函数思想在数列解题中的应用
函数思想在数列解题中的应用
作者：温满江
来源：《成才之路》2012年第06期
随着新课程改革的实施与不断创新，近几年来，数列与函数的综合已成为高考命题的重点与热点，两者交融的试题常常作为学生综合能力考查的把关题。
因此，在解决数列问题时，应充利用函数有关知识，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列与函数的综合问题。
一、理清数列与函数的关系
从函数观点来看，数列是一类定义在正整数集或的有限子集｛1，2，…n｝上的一些特殊函数，当自变量从小到大依次取值时，an即为所对应的一列函数，而数列的通项公式、求和公式也就是相应函数的解析式。
可见，任何数列问题都蕴涵着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。
特别地，对于等差数列的前n项求和公式与二次函数联系相当紧密，一般都是按照求二次函数的最值方法来求数列前n项和的最值问题。
同时，等比数列的通项公式及前n 项求和公式也与我们非常熟悉的指数函数联系相当紧密。
二、巧助函数解析式解决数列问题
数列是特殊的函数，由已知的函数解析式巧解数列问题是函数与数列交汇的基本形式体现。
一般地，解决此类问题，主要是要对数列的通项公式及前n项和公式的特殊函数关系这一概念的理解与分析，进而合理地找到解决问题的主要思路和方法。
例1设函数f（x）=，求和s=f()+f()+…+
f()。
解析：我们知道，函数f（x）=具有一个重要特性，即
f（1-x）+f（x）=1，因此可利用这一特性解决求和的相关问题。
解：因为f（x）=，所以f（1-x）===，
所以由f（1-x）+f（x）=1可知，有
s=f()+f()+…+f()，①
s=f()+f()+…+f()。
②
①+②得2s=2001，
即s=。
三、借助函数性质解决数列问题
函数性质是函数特征的显性反映，深入了解并利用函数的性质可以大大简化解题过程，会收到事半功倍的良好效果。
如函数的单调性、周期性、奇偶性以及函数图像等特殊性质在数列中应用非常广泛。
数列的通项公式就是一个函数表达式，求数列的最大项和最小项需要分析数列的函数性质，找准单调区间，或画出图像观察最高点和最低点。
求数列的最大项或最小项时，通常有两种方法：一是考查数列的单调性；二是做出数列的点列图形。
通过下面这些问题的分析，不但可以使学生进一步巩固函数的性质，而且可以提高学生解决数列问题的能力，进而培养学生全面分析问题与综合应用数学知识解决问题的能力。
例2等差数列｛a｝中，Sn是它的前n项和。
已知a5=10，Sn=3，求证：数列｛Sn｝是单调递增数列。
解析：本题主要考查了数列的通项公式、前项和及函数性质，因此可先求出，再利用二次函数的性质来考虑单调性。
证明：设等差数列的公差为d，则利用等差数列的通项公式易得a1=-2，d=3，将其代入前n项和公式中有Sn=n2-n=（n-）2-。
设Sn对应函数为：y=（x-）2-，
则由二次函数性质易知当x≥时，函数y=（x-）2-为增函数。
所以，当n≥2时，有Sn+1≥Sn。
另一方面，由Sn=（n-）2-可知Sn的最小值在n=1时取得，即（Sn）min=S1，从而有S1
所以，数列｛Sn｝是单调递增数列。
四、结合函数图像解决数列问题
通常，函数图像是函数特征的直观体现，利用图像解决数学问题（数形结合）是我们经常采用的手段。
因此，在解决数列问题时，我们利用数列通项公式、前n项和公式中所反映的函数图像来解决问题，常常会起到意想不到的效果。
例3 已知an=，则在数列｛an｝的前30项中，最大项和最小项分别是（）。
A. a1，a30
B. a1，a9
C. a10，a9
D. a10，a30
解：通过常数分离，可将an=分离为部分分式an=1+。
如图所示，类似反比例函数的图像，显然a9最小，a10最大。
故选C。
通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视函数思想的渗透，应该把函数概念、图像、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高。
