙ ＋ ｚ ｚ ＋ 一 ３ ．
的 所有 实数解．
解 由 ① ② 得 ，ｚ＋ Ｙ 一 ３一 ｚ，ｚ ＋ Ｙ 一 ３一 ，
维普资讯
所 ｚ３ 方 ｓ ［ ３一１ ＋，一 ｚ 以 ，的 差 （＋， （ ３］一 （ ， 一 ｚ ｚ ） ）
一
一
一
＋ 一 ９， 求
一
代 数 式 － ２ ＋ ３ ＋ ｙ－ ｚ的 值 ． － － 解 由 已 知 得 （ ＋１ ＋ 一 ６，（ ＋ １ — ｚ － ９ 则 － １ － ） － － ） － ｚ＋ ， － ＋ ， －
的 差 ｓ 吉（ １＋２ ［ 方 ： 一 ［ ＋） ｙ一 ］
） ．
维普资讯
６ 一 ，６ 睾 ｎｂ 方 Ｓ一 一 ｃｎ 一 ，， 的 差
（ 一 ） ｃ 一 ２ 一 丝 ≥。 ，
解得 ｃ ２ 或 ｃ ０ ≥ 沤 ＜ ．
满足 ｎ ＋ ｎ ｂ＋ ６ 一 １， ａ 一 ａ 求 ｂ＋ ｂ 的
ｓ一 （． Ｚ （ ］一 ２ ｚ ［２ ｙ 一１ ＋ ）一 ｚ ｚ｛ ） ｚ － － ，
又 Ｓ ≥ ０ 所 以 一 ≥ ０，ｚ ， ≤ ０， 以 ｚ一 ０，Ｓ 所 一 ０ 所 以 ｚ— Ｙ ・
利用“方差”解竞赛题
李 耀 文 ： 用 “ 差 ” 竞 赛 题 利 方 解
・４ ・ ５
利 用 “ 方 差 ＂解 竞 赛 题
●李 耀 文 （ 枣庄市第十八中学 山东枣庄 ２７０ ） ７２０
方差公 式 在解数 学 题 中有 着极其 广 泛 的应 用． 但 是有 时也 会 造成一 种 错觉 ， 好像 方 差公 式仅 仅是 在 统计 初步 内容 中才 使 用 ． 则 不 然 ， 面 笔者 就 实 下 方 差公 式在 解竞 赛题 中的用 武 之地 举例 如下 ， 供赏
。 ｓ
＝
÷ 一） （ 一） ． （ ］ ＋ ２ ． 一） ＝ 。 ｘ ＋・ ＋
由ｓ ≥０， ＝０ 即 ｓ 知 ， ＝０ 从 而 ：３ ， ． ｙ 于是 ＝ ３， ） １所 以 ，＝ ， ＝３ｘ ＝９ 。 １ ．
２ ２ 求取 值 范 围 ．
÷ （ ＋ ＋． ） ｎ］ ［ ； ．＋ 一 ＝ ・
２
ｓ
＝
ｎ ＋６ ＝ （ 口＋６ 一２ ｂ ＝１ ） ａ ８—２ ｃ．
［ 一（ ）＝ 。 ２ 】
（ ｃ 一２ ＋１ ６
一
视 口 ｂ为 一组数据 ， 由方 差公 式得 ， 则
ｓ２
＝
一３ ２—３ ）＝ ２
一
—
．
可知
（ ０ ２年 山 东省初 中数 学竞 赛试题 ） ２０
由 ＋Ｙ＝ ５ 可 得 ，
＋ Ｙ ： ２ —２ ． ５ ｘｙ
＋× ＝ ≥ ， ３ 半 ０
ｔ 一３ ≥ ．
视 ， 一组数 据 ， 由方 差公 式得 ｂ为 则
ｓ
２
＝
＝ ｘ ＋） 一９ ｙ ， ，
丢口 一 丁ｂ ＝ 【 ２ ＋ （ ） ａ ］
平均数方差的奥赛知识
平均数方差的奥赛知识解答平均数问题的关键是要找准问题与条件，条件与条件之间相对应的关系，通常要先确定总数量以及与总数量相对应的总份数，再求平均数。
例题1华华3次数学测验的平均成绩是89分，4次数学测验的平均成绩是90分。
第4次测验多少分？思路导航：根据3次数学测验平均成绩是89分，可求出3次测验的总成绩是89×3=267分；根据4次数学测验平均成绩是90分，可以求出4次测验的总成绩是90×4=360分，最后求出第4次测验成绩是：360－267=93分。
也可以这样想：4次测验的平均成绩比3次的平均成绩多了90－89=1分，4次共多出了1×4=4分，那么第4次的测验成绩就是89＋4=93分。
例题2宁宁期中考试语文、数学、自然的平均分是91分，英语成绩公布后，他的平均分提高了2分。
宁宁英语考了多少分？思路导航：宁宁语文、数学、自然的平均分是91分，可以求出三门功课的总分为91×3=273分；英语成绩公布后，四门功课的平均分为91＋2=93分，总分为93×4=372分，所以，英语成绩为372－273=99分。
例题3有7个数的平均数为8，如果把其中一个数改为1，这时7个数的平均数是7。
这个被改动的数原来是几？思路导航：改动前，7个数的平均数为8，这7个数的总和是8×7=56；改动后7个数的平均数是7，这时7个数的总和是7×7=49，改动前后总和相差了56＋49=7，这说明原数比1多了7，因而原数为1＋7=8。
例题4有4个数，这4个数的平均数是21，其中前两个数的平均数是15，后3个数的平均数是26。
第二个数是多少？思路导航：根据“4个数的平均数是15”可以得出4个数的总数就是21×4=84；又根据“前2个数的平均数是15，后3个数的平均数是26”可以得出它们的总数为15×2＋26×3=108，其中第二个数被重复算了一次，所以总数就多出了108－84=24，这多出的24就是第二个数。
构造方差巧解数学竞赛题
构造方差巧解数学竞赛题
薛朝军
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2004(000)007
【摘要】方差S2=[(x1—x-)2+(X2-x-)2+…+(Xn-x-)2]／n(其中x-是n个数据x1，x2，…xn的半均数1是用于描述数据波动的情况的一个量．方差的表达式可以写
成S2=[(x12+x22+…+xn2)-(x1+x2+…+x2)2／n]／n，显然有S2≥0(当且仅当
x1=x2=…=xn=x-时等号成立)．利用方
【总页数】2页(P34-35)
【作者】薛朝军
【作者单位】福建莆田中山中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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高中数学例题：方差、标准差
