数列与函数结合的综合问题

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高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用

又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15，所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.

高三数学数列综合应用试题答案及解析

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。

数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题

2023高考数列专题——数列的函数性质一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( )A ．2B ．－6C ．3D ．1例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( )A ．425B ．428C ．436D ．437跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2三、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn的最小值为( )A ．293B ．47－1C ．485D ．274例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第项．跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．63、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 0114、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．四、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0B ．252C ．21D ．42跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15 2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．3、 (2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．高考数列专题——数列的函数性质（解析版）一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( B )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 解： ∵数列{a n }是单调递增数列，∴对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋b (n ＋1)>n 2＋bn ，即b >－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，又n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b >－3，即实数b 的取值范围为(－3，＋∞)．例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为(－∞，6).解：解法一：由数列是一个递减数列，得a n ＋1<a n ，又因为a n ＝－2n 2＋kn －1，所以－2(n ＋1)2＋k (n ＋1)－1<－2n 2＋kn －1，k <4n ＋2，对n ∈N *，所以k <6.解法二：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，∵数列是递减数列，∴k 4<32，∴k <6.跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：A 由a n ＝n 3n ＋1，可得a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，故选A ．2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n <2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1na n＝3(n ≥2)，∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝2×3n －2n (n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( 3 )A ．2B ．－6C ．3D ．1解因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…所以数列{a n }每四项重复出现，即a n ＋4＝a n ，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2 023＝1505×a 1×a 2×a 3＝3．例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( A )A ．425B ．428C ．436D ．437解：由数列的递推公式可得：a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12＝a 1，据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×⎝⎛⎭⎫12＋43＋3－2＝425．跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：B 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 023＝a 3×674＋1＝a 1＝12．五、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( C )A ．293B ．47－1C ．485D ．274解：由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝28＋n (n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28 ]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293．例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第9、10项．解：解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.解法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119. 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．解析：当a n ＝n －22n －11>0⇒n ＝1或n ≥6，∴a 2＝0，a 3<0，a 4<0，a 5<0，故当S n 取得最小值时n 的值为5．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 011解析：C 因为S 2 018>0，S 2 019<0，所以a 1＋a 2 018＝a 1 009＋a 1 010>0，a 1＋a 2 019＝2a 1 010<0，所以a 1 009>0，a 1 010<0，且a 1 009>|a 1 010|，因为对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，所以k ＝1 010，故选C ．4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n ，当n <4时，a n ＋1a n>1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n <n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝mm ＋1，则a n ＋1a n ＝m (n ＋1)n (m ＋1)，当n ＝m 时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．六、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( C )A ．0B ．252C ．21D ．42解：由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，又{a n }是等差数列，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21，则{a n }的前21项之和为21．故选．跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15解析：D f ′(x )＝x 2－6x ＋8，∵a 5，a 6是函数f (x )的极值点，∴a 5，a 6是方程x 2－6x ＋8＝0的两实数根，则a 5·a 6＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 5·a 6)5＝5log 28＝15，故选D ．2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． (2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34，因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34．3、(2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．解析：根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立，可知a 8≥0且a 9≤0，所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0，解得－17≤d ≤－18．答案：⎣⎡⎦⎤－17，－18。

