理论力学--第十二章 动能定理

四、几种常见力的功 1、重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg
W12 mgdz mg( z1 z2 )
z2 z1
质点系
W
由 得
12
mi g ( z i1 z i 2 )
mzC mi zi
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
解:
轮C与轮O共同作为一个质点系
W12 M m2 gSsin
T1 0
1 3 2 2 2 T2 (m1 R1 )ω1 m2vc 2 4 C 1 R1
mv d v F d r
1 2 d( mv ) δW 2
质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。
积分形式
1 d( mv 2 ) δW 2

v2
v1
1 d( mv 2 ) W12 2
1 2 1 2 mv 2 mv1 W12 2 2
在质点运动的某个过程中， 质点动能的改变量 =作用于质点的力作的功。

v l sin
2
v

A
1 2 l 1 2 J ml m ml 12 2 3
TAB
1 mv 1 2 2 J P AB mv 2 6sin 2 3
2
1 T总 9M 4m v 2 12
例4： 行星轮系机构置于水平面内，曲柄OA质量为M
由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
T1 0, T2 0
k 2 0 0 mg (h max ) max 2 mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
max
已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2
，纯滚动,
初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度
2、质点系的动能定理
质点系动能定理的微分形式 设第i个质点的质量为mi，速度为vi
1 d( mi vi2 ) δWi 2
1 d( mi vi2 ) δWi 2
1 d ( mi vi2 ) δWi 2
d T δWi
质点系动能的微分 =作用在质点系上所有力所作的元功之和。
W12
M2 M1
δW
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为
W12
M2 M1 M2
W
Fx dx Fy dy Fz dz
（直角坐标表达式）

三、合力的功
M1
W
M2
M1
R dr
( F1 F2 Fn ) dr
M1
M2
W1 W2 Wn
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)
一对约束力做功之和为零
(6)刚性二力杆 F2 F1 dr1 φ1
得
W12 k (r l0 )dr
r2 r1
即
k 2 2 W12 ( 1 2 ) 2
式中 1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功只与弹簧初始和末了的位置的变形量有关， 与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
δW F dr Ft ds Ft Rd
W F S FS cos
二、变力在曲线运动中的功 元功
δW F cos ds
记
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
δW F dr
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为
W Fx dx Fy dy Fz dz
drC M C d FR
Fi drC M C ( Fi )d
~ 2 时,力系的功为
1
W12
偶作功之和.
C2
C1
2 FR drC M C d
即:平面运动刚体上力系的功,等于力系向质心简化所得的力和力
5、 理想约束力作功 (1)对于光滑固定面 (2)不可伸长的绳索
内力的功使气车的动能增加。
脚底与地面之间的摩擦力不作功
小腿的肌肉(比目鱼肌)收缩产生内力而作功， 使运动员的动能增加。 二者都是运动员跑步前进的驱动力。
b、刚体所有内力作功的和 等于零
1、物体的质量为M，与斜面间的动摩擦系数为f’ ，弹簧刚度为K。当弹簧处于原长时，物体沿倾 角为α的斜面向下移动了距离S，求在此位移中各 力所作的功。
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v

A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
1 2 Ml 2
5 2 1 1 2 2 T 2 Ml Ml Ml 6 6 2
例2 牢记均质圆盘在地面上或斜面上作纯滚动时的 动能: 1 2 1 C T mv C J C 2 vC 2 2
vC R
1 J C mR 2 2
3 2 T mvC 4
约束力作功之和等于零
φ2 dr2
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1( dr1cos1 dr2cos2 ) 0
(7) 摩擦力做功
滑动摩擦时 摩擦力作负功 W=-Fs S
F
S
N Fs
当轮子在固定面上时，纯滚不滑 v
dW Fs ds F s vB dt
从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法
从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力 maC = F1 - F2 - Fr F1 >F2 ＋Fr
MC W F1 Fr
汽车向前行驶
F2是否摩擦力使汽车的动 FN2
FN1
能增加？
运动员跑步时，什么力使运动员的质心加速运动？ 什么力使运动员的动能增加？
什么力使自行车的速度增加？ 什么力使自行车的动能增加？
质点系动能定理的积分形式
T2 T1 W
质点系在某一运动过程中 起点和终点的动能的改变量
=作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和。
在理想约束的条件下：
dT W
(F)
T2 T1 W
(F)
问题
在非理想约束下，如何应用动能定理？
将摩擦力、弹性内力等非理想约束的约 束反力划入主动力计算力的功。
，且以角速度运动。R为定齿轮 O 的半径，动齿轮A 的半径为 r，质量为 m。求系统的动能。
O
A
运动分析
vA= (R+r) = r A
Rr A r
O

