理论力学--第十二章 动能定理
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理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学12—动能定理
2
ω ϕ
vB B
vB = O1 B ⋅ ω AB = 2a sin ϕ ⋅ ω = 3aω
1 3ma ω 2 TB = mB vB = 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
I O = mOC a 2 = ma 2
1 3
vA A O1
TOC = I Oω 2 = ma 2ω 2
1 2 1 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此F在整个过程中所作的功为
1 1 2 2 2 2 WF = k (δ1 − δ 2 ) = 0.5(5 − 25 ) = −150 N⋅ cm 2 2
因此所有力的功为
W = WT + WF = 200 − 150 = 50 N⋅ cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 2 W12 = k (δ 1 − δ 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 当刚体转动时，转角ϕ与弧长s的关系为
z F
Ft = F cos θ
第12章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。
ω ϕ
vB B
vB = O1 B ⋅ ω AB = 2a sin ϕ ⋅ ω = 3aω
1 3ma ω 2 TB = mB vB = 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
I O = mOC a 2 = ma 2
1 3
vA A O1
TOC = I Oω 2 = ma 2ω 2
1 2 1 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此F在整个过程中所作的功为
1 1 2 2 2 2 WF = k (δ1 − δ 2 ) = 0.5(5 − 25 ) = −150 N⋅ cm 2 2
因此所有力的功为
W = WT + WF = 200 − 150 = 50 N⋅ cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 2 W12 = k (δ 1 − δ 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 当刚体转动时，转角ϕ与弧长s的关系为
z F
Ft = F cos θ
第12章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。
第十二章 动能定理
2. 受力分析 只有重力做功。
3. 建立动力学方程 用动能定理。
v C
A
c
θ
R
★理论力学电子教案
vC (R r) vC / r (R r)/ r
第12章 动能定理
T1 0
T2
1 2
m vC2
1 2
JC2
3 4
m(R
r )22
W12 mg (R r)(1 cos )
力功之和可以不为零。如引力。
2. 刚体间的理想约束做功之和为零。
为什么？
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
12
五、功率
单位时间内力（或力偶）所做的功。
P
W
F
dr
F
v
dt dt
力做功之功率
或P W M d M 力偶(力矩)做功之功率
dt
dt
功率的单位：瓦(W)
1.重力功
F FW k
W12
M 2 F
dr
z2
FW
dz FW
z1 z2
M1
z1
2.弹F性力k功r l0 r0
其中r0为r方向的单位矢量，l0为原长
W
F
dr
kr
l0 r0 dr
kr l0 r dr kr l0 dr r
1W 1N 1m / s
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
13
例题 鼓轮内半径为r，外半径为R，在常力F作用下作 纯滚动。试求F在s上所作的功。
12理论力学动能定理2
mg
T1 TA TB TC TD
7 M 10m 2 v0 4
A速度增大一倍时的动能为
2 T2 (7M 10m)v0
7 M 10 m 2 T1 v0 4
mg
FS FN
由 T2 T1 W12 得
3 2 (7 M 10m)v0 M (1 2 f )m hg 4 2 Mg 3v0 (7M 10m) h 解得 4 g M (1 2 f )m FT D
初始时刻： T1 0
mg
O
F
mg
A
vA
OA运动到水平位置时：
1 1 2 1 2 2 T2 J 0 m v J AB F ox 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 m1vB J B B ml 2 2 3
m1 g
B
vB
FS FN
A B
vB
F oy
运动学关系： AB杆的速度瞬心为 B点
vA B 4r
vA A r
1 1 2 2 J A mr J B m(4r ) 2 2
2 T2 2mvA
mg
mg
mg Fs2
T2 T1 W 12
Fs1
2mv Fs
2 A
N1
外力功：
N2
Fs vA 2m
W
12
Fs
v A 1 Fs A r r 2m
A mg
FCy B
C
FCx Mg
例： 在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常 力 F，开始时系统静止，如图。求连杆 OA运动 到水平位置时的角速度。设连杆长均为 l，质量 均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。
理论力学 第十二章动能定理
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对于转轴的转 动惯量与角速度平方乘积的一半
18
§12–2
3、平面运动刚体
T
动能
1 I P 2 （P为速度瞬心）I 为瞬轴的转动惯量 P 2
瞬轴：通过速度瞬心并与运动平面相垂直的轴。 它在刚体内的位置不断变化。 2
I P IC md