第53题数列与其他知识的交汇(2)——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等

第53题数列与其他知识的交汇（2）——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等I ．题源探究·黄金母题【例1】设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足()()()()*11n n n f S f a f a n N=++-∈，其中nS是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a = （） A ．136B ．9C ．18D ．36 【答案】C 【解析】对任意的正数,x y 均有()()()f xy f x f y =+且112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又0n a >且()()()()()11112n n n n n f S f a f a f a f a f ⎛⎫=++-=+++ ⎪⎝⎭()()212n n n f S f a a ⎡⎤∴=+⨯⎢⎥⎣⎦，又()f x 是定义在(]0,+∞上的单调增函数，()212n n n S a a ∴=+① 当1n =时，()211112a a a =+，211110,0,1a a a a ∴-=>∴=，当2n ≥时，()211112n n n S a a ---∴=+ ②①-②可得22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，()()1110n n n n a a a a --∴+--=，()10,12n n n a a a n ->∴-=≥，{}n a ∴为等差数列11,1a d ==，n a n ∴=，1818a =，故选C ．精彩解读【试题来源】2018全国名校大联考高三第三次联考．【母题评析】本题考查函数与数列的交汇，考查学生的分析问题解决问题以及基本计算能力．【思路方法】由函数解析式给出数列的n a 与n S 关系式，最后利用邻差法求数列的通项公式，解决问题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n +1(x n +1，n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T ．【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2nn n T -⨯+=【解析】(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >，由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，∴23520q q --=，∵0q >，∴12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（II ）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由(I)得111222.nn n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， ∴123n T b b b =+++……+n b =101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得()()()()()1211113222221221221213212,2122n n n n n n n T n n n T ------=⨯++++-+⨯--⨯+=+-+⨯∴=-．【命题意图】这类题以函数、解析几何等为载体，或者利用函数解析式给出数列的递推关系，考查函数解析式的求法、数列求和、或者利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题、证明不等式等．这类題能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较大．【难点中心】1．写全解答步骤，步步为“赢”解答时，要将解题过程转化为得分点，对于得分点的解题步骤一定要写全，阅卷时根据步骤评分，有则得分，无则不得分．2．准确把握数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等的关系．III ．理论基础·解题原理1．解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度大．【技能方法】1．数列与函数的综合问题，解决此类问题时要注意把握以下两点： (1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义； (2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．2．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．V ．举一反三·触类旁通考向1 数列与函数（三角函数）数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题，主要题型有两大类：一是在解三角形中，一些条件用数列语言给出，常见的如三角形三内角A ，B ，C 成等差数列；三边a ，b ，c 成等比数列等，二是数列通项种含有三角函数，我们可以借助三角函数的周期性求和．【例1】设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，则角B 的取值范围是( ) A ．]6,0(πB ．),6[ππC ．]3,0(πD ．),3[ππ【分析】利用c b a ,,成等比数列，得ac b =2，再利用余弦定理，将边与角联系，最后用基本不等式求出cos B 的范围．由于B 是ABC ∆的内角，所以B 的取值范围是]3,0(π．故选C ．【点评】“c b a ,,成等比数列”是为了给出“ac b =2”这一条件，所以，解题的重点是如何利用这个条件将边与角的关系联系起来．【例2】【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟（一）】斐波那契数列{}n a 满足：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论错误的是（）A ．2111·n n n n S a a a +++=+ B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()1214?n n n n c c a a π--+-=【答案】C【名师点睛】本题通过对多个命题真假的判断考察数列的各种性质及数学化归思想，属于难题．该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题．【例3】【2018湖南长沙长郡中学高三第三次月考】将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当p q⨯（p q ≤且*,N p q ∈）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=．数列(){}3n f 的前100项和为__________．【答案】5031-【例4】【2018河南八市重点高中上学期第三次测评】设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知328,6a S ==，数列{}n b 满足2log n n b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足sin n n n b c a π⎛⎫=⎪⎝⎭，n S 为数列{}n c 的前n 项和，求证：对任意*,2n n N S π∈<+．【分析】(1)用基本量法，即用1a 与q 表示条件328,6a S ==，列出方程组，解出1,a q 即可求数列{}n a的通项公式，由2log n n b a =可求数列{}n b 的通项公式；(2)先求sin sin 2n n n n b n c a ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而写出3411sinsin sin8162n n n S πππ=+++++，由当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <放缩可得3428162n n n S πππ<++++，令348162n nn T πππ=+++，利用错位相减法求出n T 即可．