4 第四次课、Maxwell方程组和波动方程
合集下载
大学物理章 麦克斯韦方程组(老师课件)
James ClerkMaxwell （1831-1879）
麦克斯韦简介
英国物理学家、数学家麦克斯韦15岁就在“爱丁 堡皇家学报”发表论文，1854年从剑桥大学毕业， 1874年任卡文迪许实验室的首任主任。他是气体动理 论的创始人之一，也是经典电磁理论的奠基人。麦克 斯韦虽然只活了49岁，但他却写了100多篇有价值的论 文。爱因斯坦在纪念麦克斯韦100周年的文集中对他作 出了很高的评价“这是自牛顿奠定理论物理学的基础 以来，物理学公理基础的最伟大的变革，„这样一次 伟大的变革是同法拉第、麦克斯韦和赫兹的名字永远 联在一起的。这次革命的最大部分出自麦克斯韦。”
答案：(A)
2. 如图,电量Q均匀分布在半径R、长L(LR) 的绝缘圆筒上,一单匝矩形线圈的一边与圆筒 轴线重合.若圆筒以角速度=0(1-t/t0)线性减 速旋转,则线圈中的感应电流为 解： 磁感应线位于包含圆筒轴 线的各个平面内,穿过线圈 的磁通始终为零 i=0Ii=0.
3. 在感应电场中电磁感应定律可写成 d E k dl m L dt 式中 E k 为感应电场的电场强度,此式表明 (A)闭合曲线上 E k 处处相等． (B)感应电场是保守力场. (C)感应电场的电力线不是闭合曲线. (D)在感应电场中不能像对静电场那样引入电势 的概念.
Ⅱ、磁场的性质 在任意磁场中，通过任意闭合曲面的磁 通量都等于零。 B dS 0
S
Ⅲ、变化的电场与磁场的关系
由全电流的安培环路定律
D d D H dl I 0 ( j0 ) dS S dt t
L
Ⅳ、变化的磁场与电场的关系 dΦ m L E静 dl 0 L E涡 dl dt B dΦ m dS E E静 E涡 L E dl S t dt
物理光学4第四次课、Maxwell方程组和波动方程
交变的电场 E和磁场 B以波的形式在物质常数为σ=0、μ、ε
无色散的介质里传播，其传播速度为：
1
(28)
对于真空
04107H /m
0 4 9 1 1 0 9F /m 8 .8 5 4 2 1 0 1 2 F /m
c 1 2.9979 14 8 0m/s
00
22
这与实际测得的真空中的数值很接近，1860年左右，Maxwell将之 作为重要依据，提出了光的电磁理论并预言了光就是一种电磁波。
D
(6)
B0
(7)
H JD (8)
t
电位移矢量的散度等于空间同一处的自由 电荷密度，即电位移矢量是由正电荷所在
点向外发散或向负电荷所在点汇聚。
磁场中任意一点的磁感应强度的散度恒等于 零，即磁场是无源场，没有起止点。
磁场强度的旋度等于引起该磁场的传导电流密度 和位移电流密度(电位移矢量随时间的变化率)之 和，也可这样理解：环形磁场可以由传导电流产
C H dlA (J D t)ds 界面
结合图1所规定的 积分域，
h
并限定界面处 D 为有限值，
t
在没有电流的情况下，J0
l1
A ds
l2
图1
采用相同的方法可求出 H的边界条件：
n (H 2 H 1 ) 0
这表明磁场强度的切向分量连续。
C 1 2
n
17
四、洛仑兹力
当一个电量为e，速度为的运动电荷位于电
对于一般非磁性介质
r
1
对于导电介质，还有： JE (9)
它描述了介质中电流密度和电场强度矢量之间的关系，电导率 σ是一个量纲不为1的标量物质常数，单位是‘西门子/米(S/m)’。
麦克斯韦方程组推导波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律。
它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这四个方程联立起来可以推导出波动方程，从而揭示出电磁波的性质。