另外，对上述问题还有许多其他的解法，我们应注意引导与发散，从而进一步提高学生分析问题与解决问题的能力。
总之，数学方法是提高学生分析问题和解决问题的主要基础，也是培养学生数学意识的主要阵地。
为此，我们在教学中必须树立与时俱进的教育观念，通过创设愉悦、和谐的教学氛围，设计符合学生认知特点的问题，通过问题教学有效启发学生思维，调动学生学习积极性，发挥学生学习潜能，培养其思维能力，促进学生全面发展，唤起学生的创新意识，最终在教学活动中努力提高学生的学习能力。
（通渭县第二中学）。
函数思想在数列中的应用
＊ 臻
函数 思想在 数 列 中的应 用
◎ 王 璐 （华 中 师 范 大 学数 统 学 院 ４３００７９ 湖 北省 襄 樊 市 南漳 县 第一 中学 ４４１５００）
数 列 一 直 备 受 高 考 命 题 人 的 青 睐 ，也 是 学 生 的难 点 问 题 ．我 们 可 以把 数 列 通 项 公 式 ％ 与 前 ｎ项 和 公 式 ５ 看 成 是 一 种 以 正 整 数 ｎ为 自变 量 的 函 数 ，那 么 数 列 的性 质 就 可 以通 过 函 数 的 性 质 反 映 出来 ．本 文着 重 用 函 数 的观 点 去 理 解 数 列 ，找 出它 们 之 间存 在 的 联 系 ，拓 展 学 生 的 思 维 结 构 ， 提 高 学 生分 析 问题 和 解 决 问题 的 能 力 ．
·。 ，ｒ … ．＋ 奇１ １ 寺
总 之 ，运 用 函 数 思 想 解 决 数 列 问题 ，能 使 一 些 数 列 问 题 简 单 化 、趣 味 化 ，提 高 学 生 学 习 数 列 的 兴 趣 ，锻 炼 其 思 维 ，培 养 其 能 力．
，
）（ ：
１，２… ）的表 达 式 ；
（２）设 直 线 ＝ ， ＝— ， 轴 及 ｙ＝／（ ）的 图像 围
成 的矩 形 的 面 积 为 （ ＝１，２… ），求 ａ１，ｎ２及ｌｉｍ （ａｌ ４－啦＋… ＋
％）的值 ． 分 析 本 题 考 查 函 数 、数 列 、极 限 等 基 本 知 识 的综 合 问
２．用 函 数 的 单 调 性 求值 域
例 已知 数 列 ｛ａｎ｝中 ， ＝ １＋— ，求 数 列 中 最 大
｝ ｎ 一
项 与 最 小 项． 分 析 这里 求 数 列 的 最值 ，不 妨 我 们 就 用 函数 的思 想
例谈方程函数思想在初中数列中的妙用
个是 ３ 第 三 个 数 是 Ｉ 则 第 ｎ个数 是 Ｉ
Ａ） ８ － Ｂ） ｎ＋ ｎ５ ｚ２ Ｃ） ４ ｌ ｎ－
（
）
Ｄ） ２ ２４ ＋ ｎ－ ｎ ５
７ ７ ＝ １ ＝ ＋６ ３ ７ １ ：７ ＋ ９ ＋６ ６ ：７ ０ ＋６ ： ＋ ｌ ７ ６ ： ＋ ２ ７ ６ ＝ ＋ ３ ７ ６，
｛ 芝 之： ： 解得｛ 二
所以，Ａ ｎ与 ｎ的一次函数 的解析式为 Ａ ＝ ｋ １ ｎ ４－ ，因此，新数列的第 ｎ
个数是 ４一 。 ｎ １ 三 、具 体 应 用 俗话 说 ：“ 了 鸟枪 ，就 要 打 鸟 ” 请 看下 面的 例 子 吧 ！ 挂 ， 例 ｌ ，如 图 ，将 一 个 正 三角 形 纸 片 剪成 四个 全 等 的 小 三 角形 ， 再将 其 中 的一 个 按 同样 的 方 法 剪 成 四个 更 小 的 三 角 形 ， 如 此 继 续下 去 ， 结 果如 下表 ：
数 列 的 第 ｎ项 的函 数 解 析 式 的方 法 以及 在 解 决 较 难 问题 时 的妙 用 。
【 词１ 函数 关键
数列
妙用
“ 中数列 ”这 种说 法可能有点不妥当 。等差数列 、等 比数列 、公 初
差 、公 比 、 通项 公式 等 这 些 概 念 在 初 中 数 学 中 是 不 出现 的 ，但 其在 初 中 数 学 中 应用 是 非 常 广泛 的 。 所 解 决 数 列 问 题 在 通 常 情 况下 ，教 师是 通 过逐 项 分 析 、研 究 、哉 公 差 ，找 公 比 ， 最 后 摸 索 出通 项 公 式 ，再 利 用 其 它数 学知 识 ，解 决题 目 中 出 现 的 问题 。 这 样 做 对 初 中 学生 来 说 ， 确 实具 有很强 的挑 战性 ，而具有挑 战精 神的优 秀学生却乐此不彼。因此 ，我根 据平 时 的教 学经 验 ，摸 索 出 符 合 初 中生 特 点 的 用 方 程 函数 思 想 来 解 决 这 类 问题 的 方 法 。现 就 等 差 数 列 及 其相 关 内容 ，谈 一 谈 个 人看 法 并 写 出来 供 同行 参 考 。 提 出问题 请 看 这 道题 ：试 一 试 ， 观 察下 面 几 组 数 ：
