23.2相似三角形判定__直角三角形相似判定定理

A
BC 和 AC
BC AC
都是正数
AB AB
AC AC

AB2 AB2 AC 2 AC2

BC BC AC AC
即:
BC AC BC AC
C
B
A'
又 C C 90
C'
B'

AB2 AC 2 AC 2

AB2 AC2 AC2
A
E
O
C
B
D
学习小结
1、如何判定两个直角三角形相似呢？ 答：一个锐角对应相等或两边对应成比例的 两个直角三角形相似。 2、直角三角形相似的判定定理的简单应用。 3、初步了解转移比例的证法。
作业 布置
课堂作业： 必做题：课本76页11 基础训练42页 4 选做题： 课外作业： 基础训练
∠A DE= ∠C= ∠C ' = 900
A D =A'C' A E =A'B'
ADE ≌ A'C'B'
E B
A'
C' B'
△ABC ∽ △A' B' C'
已知：∠C=∠C‘=90°，A'B':AB＝A'C'：AC， 求证： Rt△A'B'C' ∽Rt △ABC
证法(2):

AB AC AB AC
已知：∠C=∠C‘=90°，A'B':AB＝A'C'：AC， 求证： Rt△A'B'C' ∽Rt △ABC
证法（1）: 分别在A C ，A B上截取AD =A'C'，A
A E =A'B'，连结DE。
D
AB
AC
=
A'B'
A'C'
AE
AD
C
A'C'=A D，A'B'=A E
=
AB
AC
∠A = ∠A
A DE ∽ A C B
C
分析：
E
(1)要证明AE是∠CAB的平分线， 只要证明RtΔACE∽RtΔＡＤＦ A
F
B
即可
D
(2)要证明AB•AF＝AC•AE，只要 证明ΔACF∽ΔＡＢＥ
(1) CD是斜边AB上的高
又 ∠CAE=∠EAB
ADF ACE 90 又 AE AD AF AC
AE AC AF AD
4、AB=10，BC=6， A′B′=5， A′C′=_4_____. 5、AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=__3_a__
例题解析
例：如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，
BC=b，当BD与a,b之间满足怎样的关系式时，
⊿分A析BC：∽要⊿C使DRBt？⊿ABC∽Rt⊿CDB
直角三角形相似的判定
A
cb
B
a ∟C
A′
B′
C′
回顾与反思☞
1、到目前为止我们总共学过几种判定两个三 角形相似的方法？ 答2(、1）两相个似等三腰角三形角判定形的一预定备相定似理吗？两个等边 （三2角）两形角一对定应相相似等吗的两?两个个三直角角形三相角似形。一定相似
吗？
（33、）判两定边两对应个成直比角例三且角夹形角相相等似的有两几个种三方角法形？相似。
ΔABC∽ΔA'B'C‘
由勾股定理得
BC 2 AC 2

BC2 AC2
是真是假 练习一
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。依据下列各组条件判定这 两个三角形是不是相似，并说明为什么。
1、∠A=25°，∠A′=65°。
2、AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8。
ΔAEC∽ΔAFD
ΔACF∽ΔABE
AC AF
AB AE 即，AB•AF=AC•AE
∠CAE=∠BAE
C
即：AE是∠CAB的角平分线
E
(2) ∠ACD+∠CAB=90° F
∠B+∠CAB=90°
A
B
∠ACD=∠B
D
2.如图 ：高线CE交△ABC的高线AD于点 O，交AB 于E，写出图中的相似三角形。
b2 (BD )
a
a
C
b
b a2 b2 BD
a
B
D
答：当 BD b2
a
或 BD b a2 b2 a
这两个三角形相似
3、如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E
是BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC，
求证：(1) AE是∠CAB的平分线；
(2) AB•AF＝AC•AE。
行讨论，切不可凭主观想象，只解一种情况，而忽略其他的解。
1，当AC与BC，BC与BD对应时：RtΔABC∽RtΔCDB （过程略）
2，如图： ABC CDB 90
当 AC BC

AB 时， BD
ΔABC∽ΔBDC，
即当 a a2 b2 时， ΔABC∽ΔBDC，
A
b BD
aC
而题中已经知道Rt⊿ABC的斜边和一直A
角边及Rt⊿CDB的斜边，利用今天讲的 这个定理可知只须加上条件
b
BD
= 即可。
如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，
BC=b，当BD与a,b之间满足怎样的关系式时，
⊿ABC∽⊿CDB？
a
ABC CDB 90, A
C

当 AC BC
（4）三边对应成比例的两个三角形相似。 答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。
探索思考
判定两个三角形相似，除了用 一般的判定定理外，是否象判定 两个三角形全等一样，还有特殊 的判定方法？
探求 新知
直角三角形相似判定定理：
如果一个直角三角形的斜边和 一条直角边与另一个直角三角 形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形 相似。
BBDC 时，ΔABC∽ΔCDB
即
a b

b 时， BD
ΔABC∽ΔCDB
BD b2
a
b
B
D
答: 当 BD b0°，
AC=a，BC=b， 当BD与a，b之间
满足怎样的关系时，图中⊿ABC与
⊿CDB？相似？ A a
C
b
B
D
分析：对条件探索性问题，在解题时应分类对每一种情况进
3、AB=10，AC=8，A′B′=15， A′C′=9。
练习二
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′，应 加什么条件？
1、∠A=35° ，∠B′=__5_5_°____。 2、AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=_1_2_。 3、AB=5，AC=_3__，A′B′=10， A′C′=6。