主成分分析计算方法和步骤
主成分分析法的原理应用及计算步骤
F1 a11 X1 a21 X 2 ... a p1 X p
,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可
用其方差来度量，其方差 Var(F1)越大，表示 F1 包含的信息越多。常常希望第 一主成分 F1 所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的 F1 应该是 X1， X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称 F1 为第一主成分。如果第一主 成分不足以代表原来 p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标 F2，为有 效地反映原信息，F1 已有的信息就不需要再出现在 F2 中，即 F2 与 F1 要保持独 立、不相关，用数学语言表达就是其协方差 Cov(F1, F2)=0，所以 F2 是与 F1 不
U1 称为第一主成分,U2 称为第二主成分,…,Up 称为第 p 主成分。 5 、对 m 个主成分进行综合评价 对 m 个主成分进行加权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分的方差贡献率。
一、主成分分析基本原理 概念： 主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析 方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。 思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析 问题的难度和复杂性， 利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较 多的变量， 并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这 样问题就简单化了。 原理：假定有 n 个样本，每个样本共有 p 个变量，构成一个 n×p 阶的数据 矩阵，
l (Zi ,X j ) i aij (i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, p)
在 SPSS 软件中主成分分析后的分析结果中， “成分矩阵”反应的就是主成分 载荷矩阵。 （5）计算主成分得分 计算样品在 m 个主成分上的得分：
主成分分析计算方法和步骤
主成分分析计算方法与步骤:在对某一事物或现象进行实证研究时，为了充分反映被研究对象个体之间得差异研究者往往要考虑增加测量指标，这样就会增加研究问题得负载程度。
但由于各指标都就是对同一问题得反映，会造成信息得重叠，引起变量之间得共线性，因此，在多指标得数据分析中，如何压缩指标个数、压缩后得指标能否充分反映个体之间得差异，成为研究者关心得问题。
而主成分分析法可以很好地解决这一问题。
主成分分析得应用目得可以简单地归结为：数据得压缩、数据得解释。
它常被用来寻找与判断某种事物或现象得综合指标，并且对综合指标所包含得信息给予适当得解释，从而更加深刻地揭示事物得内在规律。
主成分分析得基本步骤分为：①对原始指标进行标准化，以消除变量在数量极或量纲上得影响；②根据标准化后得数据矩阵求出相关系数矩阵R;③求出R矩阵得特征根与特征向量；④确定主成分，结合专业知识对各主成分所蕴含得信息给予适当得解释;⑤合成主成分，得到综合评价值。
结合数据进行分析本题分析得就是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年得相关统计数据（见附录），从相关得指标数据我们无法直接评价我国各省市得高等教育绩效，而通过表5-6得相关系数矩阵，可以瞧到许多得变量之间得相关性很高。
女口：招生人数与教职工人数之间具有较强得相关性，教育投入经费与招生人数也具有较强得相关性，教工人数与本科院校数之间得相关系数最高，到达了0、963,而各组成成分之间得相关性都很高，这也充分说明了主成分分析得必要性。
表5-6相关系数矩阵表5-7给出得就是各主成分得方差贡献率与累计贡献率，我们选取主成分得标准 有 两个：第一，特征根大于1,因为，如果特征根小于1,说明该主成分得解释力度太 弱，还比不上直接引入一个原始变量得平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%如果这两个标准不能同时符合要求，则往往就是因为选择得指标不 合理或 者样本容量太小，应继续调整。
表5-7还显示，只有前2个特征根大于1,因此SPSS 只提取了前两个主成分，而这两个主成分得方差贡献率达到了 081%因此选取 87、 前两个主成分已经能够很好地描述我国高等教育地区现状。
主成分分析法及其应用
主成分分析法及其应用一、本文概述主成分分析法（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种广泛应用于数据降维和特征提取的统计方法。
它通过正交变换将原始数据集中的多个变量转换为少数几个互不相关的主成分，这些主成分能够最大程度地保留原始数据集中的信息。
本文旨在全面介绍主成分分析法的基本原理、实现步骤以及在各个领域中的应用案例。
我们将详细阐述主成分分析法的数学基础和算法流程，包括协方差矩阵、特征值、特征向量等关键概念的计算方法。
然后，我们将通过实例演示如何使用主成分分析法进行数据降维和特征提取，以及如何通过可视化工具展示降维后的数据效果。