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用在高中数学教学中，函数思想是一个非常重要的概念。
函数不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
在高中数学解题中，函数思想的应用几乎无所不在，它可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
本文将从几个具体的数学问题入手，探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
一、函数思想在代数问题中的应用代数是高中数学中一个非常重要的部分，而函数思想在代数问题的解决中起着至关重要的作用。
以一道典型的代数题目为例：已知函数f(x) = 2x-1，g(x) = x^2+3x，求f(g(x))。
在这道题目中，我们需要先计算出g(x)，然后将g(x)的结果代入f(x)中去，以求出f(g(x))。
这就是典型的函数嵌套运算，也是函数思想在代数问题中的应用。
通过这种方式，我们可以将复杂的代数运算分解成简单的函数运算，更好地理解和解决问题。
在高中代数中，还有很多其他类型的问题可以通过函数思想来解决，比如函数的复合、反函数的求解、函数的范围与值域等。
函数思想可以帮助学生更好地理解代数问题的本质，从而更好地解决各种代数题目。
已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标是（1，2），求a、b、c的值。
在这道题目中，我们可以将顶点坐标（1，2）代入抛物线的一般式方程中去，得到一个方程组。
然后通过函数思想，将方程组中的未知数a、b、c进行化简和求解，最终得到a、b、c的值。
这就是函数思想在几何问题中的应用，通过将几何问题转化为函数问题，更好地解决了几何问题。
已知数列{an}满足an+1 = an + 2n，a1 = 1，求a10的值。
在这道题目中，我们可以通过递推关系式来计算数列的各项，也可以建立与数列{an}对应的函数f(x)来求解。
通过函数思想，我们可以将数列问题转化为函数问题，从而更好地解决了数列问题。
函数思想在数列中的渗透及应用
（责任 编 辑 金 铃 ）
（ ＋ ＝＝ ＝
＋
五，
一 Ⅲ （ ＋
）＋
·
Ｎ ＩＸＩＥ ＡＢ过 定 点 Ｍ （ Ｃ ｚ。，一 Ｃ ）·
当直线 ＡＢ的斜率 为 ０时，可 以验证 ＡＢ也 过定 点 Ｍ ．由于以上各步可逆 ，充分性也成立．
所 以原 命 题 得 证 ．
结 论 ３：对 于双 曲 线 一 一 １（。＞ ｏ，６＞ ｏ），点 ｃ （ ，Ｙ。）是双曲线上的一定点 ，ＡＢ是它的一动 弦 ，则 ＣＡ
知识 ，以函数 的概 念 、图象 、性质 为纽 带 ，架起 数 列 与 函
数的桥 梁 ，揭示 它们 之间 的内在联 系，从而有 效化解 数
列问题 ，本 文结合几个实例谈谈 函数思想 在数列 中的渗
透 及应 用 ．
一 、 运 用 函数 的有 关 概 念 研 究 数 列
数列 的通项公式 ａ 以及 前 项 和 Ｓ 均是关 于变量
（ ＋ 以。） ＋ （６。一口 ）ｍｙｏ＋ （６ ｍ ａ。）ｚ０— ０，
／
／。 ．
￣ＣＢ的充要 条 件 是 动 弦 ＡＢ过 定 点 Ｍ ‘
ｚ。，一
也 就 是 ”一 （ ＋ ）， 把 它 代 入 直 线 方 程 ｘ＝ｍｙ－￣ｎ得
一 ＋ ｛ （ ＋ 。）
）．（其 中 ｃ 一＆。＋６ 证 明 过程 与结 论 ２类 似 ．
．
【例 ２】 在等 比数列 ｛ｎ ）中，前 ｎ项 和为Ｓ ，已知 Ｓ 一３，Ｓ 一１５，求 Ｓ ．
