北师大版高中数学选修2-1课堂训练全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定

课堂练习(四)

(建议用时：40分钟)

[基础达标练]

一、选择题1．设命题p：存在n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( ) A．任意n∈N，n2>2n

B．存在n∈N，n2≤2n

C．任意n∈N，n2≤2n

D．存在n∈N，n2＝2n

C[命题p的否定为：任意n∈N，n2≤2n，故选C.]

2．选出与其他命题不同的命题( )

A．有一个平行四边形是菱形

B．任何一个平行四边形是菱形

C．某些平行四边形是菱形

D．有的平行四边形是菱形

B[B选项为全称命题，其余的为特称命题．]

3．下列命题中为真命题的是( )

A．存在x0∈N，使4x0<－3

B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0

C．对任意x∈R，2x＞x2

D．对任意x∈R，x2＋2＞0

D[当x∈R时，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0.]

4．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )

A．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0

B．存在实数x0，使sin x0＝π2

C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D．对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βA[含有存在量词的命题只有A，B，

而sin x0≤1，所以sin x0＝π

2

不成立，故选A.]

5．若命题p：任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞)

C．(－2，＋∞) D．(－2，2)

B[ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对任意x∈R恒成

立，即(a ＋2)x 2

＋4x ＋(a －1)≥0恒成立．

当a ＋2＝0时，不符合题意．

故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，16－4（a ＋2）（a －1）≤0， 解得a ≥2.]

二、填空题

6．命题“任意x ∈R ，3x 2

－2x ＋1>0”的否定是________．

存在x 0∈R ，3x 20－2x 0＋1≤0 [命题“任意x ∈R ，3x 2－2x ＋1>0”的否定为存在x 0∈R ，3x 20－2x 0＋1≤0.]

7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)

①正方形的四条边相等；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

①②③ ④ [①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称命题；④是特称命题．]

8．若命题“存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．

[2，6] [由题意可知，命题“对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，故Δ＝m 2－4(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6.]

三、解答题

9．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)每一个四边形的四个顶点共圆；

(4)存在x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.

[解] (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．

(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

(3) 命题的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”. 它为真命题．

(4)命题的否定是“任意x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”．当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题．

10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；

(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)＞0成立，求实数m的取值范围．

[解](1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时m＞－4.

(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x)．

若存在实数x使不等式m＞f(x)成立，

只需m＞f(x)min.

又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m＞4.

故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．

[能力提升练]

1．命题“任意x∈R，存在n∈N*使得n≥x2”的否定形式是( )

A．任意x∈R，存在n∈N*使得n

B．任意x∈R，任意n∈N*使得n

C．存在x∈R，存在n∈N*使得n

D．存在x∈R，任意n∈N*使得n

D[根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.]

2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )

A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立

B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立

C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立

D．对任意x∈R，f(x)≤0成立

A[“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.]

3．命题“n∈N*，f(n)∈N*，且f(n)≤n”的否定形式是( )

A．n∈N*，f(n)N*，且f(n)＞n

B．n∈N*，f(n)N*且f(n)＞n

C．n0∈N*，f(n0)N*且f(n0)＞n0

D．n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)＞n0

D[全称命题的否定为特称命题，因此命题“n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)＞n0”．]

4．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＝0，则实数a的取值范围是________．

[－1，1][当a＝0时，x0＝0满足题意．