我们将探讨主成分分析法在机器学习、图像处理、生物信息学、社会科学等多个领域中的实际应用，展示其在数据分析和处理中的重要价值和潜力。
二、主成分分析法的基本原理主成分分析法（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种在多个变量中找出主要影响因素，并通过降维技术把多个变量转化为少数几个互不相关的综合变量的统计方法。
这种方法在保持数据信息损失最小的原则下，通过正交变换将原始数据转化为一个新的坐标系统，使得在这个新的坐标系统中，任何数据的最大方差都投影在第一主成分上，第二大的方差都投影在第二主成分上，以此类推。
变量降维：在多数情况下，原始数据集中可能存在多个变量，这些变量之间可能存在相关性。
主成分分析通过构造新的变量（即主成分），这些新变量是原始变量的线性组合，并且新变量之间互不相关，从而将原始的高维数据空间降维到低维空间，实现数据的简化。
方差最大化：主成分分析的另一个重要原理是方差最大化。
这意味着，第一个主成分将捕获数据中的最大方差，第二个主成分捕获第二大方差，以此类推。
通过这种方式，主成分分析能够识别出数据中的主要变化方向和模式。
数据解释性：主成分分析生成的主成分是对原始数据的线性变换，因此，每个主成分都可以被解释为原始变量的某种组合。
主成分分析计算流程
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主成分分析
一、主成分分析基本原理概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。
从数学角度来看，这是一种降维处理技术。
思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。
变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。
原理：假定有 n 个样本，每个样本共有p 个变量，构成一个n ×p 阶的数据矩阵，x11x12 x1px21 x22 x2p Xxn 1xn2xnp记原变量指标为x1，x2，,，xp ，设它们降维处理后的综合指标，即新变量为 z1，z2，z3，,，zm(m ≤p)，则z 1l11x 1 l 12x 2l1p xpz 2 l 21x1 l22x2l2p xp ............ z mlm1x 1 l m2x 2lmp xp系数lij 的确定原则：①zi 与zj （i ≠j ；i ，j=1，2，,，m ）相互无关；②z 是x 1 ，x ，,，x 的一切线性组合中方差最大者，z 是与z 不相关的x ，x ，,，1 2P2 1 1 2 xP 的所有线性组合中方差最大者；zm 是与z1，z2，,,， zm －1都不相关的x1，x ，,x P ，的所有线性组合中方差最大者。
2新变量指标z1，z2，,，zm 分别称为原变量指标x1，x2，,，xP 的第1，第2，,，第m 主成分。
从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量xj （j=1，2 ，,，p ）在诸主成分zi （i=1，2，,，m ）上的荷载lij （i=1，2，,，m ；j=1，2，,，p ）。
从数学上可以证明，它们分别是相关矩阵m个较大的特征值所对应的特征向量。
二、主成分分析的计算步骤1、计算相关系数矩阵r11 r12 r1 pr21 r22 r2 pRrp1 rp2 rpprij（i，j=1，2，,，p）为原变量xi与xj的相关系数，rij=rji，其计算公式为n(x ki x i)(x kj x j)r ijk1n n(x ki2(x kj x j)2 x i)k1k12、计算特征值与特征向量解特征方程I R0，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列1 2 p0；p 分别求出对应于特征值i的特征向量e i(i1,2,L,p)，要求ei=1，即e ij21j1其中e ij表示向量e i的第j 个分量。
主成分分析计算方法和步骤56323
主成分分析计算方法和步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。
但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。
而主成分分析法可以很好地解决这一问题。
主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。
它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。
主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵R; ③求出R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。
结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。
如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。