思路导引 ：由题设知 ，公 比 ｑ≠１考虑 到等 比数列 前 项和对应 的 函数 为 ：Ｓ 一Ｋ ·矿一Ｋ（Ｋ 是 常数 且 ｑ≠ ０，ｑ≠ １，则 有 ：
例析函数思想在解决数列问题中的应用
例析函数思想在解决数列问题中的应用作者：高青来源：《职业·中旬》2010年第05期数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,当自变量由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值;数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n 之间的函数解析式;数列的图像是横坐标为正整数的一系列的离散的点。
一、用函数观点认识数列数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。
等差数列和等比数列式两类特殊的数列,它们的特殊性在通项公式和前n项和公式的结构特征中有充分体现,同时在两公式的相互关联上也有所反映。
对于等差数列{an},它的通项公式an=,an可以看作关于n的一次函数(特殊地,公差为0时是常数函数)图像上的离散点;当d≠0时,前n项和Sn可以看成为关于n的二次函数的图像上的离散点(特殊地,当公差为0时,Sn可看成为关于n的正比例函数或常数函数0的图像上的离散点)。
对于等比数列的通项公式n,前n项和公式的图像是类似于指数函数图像上的离散点。
在教学中充分注意到等差、等比数列的这些图像特征,对于理解等差、等比数列的性质有很大帮助,同时也为解决等差、等比数列的有关问题提供简捷、有效的方法。
二、用函数的方法解决数列问题1.用函数观点研究数列前n项和问题例1.已知数列{an}的前n项和公式为Sn,且S10=100,S100=10试求S110。
分析:由于等差数列前n项和的表达式可变形为当d≠0时,Sn是n的二次式,所以当d≠0时,可看成为n的一次函数图象上的离散点,因此{}也是等差数列。
解:已知{}是等差数列,所以点(10,),(100,),及(110,)三点共线,-110。
例2.已知数列{an}是等差数列,公差d≠0,a1>0,若SK=Sl(K≠1,K,L∈N),求:(1)SK+l的值;(2)Sn 取最值时,n的值。
分析:由于公差不为0的等差数列的前n的项和可看成为关于n的且常数项为0的二次函数图象上的离散点,因为图象经过原点,且,可判断其图象开口向下,所以可以利用二次函数的对称性求出SK+i的值和Sn取最值时n的值。
数学思想在数列问题中的应用举例
数学思想在数列问题中的应用举例李一诺(河北省邢台市第二中学２０１６级１８班㊀０５４０００)摘㊀要:数列常常与函数㊁方程㊁不等式等知识进行综合ꎬ它体现了函数与方程㊁等价转化㊁分类讨论等重要的数学思想方法.关键词:数列ꎻ数学思想ꎻ函数ꎻ转化ꎻ分类计论ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００７－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:李一诺(２００２.８－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ在校学生.㊀㊀一㊁利用方程思想解题方程思想充满了数列整个章节ꎬ它是解决数列有关元素问题的基本方法ꎬ运用方程思想解题需要抓住基本量ꎬ掌握好设未知数ꎬ列方程ꎬ解方程三个环节.例１㊀等差数列ａｎ{}的前ｍ项和为３０ꎬ前２ｍ项和为１００ꎬ则它的前３ｍ项的和为(㊀㊀).Ａ.１３０㊀㊀Ｂ.１７０㊀㊀Ｃ.２１０㊀㊀Ｄ.２６０解㊀设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ由题意可知Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００ꎬ将Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００代入Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎｎ－１()ｄ２得ｍａ１＋ｍｍ－１()ｄ２＝３０ꎬ２ｍａ１＋２ｍ２ｍ－１()ｄ２＝１００.