高中数学例题：方差、标准差例4．在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．【解析】 （1）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．（2）21251013146s =+++++甲[2(50－80)2+5(60－80)2+10(70－80)2+13(80－80)2+14(90－80)2+6(100－80)2]=150(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172，2150s =乙(4×900+4×400+16－100+2×0+12×100+12×400)=256． ∴22s s <乙甲，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组成绩好些．（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好．（4）从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为14+6=20（人），乙组成绩大于或等于90分的人数为12+12=24（人），∴乙组成绩集中在高分段的人数较多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好【总结升华】 要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语．全方位地进行必要的计算，而不能习惯地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．举一反三：【变式1】甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下（单位:mm) 甲机床：10.2 10.1 10.0 9.8 9.9 10.3 9.7 10.0 9.9 10.1 乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10.0分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10 mm ，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？ 【解析】101001011.101.102.10101=⨯=++=）（甲 x ，1010101104.103.10101=⨯=+++=）（乙 x .∴[]2222101.10101.10102.10101）（）（）（甲-+-+-= s =0.032mm[]22221010104.10103.10101）（）（）（乙-+-+-=s =0.062mm . ∴2甲s ＜2乙s∴用甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适.。
运用方差解决问题
解：(1)x 甲＝40(千克)，x 乙＝40(千克)，总产量为 40×100×98%×2＝
7840(千克) (2)s 甲 2＝41[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝ 38(千克 2)，s 乙 2＝14[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24(千 克 2)，∴s 甲 2＞s 乙 2，∴乙山上的杨梅产量较稳定
知识点2：方差的变化规律 6．一组数据的方差为9，将这组数据中的每个数据都扩大到原来的2 倍，则得到的一组新数据的方差是( C ) A．9 B．18 C．36 D．81 7．一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是2，方差是5，则2x1＋ 3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3，2x6＋3的平均数和方差分别是( D ) A．2和5 B．7和5 C．2和13 D．7和20
3．(2015·孝感)为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居 民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：
居民(户) 月用电量(度/户)
1324 40 50 55 60
那么关于这 10 户居民月用电量(单位：度)，下列说法错误的是( C ) A．中位数是 55 B．众数是 60
9．质检部门从A，B两厂生产的乒乓球中各抽取了10个，对这些乒乓 球的直径进行了检测，并将有关数据绘制成图如下，则所测两组数据 的方差的大小关系是( A )
A．sA2＜sB2 B．sA2＝sB2 C．sA2＞sB2 D．不能确定
10．小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手 的成绩不太稳定．根据图中的信息，估计这两人中的新手是__小__李__．
C．方差是 29 D．平均数是 54
苏科版-数学-九年级上册-如何利用方差选拨队员
初中-数学-打印版
如何利用方差选拨队员
如何利用方差选拨队员
难易度：★★★
关键词：平均数
答案：
方差是总体中的各个值和平均值之间的波动大小，方差越小，队员的成绩越稳定。
【举一反三】
典例：某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成
绩与方差S2如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（）
A、甲
B、乙
C、丙
D、丁
思路引导：一般来讲，解决此类问题方差反映个人发挥的稳定与否，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，应该根据方差进行判断，方差小的稳定.
