最新人教版九年级上册数学22.1.3(第1课时)二次函数y=ax2+k的图象和性质优秀课件
最小,y=-1 最小,y=0 最小,y=1 对称轴左侧y随x 增大而减小 对称轴右侧y随x 增大而增大
y=2x2-1
y=2x2
y=2x2+1
二 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
4
y
做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象：
a＞ a＜0 a＞0 a＜0 0
y= ax2+k ﹙a≠0)
抛 物 线
向 上
向 下
x=0
（0，k）
最 低
最 高
对称轴左 对称轴左 侧 y随 x增 侧 y随 x增 大而减小， 最大， 最小，y=k 对称轴右 大而增大， 对称轴右 y=k 侧 y随 x增 侧 y随 x增 大而增大 大而减小
例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值
有最高（低）点
向上 向上
（0,0）
y轴
有最低点
有最低点
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y = -4x2－5
向下
有最高点
y = 2x2－４ ．
2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线
在 （填 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___ “在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. =2 ；若顶点位于x轴 4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____ >2 ；若顶点位于x轴下方，则k 上方，则k____ <2
2x2+1
y=2x2+1
…
从 形 的 角 度 探 究
-6 -4 -2
y
5
4
3
y 2x 1
2
2
y 21
y 2x2 1
可以看出，y=2x2 向___ 上
平移一个单位长度得到 抛物线y=2x2+1
下 平移一个单位长度 得到抛物线y=2x2-1 可以看出，y=2x2 向___
1 2 y1 x 2 3
1 2 y x 3
对称轴左侧y随x增大而增大 ____________________________ 对称轴右侧y随x增大而减小 _____________________________
归纳总结
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象和性质
开口方向 解析式 形状 a＞ a＜0 0 对 称 轴 顶点高低 顶点 坐标 函数最值 函数的增减性 a＞0 a＜0
7
… 5.5 … 4.5 … 1.5 3.5
…
6
5
y=2x2+1
4
3
y=2x2 y=2x2-1
o
2 4 6 x
2
1
-6
-4
-2
-1
y
5
4
y 2x2 1
3
2
y 2x2
y=2x2-1
o
1
-6
-4
-2
x 对称轴右侧y随x增大而增大.
2 4 6
-1
解析式
形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性
画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们 的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函 数增减性。 x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 y=2x2-1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 y=2x2+1 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1
三 二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式
点的坐标
y=2x2
-1
-1
y=2x2
(x, 2x2 )
+1
y=2x2+1
(x, 2x2+1 )
(x, 2x2-1 )
函数对应值表 x y=2x2-1 y=2x2 … -1.5 -1 … 3.5 1 … 4.5 … 5.5
2 3
… … …
x 2x2-1 2x2
直线x=0 (3)对称轴都是__________ -2 2
y
1 2 y2 x 2 3
2
0
x
-2 -4
(4) 从上而下顶点坐标分别是 ( 0，2) ( 0,0) ( 0,-2) _____________________
高 点，函数都有 (5)顶点都是最____ 大 值，从上而下最大值分别 最____ y=2 、_______﹑________ y=0 y= -2 为_______ (6) 函数的增减性都相同：
[义务教育教科书]( R J ) 九 上 数 学 课 件
第二十二章 二次函数
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（难点） 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（重点）
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小
的有 ①④⑤ (填题号).
2.一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系.
平行
3.你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+1的图象之间有何关
系吗？二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间又有何关系?
一 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. c
解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2
关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式 求出纵坐标为c. 方法总结： 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因 此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横 坐标互为相反数．
-2
2 0 -2 -4 2
1 2 y x 3 1 2 y2 x 2 3
1 2 y2 x 2 3
x
1 2 y1 x 2 3
1 2 y x 3
1 2 y1 x 2 3
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 .
向下 (2)三条抛物线的开口方向_______;
3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.
导入新课
复习引入
1.已知二次函数 3 2 ① y=-x ; ② y= x2; ③ y=15x2; 5 ④ y=-4x2; ⑤ y=-9 x2; ⑥ y=4x2.