首先，我们来看麦克斯韦方程组的四个方程如下：1. 高斯定律：电场通量与电荷密度成正比。
∮E·dA = ε0∫ρdV这个方程告诉我们，电场的产生是由电荷所形成的，电场是由正负电荷相互引力或排斥所形成的。
2. 高斯磁定理：磁场的闭合环路积分与电流和变化的电场通量成正比。
∮B·ds = μ0∫(J+ε0∂E/∂t)·dA这个方程说明了磁场是由电流和变化的电场所引起的，磁场的产生是由电流流动所形成的。
3. 法拉第电磁感应定律：感应电动势与磁通量变化率成正比。
ε = -dΦB/dt这个方程告诉我们，磁场的变化会产生感应电动势，也就是电磁感应现象。
4. 安培环路定理：磁场的闭合环路积分与通过这个环路的电流成正比。
∮B·ds = μ0I这个方程说明了磁场是由电流产生的，磁场和电流之间存在一种紧密的联系。
通过以上四个方程的联立，我们可以推导出波动方程，即电磁波的方程：∇^2E - με∂^2E/∂t^2 = 0这个方程描述了电场的传播和波动，其中∇^2是Laplace算符，μ和ε分别是真空中的磁导率和介电常数。
波动方程的解满足行波解的形式，也就是取决于时间和空间的函数的乘积：E(r,t) = E0e^(i(k·r - ωt))其中，E0是振幅，k是波矢，r是位置坐标，ω是角频率。
这个解表明电场以速度c = ω/k传播，c是真空中的光速。
通过波动方程的推导，我们可以看出电磁波的传播是由电场和磁场相互耦合形成的。
电场和磁场相互垂直并相位差90度，它们交替地变化和传播，形成了电磁波。
这种波动的传播方式是以空间和时间的函数关系来描述的，从而揭示了电磁波的特性和行为。
总结起来，麦克斯韦方程组推导出的波动方程对我们理解电磁波的本质和行为有着重要的指导意义。
散射理论PPT
有关散射的几个物理量
在研究光散射现象时，常常引入散射光强、散 射截面、吸收截面、消光截面以及相应的散射系 数、吸收系数和消光系数等描述散射现象的物理 量。这些物理量与散射颗粒的大小、折射率以及 入射光的波长等因素存在密切的关系
（1）散射截面
一个散射颗粒在单位时间内散射的全部光能量
入射光强 之I0比称为散射截面，记作
适。用米。氏粒 散子 射线 不度 同大于于瑞1利0 散的射较呈大对微称粒状散分射布称，为常米被氏用散于射
大气中滴粒分布的研究。 一、Mie 散射公式：
不考虑光波的偏振性，将光波作为标量波处理， 取散射颗粒处为坐标原点，入射光沿z 轴正方向传 播，在远离散射体处的散射光波为球面波，
其波源就是散射体。图中,r为散射光观察点与散射体 的距离，散射角为θ，观察点与Z轴组成的平面即为
众所周知，在均匀介质中，光线将沿原有的方向 传播而不发生散射现象。当光线从一均匀介质进入 另一均匀介质时，根据麦克斯韦电磁场理论，它只 能沿着折射光线的方向传播，这是由于均匀介质中 偶极子发出的次波具有与人射光相同的频率，并且 偶极子发出的次波间有一定的位相关系，它们是相 干的，在非折射光的所有方向上相互抵消，所以只 发生折射而不发生散射。
非耗散介质。波的能流为S =E×H，其传播方向即波
矢k 的方向。
当电导率
0时，
k2
2 (
i
), k
kR
ikI
为简单起见，考虑沿X轴方向传播的平面波。
波动方程为
d 2E dx2
2 (
i
)E
0
d 2H dx2
2 (
i
)H
0
其解为
E E0 exp(kI x) exp[i(kR x t)] H H0 exp(kI x) exp[i(kR x t)]
Maxwell课件
maxwell方程对工程技术的贡献
推动电气工程技术的发展
Maxwell方程组为电气工程提供了理论基础，推动了电 力、电信、电子等技术的发展。
促进通信技术的进步
Maxwell方程组为无线通信技术的发展提供了理论基础 ，如电磁波的传播、天线设计等关键技术都依赖于 Maxwell方程组的描述。
