西南交通大学高等数学II

e.c 10. 在曲面 z = xy 上求一点，使该点处的法线垂直于平面 x +3y + z +9= 0．
nanch 11.
将函数
f
(x)
=
x2
1 + 3x
+2
展开为
x
的幂级数．
w.zhi ∫∫∫ 12. 计算 I = zdxdydz ， Ω是由曲面 z = 4 − 3(x2 + y2) 及 z = x2 + y2所围成的闭区域． ww Ω
L
�∫ 14.（10分）计算积分 xdy− ydx ，其中L为圆周(x−1)2 + y2 = R2 (R≠ 1)（按逆时针方向）． www.zhin L 4x2+y2
∫∫ 15. （10 分）计算 I = ydydz − xdzdx + z2dxdy ，其中 ∑ 为锥面 z = x2 + y2 被 z = 1, z = 2 所
∑
截部分的外侧．
.com 五、 综合题（每小题 5 分，共 10分） e 16. 在 椭 球 面 2x2 + 2y 2 + z 2 =1 上 求 一 点 ， 使 函 数 f (x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 在 该 点 沿 方 向 h l = (1, −1, 0) 的方向导数最大，并求出最大值．
）．
h （A） f (x, y)在点 (0,0) 连续； （B） df (x, y) |(0,0) = dx + 2dy ；
.z （C）
∂f ∂l
|(0,0) =
cosα
+
2 cos β
，其中 cos α,
cos
β
为l
的方向余弦；
w（D） f (x, y)在点 (0, 0) 沿 x 轴负方向的方向导数为 −1．
n =1
∫
bn = 2 0 f ( x) sin nπ xdx
n =1, 2,......, 则 S(− 1) = 2
， S(9) =
．
∑ 8.
∞
幂级数
( x − 2)n 的收敛域为
n2
n=1
．
三、 解答下列各题（每小题 7 分，共 28 分）．
om 9. 设 z = z(x, y)是由方程 F(xy, z − 2x) = 0 确定的隐函数， F(u, v) 可微,计算 x ∂z − y ∂z ． ∂x ∂y
.zhinanc∑ 17. 证明：设 {Un}是单调递增的有界正数列，
判断级数
∞ (1 − Un ) 是否收敛，并证明你的
n=1
U n+1
www结论．
四、 解答下列各题（每小题 10 分，共 30 分）
13. （ 10 分 ） 设 f (x) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， f (0) = 0, f ′(0)= 1 ， 曲 线 积 分
∫[xy(x + y) − yf ( x)]dx +[ f ′( x) + x2 y]dy 与路径无关．求 f (x) ．
则(
)．
c （A） ∫∫∫ xdxdydz = 4∫∫∫ xdxdydz ； （B） ∫∫∫ ydxdydz = 4∫∫∫ ydxdydz ；
n Ω
Ω1
Ω
Ω1
（C） ∫∫∫ zdxdydz = 4∫∫∫ zdxdydz ； （D） ∫∫∫ xyzdxdydz = 4∫∫∫ xyzdxdydz
a Ω
Ω1
Ω
Ω1
n∑ ∑ 3．设 an > 0
(n
=
1, 2,......)
，且
∞ n=1
an
收敛， λ
∈(0, π 2
)，则级数
∞
(−1)n
n=1
(n tan
λ n
)a2
n
（
）．
i （A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛性与 λ 有关。
4． 设二元函数 f (x, y) 满足 fx′(0, 0) = 1, fy′(0, 0) = 2 ，则（
西南交通大学 2008－2009 学年第(2)学期考试试卷
课程代码 6011320 课程名称 高等数学 II（A 卷） 考试时间 120 分钟
密封装订线
姓名
学号
密封装订线
题
三
四
五
总
一二
目
9 10 11 12 13 14 15 16 17 分
得
m 分
o 阅卷教师签字： c 一、 单项选择题（每小题 4 分，共 16 分）．
. 1． 微分方程 y′′ + 3y′ + 2 y = e− x ，其特解 y* 设法正确的是 （
）．
e （A） y* = Ae−x ； （B） y* = Axe− x ； （C） y* = ( Ax + B )e−x ； （D） y* = Ax2e−x
h 2． 设空间区域 Ω：x2 + y2 + z 2 ≤ R 2，z ≥ 0 ； Ω1：x2 + y2 + z 2 ≤ R 2，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0，
ww二、 填空题（每小题 4 分，共 16 分）．
5.
设函数 f (x, y) = x + (y − 1) arcsin
x y
，则
f x ′ (x,1) =
．
6. 曲面 z = x2 + y2 被柱面 x2 + y2 =1所割下部分的面积为
．
班级
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∞
∑ 7. 设 f (x) = x2 (0 ≤ x ≤ 1) ，而 S( x) = bn sin nπ x (−∞ < x < +∞ )，其中