表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0.2790.3290.252重点高校数0.3450.2040.310教工人数0.9630.9540.896本科院校数 1.0000.9380.881招生人数0.938 1.0000.893教育经费投0.8810.893 1.000入师生比重点高校数教工人数相关性师生比 1.000-0.2180.208重点高校数-0.218 1.0000.433教工人数0.2080.433 1.000本科院校数0.2790.3450.963表5-7给出的是各主成分的方差贡献率和累计贡献率，我们选取主成分的标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分的解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。
主成分分析方法
主成分分析方法主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维技术，它可以将高维数据转化为低维数据，同时保留数据的主要特征。
主成分分析方法在数据挖掘、模式识别、图像处理等领域被广泛应用，本文将介绍主成分分析的基本原理、算法步骤和应用场景。
1. 基本原理。
主成分分析的基本原理是通过线性变换将原始的特征空间转换为新的特征空间，新的特征空间是由原始特征的线性组合构成的，这些线性组合被称为主成分。
主成分分析的目标是找到能够最大程度保留原始数据信息的主成分，从而实现数据的降维。
2. 算法步骤。
主成分分析的算法步骤如下：（1）标准化数据，对原始数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。
（2）计算协方差矩阵，根据标准化后的数据计算特征之间的协方差矩阵。
（3）计算特征值和特征向量，对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
（4）选择主成分，按照特征值的大小，选择最大的k个特征值对应的特征向量作为主成分。
（5）数据转换，利用选定的主成分进行数据转换，将原始数据映射到新的低维空间中。
3. 应用场景。
主成分分析方法在实际应用中具有广泛的场景，例如：（1）数据可视化，通过主成分分析可以将高维数据转化为二维或三维数据，便于数据的可视化展示和分析。
（2）特征提取，在图像处理和模式识别领域，主成分分析可以用于提取图像的主要特征，从而实现图像的压缩和识别。
（3）数据预处理，在机器学习和数据挖掘任务中，主成分分析可以用于数据的降维处理，减少特征的数量和复杂度，提高模型的训练效率和预测准确度。
总结。
主成分分析是一种重要的数据分析方法，它通过线性变换将高维数据映射到低维空间，从而实现数据的降维和特征提取。
在实际应用中，主成分分析具有广泛的应用场景，能够帮助人们更好地理解和分析数据。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解主成分分析方法，并在实际工作中加以应用。
主成分分析法的原理应用及计算步骤57270
一、概述在处理信息时,当两个变量之间有一定相关关系时,可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠,例如,高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性;学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。
而变量之间信息的高度重叠与高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。
为了解决这些问题,最简单与最直接的解决方案就是削减变量的个数,但这必然又会导致信息丢失与信息不完整等问题的产生。
为此,人们希望探索一种更为有效的解决方法,它既能大大减少参与数据建模的变量个数,同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数,并已得到广泛应用的分析方法。
主成分分析以最少的信息丢失为前提,将众多的原有变量综合成较少几个综合指标,通常综合指标(主成分)有以下几个特点:↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后,因子将可以替代原有变量参与数据建模,这将大大减少分析过程中的计算工作量。
↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不就是原有变量的简单取舍,而就是原有变量重组后的结果,因此不会造成原有变量信息的大量丢失,并能够代表原有变量的绝大部分信息。
↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标(主成分)之间互不相关,因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。
↓主成分具有命名解释性总之,主成分分析法就是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子,如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。
二、基本原理主成分分析就是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想就是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1,X2,…,XP(比如p 个指标),重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取,使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息,又能保证新指标之间保持相互无关(信息不重叠)。