支持材料科学的研究
Maxwell方程组对于材料中电磁波的传播、散射、反射 等特性的描述，为材料科学的研究提供了重要工具。
maxwell方程对未来科技发展的启示
1 2
支持未来通信技术的研究
Maxwell方程组将继续为无线通信技术的发展 提供理论基础，如5G、6G等新一代通信技术的 研究。
指导新材料的研发
Maxwell方程组对于材料中电磁波特性的描述 ，将为研发新型功能材料提供重要指导。
描述电磁波的传播特性
Maxwell方程组揭示了电磁波的存在、传播速度以及与物质的相 互作用规律，奠定了电磁学的基础。
统一电磁场理论
通过引入高斯定律和安培定律，Maxwell方程组将电场和磁场统 一为一个完整的电磁场理论。
预测电磁波的存在
Maxwell方程组预测了电磁波的存在，为后来的无线通信、雷达 等技术的发展奠定了理论基础。
maxwell课件
2023-10-30
目录
• maxwell方程的推导 • maxwell方程的应用 • maxwell方程的解 • maxwell方程与相对论的关系 • maxwell方程的意义与价值
01
maxwell方程的推导
静电学中的maxwell方程
静电学中的麦克斯韦方程组是由安培环路定律、法拉第电磁感应定律和库仑定律组合而成 的。
Maxwell方程组
C
又
C
E dl ( E ) dS 0
S
故
E 0
微分形式
2.1.5 静电标势 因为 故有
E θ, E ρ / ε0
2 θ ρ / ε0
泊松方程
面电荷产生的电势
1 θ 4πε0
1 V ζ (r ) R dS
第二章 Maxwell方程组
§2.1 库仑定律 Gauss定理 §2.2 静磁场 §2.3 Faraday电磁感应定律和电场的旋度 §2.4 Maxwell方程组 Lorentz力
§2.5 介质中的Maxwell方程组 本构关系
§2.6 分界面上电磁场的边值关系
§2.1 库仑定律
Gauss定理
2.1.1 Coulomb定律
§2.2 静磁场
2.2.1 电荷守恒定律
电流密度 j
因为
S
dq j dS dt
将 q
V
ρdV
代入
d 得 S j dS dt V ρdV 因为 j jdV dS
S V
电荷守恒定律 积分形式
d ρ 故 jdV V ρdV V t dV V dt
S
B dS BdV 0,
V
即
S
B dS 0
2.2.5 矢势
B( r )
μ0 R j (r ) R3 dη 4π μ0 1 R j (r )dη 4π μ0 j (r ) 1 R R j (r ) dη 4π μ0 j (r ) R dη A(r ) 4π
又
C
E dl ( E ) dS 0
S
故
E 0
微分形式
2.1.5 静电标势 因为 故有
E θ, E ρ / ε0
2 θ ρ / ε0
泊松方程
面电荷产生的电势
1 θ 4πε0
1 V ζ (r ) R dS
第二章 Maxwell方程组
§2.1 库仑定律 Gauss定理 §2.2 静磁场 §2.3 Faraday电磁感应定律和电场的旋度 §2.4 Maxwell方程组 Lorentz力
§2.5 介质中的Maxwell方程组 本构关系
§2.6 分界面上电磁场的边值关系
§2.1 库仑定律
Gauss定理
2.1.1 Coulomb定律
§2.2 静磁场
2.2.1 电荷守恒定律
电流密度 j
因为
S
dq j dS dt
将 q
V
ρdV
代入
d 得 S j dS dt V ρdV 因为 j jdV dS
S V
电荷守恒定律 积分形式
d ρ 故 jdV V ρdV V t dV V dt
S
B dS BdV 0,
V
即
S
B dS 0
2.2.5 矢势
B( r )
μ0 R j (r ) R3 dη 4π μ0 1 R j (r )dη 4π μ0 j (r ) 1 R R j (r ) dη 4π μ0 j (r ) R dη A(r ) 4π