10
(1)其中开口向上的有
②③⑥
(填题号)； ⑤ (填题号)；
(2)其中开口向下，且开口最大的是
知识要点
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
当堂练习
1.填表：
函数 y = ３ x2 y = 3 x 2＋ 1 开口方向 顶点 对称轴
九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)
y＝ 3x－3， 析式为 y＝ 3 x－3.联立直线 DC 与抛物线的解析式可得y＝13x2－3， 解得
x1＝0， y1＝－3，
yx22＝＝63，3，
所以 M1(3
3 ，6)；
②如图，若点 M2 在点 B 下方，设 M2C 交 x 轴于点 E，易得∠OEC＝45 °－15°＝30°，易得 OE＝3 3 .
15．(10分)(云南中考)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称 轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值； (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P 的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0， 解得k1＝－3，k2＝2，又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点， ∴3k＜0，∴k＝－3 (2)∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或 －2，当x＝2时，y＝－5，当x＝－2时，y＝－5.∴P(2，－5)或P(－2，－5)
(1)求m的值； (2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式； (3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，可得m＝－3
(2)将 y＝0 代入 y＝x－3 得 x＝3，所以点 B 的坐标为(3，0).
将(0，－3)，(3，0)代入
人教版
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．(3分)抛物线y＝x2＋1的图象大致是( C )
人教版九年级数学上册22.1.3二次函数 的图像和性质(第一课时)
>2
x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方
，则k
<2
.
课堂检测
基础巩固题
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位.
>0
（2）函数y=-x2+1，当x
对称轴右侧y随x增大而减小
__________________________
探究新知
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（x=0）
y轴（x=0）
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
增减性
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的
是 y轴 ，在 对称轴左 侧，y随着x的增大而增大；
在 对称轴右侧，y随着x的增大而减小.
探究新知
知识点 4
二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式
点的坐标
y=2x2-1
-1
(x, 2x2-1 )
+1
y=2x2
(x, 2x2 )
y=2x2+1
(x, 2x2+1)
函数对应值表
x
…
y=2x2-1
(0，-1)
y=x
2
探究新知
素养考点 1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
2022-2022九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时
(1)经过点(－3，2)；
(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：(1)y＝13x2－1 (2)y＝－12x2－1 (3)－x2－1
第14题图
16．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位． (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
它与抛物线y＝2x2的形状___相__同____．
2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下_____，对称轴是___y_轴_____，顶点 坐标是_(_0_，__－__2_)__．
3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－
1 2
x2＋1的图象上，且x1＜x2
＜0，则y1与y2的大小关系为__y_1_＜__y_2_____．
18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，
则当x取x1＋x2时，函数值为( D
A．a＋c
B．a－c
) C．－c
D．c
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的
示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－
1 40
x2＋10，为保护廊
桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏
△ABC的面积为__2___2___．
13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝ ___4____，c＝__－__3___．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过
点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝
人教版数学九年级上册22.1.3二次函数的图像(1)课件
y y＝x2+1
y = x2
y＝x2-1
x O1
知识梳理
（一）抛物线y=ax2+k特点：
1.当a>0时，开口向 ；当a<0时，开口 ；