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 I m ( d ) m v I T （I C md ) C C C 2 2 2 2 2
1
第十二章
§12–1 力的功 §12–2 动能
动能定理
§12–3 动能定理 §12–4 势力场 势能 机械能守恒定律
§12–5 功率和功率方程
§12–6 普遍定理的联合应用
2
第十二章
动能定理
动量动量矩定理是用动量动量矩来度量质点系 的机械运动，用矢量的方法来研究。
而动能定理是用能量法来研究动力学问题。能 量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且 是沟通机械运动和其它形式能量转换的桥梁。从这 方面来说，动能比动量更具广泛性。 动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和 作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传 递的规律。
6
z2
§12–1 力的功
2、弹性力的功 弹簧原长为 r0 ，在弹性极限内 r F c(r r0 ) r c—弹簧的刚度系数。单位：N/m r dr d (r r ) W F dr c(r r0 ) r dr rdr r 2
2、不变质点系的内力功之和等于零。 3、刚体的内力功之和等于零。 问：什么时候内力功需考虑？
13
§12–1 力的功
七、约束力的功
理论力学第十二章 动能定理
解:
2υC ω= = CP l cosθ
υC
T = 0, 1
成 θ 角时
1 1 1 1 2 2 2 T2 = mυC + JCω = m1+ υC 2 2 2 2 3cos θ
1 1 2 l mg (1− sin θ ) = m1+ υ 2 C 2 2 3cos θ
压力角为
20o
M − mraA 1 F 1 x = 0.364 O r M − mraA 1 F 1y = m g − O 1 r
′ = tan 20o ⋅ P′ = 0.364P′ P n t t
F 1 x + P′ = 0 O n
F 1 y + P′− m g = 0 O t 1
研究物块A 研究物块
解:
1 1 3 2 2 2 T = m C + JCω = m C υ υ 2 2 4
重力的功率
ds r r ds r r r ds r P = mg ⋅υ = mg ⋅ τ = m g ⋅τ = m ( −g sinθ ) dt dt dt ds = −mg sinθ dt
例5 已知： 为弹簧原长， 为常力偶 为常力偶. 已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，M为常力偶 为弹簧原长 无初速度由最低点到达最高点时， 处约束力 处约束力. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力 圆心 无初速度由最低点到达最高点时
A
其中
利用
1 dh = rdϕ 2 dT = ∑δW dt rα1 α1 aA = ,α2 = 2 2
M
2(2M − mAgr) a A= (2mA + 4m1 + 4m2 + m3 ) r
理论力学基础 动能定理
M2 M1
(
Fx
dx
Fy
dy
Fzdz)
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
三、重力之功 Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系
第
一 节
W m g(z z )
12
i
i1
i2
力
的
功
由 mzC mi zi
量分别为m和2m，且OC＝AC＝BC＝l，滑块A和
第 B重量均为m。常力偶M作用在曲柄上，设＝0
三 节 动
时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角
表示)。
vB
能
定 理
K
vA
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
例题六 图示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重
量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向
W d r F
三
节 m d v d r mdv d r mdv v mvdv
动 能 定
dt
d
(
1
dt
mv2 )
理
2
动能定理的微分形式: W d ( 1 mv2 )
2
动能定理的积分形式:
W
1 2
mv22
1 2
mv12
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳
第 索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，
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v l sin
2
v
A
1 2 l 1 2 J ml m ml 12 2 3
TAB
1 mv 1 2 2 J P AB mv 2 6sin 2 3
2
1 T总 9M 4m v 2 12
例4： 行星轮系机构置于水平面内，曲柄OA质量为M
1 2 mi ri 2 2
1 2 mi ri 2 2
1 J z 2 2
(3) 平面运动刚体的动能
1 2 T J P 2
JP＝JC + md
2
C
P
1 T ( J C md 2 ) 2 1 J C 2 1 m( d )2 2 2 2
1 2 1 2 T mv C J C 2 2
1 2 Ml 2
5 2 1 1 2 2 T 2 Ml Ml Ml 6 6 2
例2 牢记均质圆盘在地面上或斜面上作纯滚动时的 动能: 1 2 1 C T mv C J C 2 vC 2 2
vC R
1 J C mR 2 2
3 2 T mvC 4
四、几种常见力的功 1、重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg
W12 mgdz mg( z1 z2 )
z2 z1
质点系
W
由 得
12
mi g ( z i1 z i 2 )
mzC mi zi
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
mv d v F d r
1 2 d( mv ) δW 2