ìîíïïïï解之得ｄ＝４０ｍ２ꎬａ１＝１０ｍ＋２０ｍ２ꎬʑＳ３ｍ＝３ｍａ１＋３ｍ３ｍ－１()ｄ２＝２１０.㊀㊀二㊁利用函数思想解题数列是特殊的函数ꎬ因此ꎬ求解数列问题应根据题意注意沟通数列与函数之间的内在联系ꎬ运用函数的思想方法求解往往使解题方便快捷.例２㊀在等差数列中ꎬ已知Ｓｐ＝ｑꎬＳｑ＝ｐｐʂｑ()ꎬ求Ｓｐ＋ｑ的值.解㊀由题意知:Ｓｎｎ＝ｇｎ()是一次函数ꎬʑ点ｐꎬｑｐæèçöø÷ꎬｑꎬｐｑæèçöø÷ꎬｐ＋ｑꎬＳｐ＋ｑｐ＋ｑæèçöø÷均在直线ｇｎ()＝ｄｎ２＋ａ１－ｄ２上ꎬ从而ｐｑ－ｑｐｑ－ｐ＝Ｓｐ＋ｑｐ＋ｑ－ｐｑｐ＋ｑ－ｑꎬ化简即得Ｓｐ＋ｑ＝－ｐ＋ｑ().㊀㊀三㊁利用分类讨论思想解题依据题中的条件ꎬ确定讨论对象和讨论标准ꎬ使用分类讨论思想ꎬ使解题更具有条理性ꎬ解题过程更加清晰.例３㊀求和Ｓｎ＝１＋２ｘ＋ ＋ｎｘｎ－１ｘʂ０().解㊀ȵＳｎ＝１＋２ｘ＋３ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－２＋ｎｘｎ－１ꎬʑｘＳｎ＝ｘ＋２ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－１＋ｎｘｎ.两式相减得１－ｘ()Ｓｎ＝１＋ｘ＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－１()－ｎｘｎ.当ｘ＝１时ꎬＳｎ＝１＋２＋３＋ ＋ｎ＝１２ｎｎ＋１()ꎻ当ｘʂ１时ꎬＳｎ＝１－ｘｎ１－ｘ()２－ｎｘｎ１－ｘ.㊀㊀四㊁利用转化思想解题根据题目所给的结构特征ꎬ寻找项之间的规律ꎬ利用转化思想解题.它集中体现在求和过程中将非特殊数列转化为等差数列或等比数列.例４㊀求和Ｓｎ＝１ ２＋２ ３＋３ ４＋ ＋ｎｎ＋１().解㊀ȵｋｋ＋１()＝ｋ２＋ｋｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ()ꎬʑＳｎ＝１２＋１()＋２２＋２()＋ ＋ｎ２＋ｎ()＝１２＋２２＋ ＋ｎ２()＋１＋２＋ ＋ｎ()７＝１６ｎｎ＋１()２ｎ＋１()＋１２ｎｎ＋１()＝１３ｎｎ＋１()ｎ＋２().㊀㊀五㊁利用数形结合思想解题恩格斯曾经这样定义数学: 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的数学 .数形结合不仅是一种重要的解题方法ꎬ而且也是一种重要的思维方法.它形象㊁直观ꎬ有利于我们解题.例５㊀设等差数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ已知ａ３＝１２ꎬＳ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ(１)求公差ｄ的取值范围ꎻ(２)指出Ｓ１ꎬＳ２ꎬＳ３ꎬ ꎬＳ１２中那一个值最大?并说明理由.㊀㊀解㊀(１)易得－２４７<ｄ<－３.(２)ȵｄ<０ꎬʑＳｎ＝ｆｎ()的图象为经过原点且开口向下的抛物线上的一群离散点.设抛物线与横轴的另一个交点为Ａｎ０ꎬ０()ꎬ由Ｓ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ可知１２<ｎ０<１３ꎬ对称轴ｎ＝ｎ０２ɪ６ꎬ６.５()ꎬ故当ｎ＝６时ꎬＳ６最大.㊀㊀六㊁利用构造思想解题构造法解题可以化繁为简ꎬ它主要体现在利用原数列构造新数列求通项的问题.例６㊀设正项数列ａｎ}{满足ａ１＝２ꎬａｎ＝２ａｎ－１ꎬ求ａｎ.解㊀ȵａｎ>０(ｎɪＮ)ꎬʑａｎ＝２ａｎ－１.两边取以为２底的对数ꎬｌｏｇ２ａｎ＝１＋１２ｌｏｇ２ａｎ－１.令ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎꎬ则有ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１.用迭代法得ｂｎ＝２－(１２)ｎ－１ꎬʑａｎ＝２２－(１/２)ｎ－１.㊀㊀参考文献:[１]孙丰亮ꎬ娄树庆.数学思想方法在数列教学中的运用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１３(３１).