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，则有211186a q a a q ⎧=⎨+=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩，则22,log 2n nn n a b n ===．即数列{}n a 和{}n b 的通项公式为22,log 2n nn n a b n ===．（2）证明：sin sin 2n n n n b n c a ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12343411sinsin sin8162n n n n S c c c c c πππ=+++++=+++++，易知当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin x x <成立，∴3428162n nn S πππ<++++，令348162n n n T πππ=+++ ① 则1134216322n n T L πππ+=+++ ② ①-②得311111621331281632228212n n n n n n n T ππππππππ-++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=+--，从而22n n n T πππ+=-<，即2n S π<+ 【点评】与求和有关数列不等式的证明，通常是把数列放缩成可以求和的数列，比如等差数列、等比数列、可以裂项求和的数列．【例5】【2018海市十二校高三联考】给出集合()()()(){|21,}M f x f x f x f x x R =+=+-∈．（1）若()sin3xg x π=，求证：函数()g x M ∈；（2）由（1）分析可知，()sin3xg x π=是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合M 中的元素都是周期函数．命题乙：集合M 中的元素都是奇函数．请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例；（3）若()f x M ∈，数列{}n a 满足：()1n a f n =+，且12a = 23a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在实数p 、q ，使得任意的*n N ∈，都有()1nnS p q n≤-⋅≤成立，若存在，求出p 、q 的取值范围，若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）命题甲正确（3）75,32p q ≤-≥是周期为6的周期数列，且前6项依次为2,3,2,0,1,0-，据此可知()751,11,32nn S n ⎡⎫⎡⎤-⋅∈--⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦，则满足题意时只需75,32p q ≤-≥即可．试题解析：（1）()g x M ∈转化证明()()()12g x g x g x +-=+()()()12333sinx sinx sinx πππ⇔+-=+，左边()()13333333sinx sin x sinxcoscosxsinsinx πππππππ=+-=+-1323233sin x cos x sin x πππ=+- ()132********sin x cos x sin x sin x πππππ⎛⎫=-+=+=+= ⎪⎝⎭右边（2）命题甲正确．集合M 中的元素都是周期为6的周期函数．验证()()6f x f x +=即可．命题乙不正确．集合M 中的元素不都是奇函数．如()3xg x sinπ=是奇函数；()34x h x sin ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭不是奇函数．（3）()1n f n a =- M ∈，则()21111n n n a a a ++-=--- 211n n n a a a ++⇒=-+假设存在实数,p q 满足题设，则213211{1n n n n n n a a a a a a +++++=-+=-+ 32n n a a +⇒+= 6n n a a +⇒=，所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，且前6项依次为2,3,2,0,1,0-，()()()(),61,61,65{3,62,644,63n n n k n n k n k S n n k n k n n k =+=-=-=+=-=-+=- *k N ∈当6n k =，*k N ∈时，()11nnS n-⋅=；当61,65,n k n k =-=- *k N ∈时，()111nn S n n-⋅=-- [)2,1∈--；当62,64,n k n k =-=- *k N ∈时，()311nn S n n -⋅=+ 51,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当63n k =- *k N ∈时，()411nn S n n -⋅=-- 7,13⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭．综上()751,11,32nn S n ⎡⎫⎡⎤-⋅∈--⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦，要使对任意的*n N ∈，都有()1n n S p q n ≤-⋅≤恒成立，只要75,32p q ≤-≥即可．【跟踪练习】1．【2018福建闽侯县第八中学高三上学期期末考试】正项等比数列{}n a 中的1a ，4031a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20166log a =（）A ．1B ．2C ．1-D ．2 【答案】A2．【2018河北邢台联考】已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则()123f =；21的因数有1，3，7，21，则()2121f =，那么()10051i f i =∑的值为（）A ．2488B ．2495C ．2498D ．2500【答案】D【解析】由f n （）的定义知2f n f n =（）（），且若n 为奇数则f n n =（）则()()()()100112100i f i f f f ==+++∑()()()1359924100f f f =++++++++()()()()()501501+99+1250=2500+2i f f f f i =⨯=+++∑，()()()100100505111=-=2500i i i f i f i f i ===∴∑∑∑，故选D ．3．【2018湖北省七校考试联盟”高三2月联考】对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，()1n n a n x ⎡⎤=+⎣⎦，()2,3n =（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）．则2320182017a a a +++=（）A ．1010B ．1012C ．2018D ．2020 【答案】A4．【2018江西K12联盟高三教育质量检测一】已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()()3f x f x -=-，()13f =-，数列{}n a 满足2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则()()56f a f a +=（）A ．3-B ．2-C ．3D ．2 【答案】C【解析】由函数()f x 是奇函数且满足()()3f x f x -=-，可知T=3 由2n n S a n =+，可得：()11212n n S a n n --=+-≥两式相减得：1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()()11212n n a a n --=-≥∴{}1n a -是公比为2的等比数列，∴12nn a =-，∴563163a a =-=-， ∴()()()()()()()5631013211013f a f a f f f f f +=-⨯-+-⨯=-+=-=，故选C ． 5．【2018河北衡水中学高三上学期八模考试】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的图象经过点()1,3P ，()2,5Q ．当*n N ∈时，()()()11n f n a f n f n -=⋅+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1033n S =时，n 的值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】D6．