标准答案：B.
初中-数学-打印版。
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巧用方差解竞赛题 The final edition was revised on December 14th, 2020.
巧用方差解竞赛题
设一组数据1x ，2x ，……，n x 的方差为2s ，平均数为-x ，则有
2
s =2221)()[(1---+-x x x x n +…+])(2--x x n ① 或者2
s =n 1[(21x +22x +…+2n x )-2-x n ]② 由公式①不难得出方差的两条性质：
性质1 任何一组数据的方差都是非负数；
性质2 若一组数据的方差为零，则该组数据均相等，且都等于平均数．
由于-
x =n
1(1x +2x +…+n x )，因此公式②也可以写成2s =n 1[(21x +22x +…+2n x )-n 1(1x +2x +…+n x )2]③ 运用方差的两条性质及公式③可以巧解一类竞赛题． 例1 (江苏省第二十届初中数学竞赛题)设x ，y 是正实数，且1=xy ，当x =__时，44411y
x z +=的最小值为____． 解：视2
1x 、221y 为一组数据，则 2s =])211(21)21()1[(212222222y
x y x +-+
=)1411(412244y x y x -+=0)1411(4144≥-+y
x ． 由性质1，得0)1411(4144≥-+y x ，即4
141144≥+y x ． 故44411y x z +=的最小值是4
1． 当且仅当21x =221y
时取等号，此时2x =22y ． 又∵1=xy ，∴x
y 1=． ∴2x =2)1(2x
，即44=x ． ∴2x =2，2±=x ．
例2 (2005年全国初中数学联赛初赛试卷)已知3=++c b a ，3222=++c b a 则200520052005c b a ++的值是（）
(A)0 (B)3 (C)20052 (D)200523⋅
解：视a 、b 、c 为一组数据，则
2s =])(3
1)[(312222c b a c b a ++-++ =)33
13(312⨯-=0． 由性质2，得a =b =c =1．
∴200520052005c b a ++=200520052005111++=1+1+1=3． 故应选(B)．
例3 (江苏省第二十届初中数学竞赛题)正实数a 、b 、c 、d 满足1=+++d c b a ，设13+=a p +13+b +13+c +13+d ，则（）
(A)5>p (B)5=p (C)5<p (D)p 与5的大小无法确定 解：视13+a 、13+b 、13+c 、13+d 为一组数据，则
2s =2222)13()13()13()13[(4
1+++++++d c b a 2)]13131313(4
1+++++++-d c b a =]4
14)(3[412P d c b a -++++ =]41413[412P -+⨯=)4
17(412P - 由性质1，得0)4
17(412≥-P ，282≥P ． ∵0>P ，∴52528=>≥P ．
故应选(A )．
例4 (第十八届江苏省初中数学竞赛试题)：方程
122+--+-y x y xy x =0的实数解是_____.
解：考察数据x 、y ，得
2s =])(2
1[21222y x y x +-+ =])()(2[4
1222y x y x +-+ ∵xy y x y x 2)(222++=+，∴)()(2222y x y x xy +-+=． ∵122+--+-y x y xy x =0，
∴02)(22)(222=++--+y x xy y x ．
∴02)(2)]()[()(222222=++-+-+-+y x y x y x y x ． ∴2)(2)()(3222-+++=+y x y x y x ．
∴2s =
])(3)(32[12
1222y x y x +-+⨯ =])(3)(32[12
1222y x y x +-+⨯ =])(3]2)(2)[(2[12
122y x y x y x +--+++ =]4)(4)([12
12-+++-y x y x =2)2(12
1-+-y x ∴2s +2)2(12
1-+y x =0． 又02≥s ，0)2(1212≥-+y x ，∴2s =0，2)2(121-+y x =0． ∴y x =，2-+y x =0．
∴x =1，1=y ．
例5 (美国第七届中学生数学奥林匹克竞赛题)已知a 、b 、c 、d 、e 是满足e d c b a ++++=8和22222e d c b a ++++=16的实数，试确定e 的最大值．
解：视a 、b 、c 、d 为一组数据，则
2s =])(4
1[4122222d c b a d c b a +++-+++ =])8(4
116[4122e e --- =)44
5(412e e +-
由性质1，得0)445(412≥+-e e ． 解得5
160≤≤e ． ∴e 的最大值是516．。