2. 顶点坐标是
；
3. 对称轴是
。
（二）抛物线y=ax2+k与y=ax2形状相同，位置不同，y=ax2+k
是由y=ax2 平移得到的。
二次函数图象的平移规律：上 下 。
，它们
的形状__________，当x= 时，y有最 值是 。
3．由抛物线y=5x2-3平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式
是
，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y=-x2
的方向相反，形状相同的抛物线解析
式
．
当堂反馈
5. 抛物线y=4x2+1关于x轴对称的抛物线解析式为 _________________．
探索知新
（一）画二次函数y＝x2，y＝x2+1，y 1 2 3 …
y＝
x2+1
…
…
y＝x2-
1
… 开口
方向
顶 点
对 称 轴
有最 高(低)
点
增减… 性
y y＝x2+1
y = x2
人教版九年级上数学《22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》练习题(含答案)
22.1.3 二次函数y = a （x — h ）2 3+ k 的图象和性质 第1课时 二次函数y = ax 2+ k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y = ax 2+ k 的图象1 11.（教材P33练习变式）函数y = §x 2+ 1与y = §x 2的图象的不同之处是（C ）A .对称轴B .开口方向2C . y = x + 13.y = x 2+ 2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式C .顶点D •形状2.X（上海中考）如果将抛物线是(C)2A . y= (x —1) + 2B. y = (x + 1)2+ 22 D. y= x + 34.抛物线y= 2x2—1在y轴右侧的部分是上 _（填"上升”或"下降”）.5.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值y = 2x2+ 2向上y轴(0, 2)最小值2y = —5x2—3向下y轴(0, —3)最大值一3 y= 5x+ 1向上y轴(0, 1)最小值112 4y = —2x —4向下y轴(0, —4)最大值一46.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y = —2x2, y = —2x2+ 3的图象.（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；⑵抛物线y = —2x2+ 3与抛物线y= —2x2有什么关系?解：如图所示：（1）抛物线y = —2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0, 0）• 抛物线y=—2x2+ 3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0, 3）• ⑵抛物线y = —2x2+ 3可由抛物线y=—2x2向上平移3个单位长度得到.知识点2 二次函数y= ax2+ k的性质7.（河池中考）已知点（x i, y i）,（X2, y2）均在抛物线y= x2—1上，下列说法中正确的是（D）A .若y i= y2,贝V X i = X2B .若x i = —x2,则y i = —y2C.若O v x i<X2,则y i>y2D .若x i v X2< 0，则y i > y28.下列关于抛物线y=—x2+ 2的说法正确的是（D）A .抛物线开口向上B .顶点坐标为（一i, 2）C.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大D .在对称轴的左侧，y随x的增大而增大9.二次函数y= 3x2—3的图象开口向上，顶点坐标为（0，—3），对称轴为y轴，当x>0时, y随x 的增大而增大：当x<0时，y随x的增大而减小.因为a= 3>0，所以y有最小值，当x= 0时，y的最小值是_3.i10.能否通过适当地上下平移二次函数y= 3x2的图象，使得到的新的函数图象经过点（3,3—3），若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由.解：设平移后的函数解析式为y= 3x2+ k,3把（3 , —3）代入，得—3 = i X 32+ k,3解得k=— 6.•••把y= 3X3的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点(3,—3).02 中档题11.(山西农业大学附中月考)在同一坐标系中，一次函数y = ax+ 1与二次函数y= x2+ a的图象可能是(C)=2 .的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(3, 3), P是抛物线y=*+i上12. 已知 y = ax 2 + k 的图象上有三点 A( — 3, y i ), B(1 , y 2), C(2 , y 3),且 y 2<y 3<y i ，贝V a 的取值范围是(A)A . a>0B . a<0C . a > 0D . a < 013. (山西农业大学附中月考)已知二次函数y = ax 2 + c ,当x 取x i , X 2(x i *XQ 时，函数值相 等.当x 取X i + X 2时，函数值为(D)A . a + ci 214.(泸州中考)已知抛物线y = 4x 2+ i 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0, 2)15. 已知y = (m + 2)xm 2+ m — 4 — 3是二次函数，且当 x >0时，y 随x 的增大而减小，则 m =—3.16 .将抛物线y = ax 2 + c 向下平移3个单位长度，得到抛物线y =— 2x 2— i ，贝V a=—N , c17 .若抛物线 y = ax 2 + k(a ^0)与 y =— 2x 2 + 4 关于 x 轴对称，则 a = 2, k =—4.D . 6B . a — c一个动点，则△18•把y= —2x4 5的图象向上平移2个单位长度.(1) 求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴；(2) 画出平移后的函数图象；⑶求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.