【2018山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()a a +=（）A ．12-B ．3C ．12D 3【答案】A【解析】由159538a a a a π++==，得583a π=，所以285cos()cos(2)cos cos 33a a a 10ππ+===-＝12-，故选A ． 7．【2018青海西宁高三下学期复习检测一】如图所示，矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另外两个顶点,n n C D 在函数()1(0)f x x x x=+>的图象上．若点n B 的坐标为()(),02,n n n N +≥∈，记矩形n n n n A B C D 的周长为n a ，则2310a a a +++=（）A．220 B．216 C．212 D．208【答案】B8．【2018河南洛阳高三期中考试】用[]x表示不超过x的最大整数（如[][]2.12,3.54=-=-）．数列{}na满足143a=，()111n n na a a+-=-（*n N∈），若12111nnSa a a=+++，则[]n S的所有可能值得个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B考向2 数列与平面向量【例6】【2018安徽巢湖柘皋中学高三上学期第三次月考】将向量12,,,n a a a 组成的系列称为向量列{}n a ，并定义向量列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++．若()*1,n n a a R n N λλ+=∈∈，则下列说法中一定正确的是（） A ．()111nn a S λλ-=- B ．不存在*n N∈，使得0n S =C ．对*m n N ∀∈、，且m n ≠，都有m n S SD ．以上说法都不对【答案】C【例7】已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足11221a b a b ==+=，直线l 上三个不同的点A ，B ，C 与直线l 外的点P 满足33PA a PB b PC =+，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）A ．12n n - B ．23n n - C ．21n - D ．12n- 【答案】A【名师点睛】本题考查数列与平面向量的结合，又向量知识得其系数满足的关系120101a a +=，进而利用等差数列求和公式求解，本题要求学生熟悉向量三点共线公式(1)OA OB OC λλ=+- ⇔A B C 、、三点共线．【例8】【2017上海市宝山区高三4月期中教学质量监控（二模）】数列2p =中，已知24y x =对任意l 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数）．（1）若{}n a是等差数列，求k的值；（2）若112a k==-，，求nS；（3）是否存在实数k，使数列{}n a是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项OA OB⋅按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有l的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12k=（2）()()221{2nn n kSn n k-=-==（3）25k=-试题解析：（1）若{}n a是等差数列，则对任意*n N∈，有122n n na a a++=+，即()1212n n na a a++=+，故12k=．（2）当12k=-时，()1212n n na a a++=-+，即122n n na a a++=--，()211n n n na a a a++++=-+，故()32211n n n n n na a a a a a++++++=-+=+．所以，当n是偶数时，()()12341121122n n nn nS a a a a a a a a n-=++++++=+=+=；当n是奇数时，()23122a a a a+=-+=-，()()()() 1234112345111222 n n n n nnS a a a a a a a a a a a a a n---=++++++=+++++++=+⨯-=-．综上，()()221{2nn n kSn n k-=-==（*k N∈）．（3）若{}n a是等比数列，则公比21aq aa==，由题意1a≠，故1mma a-=，1mma a+=，12mma a++=．若1ma+为等差中项，则122m m ma a a++=+，即112m m ma a a-+=+⇔221a a=+，解得1a=（舍去）；若ma为等差中项，则122m m ma a a++=+，即112m m ma a a-+=+⇔22a a=+，因1a≠，故解得，2a=-，11122215mmm mm ma a aka a a a a+-++====-+++；若2 ma+为等差中项，则212m m ma a a++=+，即112221m m ma a a a a+-=+⇔=+，因为1a ≠，解得212215aa ka=-==-+，．综上，存在实数k满足题意，25k=-．【跟踪练习】1．【2018江苏常州武进区高三上学期期中考试】已知数列{}n a中，12a=，点列()1,2,nP n=⋯在ABC∆内部，且nP AB∆与nP AC∆的面积比为2:1，若对*Nn∈都存在数列{}n b满足()113202n n n n n nb P A a P B a P C++++=，则4a的值为______．【答案】802．【2018黑龙江省大庆实验中学高三仿真模拟】已知函数()12f xx=+，点O为坐标原点，点()()()*,nA n f n n N∈，向量()0,1i=，θn是向量OAn与i的夹角，则使得1212coscos cossin sin sinnntθθθθθθ++<恒成立的实数t的取值范围为___________．【答案】3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】根据题意得，2nπθ-是直线OA n的倾斜角，则：()()sincos11112tansin2222cos2nnnnnf nn n n n nπθθπθπθθ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==-===-⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考向3 数列与解析几何【例9】【2018安徽皖西高中教学联盟高三上学期期末质量检测】如图所示，设曲线1yx=上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形11OB A，122,A B A，直角顶点在曲线1yx=上，nA的横坐标为na，记()*12nn nb n Na a+=∈+，则数列{}n b的前120项之和为（）A．10 B．20 C．100 D．200【答案】A【例10】【2018天津耀华中学高三上学期第二次月考】已知曲线C ：4xy =，n C ：4x ny +=（*N n ∈），从C 上的点()n n n Q x y ，作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点()111n n n Q x y +++，．设11x =，1n n n a x x +=-，1n n ny b y +=．（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记()23521nn n n c b +⨯=⨯-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：212155138n n T --⎡⎤⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）若已知31223212222nnd d d d n ++++=-（*N n ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n d 的前n 项和为n B ，试比较n A 与24n B -的大小．【答案】（1）n x ()112n n -=+；（2）见解析；（3）见解析．