第一章绪论 2

第一章绪论1.1问题的提出小波分析是20世纪80年代中后期发展起来的一门应用数学分支，由于其数学的完美性和应用的广泛性，使其在科学应用上得到了迅速发展。

目前，小波分析的应用领域十分广泛，它包括:信号处理、图象处理]、理论物理、模式识别、音乐与语言的人工合成、医学成像与诊断、地震勘探数据处理、机械的故障诊断等方面。

其中，在数学上，小波分析己用于数值分析、构造快速数值算法、曲线曲面构造、微分方程的求解等;在信号处理方面，小波分析己用于信号滤波、去噪、压缩、特征提取等;在图象处理方面，小波分析己用于图象压缩、分类、识别、去噪等。

小波分析是当今泛函分析、调和分析、时一频分析、数值分析、逼近论和广义函数论等诸多学科交叉融合后最完美的结晶。

小波变换的概念是由法国地质物理学家J.Morlet在 1974年首先提出的，他通过物理的直观和信号处理的实际需要建立了反演公式，但在当时他的努力未能得到数学家的认可。

正如1807年法国的热学工程师Fourier提出的任一函数都能展开成三角函数的无穷项级数的创新概念未能得到著名数学家Lagrange，Laplace以及Legendre的认可一样。

早在20世纪70年代，A.calderon表示定理的发现空间的原子分解仪和无条件基的深入研究为小波变换理论的诞生做了理论上的准备。

1984年，Morlet和Grossman在对地质信号的分解中提出了伸缩、平移的概念，第一次提出了‘，wavelets’’一词。

1985年，Meyer证明了一维小波基的存在性侧]，并显示构造了小波函数，YMayer和S.Mallet合作建立了构造小波基的多尺度分析之后，小波分析才开始在国际上成为了科学界研究的热点。

小波变换与Fourier 变换、窗口Fourie:变换相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过小波母函数的伸缩和平移对原始信号函数进行多尺度分析，解决了Fourier 变换不能解决的许多困难，从而小波变换被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

伴随着信息科学的发展，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，实际应用中信号处理的目的就是:准确的分析原始信号或图象、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构信号或图象。

从数学的角度考虑，图象可以看作是二维信号，信号与图象处理可以统一看作是信号处理，信号通常分为稳定的与非稳定的。

如果一个信号的性质随时间是稳定不变的，则称这个信号是稳定的。

稳定信号能够出现不期望的事件，但是我们可以知道这些事件的先验概率，这些是由统计推断的未知事件。

对稳定信号，因其性质随时间是稳定不变的，我们可将稳定信号分解为正弦波的线性组合，因此，Fourier分析对稳定信号的处理是有效可行的。

但实际应用中的信号大多是非稳定的，非稳定信号其中的瞬间事件是不能事先知道的，随着小波分析理论的深入发展，利用小波分析对非稳定信号进行处理是有效可行的。

信号去噪是信号处理中的一个重要应用，随着小波分析理论的不断发展，利用小波方法给信号去噪已得到了越来越广泛的应用。

如此同时，小波理论在信号处理中的应用也推动了小波理论的不断发展，小波包分析是比小波分析更为精细的多尺度分析，小波包分析的出现也给信号去噪方法带来了新的活力，利用小波包分析给信号去噪也成为了信号处理领域中的研究热点。

1.2信号去噪方法的研究状况伴随着信息科学的发展，信号处理越来越显示出其重要性，在科学实验中，我们往往都要获得大量的原始信号，由于各种人为的或非人为的因素，实际中获得的原始信号都不可避免的含有噪声，噪声的存在必然会给我们的研究结果带来一定的误差，为了减小实验研究结果的误差，在对原始信号进行信号处理之前，对信号去噪是很有必要的。

长期以来，Fourier变换是信号去噪的主要手段，利用Fourier:变换给信号去噪等价于信号通过一个低通或高通滤波器。

它利用Fourier:变换把信号映射到频域内加以分析，但是Fourier 变换在给信号去噪的同时，也模糊了信号的位置信息，并且在实际应用中，大多数信号都是非平稳的，非平稳信号谱沿时间轴无限扩展，此时Fourier:变换的基函数很难与其匹配，这给Fourier 变换对非平稳信号去噪带来了困难。

近年来，小波理论得到了迅速的发展，由于其良好的时频特性，因而应用非常广泛。

在信号去噪领域，小波理论同样受到了许多学者的重视。

1988年，S.Mallet 提出了多分辨分析的概念，使小波具有带通滤波的特性，因此可以利用小波分解与重构的方法进行滤波去噪;1992年，S.Mallam 提出了信号奇异性检测的理论，从而可以利用小波变换模极大值的方法给信号去噪;1995年，D.L.Donah 。

提出了利用非线性小波变换闰值法给信号去噪;同年，confnian 和 D.LDonoho 在阑值法的基础上提出了利用平移不变量小波去噪法给信号去噪;1999年，s.chem 和D.L.Donor 。