I
A
T = TOA +TA
TOA 1 1 1 2 M R r M R r 2 2 3 6
平面运动刚体的动能= 随质心平动的动能 +绕质心转动的动能。
例1：连杆结构如图所示，OA=AB=BD=l。质量均
为M。若OA绕O轴以匀角速度转动,求系统的动能.
A B
C

O
D
vC = vA = l
T = TOA +TDB+TAB
TOA TDB
TAB

O
A C
B
D
11 2 1 2 Ml Ml 23 6
已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动, f, 初静止。 求:O走过S路程时圆盘的角速度、角加速度及盘心的加速度。
解: 圆盘速度瞬心为C ,
T1 0
0 R
2 1 1 mR 3 2 2 2 T2 m0 ( ) m0 2 2 2 4
W FS 2mgfs
TA

1 1 1 2 mv A m r 2 2 2 2
3 1 1 2 2 mR r mR r mR r 2 4 4
1 2M 9m R r 2 T 12
练习1、均质圆轮的质量为M，半径为R；杆的质 量为M，杆长L。计算各物体的动能。
Fs B N
0
纯滚不滑时，滑动摩擦力不作功。
纯滚不滑时，接触点也是理想约束 。
6、内力做功
dW F dr1 F ' dr2
F ( dr1 dr2 )
F’ F
dr2
dr1
a、当两点之间的相对位置发生变化时，内力做功
汽车发动机的气缸内膨胀的气体对 活塞和气缸的作用力都是内力，但 内力功的和不等于零。
2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
wk.baidu.com
W12
A1
A2
F dr
k (r l0 )er dr

A1
因
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
第十二章 §12–1 §12–2 §12–3 §12–4 力的功
动能定理
质点和质点系的动能 动能定理 功率 ·功率方程
§12–5
§12–6
势力场 ·势能 ·机械能守恒定理
动力学普遍定理及综合应用
12-1
力的功
力的功
力沿路程累积效应的度量，使物体的机械能增加。 功是代数量 单位：J (焦耳), 1J＝1 N· m 一、常力沿直线路径作功 F S
重Q，半径为R，视为均质圆盘。二轮的间距
为πR，车的前进速度为V，求系统的动能。
5、均质杆的质量为M，杆长为L，匀角速度ω 转动，求动能。
ω
L/4
6、均质圆轮的质量为M，半径为R，求动量
、动量矩、动能。
ω
§12-3
1、质点的动能定理 微分形式 Ma=F
m
动能定理
dv m F dt
dv d r F d r dt
T1 3 2 FS 2mgfs m0 4
2
W T
(a)
s 0 2 ( F 2mgf ) 3m
将式(a)两端对t求导,并利用
0 a0 , , r r
2 得 a0 ( F 2mgf ) 3m
已知:m, h, k, 其它质量不计. 求:
max
解:
2、高4米、宽3米的木箱的质量为M，绕其 棱边E翻倒，问在此过程中重力何时做正功 ？何时做负功？重力做得总功如何？
E
3、弹簧原长为R，O端固定，另一端由B处拉 到A处，求弹力作功。
B
A
§12-2
质点和质点系的动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动 强弱的又一种度量。 一、质点的动能
T 1 m v2 2
二、质点系的动能
瞬时量，与速度方向无关的正标量
1 T mi vi 2 2
质点系内各质点动能的算术和
三、刚体的动能 (1) 平动刚体的动能
1 T mi vi2 2
1 2 vC mi 2
1 2 Mv C 2
(2) 定轴转动刚体的动能
1 2 T mi vi 2
1 2 mi ri 2 2
1 2 mi ri 2 2
1 J z 2 2
(3) 平面运动刚体的动能
1 2 T J P 2
JP＝JC + md
2
C

P
1 T ( J C md 2 ) 2 1 J C 2 1 m( d )2 2 2 2
1 2 1 2 T mv C J C 2 2
ω ω
纯滚
ω
v
2、滑块的质量为m1，在水平滑道内以V速度匀速
滑动。杆的质量为m2，杆长为L，杆绕铰点A匀
速转动，转动角速度为ω，求当杆与铅垂线的夹
角为α时系统动能。
A
ω v
3、曲柄OA长为４R，重为P，以匀角速度 ω转动。三个均质圆轮各重W，求系统 的总动能。
O
B
A
4、履带行走机构中，履带的总重量为P；二轮共