（3）由∵1n n n a x x n +=-=，∴()12n n n A +=，由31223212222nn d d d d n ++++=-知()31122312112222n n d d d d n --++++=--（2n ≥） ∴22nn d =（2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22n n n d n +==≥，，，由此能够比较n A 与24n B -的大小．试题解析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，，∴1144n n x nx n y +++==，∴1n n x x n +=+，∴()()()121121121n n n x x n x n n x n --=+-=+-+-==++++-()112n n -=+．（2）∵()235241n n n nc +⨯=⨯-，所以：154554558428488n n n n n n c c +⨯-⨯-=<<⨯-⨯-， ∴当2n ≥时，2112155558888n nn n n c c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴211221n n T c c c --=+++ 2212155555188838n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（当1n =时取“=”）．（Ⅲ）∵1n n n a x x n +=-=，∴()12n n n A +=，由31223212222n n d d d d n ++++=-知()31122312112222n n d d d d n --++++=--（2n ≥）， ∴22nnd =（2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22n n n d n +==≥，，，于是3411232222n n n B d d d d -=++++=++++2341222224n +=+++++-()1222142621n n ++-=-=--．∴2224n n B -=-．当1n =，2时，()122224n n n n n B A +-=>-=；当3n =时，()122224n n n n n B A +-==-=当4n ≥时，0121222n n n n n n n n C C C C C --=+++++-()()2121113222n n nnn n n n n n C C Cn n --++=+++>++=>∴当4n ≥时，24n n B A -<【点睛】本题考查数列的通项公式的求法、不等式的证明和两个表达式大小的比较，具体涉及到数列与不等式的综合运用，其中放缩法的应用和构造法的应用是解题的关键．【跟踪练习】1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n a S n N ∈在直线220x y --=上．（1）求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）设直线n x a =与函数()2f x x =的图象交于点n A ，与函数()2log g x x =的图象交于点n B ，记n n n b OA OB =⋅（其中O 为坐标原点），求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）见解析（2）1284399n n n T +⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）根据表达式得到12n n a a -=，从而得到数列满足12nn a a -=，故得到结论；（2）根据向量点积的定义得到()14nn b n =+，错位相减得到前n 项和．解析：∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由已知()()2,4,2,n n n n n A B n ．()14n n n n n b OA OB b n =⋅∴=+，1284399n n n T +⎛⎫∴=+⋅- ⎪⎝⎭．2．已知曲线C ：4xy =，n C ：4x ny +=（*N n ∈），从C 上的点()n n n Q x y ，作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点()111n nn Q x y +++，．设11x =，1n n n a x x +=-，1n n ny b y +=．（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记()23521nn n n c b +⨯=⨯-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：212155138n n T --⎡⎤⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）若已知31223212222n nd d d d n ++++=-（*N n ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n d 的前n 项和为n B ，试比较n A 与24n B -的大小．【答案】（1）n x ()112n n -=+；（2）见解析；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，，则1144n n x nx n y +++==∴1n n x x n +=+从而能求出数列{}n x 的通项公式．（2）由()23521n n n n c b +⨯=⨯-，知158n n c c +<，，当2n ≥时，2112155558888n nn n n c c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴211221n n T c c c --=+++ 221555888n -⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由此能够证明212155138n n T --⎡⎤⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；试题解析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，，∴1144n n x nx n y +++==∴1n n x x n +=+∴()()()121121121n n n x x n x n n x n --=+-=+-+-==++++-()112n n -=+．（2）∵()235241nn n nc +⨯=⨯-，所以：154554558428488n n n n n nc c +⨯-⨯-=<<⨯-⨯-， ∴当2n ≥时，2112155558888n nn n n c c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴211221n n T c c c --=+++ 2212155555188838n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（当1n =时取“=”）．（Ⅲ）∵1n n n a x x n +=-=，∴()12n n n A +=，由31223212222n n d d d d n ++++=-知()31122312112222n n d d d d n --++++=--（2n ≥）， ∴22nnd =（2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22n n n d n +==≥，，，于是3411232222n n n B d d d d -=++++=++++2341222224n +=+++++-()1222142621n n ++-=-=--．∴2224n n B -=-．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法、不等式的证明和两个表达式大小的比较，具体涉及到数列与不等式的综合运用，其中放缩法的应用和构造法的应用是解题的关键．3．设),(),,(2211y x B y x A 是函数x x x f -+=1log 21)(2图象上任意两点，且)(21OB OA OM +=，已知点M 的横坐标为21，且有)1()2()1(nn f n f n f S n -+++= ，其中*N n ∈且n≥2，（1）求点M 的纵坐标值；Ruize 知识分享（2）求2s ，3s ，4s 及n S ；（3）其中*N n ∈，且n T 为数列}{n a 的前n 项和，若)1(1+≤+n n S T λ对一切*N n ∈都成立，试求λ的最小正整数值．【答案】（1）M（3）λ的最小正整数为1．【解析】试题分析：（1 又M 的横坐标为1，A),(11y x ，B ),(22y x 即M （2。