质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。
积分形式
1 d( mv 2 ) δW 2
v2
v1
1 d( mv 2 ) W12 2
1 2 1 2 mv 2 mv1 W12 2 2
在质点运动的某个过程中， 质点动能的改变量 =作用于质点的力作的功。
约束力作功之和等于零
φ2 dr2
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1( dr1cos1 dr2cos2 ) 0
(7) 摩擦力做功
滑动摩擦时 摩擦力作负功 W=-Fs S
F
S
N Fs
当轮子在固定面上时，纯滚不滑 v
dW Fs ds F s vB dt
得
W12 k (r l0 )dr
r2 r1
即
k 2 2 W12 ( 1 2 ) 2
式中 1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功只与弹簧初始和末了的位置的变形量有关， 与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
T1 0, T2 0
k 2 0 0 mg (h max ) max 2 mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
max
已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2
，纯滚动,
初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度
W12
M2 M1
δW
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为
W12
M2 M1 M2
W
Fx dx Fy dy Fz dz
（直角坐标表达式）
三、合力的功
M1
W
M2
M1
R dr
( F1 F2 Fn ) dr
M1
M2
W1 W2 Wn
从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法
从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力 maC = F1 - F2 - Fr F1 >F2 ＋Fr
MC W F1 Fr
汽车向前行驶
F2是否摩擦力使汽车的动 FN2
FN1
能增加？
运动员跑步时，什么力使运动员的质心加速运动？ 什么力使运动员的动能增加？
什么力使自行车的速度增加？ 什么力使自行车的动能增加？
ω ω
纯滚
ω
v
2、滑块的质量为m1，在水平滑道内以V速度匀速
滑动。杆的质量为m2，杆长为L，杆绕铰点A匀
速转动，转动角速度为ω，求当杆与铅垂线的夹
角为α时系统动能。
A
ω v
3、曲柄OA长为４R，重为P，以匀角速度 ω转动。三个均质圆轮各重W，求系统 的总动能。
O
B
A
4、履带行走机构中，履带的总重量为P；二轮共
已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动, f, 初静止。 求:O走过S路程时圆盘的角速度、角加速度及盘心的加速度。
解: 圆盘速度瞬心为C ,
T1 0
0 R
2 1 1 mR 3 2 2 2 T2 m0 ( ) m0 2 2 2 4
W FS 2mgfs
drC M C d FR
Fi drC M C ( Fi )d
~ 2 时,力系的功为
1
W12
偶作功之和.
C2
C1
2 FR drC M C d
即:平面运动刚体上力系的功,等于力系向质心简化所得的力和力
5、 理想约束力作功 (1)对于光滑固定面 (2)不可伸长的绳索
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)
一对约束力做功之和为零
(6)刚性二力杆 F2 F1 dr1 φ1
W F S FS cos
二、变力在曲线运动中的功 元功
δW F cos ds
记
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
δW F dr
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为
W Fx dx Fy dy Fz dz
平面运动刚体的动能= 随质心平动的动能 +绕质心转动的动能。
例1：连杆结构如图所示，OA=AB=BD=l。质量均
为M。若OA绕O轴以匀角速度转动,求系统的动能.
A B
C
O
D
vC = vA = l
T = TOA +TDB+TAB
TOA TDB
TAB
O
A C
B
D
11 2 1 2 Ml Ml 23 6
解:
轮C与轮O共同作为一个质点系
W12 M m2 gSsin
T1 0
1 3 2 2 2 T2 (m1 R1 )ω1 m2vc 2 4 C 1 R1
第十二章 §12–1 §12–2 §12–3 §12–4 力的功
动能定理
质点和质点系的动能 动能定理 功率 ·功率方程
§12–5
§12–6
势力场 ·势能 ·机械能守恒定理
动力学普遍定理及综合应用
12-1
力的功
力的功
力沿路程累积效应的度量，使物体的机械能增加。 功是代数量 单位：J (焦耳), 1J＝1 N· m 一、常力沿直线路径作功 F S
T 1 m v2 2
二、质点系的动能
瞬时量，与速度方向无关的正标量
1 T mi vi 2 2
质点系内各质点动能的算术和
三、刚体的动能 (1) 平动刚体的动能
1 T mi vi2 2
1 2 vC mi 2
1 2 Mv C 2
(2) 定轴转动刚体的动能
1 2 T mi vi 2
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v
A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
Fs B N
0
纯滚不滑时，滑动摩擦力不作功。
纯滚不滑时，接触点也是理想约束 。
6、内力做功
dW F dr1 F ' dr2
F ( dr1 dr2 )
F’ F
dr2
dr1
a、当两点之间的相对位置发生变化时，内力做功
汽车发动机的气缸内膨胀的气体对 活塞和气缸的作用力都是内力，但 内力功的和不等于零。
T1 3 2 FS 2mgfs m0 4
2
W T
(a)
s 0 2 ( F 2mgf ) 3m
将式(a)两端对t求导,并利用
0 a0 , , r r
2 得 a0 ( F 2mgf ) 3m