电磁感应 4-4 麦克斯韦方程组、电磁波
D dS
S
dV
V
q0
电场的高斯定理
静电场有源，感生电场无源
E dl
B
dS
L
S t
电场的环路定理
感生电场有旋，静电场无旋
B dS 0
S
磁场的高斯定理
磁感应线总为闭合曲线，无磁单极
D
磁场的环路定理（全电流）
H dl L
Ic
S
t
dS
变化的电场 (位移电流) 激发磁场
电磁波 动画
在介质中，E 与 B 处处成比例 E B
介质中电磁波传播速度 v 1 c n
n r r 为介质的折射率
电磁波的能流密度（单位时 间内通过与波传播方向垂直 的单位面积的电磁波能量）
S EH
坡印廷矢量 Poynting Vector
S (Jc D / t) dS 0
可适用于非恒定电流的安培环路定理普遍表达式
H dl L
Ic Id
S (Jc D / t) dS
S 为以闭合回路 L 为边界的任意曲面；闭合回路 L 的绕行方向与面元 dS 的法线方向成右手螺旋关系
例 1 半径为 R 的圆形电容器，两极板间为真空，忽略
~
与电流的稳恒条件 S J dS 0 对比，且注意 D / t
具有电流密度的量纲，将其定义为位移电流密度
Jd Id
D / t
D
dS
S t
通过截面 S 的位移电流 Id S Jd dΦd 电位移通量的时间变化率
dt
dS
位移电流的本质是变化的电场，而且位移电流能以与 传导电流相同的方式激发磁场
磁场的环路定理（全电流）
变化的电场 (位移电流) 激发磁场
《Maxwell方程式》课件
志着电磁理论的诞生。
该方程式是在前人研究的基础上 逐步完善的，Maxwell将其整合
为一个完整的理论体系。
Maxwell方程式的提出经历了漫 长的探索过程，Maxwell在实验 和理论上都做出了杰出的贡献。
02
CHAPTER
maxwell方程式的基本概念
电场和磁场的基本概念
总结词
理解电场和磁场的基本概念是理解Maxwell方程式的基础。电场是由电荷产生 的，而磁场是由电流和磁荷产生的。
03
无线通信
无线通信利用电磁波传递 信息，如手机、无线网卡 、蓝牙等。
雷达
雷达通过发射电磁波并接 收反射回来的信号，可以 探测目标的位置、速度和 方向等信息。
电磁炉
电磁炉利用电磁波产生涡 流加热食物，具有高效、 环保、安全等优点。
电磁波的干扰和防护
电磁干扰
电磁波的干扰可能导致电子设备性能 下降、信号传输错误等问题，如电磁 噪声、电磁辐射等。
Maxwell方程式是物理学中的 基本方程之一，它描述了电磁 场的运动规律和相互作用。
该方程式的提出为电磁学的发 展奠定了基础，对现代科技领 域产生了深远的影响。
Maxwell方程式在通信、电子 、能源等领域都有着广泛的应 用，是现代工业和科技发展的 重要支撑。
maxwell方程式的历史发展
Maxwell在19世纪60年代提出 了著名的Maxwell方程式，这标
05
CHAPTER
maxwell方程式的实验验证
实验验证的方法和步骤
01
02
03
04
实验准备
准备实验所需的设备，如磁场 测量仪、电场测量仪、粒子加
速器等。
实验设置
设置实验环境，包括磁场和电 场的强度、方向等参数。
该方程式是在前人研究的基础上 逐步完善的，Maxwell将其整合
为一个完整的理论体系。
Maxwell方程式的提出经历了漫 长的探索过程，Maxwell在实验 和理论上都做出了杰出的贡献。
02
CHAPTER
maxwell方程式的基本概念
电场和磁场的基本概念
总结词
理解电场和磁场的基本概念是理解Maxwell方程式的基础。电场是由电荷产生 的，而磁场是由电流和磁荷产生的。
03
无线通信
无线通信利用电磁波传递 信息，如手机、无线网卡 、蓝牙等。
雷达