数列专题复习之典型例题(含答案)

数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。

答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

数列中的综合问题

[解]
易知
(2)若选择①，解答过程如下.
+1

＝
1
3
当 n ≥2时，
−1
+1

·
+2
2
1
，
1
3
1
3
＝ × ，
3
2
1
3
2
4
＝ × ，
4
3
1
3
3
5
＝ × ，…，

−1
1
3
＝ ×
，
累乘得
2
1
×
1
2
3
2
×…×

−1
因为 b 1 ＝，所以 b n ＝
成立，
＝
1
1
＋8.
+1
＝(4－3 n )·2
－8，
方法总结
数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转
化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.
跟踪训练
1.
2
(2022·全国甲卷)记 Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知
＋ n ＝2 an ＋1.

(1)证明：{ an }是等差数列；
的通项公式、前 n 项和公式、求和方法等对式子化简变形.
跟踪训练
3. 已知数列{ an }是等差数列， a 1＝1，公差 d ∈[1，2]，且 a 4＋λ a 10＋ a 16
＝15，则实数λ的最大值为
1
－
2
.
⁠
因为 a 4＋λ a 10＋ a 16＝15，所以 a 1＋3 d ＋λ( a 1＋9 d )＋ a 1＋15 d ＝15，

主题09 数列的通项公式、求和及数列的综合问题-高考数学二轮透析23题对对碰(原卷版)

高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇主题9数列的通项公式、求和及数列的综合问题【主题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，主要考查求数列通项公式、数列求和及数列的综合问题，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档或难题，分数为5分.【主题回扣】1.求数列的通项公式的常见类型和解法：（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.（2）累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+ =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++ ，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数（3）累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯ ，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数（4）构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.（5）利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2.数列求和的主要方法：（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.（2）拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式:①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11n n a a +=1111()n n d a a +=-②n a-（3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想（4）错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++ =211121311n n a b a b q a b q a b q-++++ ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++ ②，①式与②式错位相减得(1)n q S -=221111211131211111()()()n n nn n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++-- =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++- ，转化为等比数列211,,,,n q q q - ，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．【易错提醒】1.已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．7．裂项相消法求和时，一注意分裂前后的值要相等，如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12111(+-n n ；二注意要注意消去了哪些项，保留了哪些项.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式．【主题考向】考向一数列的通项公式【解决法宝】对数列求通项公式问题要熟练掌握常见的求通项公式方法，根据题中条件，选择合适的方法求解，特别是已知数列的递推公式求通项公式问题，常需要对所给条件进行变形，如两边去倒数等，转化为常见形式，在选择合适的方法求解.例1【2019届湖北省重点高中联考协作体期中】已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（）A．B．n-1C．D．【分析】【解析】考向二数列求和【解决法宝】1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.3.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.4.用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.例2．【2019届广东省汕尾市质检】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．【分析】【解析】考向三数列综合问题【解题法宝】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.例3．【2019届黑龙江省齐齐哈尔市一模】已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为______．【分析】【解析】【主题集训】1.【云南省昆明市一中2018届第六次月考】已知数列的前项和为，则的值是（）A. B. C. D.2.【2019届河北省衡水中学二调】已知数列的前n项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为A．90B．91C．96D．1003.【福建省厦门外国语学校2018届下学期第一次月考】已知函数，且，则等于（）A.－2013B.－2014C.2013D.20144【2019届河南省新乡市二模】已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（）A．B．C．D．5.【2019届云南曲靖市一模】数列中，，，设其前项和为，则（）A．B．C．D．6.【2019届河北省衡水中学高考押题（二)】已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A ．-454B ．-450C ．-446D ．-4427.【广东省华南师范大学附属中学2018届综合测试（三）】等比数列的前项和（为常数），若n n S a 23+≤λ恒成立，则实数的最大值是（）A.B.C.D.8.【2019届江西省上饶市第一次联考】设数列满足，且对任意整数，总有成立，则数列的前2018项的和为()A ．B ．C ．D ．9.【天津市耀华中学2018届12月考】已知数列，．若该数列是递减数列，则实数的取值范围是（）．A.B.C. D.10.【2019届浙江省绍兴一中期末】设为数列的前项和，，，若，则＝()A ．B ．C ．D ．12.【山东省烟台市2018届高三上学期期末自主练习】数列，的前项和分别为，，记，若，，则数列的前2018项和为()A.2017B.2018C.D.13.【2019届广东省广州市天河区综合测试（一)】数列满足，对任意的都有，则（）A ．B ．2C ．D ．14.【海南省2018届高三阶段性测试（二模）】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a a n ++=+，则20172017S =（）A.1009B.1008C.2D.115.【2019届福建省漳州市一模拟】已知数列和首项均为1，且，，数列的前项和为，且满足，则（）A ．2019B ．C ．D ．16.【2019届辽宁省实验中学等五校期末】数列满足，，是数列前5项和为（）A．B．C．D．17.【2019届河北省保定市期末】在数列中，若，，，则该数列的前100项之和是（）A．18B．8C．5D．218.【2019届浙江省高考模拟（三)】已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A．B．C．D．19．【山西晋城市2018届二练】已知数列的前项和，且，且，则__________．20.【2019届湖南省三湘名校（五市十校)第一次联考】已知数列的前项和为，．当时，，则=_______21.【湖南省怀化市2018届高三上学期期末】已知数列的前项之和为，满足，，则数列的通项公式为__________．22.【2019届河北省石家庄二中二模】已知数列的前项和为，满足，则__________．23.【湖南省怀化市2018届高三上学期期末】已知数列的前项之和为，满足，，则数列的通项公式为__________．。