提出了利用原子分解的基追踪去噪法给信号去噪;随着小波理论的不断发展，多小波(muti 一wavelet)和小波包分析 (wavelet packet analysis)的出现给信一号去噪带来了新的方法，由于小波包分析是比小波分析更为精细的时频局部分析方法，因此，利用小波包分析给信号去噪越来越受到科学界的关注。

例如:基于最优小波包基的信号去噪算法，基于小波包分析的自适应闽值算法，基于传统的闽值小波包去噪算法等等。

第二章 小波变换2.1 Fourier 变换与窗口Fourier 变换Fourier 分析是分析数学中的一个重要分支，在数学发展史上，虽然早在18世纪初期，有关三角级数的论述已在D.Bernoulli ，L.Euler 等人的工作中出现，但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier 迈出的。

他在他的著作《热的解析理论》(1822年)中，系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题。

此后，科学界有众多数学家，如:Dirichlet ，Riemann ，Lipschitz 以及Jordan 等都曾从事于这一领域的研究，不仅弥补了Fourier:工作中的不足，而且还极大地发展了以Fourier 命名的级数理论，扩大了Fourier:分析的应用范围，使得Fourier 分析理论得到了迅速的发展。

2.1.1 Fourier 变换在信号分析中，对信一号的基本刻化往往采取两种最基本的形式，即时域形式和频域形式。

把时间或空间位置看作自变量，而把信号的某一数值化特征作为因变量来描述信号是常用的方式，此时自变量的取值范围称为时域。

另一方面，我们常要求对信号作频域刻化即Fourier 变换。

设原始信号为 ()t f ，其Fourier 变换为：()()iwt F w f t e dt+∞--∞=⎰（2-1）其Fourier 逆变换为：()12iwt F w e dwπ+∞-∞=⎰（2-2）()F w 确定了()f t )在整个时间域上的频谱特性。

Fourier 变换将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从时域和频域上观察信号，但不能把二者有机结合起来。

无论在时域或是在频域，Fourier:变换都是定义在R 上的全局积分。

在用Fourier 变换对原始信号进行处理时，识别出的频率在什么时一候产生并不知道，因此Fourier:变换是一种全局的变换，不能反映某一局部时间内信号的频谱特性，也即Fourier 变换在时间域上没有任何分辨率。

这样在利用Fourier 变换做信号分析时就面临着一对矛盾:时域和频域的局部化矛盾。

Fourier 变换对非平稳的信号，如地震波信号、故障诊断信号、脑电波信号等的分析带来了诸多的困难。

因此，为了更好地对原始信号进行处理和分析，我们有必要去寻求一种信号时频局部分析的新方法。

2.1.2 窗口Four1er 变换为克服Fourier 变换在时频局部化方面的不足，也为了对时域信号作局部分析和处理，D.Gabo:于1946年提出了窗口Fourier:变换 (Window Fouriertransform[36]138])，窗口Fourier:变换又称为短时Fourier:变换，其基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier:变换去分析每一个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，以达到对原始信号进行时频局部化分析的目的。

窗口Fourier 变换的数学表达式为:()(),()iwt g F f w f t g t e dtττ+∞--∞=-⎰（2-3）其窗口Fourier 逆变换表达式为：()21(),2()()g f t F f w dwd g t L R ττπ+∞+∞-∞-∞=∈⎰⎰ （2-4） 其中()g t τ-为()g t τ-的共轭，()g t 为时限函数，又称窗口函数，在窗口Fourier 变换中起到时限作用;iwt e -起频限作用。

()g t 与iwte -结合时可以起时频局部化作用。

(),g Ff w τ大致反映了f(t)其在时刻:时，频率为。

的信号成分的相对含量。

对于一个非平凡函数()g t 为具备作为一个窗函数的资格，它必须满足要求:22()()tg t L R ∈。

最早的窗函数是由D.Gabor 于1946年在它的论文中提到的Gaussian 函数，正因为Gaussian 函数的Fourie:变换还是一个Gaussian 函数，因此用Gaussian 函数作为窗口Fourier 变换中的窗函数能很好的起到对信号进行时频局部化分析。

加窗傅里叶变换发展了傅里叶变换，能够满足信号处理的某些特殊需要。

但是当窗口函数选定以后，它不能随着所要分析的的信号成份在高频信息和低频信息而相应变化，对非平稳信号的分析能力是很有限的，不适合分析频带较宽的频谱。

而我们希望对高频信号进行分析时窗口要窄一些，对低频信号分析时窗口要宽一些，而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口的宽度，具有敏感的变焦距特性，能够满足我们分析的需要。

2.2 小波分析基础 2.2.1预备知识从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，是在能量有限空间2()L R 上满足允许条件的函数，这样认识小波需要2()L R 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数变换等的基础知识。

从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识。

一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t 的函数f(t)。

因为信号是能量有限的，即满足条件（2-5）的所有函数的集合就形成2()L R图像是二维信号，同样是能量有限的。