雷达通过发射电磁波并接 收反射回来的信号，可以 探测目标的位置、速度和 方向等信息。
电磁炉
电磁炉利用电磁波产生涡 流加热食物，具有高效、 环保、安全等优点。
电磁波的干扰和防护
电磁干扰
电磁波的干扰可能导致电子设备性能 下降、信号传输错误等问题，如电磁 噪声、电磁辐射等。
Maxwell方程式是物理学中的 基本方程之一，它描述了电磁 场的运动规律和相互作用。
该方程式的提出为电磁学的发 展奠定了基础，对现代科技领 域产生了深远的影响。
Maxwell方程式在通信、电子 、能源等领域都有着广泛的应 用，是现代工业和科技发展的 重要支撑。
maxwell方程式的历史发展
Maxwell在19世纪60年代提出 了著名的Maxwell方程式，这标
05
CHAPTER
maxwell方程式的实验验证
实验验证的方法和步骤
01
02
03
04
实验准备
准备实验所需的设备，如磁场 测量仪、电场测量仪、粒子加
速器等。
实验设置
设置实验环境，包括磁场和电 场的强度、方向等参数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
在界面两侧，电场强度的切 向分量连续。
E1
E2 E1
θ1 E2
θ2
界面
O
n
图2
14
2．磁场 B的边界条件
A1
扁盒的高度h→0
B2 B1
B1
1
界面
h
B2
上下面线度均
1
界面远远小于波长
2 O
2
n
An2
图图3 4
AB ds 0
24
预告： 几种光波及相关知识
25
除了无线电波和光波之外，x射线、γ射线也是电磁波，只是波长短， 将电磁波按照波长或者频率排列，形成电磁波谱。
光谱区包括红外辐射、可见光和紫外辐射，可见光谱区只是电磁波 谱中波长在0.4μm到0.76μm的一段很窄的波段。
对于无色散各向均匀介质 0r 0r
1 c c (29)
——Maxwell-Ampère定律
r JD
1
4
D t
3
2、微分形式
对上述积分公式分别用Stokes公式：la
dl
(
a)
ds
和Gauss公式： a ds adV
E
B
t
(5) 电场强度矢量的旋度等于磁感应强度随时间的
t
在没有电流的情况下，J 0
l1
A
ds
l2
图1
采用相同的方法可求出
H
的边界条件：
n (H2 H1) 0
这表明磁场强度的切向分量连续。
C 1 2
n
17
四、洛仑兹力
当一个电量为e，速度为的运动电荷位于电
磁场中时，将同时受到电场和磁场的作用力，称
为洛仑兹力，表示为：
n
为界面法线方向的单位矢量 为界面上的传导电流密度
S 为自由电荷(体)密度。
11
当不存在自由电荷、电流分布时
nnnn((D((HBE2222DBHE11)11)))00S
nn((HE22
E1) 0 H 1) 0
(E1 E2 ) l2
13
小矩形的取法是不唯一的，它可以在原位绕着界面的法线 n 旋转
只线要n保的持结n果。l2
，即可得到(E2
E1
) 垂直于界面或平行于界面法
这个结论可表示成：
n (E2 E1) 0
E1 cos1 E2 cos2
1
由此得出结论：
nn((DB22
D1 ) B1 )
0 0
(18)
E2t E1t
DH22nt
H t1 D1n
B2n B1n
(19)
下标n，t表示场的法向和切向分量。
可见，不存在自由电荷、电流分布时， 电场强度和磁场强度矢量的切向分量连续； 而电位移矢量和磁感应强度的法向分量连续。
变化率(负值)，即空间某一点磁通密度的变化
在该点周围产生一个环形电场。
D
(6)
电位移矢量的散度等于空间同一处的自由 电荷密度，即电位移矢量是由正电荷所在
点向外发散或向负电荷所在点汇聚。
B 0
(7) 磁场中任意一点的磁感应强度的散度恒等于
H
J
D
(8)
t
零，即磁场是无源场，没有起止点。
12