数列的综合应用

高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专题讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈

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数列综合问题之数列与函数思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。

例1：已知函数2()(,)x a f x b c N bx c +=∈+中，1(0)0,(2)2,(2)2f f f ==-<-，（1）求函数()f x 的解析式；（2）各项均不为零的数列{}n a 满足：14()1n nS f a =，求通项n a ？（3）在条件（2）下，令2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和？分析：由题知：0,2a b c ===，所以2()22x f x x =-，所以可求得：2112()(1)0n n n n n n n n S a a a a a a a n ++=-⇒+-+=⇒=-例3：函数[)()2,2,f x x x =-∈+∞；（1）求()f x 的反函数1()fx -；（2）数列{}n a 满足：11()n n S f S --=，且12a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在条件（2）下，令22*11()2n nn n na ab n N a a +++=∈，求数列{}n b 的前n 项和？分析：（1）由题知：12(),0fx x -=≥；（242n a n =⇒=-（3）22211111()2111()222121n nn n n n n n n n n a a a a a a b a a a a n n ++++++--===+--+例4、设函数()241+=xx f ， (1) 证明：对一切R x ∈，f(x)+f(1-x)是常数；(2)记()()()+∈+⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n ,11......210，求n a ,并求出数列{a n }的前n 项和。

解：∵()241+=x x f ， ∴()(1)f x f x +- =1114242x x-+++ 1142421(42)(42)2x x x x --+++==++()()()+∈+⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n ,11 (210)()()()12211......0,n n n a f f f f f f n N n n n n +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴2na =12n + ∴n a =14n + ∴Sn=111()442n n +++=(3)8n n +例1：()f x 是R 上不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈都有：()()()f a b af b bf a =+，（1）求(0)f 与(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）若(2)2f =，*(2),()n n f u n N n-=∈，求数列{}n u 的前n 项和n S ？简析：（1）(0)0,(1)0f f ==；（2）2(1)((1))(1)(1)(1)0f f f f f =-=----⇒-=，再令1,,()1()(1)()a b x f x f x x f f x =-=-=-+-=-，所以为奇函数；（2）当0a b ≠时，()()()f ab f b f a ab b a =+，令函数()()f x g x x=，所以有：()()()()()n g ab g b g a g a n g a =+⇒=，所以有：1()()()()()n nn n n nf ag a f a a g a n a n f a a-=⇒==，得111111(2)()()2222n n n n f n f u f ---⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；又因为：1111(1)2()(2)()2222f f f f =+⇒=-，所以：12nn u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