[责任编辑:杨惠民]探究过度放缩后的一种 修正术江凤华１㊀江国荣２(１.江苏省无锡市辅仁高级中学高三９班㊀２１４１２３ꎻ２.江苏省无锡市市北高级中学㊀２１４０４５)摘㊀要:用放缩法证明不等式是高中数学学习中的难点之一.学习时不容易掌握ꎬ我们放缩的 步幅 大了ꎬ常常偏离目标值.有没有一种方法在发现过度放缩以后采取一点修补办法证出目标呢?本文围绕这个目标做了一点尝试ꎬ发现还是可行的.关键词:放缩法证明ꎻ逐步留项ꎻ高中难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００８－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:江凤华(２００１－)ꎬ女ꎬ江苏省海门人ꎬ在校学生.江国荣(１９７１－)ꎬ男ꎬ江苏省海门人ꎬ教师ꎬ从事数学教学及数学教育研究.㊀㊀一㊁探究过程例１㊀证明:ðｎｉ＝１１ｉ２<５３.试证１㊀当ｎ＝１ꎬðｎｉ＝１１ｉ２＝１<５３.当ｎȡ２ꎬȵ１ｉ２<１ｉ (ｉ－１)＝１ｉ－１－１ｉꎬʑðｎｉ＝１１ｉ２＝１１２＋１２２＋１３２＋ ＋１ｎ２<１＋(１１－１２)＋(１２－１３)＋ ＋(１ｎ－１－１ｎ)＝２－１ｎ<２.８。
高考数列题中函数思想的运用
【解析】（Ｉ）由题意，。。＝ｎ＋去√．６。＝
２０００（盎）”｛．
（Ⅱ）．．．函数ｙ＝２０００（品）‘（ｏ＜。＜１０）
递减，．。．对每个自然数ｎ，有６。＞６。＋ｌ＞
ｑ”１的函数值系列，它的图象是函数ｖ＝ ｇ”１图象上的无穷多个孤立点． ｎ与ｓ。也能够建立函数关系．如等差数
ａｌ
６。＋２，则以６。，６。＋１，６。＋＿为边长能构成一个
！！１ ２ ＿Ｌ、．．！。ｉ！！１ ２一 ～ ‰＋ｔ“‘Ｆ（ｎ）一门西再可西；再面。
区间［专，１］上的图象
为直线段．
图２
焉兰酱，躺扎．・．嘶＋１） ｖｆｉｉｉｊｊ两７
２（ｎ＋１）一１’‘‘’、“＋１’
ｎ
（Ⅱ）＾（ｚ）＝一２ｚ＋２，＊∈［｛，１］的反
函数为：ｙ＝ｌ一专，ｚ∈［ｏ，１］．由已知条件
。＞Ｆ（ｎ）’．．，（ｎ）是随ｎ的增大而增大，Ｙ
２以函数图象为工具。直观地简化数列问 题 函数图象是函数特征的直观体现，利用 图象解决数学问题（以形助数）是我们在解 决问题时经常采用的手段．在数列中，我们 可以利用等差数列通项公式、前ｎ项和公 式及等比数列的通项公式中展示的图象关系 来解决问题，常常会起到意想不到的效果． 例２（２００４年重庆）若｛‰｝是等差数 列，首项ｎ１＞０，ｎ瑚３＋口２００４＞０，０２蚴ｎ２００４ ＜０，则使前ｎ项和Ｓ。＞ｏ成立的最大自然 数ｎ是（ ）． （Ａ）４００５（Ｂ）４００６（ｃ）４００７（Ｄ）４００８
本文链接：/Periodical_hblkjxyj200702034.aspx
２００７年第２期
河北理科教学研究
考试指导
高考数列题中函数思想的运用
考试指导
江苏省如皋市第一中学陈军潘佩２２６５００
数列是一类定义在正整数集或它的有限 子集｛１，２，３，・一，ｎ｝上的特殊函数． 任何数列问题中都蕴含着函数的本质及意 义，具有函数的一些固有特征．因此，在解 决数列问题时要注意利用函数的性质（如值 域、单调性、最值等）去分析，以它的概 念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间 的桥梁，揭示它们问的内在联系，从而有效 地分解数列问题． １以函数概念为载体，有机地消化数列问 题 数列的通项公式。。＝，（ｎ）就是函数的 解析式，定义域为Ｎ＋（或它的有限子集｛ｌ， ２，…，ｎ｝）．它的图象上的点（ｎ，ｏ。）是一群孤 立的点．如：等差数列是‰＝ｐｎ＋口的函数 值系列，它的图象是直线ｙ＝ｐｘ＋ｑ上均匀 排开的无穷多个孤立点；等比数列是‰＝
函数思想在数列中的应用
gsp
例题3
设无穷等差数列{an }的前n项和为S n . 3 2 (1)若a1 , 公差d 1, 求满足S k 2 ( S k ) 2 的正整数k ; (2)求所有的无穷等差数列{an }, 使得对 于一切正整数k都有S k 2 ( S k ) 2 成立.