在界面处的条件(18)或(19)可利用积分形式的麦克斯韦方
程组来讨论
1．电场 E 的边界条件
长边长度l<<λ
界面
l1
C
A
1
h
ds
2
短边长度h<<l
规定矩形的周边为 逆时针方向为正
l2
图1
n 界面法线单位矢量的方向自 媒质1指向媒质2
积分面积元
ds自纸面 向外为正 B
E
B
t
(5)
D
(6)
B 0
(7)
H
J
D
(8)
t
无源空间
J 0
0
E
B
(22)
t
D 0
(23)
B 0
(24)
H
D
(25)
t
下面讨论最简单的一种情况
20
E
B
D
是有源场
H和B是有旋无源场
E
B
t
(5)
两边求散度
(
E)
0
( B)
t
H
J
D
t
两边求散度
(8)
B 0
(7)
( H )
0
J
( D)
t
利用电荷守恒定律：
J
磁场强度的旋度等于引起该磁场的传导电流密度 和位移电流密度(电位移矢量随时间的变化率)之
和，也可这样理解：环形磁场可以由传导电流产
生，也可以由位移电流产生。
4
简单讨论
E
B
(5)
t
D
(6)
B 0
H J
D
(7) (8)
t
E
是涡旋场
1
B
3、均匀各向异性介质中
(11)
nn((HE22
E1) 0 H 1) 0
(18)
nn((DB22
D1 ) B1 )
0 0
F eE e B (21)
五、波动方程 1、无源空间的波动方程
2、有源空间的波动方程
0
t
四个方程只有两个是独立的。 D
(6) 5
二、物质方程组
1、真空中 2、均匀各向同性介质中 3、均匀各向异性介质中
6
J E
各矢量满足物质方程：D
E
H
1
B
(9) ε——介电常数
(10) μ——导磁率
σ——导电率 (11)
1、真空中 B 0H (12a)
1
2E
2 t 2
2B
2B t 2
(27)
r 2H
1
2
r 2H t 2
交变的电场 E 和磁场 B 以波的形式在物质常数为σ=0、μ、ε
无色散的介质里传播，其传播速度为：
1
(28)
对于真空
0 4 107 H / m
0
4
0 4 107 H / m
——真空中的磁导率。
D 0E (12b)
0
4
1 9 109
F
/
m
8.85421012
F
/
m
——真空的介电常数。
7
2、均匀各向同性无色散介质中
D E 0r E (13a)
是介质的介电常数
r 是介质的相对介电常数
(26)
称为Laplace算符 同样
于是对于一维的情形，有：
r
r
2E(z,t) z 2
Байду номын сангаас
2E t 2
(26')
2B
2B t 2
(27)
公式(26)、(27)就是普通物理光
学里的波动方程。
21
2E
2E t 2
(26) 2 1
r
r 2E
10
三、边值关系
电磁场总要穿过两种介质的分界面的。
这时，由于界面两侧的物质常数不同，可以设想，界 面两侧电磁场量将发生跃变而不连续。
根据积分形式的麦克斯韦方程组得：
nnnn((D((HBE2222DBHE11)11)))00S
(17)
1 9 109
F
/
m
8.8542 1012
F
/
m
c 1 2.99794108 m / s
0 0
22
这与实际测得的真空中的数值很接近，1860年左右，Maxwell将之 作为重要依据，提出了光的电磁理论并预言了光就是一种电磁波。
1889年，Hertz发现了电磁波，观察了电磁波在金属表面的反射，在 石蜡棱镜中的折射，并证明电磁波和光波一样具有干涉、衍射和偏 振的现象。
x 0 0
[
]
0
y
0
(16)
0 0 z
9
纵论：
*电磁场的物质方程反映了所处介质的宏 观电磁性质，这个性质称为极化性质。
*真空和均匀各向同性介质的极化性质 与外场强度呈线性，方向相同；
*各向异性介质也与外场强度呈线性， 方向不同。强电磁场下，还呈非线性， 超出本课程范围。