例2、已知函数))((*∈N n x f n 具有下列性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=);1,,1,0(111,21)0(n k n k f n k f n k f n k f n f n n n n n（1）当n 一定，记,1⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k f a n k 求k a 的表达式);,,1,0(n k = （2）对.31)1(41,≤<∈*n f N n 证明解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+n k f n k f n k f n k f n n n n n 111 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴n k nf n k f n n n 1)1(,1⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n k f n k f n n即,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n k f n n k f n n n 又,1⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k f a n k ,1)1(1=-+∴+k k na a n)1)(1()1(1-+=-∴+k k a n a n ，即na a k k 11111+=--+，由n 为定值，则数列}1{-k a 是以10-a 为首项，n11+为公比的等比数列， k k na a )11)(1(10+-=-∴，由于);,,1,0(111,2)0(10n k n a f a kk n =⎪⎭⎫⎝⎛++=∴==（2）n n n n k n a f n k f a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++==∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111)1(,1 ，欲证31)1(41≤<n f ，只需证明41113<⎪⎭⎫⎝⎛++≤nn ，只需证明,3112<⎪⎭⎫⎝⎛+≤nn++++=+ 2221111)11(n C n C n n n n n n nC 1 ,211≥++= n n n n n n n C n C n C n 1111)11(221++++=+ +-++=22)1(11nn n nnn n n !12)1(⋅-+21121121221212111!1!21112-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=+++++<++++≤n n n .3213<⎪⎭⎫⎝⎛-=n例3：已知函数()f x 是定义在*N 上的函数，且满足(())3,(1)2f f k k f ==。

设1(3)n n a f -=，11b =且有：3131log ()log ()nn b f a b f a -=-；（1）求证：31212()()()4n n b bb b f a f a f a +++<；（2）若122411122224141()()()()n n n n n n n n n n n n f a f a f a f a m a b a b a b a b +++++++++++++≤对于任意的*1,n n N >∈恒成立，求m 的取值范围。

解：（1）由于1(3)n n a f -=，所以有11()((3))333n n n n f a f f --===，也有：3log ()n f a n =由：3131log ()log ()nn b f a b f a -=-，得n b n =，令1212()()()nn n b b bS f a f a f a =+++，也即有：21233333n n n n S =++++，由错位相减得出：31213113()3223244n n n b S n S +=-+<⇒<= （2）由(())3((()))(3)3()(3)f f k k f f f k f k f k f k =⇒=⇒=，所以：11(3)3(3)3n n n n a f f a -+===，又因为01(3)(1)20a f f ===≠，所以{}n a 是等比数列，有123n n a -=，又()3nn f a =，所以有了：1()331232n n n n n f a a b n n-==，设124111224141()()()31111()212241n n n n n n n n n n f a f a f a T a b a b a b n n n n ++++++=+++=++++++有： 11311111()2212245141314()2(21)(22)(41)(4)3302(21)(22)(41)(45)n n n nT T n n n n n n n n n n n n n T T ++-=++--+++++=-++++-=<++++⇒< 所以n T 是单调递减的。

也当2n =时，n T 取得最大值2311125()234924T =++=，由题有：2524m ≥。

练习：已知函数f (x )定义在区间（-1，1）上，1)21(-=f ,且当x ,y ∈(-1,1)时，恒有)1()()(xy y x f y f x f --=- ,又数列{a n }满足21112,21nn n a a a a +==+,设)(1)(1)(121n n a f a f a f b +⋯++=．（１）证明：f (x )在（-1，1）上为奇函数；（２）求f (a n )的表达式；（３）是否存在自然数m ，使得对任意n ∈N ,都有48-<m b n 成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．讲解（１）紧扣奇函数的定义，选择特殊值．令x=y=0，则f (0)=0，再令x=0,得f (0)-f (y )=f (-y ),所以f (-y )=-f (y ),y ∈(-1,1),故f (x )在（-1，1）上为奇函数．（２）),1()()()1(,1)21()(1xyyx f y f x f f a f ++=+-==知由 )(2)()()1()12()(21n n n nn nn nnn a f a f a f a a a a f a a f a f =+=⋅++=+=∴+，即2)()(1=+n n a f a f ，∴{f (a n )}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f (a n )=-2n-1. （３）先求n b 的表达式，得2111111112(1)21222212n n n n b ---=-+++⋯+=-=-+-，若48-<m b n 恒成立（n ∈N +）,则112224n m--+<-，即 14.2n m ->∵n ∈N +，∴当n =1时，124-n 有最大值4，故m >4．又∵m ∈N ,∴存在m =5，使得对任意n ∈N +，都有48-<m b n 成立.评注递推数列是高考的热点题型，而本题将函数、数列、不等式融为一体，其综合度比较大，覆盖的知识点比较多，当中的＂恒成立＂又是高考的热门话题，还请读者多多总结该题型的解法技巧．由函数与数列综合是高考试题的一个亮点。