略解 : 设Sn an bn , 3
( a a 2 ) 0 a 0或1 a0 或 解得 2ab 0 b0 , b 0或1 , 2 b b 0 ,
Sn 0或Sn n或Sn n ,
2
故 an 0或an 1或an 2n 1 .
例题4
等比数列{xn }的各项均为不等于1的正 数, 数列{ yn }满足yn log xn a 2(a 1), 且 y4 17, y7 11. (1)求数列{ yn }的通项公式yn ; (2)问：是否存在自然数M , 使得n M 时, xn 1恒成立 ? 若存在, 求出相应的M ; 若 不存在，请说明理由.
上.
二、等差数列、等比数列的前n项和公式
d 2 d n(n 1) ● 等差数列 Sn na1 d n (a1 )n 2 2 2
0
上.
点{n, Sn }(n N)在曲线
d 2 d y x (a1 ) x 2 2
n a1 a a1 a (1 q ) n 1 1 ● 等比数列 Sn q 1 (q 1) 1 1 q 1 q q 1 q
n 1 (1) 设数列 { x } 的公比为 q , 则 x x q . n n 1 略解 :
yn log xn a 2, 2 yn 2 log a x1 (n 1) 2 log a q. log xn a 于是有yn1 yn 2log a q, 为常数,{ yn }是等差数列.
函数思想在数列中的应用
维普资讯
第 ２ ２卷 第 ２期
２０ ０ ２年 ６月
承 德 民族 师专 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＣｈ ｎ ｄ ａ ｈ ｒ ｌｅ ｅｆ ｒＮａ ｉｎ ｌ ｉｓ ｏ ｒ ａ ｅ ｇ ｅ Ｔｅ ｃ ｅ ｓＣｏｌｇ ｏ ｔｏ ａｉ ｅ ｏ ｔ
Ｖ ｏ１ ２２ Ｎ ｏ． ． ２
指数 函数 的结 构特 征 ， 以 ， 所 它们 的图象 都 是指 数 函 数 图象 上 的离散 点 。 例 ２ 等差数 列 ｛ 中 ， ｍ≠ｎ ， Ｓ 。 ． ａ Ｓ 一Ｓ （ ）求 解 法 １ 由等 差数 列 的 前 ｎ项 和公 式 Ｓ 一ａｎ十 ： ｄ我 们 知 道 等 差 数 列 的前 项 和 Ｓ 是 关 于
几 个 方 法 ， 图通 过 这 几 方 面 内容 来 阐述 函数 思 想在 数 列 中运 用的 重要 性 ， 我们 解 决 数 列 问题 力 为 提 供一 种 崭 新 的 思考 方式 。 关 键 词 ： 学教 学 ； 数 函数 思 想 ； 列 数
中 图 分 类 号 ： ３ ． Ｇ６ ３ ６ 文 献标 识 码 ： Ｂ 文 章 编 号 ： ０ ５ １ ５ （ ０ ２ ０ —０ ００ １ ０ —５ ４ ２ ０ ） ２０ ２ — ２
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数列题型及解题方法归纳总结
知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、? 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解? ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a = （2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a .解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）★ 说明 ?只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a .解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。
两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2? ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1-1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1(4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数）)(3211-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n nn n b a )31(2)21(32-==(5)递推式为21n n n a pa qa ++=+思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为：211()n n n n a a a a αβα+++-=-，想于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。