解：⑴新图象的函数解析式为y= —*x2+ 2，顶点坐标是(0, 2)，对称轴是y轴.⑵略.⑶当x = 0时，y有最大值，为2.03 综合题2 1佃.(大连中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2+才与丫轴相交于点A ,点B在y轴上，且在点A的上方，AB = 0A.1(1)填空：点B的坐标是(0, 2)：⑵过点B的直线y = kx + b(其中k v 0)与x轴相交于点C,过点C作直线I平行于y轴，P 是直线I上一点，且PB= PC,求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上，说明理由.4令y= 0，得kx + = 0,1解：T B 点坐标为(0, ~),1•••设直线的解析式为 y = kx + -. ••• PB = PC ,「.点P 只能在x 轴上方.1 1 过 B 作 BD 丄 I 于点 D ，设 PB =PC = m ,贝U BD = OC =—衣,CD = OB =寸,解得x =—丄2k .• OC =— 丄2k .1••• PD = PC — CD = m —二2在Rt △ PBD 中，由勾股定理，得PB 2= PD 2+ BD 2, 即卩 m 2= (m — 2)2 + (—才, 1 1解得 m =4+ 4i?.1当x =— 土时，代入抛物线的解析式可得y2K •••点P 在抛物线上.• P 点坐标为/ 1 1 1(—2k ，4+和-1 1 4+ 4?，第2课时二次函数y= a(x—h)2的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y= a(x —h)2的图象1 21.在平面直角坐标系中，二次函数y= 2(x —2)2的图象可能是(D)2.抛物线y=—4(x + 3)2与x轴的交点坐标是(—3, 0)，与y轴的交点坐标是(0，—36).3.将抛物线y= ax2向左平移2个单位长度后，经过点(—4，—4)，则a=二］.4.傲材P35练习变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y= x2, y = (x + 2)2, y= (x —2)2 的图象，并写出对称轴及顶点坐标.解：图象如图：抛物线y = x2的对称轴是直线x= 0,顶点坐标为(0, 0).抛物线y = (x + 2)2的对称轴是直线x=—2,顶点坐标为(一2, 0).抛物线y = (x —2)2的对称轴是直线x= 2,顶点坐标为(2 , 0).知识点2 二次函数y= a(x —h)2的性质5.下列对二次函数y= 2(x + 4)2的增减性描述正确的是(D)A .当x > 0时，y随x的增大而减小B .当x v 0时，y随x的增大而增大C.当x>—4时，y随x的增大而减小D .当x v —4时，y随x的增大而减小6.描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法.对于函数y = (x —2)2,下列说法：①图象经过点A .①②B .①②④(1, 1);②当x= 2时，y有最小值0 :③y随x的增大而增大；④该函数图象关于直线x= 2对称.其中正确的是(B)C.①②③④ D .②③④7.如果二次函数y= a(x+ 3)6有最大值，那么a<0,当x=- 3时，函数的最大值是0.8•完成表格：9.(衡阳中考)已知函数y=—(x - 1)2图象上两点A(2 , y) B(a, y2)，其中a> 2，则y i与W的大小关系是y i>y2(填“v”“>”或“=”).10.已知抛物线y= a(x-h)2,当x = 2时，有最大值，此抛物线过点(13)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小.解：当x = 2时，有最大值，h= 2.又•••此抛物线过点(1,—3),•••—3= a(1 - 2)2.解得a=- 3..此抛物线的解析式为y = - 3(x —2)2.当x>2时，y随x的增大而减小.6 2C. y = (x —1) D . y= (x + 1)易错点1混淆二次函数图象的平移方向与h的加减关系11.(上海中考)如果将抛物线y = x2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是(C)2 2A . y= x —1 B. y = x + 1易错点2二次函数增减性相关的易错12. 已知二次函数y = 2(x — h)2的图象上，当x > 3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足 h w 3.02 中档题13.(玉林中考)对于函数y =— 2(x — m)2的图象，下列说法不正确的是 (D)A .开口向下B .对称轴是x = mC .最大值为0 15.已知A( — 4, y i ), B( — 3, y 2), C(3 , y 3)三点都在二次函数 y =— 2(x + 2)2的图象上，则 y i , y 2, y 3的大小关系为 y 3<y i <y 2.|x 2 + 3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(一5, 0).根据以上特点，试写出该抛物线的解析式.解：•• •所求抛物线与 y =— 2x 2+ 3形状相同，开口方向相反,1•••所求抛物线解析式的二次项系数是 *又•••顶点坐标是(—5, 0),216.已知二次函数 y = 2(x — 1) 17.已知某抛 D .与y轴不相14.在同 (D) 1.•••所求抛物线的解析式为y=如+ 5)2.i。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
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x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
《22.1.3 第1课时 二次函数y=ax^2+k的图象和性质》习题课件
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质 22 ． 13 二次函数y＝a－h2＋的图象和
性质 第1课时 二次函数y＝a2＋的图象和性质
二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质 二次函数 y＝ax2＋k 的图象是一条 抛物线 .它与抛物线 y＝ax2 的形状 相 同，只是 顶点位置 不同，它的对称轴为 y 轴，顶点坐标为 0， .