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主成分分析计算方法和步骤：
在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。
但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。
而主成分分析法可以很好地解决这一问题。
主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。
它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。
主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。
结合数据进行分析
本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。
如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。
表5-6 相关系数矩阵
教工人数
本科院校数
招生人数
教育经费投
入
师生比重点高校数教工人数
相关性师生比
重点高校数
教工人数
本科院校数
招生人数
教育经费投
入（元）
表5-7给出的是各主成分的方差贡献率和累计贡献率，我们选取主成分的标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分的解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。
表5-7还显示，只有前2个特征根大于1，因此SPSS只提取了前两个主成分，而这两个主成分的方差贡献率达到了%，因此选取前两个主成分已经能够很好地描述我国高等教育地区现状。
4 .140
5 .052 6
.012
表5-8为输出的主成分系数矩阵,可以说明各主成分在各变量上的载荷。
由表5-8 可以看出,标准化后的第一主成分( 简称1F ) 对所有变量都有载荷,且载荷绝对值几乎都在以上, 因此可以说第一主成分是对人口结构的度量,代表了一个地区人口结构状况,可以称之为“综合因子”。
在综合因子中,平均每户人口，农业与非农业人口比例， 人口的自然增长率比重即 人口自然增长各指标具有较强的作用,人与经济等其他指标所起的作用次之,男女比例也起一定作用。
第二主成分( 简称 2F ) 对重点高校数和教工人数具有负载荷,其他变量具有正载荷,并且除 师生比和重点高校数载荷绝对值均小于,有的甚至 接近于 。
因此,第二个主成分只是汇集了第一主成分遗漏的部分信息,我们称之为“辅助 因子”。
表5-8主成分矩阵
成分
1F 2F 师生比 重点高校数 教工人数 本科院校数
招生人数 教育经费投入
表5-9 主成分评分系数矩阵
成分
1F 2F 师生比
.079
.643 重点高校数 .099
教工人数 .247 本科院校数 .244
.004 招生人数 .242 .106 教育经费投入
.236
.009
根据表5-9可以得到各主成分的表达式
1123456=0.0790.0990.2470.2440.2420.236F x x x x x x +++++ 21234560.6430.6120.0770.0040.1060.009F x x x x x x =--+++
把变量分别代入以上表达式，可以得出1F 和2F 两个主成分得分，但单独一个主成分不能很好地评价十个地区人口结构的情况，因此需要按照各主成分对应的方
差贡献率为权数计算综合统计F ，（12
0.66390.206910.87081
F F F +=）
主成分分析法的优点：
1、 可消除评价指标之间的相关影响 因为主成分分析在对原指标变量进行变换后形成了彼此相互独立的主成分，而且实践证明指标之间相关程度越高，主成分分析效果越好。
2、 可减少指标选择的工作量 对于其它评价方法，由于难以消除评价指标间的相关影响，所以选择指标时要花费不少精力，而主成分分析由于可以消除这种相关影响，所以在指标选择上相对容易些。
3、 当评级指标较多时还可以在保留绝大部分信息的情况下用少数几个综合指标代替原指 标进行分析 主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列顺序的，在分析问题时，可以舍弃一部分主成分，只取前后方差较大的几个主成分来代表原变量，从而减少了计算工作量。
4、 在综合评价函数中，各主成分的权数为其贡献率，它反映了该主成分包含原始数据的信 息量占全部信息量的比重，这样确定权数是客观的、合理的，它克服了某些评价方法中认为确定权数的缺陷。
5、 这种方法的计算比较规范，便于在计算机上实现，还可以利用专门的软件
主成分分析法的缺点：
1、在主成分分析中，我们首先应保证所提取的前几个主成分的累计贡献率达到一个较高的水平（即变量降维后的信息量须保持在一个较高水平上），其次对这
些被提取的主成分必须都能够给出符合实际背景和意义的解释（否则主成分将空有信息量而无实际含义）。
2、主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清楚、确切，这是变量降维过程中不得不付出的代价。
因此，提取的主成分个数m通常应明显小于原始变量个数p（除非p本身较小），否则维数降低的“利”可能抵不过主成分含义不如原始变量清楚的“弊”。