PMF 周长有最小值．
8．(泸州中考)已知抛物线 y＝14x2＋1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到 定点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离始终相等，如图，点 M 的坐标为( 3，3)， P 是抛物线 y＝14x2＋1 上一个动点，则△PMF 周长的最小值是( C )
A．3
B．4
C．5
D．6
【点拨】过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，交抛物线 y＝14x2＋1 于点 P，此时△
下 平移|k|个单位得 y＝ax2＋k.
易错点 在确定抛物线 y＝ax2＋k 的顶点坐标时，误写成(k,0)．
自我诊断 2. 抛物线 y＝3x2－3 的顶点坐标是( B )
A．(0,3)
B．(0，－3)
C．(3,0)
D．(－3,0)
1．二次函数 y＝－3x2＋7 的图象是将( D ) A．抛物线 y＝3x2 向左平移 7 个单位得到的 B．抛物线 y＝－3x2 向左平移 7 个单位得到的 C．抛物线 y＝3x2 向上平移 7 个单位得到的 D．抛物线 y＝－3x2 向上平移 7 个单位得到的
2．对于抛物线 y＝7x2＋5 与和 y＝－7x2，下列结论：①抛物线的形状相同；
②抛物线的开口方向相同；③抛物线的对称轴相同；④抛物线的顶点相
同．其中，结论正确的有( B )
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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2.(2016广东东莞月考)抛物线y=3x2+1的开口向
标为
.
(上或下),顶点坐
答案 上;(0,1) 解析 根据抛物线的解析式y=3x2+1可知其开口向上,顶点坐标为(0,1).
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
对应点的坐标为(1,0),所以平移后,所得抛物线相应的函数解析式为y=
-(x-1)2.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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知识点三 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 6.(2017江苏宿迁中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个 单位,所得抛物线相应的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1 答案 C 根据平移口诀“左加右减自变量,上加下减常数项”可知平 移得到的抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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4.(2018江苏盐城阜宁期中)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为
a的符号 图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
人教版九年级数学教案：22.1.3二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质
二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象和性质教材内容分析： 二次函数是最基本的一类初等函数，也是初中数学的重要的内容之一。
本章内容，既是对之前所学函数知识的一个补充，对函数知识系统的一个完善，也是 以后学习高等函数知识的一个基础。
因此，本章的内容在学生的知识系统中起着 一个承上启下的作用，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，它既是其他学科研究时所 用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型。
二次函数的图像 ----抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广 泛的应用。
这为学生进一步学习函数、体会函数思想奠定基础和积累经验知识与技能： 会用描点法画出二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象； 过程与方法： 结合图象确定抛物线 y＝a(x－h) 2＋k 的开口方向、对称轴与顶点坐标及 性质； 情感态度与价值观： 通过比较抛物线 y＝a (x－h) 2＋k 与 y＝ax2 的关系，培养学生的观察、分 析、总结的能力。
学情分析: 学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以 根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生 独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上， 重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点 教学重点：画出形如 y＝a (x－h)2＋k 的二次函数的图象，能指出开口方 向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数 y＝a (x－h)2＋k 与 y＝ax2 及其图象的相互关系。
教学过程 一、复习导入新课 师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察 y＝－x2 、 y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2 这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条 抛物线。
师： 同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物 线能否经过怎样的平移得到抛物线 y＝－(x＋1)2－1 生: 向左平移一个单位,再向下平移一个单位。